第四章插值方法_计算方法
第四章-多项式与插值
a0 a1 x0 a0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1 xn an xnn yn
方程组系数矩阵取行列式
1 x0 x0n
| A | 1 x1 x1n ( xi x j ) 0
ni j0
1 xn xnn
故方程组有唯一解. 从而插值多项式P(x)存在而且是唯一旳.
yi = interp1(x,y,xi,’ linear’ )
线性插值（缺省）
yi = interp1(x,y,xi,’ spline’ )
三次样条
yi = interp1(x,y,xi,’ cubic’ )
三次插值
例3 已知数据表如下，分别求 y＝0.9，0.7，0.6，0.5
处 x 旳值。
x
y
注：多项式求值还有一种函数是polyvalm，其调用 格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要
求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式旳值。
3. 多项式旳四则运算 (1)多项式旳加减法
function p3 = poly_add(p1,p2)
n1=length(p1); n2 = length(p2);
yp=zeros(size(xp));
a(:,j)=a(:,j+1).*x;
for k=1:n+1
end
பைடு நூலகம்
yp=yp + coeff(k)*xp.^(n+1-k);
coeff=a\y;
end
plot(xp,yp, x,y, ' ro')
三、Lagrange插值多项式
1.插值基函数
定义:若n 1个n次多项式 l k (x) (k 1, 2,..., n 1)
计算方法第四章 插值法
4
3
xi 4 yi 2
9 16 3 4
2
0
4
7
9
16
第4章 插值法
应用背景
造函数表：三角函数、对数 预测：鸡蛋价格、城市用水量
《 计 算 方 法 》
数控加工：造船、飞机机翼骨架、服装 样片、模具加工、刀具 计算机辅助设计：潜水艇、汽车造型
服装样片
第4章 插值法
实际问题中，f (x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散 数据；或者f (x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数 φ(x)来逼近f (x)。
《 计 算 方 法 》
φ (x)= y0
第4章 插值法
§2 线性插值与二次插值
2.1 线性插值
线性插值是代数多项式插值的最简单的形式。假设
《 计 算 方 法 》
给定了函数f (x)在两个互异点x0，x1的值,即
x x0值）
y y0 x0
y1
x1
x
第4章 插值法
现要用一线性函数
满足插值条件：
y( xi ) = yi , i = 0,1, 2
22
第4章 插值法 例：已知函数 y=f (x)的观测数据为
x
《 计 算 方 法 》
1 0
2 -5
3 -6
4 3
y
试求拉格朗日插值多项式。
第4章 插值法
《 计 算 方 法 》
( x 2)( x 3)( x 4) 解 ：p3 ( x ) = 0 (1 2)(1 3)(1 4) ( x 1)( x 3)( x 4) ( 5) (2 1)(2 3)(2 4) ( x 1)( x 2)( x 4) ( 6) (3 1)(3 2)(3 4) ( x 1)( x 2)( x 3) 3 (4 1)(4 2)(4 3) = x3 4 x2 3
数值计算方法-插值法
a≤x≤b
10
拉格朗日插值
插值多项式的存在性与惟一性
插值多项式的存在性与惟一性
定理 在 n + 1 个互异节点 xi 上满足插值条件
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
代数插值问题
y
y = f (x) y = Pn(x)
x0 x1
xn
x
图 1: 代数插值
几何意义： 通过 n + 1 个点 (xi, yi)(i = 0, 1, 2, · · · , n) 做一条代数曲线 y = Pn(x)，使其近似于 y = f (x)
数值计算方法
插值法
张晓平 2019 年 11 月 4 日
武汉大学数学与统计学院
Table of contents
1. 简介 2. 拉格朗日插值 3. 分段低次插值 4. 差商与牛顿插值多项式 5. 差分与等距节点插值
1
简介
简介
• 在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部 给定的离散数据点。
定义 : 插值余项 称
Rn(x) = f (x) − Pn(x) 为插值多项式的余项，表示用 Pn(x) 去近似 f (x) 的截断误差。
10
代数插值问题
在 [a, b] 上用 Pn(x) 近似 f (x)，除了在插值节点 xi 处 Pn(xi) = f (xi) 外， 在其余点处有误差
插值法的最简单计算公式
插值法的最简单计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：插值法是一种常用的数值计算方法，用于通过已知数据点推断出未知数据点的值。
在实际问题中，往往会遇到数据点不连续或者缺失的情况，这时就需要通过插值法来填补这些数据点，以便更准确地进行计算和分析。
插值法的最简单计算公式是线性插值法。
线性插值法假设数据点之间的变化是线性的，通过已知的两个数据点来推断出中间的未知数据点的值。
其计算公式为：设已知数据点为(x0, y0)和(x1, y1)，需要插值的点为x，其在(x0, x1)之间，且x0 < x < x1，插值公式为：y = y0 + (y1 - y0) * (x - x0) / (x1 - x0)y为插值点x对应的值，y0和y1分别为已知数据点x0和x1对应的值。
通过这个线性插值公式，可以方便地计算出中间未知点的值。
举一个简单的例子来说明线性插值法的应用。
假设有一组数据点为(1, 2)和(3, 6)，现在需要插值得到x=2时的值。
根据线性插值公式，我们可以计算出：y = 2 + (6 - 2) * (2 - 1) / (3 - 1) = 2 + 4 * 1 / 2 = 2 + 2 = 4当x=2时，线性插值法得到的值为4。
通过这个简单的例子，可以看出线性插值法的计算公式的简单易懂，适用于很多实际问题中的插值计算。
除了线性插值法，还有其他更复杂的插值方法，如多项式插值、样条插值等，它们能够更精确地拟合数据并减小误差。
在一些简单的情况下，线性插值法已经足够满足需求，并且计算起来更加直观和方便。
在实际应用中，插值法经常用于图像处理、信号处理、数据分析等领域。
通过插值法，可以将不连续的数据点连接起来，填补缺失的数据，使得数据更加完整和连续，方便后续的处理和分析。
插值法是一种简单而有效的数值计算方法，其中线性插值法是最简单的计算公式之一。
通过这个简单的公式，可以方便地推断出未知数据点的值，并在实际应用中发挥重要作用。
数值计算方法第四章插值1
代数插值
代数插值
当f(x)是次数不超过n的多项式时,给定n+1个节点,其n次插值多项式就是f(x)本身.
代数插值几何意义
拉格朗日插值 逐次线性插值 牛顿插值 等距节点插值 反插值 埃尔米特插值 分段插值法 三次样条插值
拉格朗日插值 线性插值
格朗日插值 抛物线插值
基函数之和为1.
拉格朗日插值 n次插值
当插值点x∈(a,b)时称为内插，否则称为外插。
内插的精度高于外插的精度。
拉格朗日插值余项
余项 设函数f(x)在包含节点x0 , x1 ,…, xn的区间[a,b]上有n+1阶导数，则
拉格朗日插值
活动14
写出3次拉格朗日插值多项式及余项
拉格朗日插值
拉格朗日插值
作业5
已知函数表
应用拉格朗日插值公式计算f(1.300)的近似值.
数值计算方法
苏 强
江苏师范大学连云港校区
数学与信息工程学院 E-mail: 412707233@
数值计算方法 第四章 插值与曲线拟合
没有明显的解析表达式
使用不便的解析表达式
简单函数代替
插值问题
插值问题
代数插值 插值函数
被插值函数 插值节点
插值区间
三角多项式插值 有理函数插值
代数插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
抛物线插值
三点插值
拉格朗日插值 抛物线插值
拉格朗日插值 n次插值
称为关于节点
的n次插值基函数.
拉格朗日插值n次插值
基函数的个数等于节点数.
n+1个节点的基函数是n次代数多项式 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯一的确定。 基函数和被插值函数无关
第四章插值方法_计算方法
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
16
n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
17
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
以下的问题：如何分析插值的余项？
24
算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
25
算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
15
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
第四章插值法
P2 ( x) a0 a1 x a2 x 2
使之满足
P2 ( xi ) yi , i 0, 1, 2
计算机科学与工程系 19
令
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( x x j )
j 0 j k n
计算机科学与工程系 27
4.2.3 拉格朗日插值多项式
由lk (xk) = 1，得：
1 ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
计算机科学与工程系 25
10
11
4.2.3 拉格朗日插值多项式
插值公式
设连续函数y = f（x）在[a, b]上给定n + 1个不同结 点： x0, x1, …, xn 分别取函数值 y0, y1, …, yn 其中 yi = f (xi) i = 0, 1, 2,…, n 构造一个次数不超过n的插值多项式
因此
( x x0 )( x x2 ) ( x x1 )( x x2 ) P2 ( x ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x x0 )( x x1 ) y2 ( x2 x0 )( x2 x1 )
因此有
lk ( x ) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) ( xk x0 )( xk x1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
第四章___插值法
x xi 1 x xi
xi 1 x xi
max
x xi 1 x xi xi xi 1 2
解得 n 825
1 4
1 4n 2
1 1 e 1 R1 x e 106 2 4n2 8n2 2
实际误差sin500-L1(500) 0.00596479
n =2
利用 x0 ,x1 ,x2计算
5 sin50 ≈ L 2 18
0
0.76543
R2 x
0.000443048 R2 x 0.000767382
f x x x x 3! 6 4 3 cos x x x x 3! 6 4 3
-0.5 -5
例：设 f x e ，在[0，1]上给出 f x 的n+1个等距节点xi 处的函数 值表，这时， 1
x
0 x0 x1
xn 1,xi xi 1 ,i 1,2, ,n n
若想用所给函数表的函数值用线性插值求 e x 0 x 1的近似值，使得 误差不超过
| f (4) ( x) | 1
h4 12 24 104
h4 1 4 | Rh ( x ) | 10 4!24 2
h 3.8 101 最大步长h应取0.38.
50 = 0.7660444…
500-L1(500) 0.0100979
利用 x1 , x2 4 3
~ 5 0 . 00538 R 0.00660 sin 50 0.76008, 1 18
计算方法——插值法综述
计算方法——插值法11223510 李晓东在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。
有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。
解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ϕ逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ϕ的函数值近似替代)(x f 的函数值。
插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ϕ作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。
一、 理论与算法（一）拉格朗日插值法在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即⎩⎨⎧≠==k i ki x l i k 01)( （1.1）上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设)())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+-其中，k A 为待定系数。
由条件1)(=k k x l 立即可得)())(()(1110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----=+-（1.2）故 )())(()()())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+-（1.3）由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
数值分析 插值法
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
工程常用算法04插值方法
工程常用算法04插值方法插值是指根据已知的数据点，通过一定的方法来估计数据点之间的未知数据点的数值。
在工程领域，插值方法常用于数据处理、图像处理、信号处理、计算机图形学等方面。
下面介绍一些常用的插值方法。
1.线性插值法：线性插值法是最简单的插值方法之一，它假设两个相邻数据点之间的数值变化是线性的。
线性插值法的计算公式为：y=y1+(x-x1)*(y2-y1)/(x2-x1)其中，y1和y2为已知数据点的数值，x1和x2为已知数据点的横坐标，x为待估计数据点的横坐标，y为待估计数据点的纵坐标。
2.拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是一种常用的插值方法，它通过一个多项式来逼近已知数据点的取值。
拉格朗日插值法的计算公式为：L(x) = Σ(yi * li(x))其中，yi为已知数据点的数值，li(x)为拉格朗日插值基函数，计算公式为：li(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，其中i ≠ j拉格朗日插值法的优点是简单易实现，但在数据点较多时计算量较大。
3.牛顿插值法：牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过不断增加新的数据点来逼近已有的数据点。
牛顿插值法的计算公式为：P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + ⋯ + f[x0, x1, ⋯, xn](x - x0)⋯(x - xn)其中，f[x0]为已知数据点的数值，f[x0,x1]为已知数据点间的差商，计算公式为：f[x0,x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)牛顿插值法的优点是计算效率高，但在增加新的数据点时需要重新计算差商。
4.样条插值法：样条插值法是一种光滑的插值方法，通过拟合一个或多个插值函数来逼近已有的数据点。
S(x) = Si(x)，其中xi ≤ x ≤ xi+1Si(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3样条插值法的优点是插值函数的曲线平滑，可以更好地逼近原始数据，但需要寻找合适的节点和插值函数。
计算方法 第四章 插值方法
§4.2.2 插值多项式的构造
现在考虑一般情况。已知节点 (xi, yi), i=0,1,…,n, x0<x1<…<xn, 则
Ln ( x ) yi li ( x )
i 0 n
( x x0 )...( x xi 1 )( x xi 1 )...( x xn ) yi i 0 ( xi x0 )...( xi xi 1 )( xi xi 1 )...( xi xn )
计算方法 (力学系本科生)
第四章 插值方法
(interpolation methods)
第四章插值方法
§4.1 问题的提出
§4.1 问题的提出
实际背景 • 实验和观察得到的一些离散数据点 ( xi , yi ), yi f ( xi ), i 0,1, 2,..., n, 需要 用这些离散数据点给出简单的函数表达 式 ( x)来近似原来函数 f ( x) 。
§4.2.2 插值多项式的构造
一般情形的拉格朗日插值多项式
设离散数据为(xk,δik), k=0,1,2,…,n, i 是固 定的非零整数 0 i n ,且 x0 x1 ... , n x δik是Kronecher记号
1, i k ik 0, i k
( n 1)
成立。
§4.2.3 拉格朗日插值余项
罗尔(Rolle)定理：若f(x)在[a,b]上连续,在 (a,b)上可导, 且f(a)=f(b), 则存在 (a, b) 满足 f ( ) 0 。
§4.2.3 拉格朗日插值余项
证明：∵ Rn(xi)=f(xi)-Ln(xi)=0, i=0,1,…,n
证明：由插值条件知
c x c x
插值计算法公式范文
插值计算法公式范文插值计算是一种数值计算方法，用于在给定一组已知数据点的情况下，通过插入新的数据点来估算中间或未知数据点的值。
插值计算方法的应用非常广泛，在科学、工程、金融和统计学等领域都有重要的应用。
下面将介绍几种常用的插值计算方法及其公式：1.线性插值公式：线性插值是一种简单而常用的插值方法，它假设两个已知数据点之间的数据变化是线性的。
设已知数据点为(x1,y1)和(x2,y2)，要求在[x1,x2]内的任意点(x,y)的值，线性插值公式可以表示为：y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1)2.拉格朗日插值公式：拉格朗日插值是一种多项式插值方法，它通过构造一个满足已知数据点的多项式来进行插值计算。
设已知数据点为(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求在[x0, xn]内的任意点(x, y)的值，拉格朗日插值公式可以表示为：y = y0 * L0(x) + y1 * L1(x) + ... + yn * Ln(x)其中，L0(x),L1(x),...,Ln(x)是拉格朗日基函数，定义如下：Lk(x) = Π(i=0, i≠k, n)[(x - xi) / (xk - xi)]其中，Π表示累乘运算。
3.牛顿插值公式：牛顿插值是一种递推插值方法，它通过在已知数据点上构造差商表来进行插值计算。
设已知数据点为(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求在[x0, xn]内的任意点(x, y)的值，牛顿插值公式可以表示为：y = y0 + (x - x0) * f[1, 0] + (x - x0)(x - x1) * f[2, 0] / 2! + ... + (x - x0)(x - x1)...(x - xn) * f[n, 0] / n!其中，f[1,0]=(y1-y0)/(x1-x0)，f[2,0]=(f[1,1]-f[1,0])/(x2-x0)等为差商表中的差商。
第4章-多项式插值方法
f [ x, x0 ,L , xn1] f [ x0 , x1,L , xn ]
f [ x, x0 , x1,L , xn ]( x xn ).
22
4.3.2 Newton均差插值多项式 只要把后一式代入前一式，就得到
f ( x) f ( x0 ) f [x0 , x1]( x x0 ) f [ x0 , x1, x2 ]( x x0 )( x x1) L
ln1.46 (1.46 1.5)(1.46 1.6) ln1.4 (1.46 1.4)(1.46 1.6) ln1.5
(1.4 1.5)(1.4 1.6)
(1.5 1.4)(1.5 1.6)
(1.46 1.4)(1.46 1.5) ln1.6 0.378402 (1.6 1.4)(1.6 1.5)
f (n1) ( )
(n 1)!
n1
(
x
),
x
[a,
b]
其中 ( x) (a, b).
注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式
Rn ( x)
Mn1 (n 1)!
n1( x)
11
（2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使n1(x)
尽可能小，以减小误差。
若 f ( x) =xk (k n), 那么f (n1)( x) 0,
x( x
1)
13
L2( x) f ( x0 )l0( x) f ( x1)l1( x) f ( x2 )l2( x) 1.25l0( x) 0.75l1( x) 1.25l2( x)
5
5
x( x 1) 0.75( x 1)( x 1) x( x 1)
8
8
3 1 x2 42
计算方法第四章函数插值
第四章函数插值§1 引言§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段插值§7 三次样条插值西北工业大学理学院欧阳洁1§1 引言问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
西北工业大学理学院欧阳洁2西北工业大学理学院欧阳洁4二插值多项式的存在唯一性⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210210212110200n n n n n n n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故得到：{}ni i x 0=定理满足插值条件的不超过n 次的插值多项式存在唯一。
n n xa x a x a a x ++++=L 2210)(ϕ设求多项式函数ϕ(x )，满足，等价于确定多项式ϕ(x )的系数，使得满足n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ⎪⎩⎪⎨⎧=++++==++++=)()()()(2210002020100n n n n n n nn n x f x a x a x a a x x f x a x a x a a x L L L L L ϕϕ即西北工业大学理学院欧阳洁18§3 Newton 插值法Lagrange 插值公式的特点：1+n M 当未知，无法估计误差。
当增加插值节点时，在实际计算中不方便(当需要增加插值节点时, 拉格朗日插值基函数都要随之发生变化)。
形式对称；0⇐A )()(00x l x f A A +⇐)()(11x l x f A A +⇐)()(x l x f A A n n +⇐LL 通常用于理论分析；∑==ni i i n x l x f x L 0)()()(Hermite插值多项式的构造给定m+1个插值条件，构造次数不超过m次的插值多项式。
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x
y = f (x) •
(xi, yi)
0 a=x0 x1 x2
x3
xn=b
y 11
插值方法的研究问题
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P ( x) 存在，如何构造P ( x)？
20
一般情形
求通过n +1个节点的n 次插值多项式Ln(x)： 设Ln(x)= y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x) 满足插值条件：L n ( xj ) = y j , j = 0, 1, ⋯, n
先求插值基函数 然后构造插值多项式
定义 若n 次多项式 lk ( x ) (k = 0,1,⋯,n ) 在各节点
由 l k ( xk ) 1, 得 A
1 ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
k = 0, 1 ,⋯,
( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ) l k ( x) ( x k x0 )( xk xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xn )
代数多项式、三角多项式、有理分式… 插值函数 p (x) 作为 f (x) 的近似，可以选自不同类型的
函数, 如 p (x) 为代数多项式、三角多项式、有理分式；
其函数性态可以是光滑的、亦可以是分段光滑的。其
中，代数多项式类的插值函数占有重要地位：
7
(a) 结构简单、计算机容易处理、任何多项式的导数 和积分也易确定，并且仍是多项式。 (b) 著名的Weierstrass逼近定理(定义在闭区间上的 任何连续函数 f(x) , 存在代数多项式p(x)一致逼近f(x),
（3）如何估计用P ( x)近似替代 f ( x) 产生的误差？
x y = f (x) • y = p(x) 曲线 P ( x) 近似 f ( x)
(xi, yi)
0 a=x0 x1 x2
x3
xn=b
y
12
§4.2 拉格朗日插值（ Lagrange Polynomial）
——满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？
n 1 x0 x0
Vandermonde行列式
其系数矩阵的行列式为
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
1
x1
x1n
n 1 xn xn
13
注意到插值节点 xi (i 1,2,, n) 两两相异，而
Vn ( x0 , x1 ,, xn )
0 j i n
k 0
（Lagrange）插值多项式
( x) 设 y f函数表
( xi , f ( xi ))(i 0, 1, ..., n) ( xi xj , i j),
则满足插值条件的多项式 Ln ( xi ) f ( xi )， (i 0,1...n)
Ln ( x） f ( xk ) l k ( x)
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
1 x x1 x x0 y0 y1 li ( x) yi i 0 x0 x1 x1 x0
L1(x)是两个线性函数 的线性组合
l0(x)
l1(x)
线性插值 基函数
15
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
L2(x0) = y0
显然,
L2(x)是过 (x0, y0) 、 ( x1 , y1 )
、( x2 , y2 ) 三点的一条
抛物线。
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 y1 x2 y=f(x) x
17
先求 插值基函数 l 0(x), l1 (x), l 2(x) ,
它们满足
(1) 都是二次函数；
以下的问题：如何分析插值的余项？
24
算例1 已知连续函数 f (x) 的函数表如下： x f (x) -1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
25
算例1
已知连续函数f (x)的函数表如下：
x f(x)
-1 0 1 2 -2 -2 1 2
求方程 f (x)=0 在(-1,2)内的近似根。
求 n 次多项式 Pn ( x) a0 a1 x an x n
使得: pn ( xi ) yi , i 0,1,
条件：无重合节点，即 i j 根据插值条件，有：
,n
xi x j
n P( x0 ) a0 a1 x0 an x0 y0 n P( x1 ) a0 a1 x1 an x1 y1 P( x ) a a x a x n y n 0 1 n n n n
解：利用Lagrange插值法有
L3(x) = (x - 0)(x - 1)(x - 2) (x + 1)(x - 1)(x - 2) (- 2) + (- 2) (- 1 - 0)(- 1 - 1)(- 1 - 2) (0 + 1)(0 - 1)(0 - 2) (x + 1)x(x - 2) (x + 1)x(x - 1) + ?1 2 2 ? 1( 1) (2 + 1)(2 - 0)(2 - 1)
并达到所要求的精度)。
因此，我们主要考虑代数多项式的插值问题。
8
例题: 已知函数 f(x) 有如下数据:
求 f(x) 的插值多项式 p(x)，
并求 f(x) 在 x=0.5 处的近似值。
9
10
插值的几何意义
从几何上看，插值就是求一条曲线 y P( x)
, , ) n 使其通过给定的 n 1 个点 ( xi, yi) ， (i 0,1
满足插值条件
14
§4.2 拉格朗日插值（ Lagrange Polynomial）
——构造线性插值基函数的方法
n=1
已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1(x) = a0 + a1 x 使得
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
x0 x1
xn 上满足条件
j , k = 0, 1 ,⋯, n
1 , k j; lk( x j ) 0 , k j,
则称这n +1个n 次多项式为这n +1个节点上的n 次插值基函 数。 21
先求 插值基函数
令 l k ( x) A( x x0 )( x xk 1 ) ( x xk 1 )( x xn ),
抛物线基函数
于是
(x - x0)(x - x2) (x - x0)(x - x1) (x - x1)(x - x2) L2(x) = y0 + y1 + y2 (x0 - x1)(x0 - x2) (x1 - x0)(x1 - x2) (x2 - x0)(x2 - x1) =
å
2
li (x)yi
i= 0
( xi x j ) 0
故方程组(1)有惟一解 a0 , a1 , an
于是满足插值条件的多项式存在且惟一。
由n+1个不同插值节点
x0 , x1 , , xn
(唯一性) 可以惟一确定一个n次多项式
Pn ( x) a0 a1 x an x n
Pn ( xi ) yi
节点上的线性 l ( x) x x1 , 0 x0 x1 插值基函数： 满足
l0(x) l1(x) x0 1 0
x x 0 l1( x) x1 x0
x1 0 1
16
n = 2 已知 使得
x0 , x1 , x2 y0 , y1 , y2
, 求 L2 ( x) ，
L2(x1) = y1 L2(x2) = y2
定义
设函数 f (x) 在[a , b]上有定义，且已知在 a ≤ x0 < x1< x2< ⋯ < xn ≤ b 点上的值 y0, y1, ⋯ , yn . 若存在一简单 函数 p(x), 使得 p(xi) = yi 成立,则称
近似计算 f (x) 的值、零点、极 i = 0, 1, 2, ⋯, n (2.1) 值点、导数、积分，
数(或近似函数)。
另外一种情况是，函数表达式完全给定，但其形式不适宜 计算机使用，因为计算机只能执行算术和逻辑操作，因此 涉及连续变量问题的计算都需要经过离散化以后才能进行。
如数值积分方法、数值微分方法、差分方程以及有限元法
等，都必须直接或间接地应用到插值理论和方法。 4
§4.1 多项式插值问题的一般提法
则可令l0 ( x) A ( x x1 ) ( x x2), 再由l0(x)满足的条件
1 可得A ( x0 x1) ( x0 x2 )
类似地,可得
y
1
0
即得
l0 ( x) =
(x - x0 )( x - x2 ) (x0 - x1)( x0 - x2 ) (x - x0 )( x - x1) (x2 - x0 )( x2 - x1)
n.
， k = 0, 1 ,⋯, n .
（类似于前面讨论n =1, 2 时的情形）
L1( x) y0 l0 ( x) y1 l1( x)
L2(x) = y0 l0(x) + y1 l1(x) + y2 l2(x)