曲面与空间曲面的总结
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曲面与空间曲线的总结
曲面与空间曲线一.曲面及其方程:
1.曲面方程的一般概念: 定义:若曲面上的点的坐标(x,y,z) 都满足方程F(x,y,z)=0, 而满足此方程的点都在曲面上,则称此方程为 该曲面的方程,而曲面称为此方程的‘图形’。
例1:求与A(2,3,1)和B(4,5,6)等距离的点的运动规迹。 解: 设M(x,y,z)为动点的坐标,动点应满足的条件是 |AM|=|BM|由距离公式得
此即所求点的规迹方程,为一平面方程。
2.坐标面及与坐标面平行的平面方程: ①坐标平面xOy 的方程:z=0
②过点(a,b,c)且与xOy 面平行的平面方程:z=c
③坐标面yOz 、坐标面zOx 以及过(a,b,c)点且分别与之平行的平面方程:x=0; y=0; x=a; y=b 3. 球面方程:
①球面的标准方程:以M0(x0,y0,z0)为球心,R 为半径 的球面方程为 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 ②球面的一般方程:
x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 球面方程的特点:平方项系数相同;没有交叉项。 例2:求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面
222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x 整理得 0
631044=-++z y x
椭圆柱面; 122
22
=+b y a x 1
22
22=-b
y a x 双曲柱面; py
x 22
=抛物
柱
解:整理得: (x+1)2+(y-1)2+z2=22
故此为一个球心在(-1,1,0),半径为2的球。 4.母线平行于坐标轴的柱面方程:
一般我们将动直线l 沿定曲线c 平行移动所形成的轨迹 称为柱面。其中直线l 称为柱面的母线,定曲线c 称为柱面 的准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴的柱面方程。 此时有以下结论:
若柱面的母线平行于z 轴,准线c 是xOy 面上的一条曲线,其方程为F(x,y)=0,则该柱面的方程为F(x,y)=0; 同理,G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y 轴和x 轴的柱面。
分析:母线平行于坐标轴的柱面的特点为:平行于某轴,则在其方程中无此坐标项。其几何意义为:无论z 取何值,只要满足F(x,y)=0,则总在柱面上。
几种常见柱面:x+y=a 平面;
以上所举例均为母线平行于z
4.旋转曲面:
2
22a y x =+
一平面内的定直线l 旋转一周所成的曲面称 为旋转曲面。其中c 称为母线,l 称为其轴。 本章中我们只研究绕坐标轴放置的曲面。此 时有以下结论: 设yOz 平面上有一已知曲线c 其方程为f(y,z)=0,将c 绕 z 轴旋转一周,所得到的以z 轴 为轴的放置曲面的方程为:
同理,以xOy 面上曲线f(x,y)=0为母线绕x 轴得曲面
例3 求顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为a 的圆锥面方程。 解:将yOz 面上的直线z=yctg 绕z 轴旋转一周即得圆锥曲面 整理后得:
其中a=ctg
二.空间曲线及其方程: 1.空间曲线的一般方程:
空间曲线一般可看作两个曲面的交线,若两个曲面的方程分别为F(x,y,z)=0
和G(x,y,z)=0,则易知其交线c 的方程为 0
),(2
2
=+±z y x f 同理,曲线c 绕y 轴旋转所得曲面方程为: 0
),(2
2=+±z x y f 0
),(2
2=+±z y x f 绕y 轴
),(2
2
=+±y z x f 以xOz 面上曲线f(x,z)=0为母线绕x 轴得曲0
),(22=+±z y x f )
(2222
y x a z
+=α
ctg y x z 22+±=⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,
(z y x G z y x F
称此方程组为曲线c 的一般方程。
解:平面z=2上以(0,0,2)为圆心的单位圆。
表示母线平行于Z 轴,准线在xoy 面上
2.空间曲线的参数方程:
设空间曲线方程如果选定一个适当的函数 x=x (x )代入上述方程组
如果选定一个适当的函数 x=x (x )代入上述方程组 称为空间中曲线的参数方程。
例 如果空间一点M 在圆柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度绕z 周旋转,同时,以等速度v 沿平行于
Z 求其参数
例4:方程组 ⎩
⎨
⎧==++252
22z z y x 表示怎样的曲线
例 方程 表示怎样曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧=+---=2
222
2
2
)2()2(a y a x y x a Z 2
2
y x z +=解:
表示中心在原点,半径为1的上半球面
2
2
2)2
()2(a y a x =+-半径为1的圆柱面 它们的交线是xoy )0,2(a 其圆心在 ,半径为 2
a ⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x
方程
三.空间曲线在坐标面上的投影:
在该方程组中消去z 得H(x,y)=0,此为一个通过曲线L 母线平行于z 轴的柱面,称为曲线c 关于xOy 面的投影柱面。 此投影柱面与xOy 平面的交线即为c 在xOy 平面上的投影曲
线,简称投影,其方程为 同理可得L 在yOz 面及xOz 面上投影方程为
和
⎪⎩
⎪
⎨⎧===vt z t y t a x ωωsin cos z
vt MN ==⎪⎩
⎪
⎨⎧===θθθR z y a x sin cos 螺旋线有一个重要性质,当 从 变到 时,Z 由 变到 这说明当 转过角 时,
点沿螺旋线
升了高度 ,即上升的高度与 转过角度成正比。
θαθ+00θ0
θb αθb b +0M o '
αM α
b M o '⎩⎨⎧==0
),,(0),,(z y x G z y x F ⎩⎨
⎧==0
0),(z y x H ⎩⎨⎧==00),(x z y R ⎩⎨
⎧==0
0),(y z x T 例 求曲线L : 在三个坐标面上的投影曲线 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-==+2
2213y z z y x