第四章插值方法_计算方法

解：利用Lagrange插值法有
L3(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2) (x + 1)(x - 1)(x - 2) (- 2) + (- 2) (- 1 - 0)(- 1 - 1)(- 1 - 2) (0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) (x + 1)x(x - 2) (x + 1)x(x - 1) + ?1 2 2 ? 1( 1) (2 + 1)(2 - 0)(2 - 1)
以下的问题：如何分析插值的余项？
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算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
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算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
k 0
（Lagrange）插值多项式
( x) 设 y f函数表
( xi , f ( xi ))(i 0, 1, ..., n) ( xi xj , i j),
则满足插值条件的多项式 Ln ( xi ) f ( xi )， (i 0,1...n)
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
定义
设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1< x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单 函数 p(x), 使得 p(xi) = yi 成立,则称
近似计算 f (x) 的值、零点、极 i = 0, 1, 2, ⋯, n (2.1) 值点、导数、积分，
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an x n
使得: pn ( xi ) yi , i 0,1,
条件：无重合节点，即 i j 根据插值条件，有：
,n
xi x j
n P( x0 ) a0 a1 x0 an x0 y0 n P( x1 ) a0 a1 x1 an x1 y1 P( x ) a a x a x n y n 0 1 n n n n
由 l k ( xk ) 1, 得 A
1 ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
k = 0, 1 ,⋯,
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) l k ( x) ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
(2) 在节点满足
x0 l0(x) l1(x) l2(x) 1 0 0 x1 0 1 0 x2 0 0 1
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先求 l0(x):
由l0(x)满足的两个条件
待定系数
l0 ( x1 ) l0 ( x2 ) 0 l0 ( x0 ) 1,
知l0(x)中含有两个因子(x-x1 )( x-x2)，且是二次的
x0 x1
xn 上满足条件
j , k = 0, 1 ,⋯, n
1 , k j; lk( x j ) 0 , k j,
则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函 数。 21
先求 插值基函数
令 l k ( x) A( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ),
( xi x j ) 0
故方程组(1)有惟一解 a0 , a1 , an
于是满足插值条件的多项式存在且惟一。
由n+1个不同插值节点
x0 , x1 , , xn
(唯一性) 可以惟一确定一个n次多项式
Pn ( x) a0 a1 x an x n
Pn ( xi ) yi
节点上的线性 l ( x) x x1 , 0 x0 x1 插值基函数： 满足
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
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n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
n 1 x0 x0
Vandermonde行列式
其系数矩阵的行列式为
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
1
x1
x1n
n 1 xn xn
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注意到插值节点 xi (i 1,2,, n) 两两相异，而
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
0 j i n
代数多项式、三角多项式、有理分式… 插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似，可以选自不同类型的
函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式；
其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其
中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：
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(a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数 和积分也易确定，并且仍是多项式。 (b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的 任何连续函数 f(x) , 存在代数多项式p(x)一致逼近f(x),
满足插值条件
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§4.2 拉格朗日插值（ Lagrange Polynomial）
——构造线性插值基函数的方法
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
段多项式)为各种离散数组建立连续模型；为各种
非有理函数提供好的逼近方法。众所周知，反映 自然规律的数量关系的函数有三种表示方法： • 解析表达式 • 图象法 • 表格法
3
f ( x) x 3 2 x 5
x y sin y
§4.0 引言
许多数据都是用表格法给出的(如观测和实验而得到的函数 数据表格)，可是，从一个只提供离散的函数值去进行理论 分析和进行设计，是极不方便的, 甚至是不可能的。因此需 要设法去寻找与已知函数值相符，并且形式简单的插值函
p( x ) 为 f (x) 的插值函数。
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(2.1)式称为插值条件， f ( x ) 称为被插函数，
[a , b] 称为插值区间， x0 , x1 , , xn 称为插值节点 ， 求 p ( x ) 的方法就是插值法。
插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插.
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最常用的插值函数是 …?
（3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
x y = f (x) • y = p(x) 曲线 P ( x) 近似 f ( x)
(xi, yi)
0 a=x0 x1 x2
x3
xn=b
y
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§4.2 拉格朗日插值（ Lagrange Polynomial）
——满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？
并且与已知曲线 y f ( x) 有一定的近似度。 y = p(x) 曲线 P ( x) 近似 f ( x)
x
y = f (x) •
(xi, yi)
0 a=x0 x1 x2
x3
xn=b
y 11
插值方法的研究问题
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？
并达到所要求的精度)。
因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。
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例题: 已知函数 f(x) 有如下数据:
求 f(x) 的插值多项式 p(x)，
并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。
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插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P( x)
, , ) n 使其通过给定的 n 1 个点 ( xi, yi) ， (i 0,1
抛物线基函数
于是
(x - x0)(x - x2) (x - x0)(x - x1) (x - x1)(x - x2) L2(x) = y0 + y1 + y2 (x0 - x1)(x0 - x2) (x1 - x0)(x1 - x2) (x2 - x0)(x2 - x1) =
Leabharlann Baidu
å
2
li (x)yi
i= 0
n.
， k = 0, 1 ,⋯, n .
（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + y2 l2(x)
n
再构造插值多项式
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
（Ln(x)是n+1个插值基函数的线性组合） 22
k 0
n
n
其中,
l k ( x)
j 0 j k
x xj x k x j (k 0,1,...n)
显然，如此构造的L(x) 是不超过n次多项式。当n=1
时，称为线性插值。当n=2时，称为抛物线插值。
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构造插值多项式的方法：
(1) (2) 先求插值基函数. 构造插值多项式.
l1 ( x) =
y
1
( x - x0 ) ( x - x2 ) ( x1 - x0 ) ( x1 - x2 )
y
1
l2 ( x) =
x0 x1
x2
x
0
x0
x1
x2
x
0
x0
x1 x2
x
所以有 L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1 (x) + y2 l2(x)
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抛物线插值基函数
( x x1 )( x x2 ) l0 ( x ) ( x x )( x x ) 0 1 0 2 ( x x0 )( x x2 ) l1 ( x ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) l2 ( x ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
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一般情形
求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)： 设Ln(x)= y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) 满足插值条件：L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, ⋯, n
先求插值基函数 然后构造插值多项式
定义 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,⋯,n ) 在各节点
则可令l0 ( x) A ( x x1 ) ( x x2), 再由l0(x)满足的条件
1 可得A ( x0 x1) ( x0 x2 )
类似地,可得
y
1
0
即得
l0 ( x) =
(x - x0 )( x - x2 ) (x0 - x1)( x0 - x2 ) (x - x0 )( x - x1) (x2 - x0 )( x2 - x1)
数(或近似函数)。
另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜 计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此 涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。
如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。 4
§4.1 多项式插值问题的一般提法
计算方法
第四章 插值方法
1
§4 插值方法
§4.1多项式插值问题的一般提法 §4.2 拉格朗日(Lagrange)插值 §4.3 差商与差分及其性质 §4.4 牛顿插值公式 §4.5 分段插值法 §4.6曲线拟合的最小二乘法
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§4.0 引言
插值法是广泛应用于理论研究和生产实践的重
要数值方法, 它是用简单函数(特别是多项式或分
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
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先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
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L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)