《位置与坐标》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学上册基础知识讲与练(北师大版)

专题3.11 《位置与坐标》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解平面直角坐标系及象限的概念，并会在坐标系中根据点的坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标；2. 掌握用坐标系表示物体位置的方法及在物体平移变化前后点坐标的变化；3. 通过学习平面直角坐标系的基础知识,逐步理解平面内的点与有序实数对之间的一一对应关系,进而培养数形结合的数学思想．【要点梳理】要点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用(13，2000)， (17，190)， (21，330)…，表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4，5)，(20，12)，(13，2)，…，用来表示电影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.要点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：特别说明：（1）坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点.（2）在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对（x，y）之间建立了一一对应关系，这样就将‘形’与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.（3）要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：① x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零．②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等．③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数．④象限角平分线上的点的坐标特征：一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数．注：反之亦成立．（4）理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：①坐标平面内点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|．② x轴上两点A(x1，0)、B(x2，0)的距离为AB=|x1 - x2|；y轴上两点C(0，y1)、D(0，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．③平行于x轴的直线上两点A(x1，y)、B(x2，y)的距离为AB=|x1 - x2|；平行于y轴的直线上两点C(x，y1)、D(x，y2)的距离为CD=|y1 - y2|．（5）利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积：切割、拼补.要点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．特别说明：(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点的位置．(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度．2．用坐标表示平移(1)点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．特别说明：上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换．(2)图形的平移在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．特别说明：平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．【典型例题】类型一、有序数对1．马来西亚航空公司MH370航班自失联以来，我国派出大量救援力量，竭尽全力展开海上搜寻行动．某天中国海巡01号继续在南印度洋海域搜索，发现了一个位于东经101度，南纬25度的可疑物体．如果约定“经度在前，纬度在后”，那么我们可以用有序数对（101，25）表示该可疑物体的位置，仿照此表示方法，东经116度，南纬38度如何用有序数对表示？【答案】东经116度，南纬38度可以表示为(116,38)．【分析】根据“经度在前，纬度在后”的顺序，可以将东经116度，南纬38度用有序数对(116,38)表示．解：由题意可知东经116度，南纬38度，可用有序数对(116,38)表示．故东经116度，南纬38度表示为(116,38)．【点拨】本题考察了用有序数对表示位置．解题的关键在于读懂题意中给定的规则．举一反三：【变式1】根据指令(s，A)(说明：s≥0，单位：厘米；0°≤A＜180°)，机器人在平面上能完成下列动作：先原地逆时针旋转角度A，再朝其面对的方向沿直线行走距离s，若机器人站在点M处，面对的方向如图所示．(1)给机器人下了一个指令(2，60°)，机器人移动到了B点，请你画出机器人从M点到B 点的运动路径；(2)若机器人从M点运动到了C点，则给机器人下了一个什么指令？【答案】(1) 画图略(2) 指令(3，20°)试题分析：(1)首先弄懂(2，60°)表示的意思：先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米，据此画图；(2)根据图形看出S和A的值．解：（1）如图：（2）给机器人的指令是（3，20°）．【点拨】本题考查了用角度和距离表示物体的位置，关键是理解题意，弄懂(2，60°)表示的意思，先原地逆时针旋转60°，再朝其面对的方向沿直线行走2厘米．【变式2】观察如图所示象棋棋盘，回答下列问题：（1）说出“将”与“帅”的位置；（2）说出“马3进4”（即第3列的“马”前进到第4列）后的位置．【答案】（1）“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列【分析】（1）根据已知点的位置即可确定行列表示的数据的顺序，进而得出答案；（2）根据“马”的位置，经过平移后得到新的位置，根据新的位置，确定行列表示的数据，进而得出答案．解：（1）按照图中的表示数字，“将”在第9行第5列，“帅”在第1行第5列；（2）第7行第4列．【点拨】本题考查了用有序实数对表示位置，点的平移，掌握用有序数对表示位置是解题的关键．类型二、平面直角坐标系2．ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)点,A B 的坐标分别是： ；(2)在图中作出ABC ∆关于x 轴的对称图形DEF ∆，点F 的坐标是 ；(3)求DEF ∆的面积．【答案】(1) ()()2,1,4,3A B - (2) 见分析，()3,1F (3) 11【分析】（1）从图像中可得到点的坐标；（2）据轴对称的性质分别作出三个顶点先后关于x 轴的对应点，再首尾顺次连接即可； （3）利用矩形的面积减去三个三角形的面积即可．（1）解：由图可知，()()2,1,4,3A B -；（2）解：DEF ∆如图所示，()3,1 F；（3）解：11146251426222DEFS∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯11=，∴DEF∆的面积是11．【点拨】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．举一反三：【变式1】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为A（2，4），B（-1，0），请按要求解答下列问题：(1)在图中建立正确的平面直角坐标系，写出点C的坐标；(2)在图中作出∴ABC关于x轴对称的∴A1B1C1．【答案】(1) 见分析，C（3，2）；(2) 见分析【分析】（1）根据A点坐标可知：A点在x轴上方，距离x轴4个单位，A点在y轴右侧，距离y轴2个单位，以此即可找到x轴、y轴的位置，建立坐标系后，即可得C点坐标；（2）先找到A、B、C三点关于x轴的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1、A1C1即可．（1）如图：平面直角坐标系，C（3，2）；（2）如图所示，∴A1B1C1即为所求．.【点拨】本题考查了作轴对称图形、直角坐标的坐标与图形等知识，根据坐标确定出坐标轴是解答本题的基础．A aB bC b c三点，其中a、b满【变式2】如图，在平面直角坐标系中，已知(0,),(,0),(,)2-==．b c|6|0,64(1)求a、b、c的值；(2)如果在第二象限内有一点(,1)P m，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；(3)在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)a=4，b=6，c=8(2)12−2m(3)存在点P（-6，1）使S四边形ABOP=S△ABC 【分析】（1）解方程组可求a，b的值，由平方根的定义可求c的值；（2）由三角形的面积公式可求解；（3）利用面积关系可得12-2m =24，即可求解．解：（12|6|0,64b c -==，可得：a =4，b =6，c =±8；又∴点C 在第一象限，∴c =8（2）∴S △ABO =12×4×6=12，S △APO =12×4×（−m ）=−2m ，∴S 四边形ABOP =S △ABO +S △APO =12+（−2m ）=12−2m（3）因为S △ABC =12×6×8=24，∴S 四边形ABOP =S △ABC ∴12−2m =24，则m =−6，所以存在点P （-6， 1）使S 四边形ABOP =S △ABC ．【点拨】本题是四边形综合题，考查了二元一次方程组的解法，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 类型三、坐标方法的简单应用（1）地理位置的表示3.如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，若体育馆位置的坐标为()2,3A -，图书馆位置坐标为()2,1B -．请在图中建立平面直角坐标系；(1) 若学校位置坐标为()3,2C ，请在坐标系中标出学校的位置；(2) 顺次连接学校、图书馆、体育馆的位置，得到ABC ∆，求ABC ∆的面积．(3) 请在图中画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆．【答案】(1) 见分析 (2)图见分析，12 (3)见分析【分析】（1）利用点A 、B 的坐标画出直角坐标系即可标出学校位置；（2）利用矩形的面积减去三个三角形的面积得到∴ABC 的面积；（3）画出ABC ∆的顶点对应的顶点即可得到111A B C ∆．（1）解：平面直角坐标系如图，学校位置如图；（2）解：ABC ∆如图；11155154415222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯12=．（3）解：111A B C 如图．【点拨】本题主要考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．举一反三：【变式1】 如图，是一个简单的平面示意图，已知OA ＝2km ，OB ＝6km ，OC ＝BD ＝4km ，点E 为OC 的中点，回答下列问题：(1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km 处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置；(2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？(3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km 处，请在图中标出小强家的位置．【答案】(1)学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km 处(2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院(3)见分析【分析】(1)由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50方向4km 处；(2)观察图形，根据OA ， OE ， OD 的长度及图中各角度，即可得出结论．(3)作北偏西60°角，取OE = 2即可．(1)解：学校在小明家北偏东45°方向2km 处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km 处；(2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院；(3)如图，点F即为小强家．【点拨】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素．【变式2】如图所示，B处在A处的南偏西45°方向上，C处在A处的南偏东30°方向，C处在B处的北偏东60°，求∴ACB是多少度？【答案】∴ACB＝90°【分析】先根据题意得出∴BAC的度数，由AE∴DB可得出∴DBA的度数，进而可得出∴ABC的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出∴ACB的度数．解：根据题意，得∴BAE＝45°，∴CAE＝30°，∴DBC＝60°，∴∴BAC＝∴BAE+∴CAE，＝45°+30°，＝75°．∴AE∴DB，∴∴DBA＝∴BAE＝45°，∴∴ABC＝∴DBC﹣∴DBA，＝60°﹣45°，＝15°，∴∴ACB＝180°﹣∴ABC﹣∴BAC，＝180°﹣15°﹣75°，＝90°．故∴ACB 为：90°．【点拨】本题考查方位角问题，掌握方位角的概念，会用方位角确定互相位置，抓住平行线的性质是解答的关键．（2）坐标的平移4．平面直角坐标系中有一点A ，已知点A 在第二象限，点A 到x 轴的距离为3个单位、到y 轴距离为4个单位，请回答下列问题：(1)点A 的坐标为_________．(2)若将点A 向右平移5个单位至1A ，则1A 坐标为_________，若将点A 向左平移5个单位至2A ，则2A 坐标为_________．(3)该坐标系内有一点B ，点B 与点A 的横坐标相同，且线段AB 长为3，点B 坐标为_________．【答案】(1)()4,3-(2)()1,3，()9,3-(3)()4,0-或()4,6-【分析】（1）根据点到坐标轴的距离可得横纵坐标的绝对值，进而根据第二象限点的坐标特征即可求得点A 的坐标；（2）根据平移方式，向右平移5个将点A 的横坐标加5即可得到1A 的坐标，左平移5个单位将点A 的横坐标减5即可得到2A 的坐标；（3）根据题意设()4,B b -，由线段AB 长为3，可得33b -=，解绝对值方程即可求解． （1）解：∴点A 到x 轴的距离为3个单位、到y 轴距离为4个单位，设(),A a b ，∴4,3a b ==，点A 在第二象限，∴0,0a b <>，4,3a b ∴=-=，∴点A 的坐标为()4,3-,故答案为：()4,3-；（2）若将点A ()4,3-向右平移5个单位至1A ，则1A 坐标为()1,3；若将点A ()4,3-向左平移5个单位至2A ，则2A 坐标为()9,3-，故答案为：()1,3，()9,3-；（3）根据题意设()4,B b -，线段AB 长为3，33b ∴-=，解得0b =或6b =，∴点B坐标为()4,0-或()4,6-．【点拨】本题考查了点到坐标轴的距离，第二象限点的坐标特征，点的平移，平行于坐标轴的线段的长度，理解题意，数形结合是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，每个小正方形格子的边长为1个单位长度，在平面直角坐标系中有一个三角形ABC ，且三个项点都在格点（横、纵坐标均为整数的点）上，点A 的坐标为(1,3)-．(1)将三角形ABC 先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形111A B C ，写出点1A ，1B ，1C 的坐标，并画出三角形111A B C ；(2)求三角形111A B C 的面积；(3)点(,)M x y 在三角形ABC 边上，按（1）中的步骤平移后，点M 的对应点1M 的坐标为________．【答案】(1)画图见分析，1A （2，-1），1B （1，-4），1C （0，-2）(2)52(3)()13,4M x y +-【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用∴111A B C 所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）利用平移规律，进而得出答案．（1）解：如图所示：其中1A （2，-1），1B （1，-4），1C （0，-2）；（2）由图可知：111A B C △的面积=11123121213222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=52；（3）∴平移方式为先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，∴点(,)M x y 平移之后的坐标为()13,4M x y +-．【点拨】此题主要考查了平移规律，正确得出对应点位置是解题关键． 【变式2】已知三角形ABC 的边AB 上任意一点()00,P x y 经过平移后的对应点为()1004,3P x y ++．(1)将三角形ABC 作同样的平移得到三角形111A B C ，在下图中画出三角形111A B C ，并直接写出1A 、1B 、1C 的坐标．(2)求出三角形ABC 的面积．【答案】(1)见分析；（2，6），（0，2），（6，3）(2)11 【分析】（1）根据点P 坐标的变化可画出△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1，C 1的坐标； （2）利用如图所示矩形的面积减掉三个直角三角形的面积即可求解． (1)解：∴点P （x 0，y 0）经平移后对应点为P 1（x 0＋4，y 0＋3），即点P 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到点P 1， ∴∴ABC 先向右平移4个单位，再向上平移3个单位得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标分别为（2，6），（0，2），（6，3）， 如图，△A 1B 1C 1为所作．(2)解：如图，1114624341611222ABC S ∆=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=【点拨】本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．类型四、综合应用5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，∴ABC 的边BC 在x 轴上，A 、C 两点的坐标分别为A （0，a ），C （b ，0），B （－5，0），且()202243a b -=--，点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿射线BO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．(1)求A 、C 两点的坐标；(2)连接P A ，用含t 的代数式表示∴POA 的面积；(3)当点P 在线段BO 上运动时，在y 轴上是否存在点Q ，使∴POQ 与∴AOC 全等？若存在，请求出t 的值并直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A （0，4），C （3，0）(2)当502t <时，S =104t -或当52t >时，S =410t -； (3)存在，12t =或1时，Q 的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4） 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出a 、b 的值，即可求得点A 、C 两点的坐标； （2）先求出OB 的长，再分类讨论求解即可；（3）分△QOP ∴∴AOC 和△POQ ∴∴AOC 两种情况求解即可． （1）解：∴()202243a b -=--，∴4a =，3b =，∴A 的坐标是（0，4），C 的坐标是（3，0）；（2）∴B （－5，0），∴OB ＝5∴当502t <时，P 在线段OB 上，如图1，∴OP ＝52t -，OA ＝4，∴()15241042S t t =⨯-⨯=-；∴当52t =时，P 和O 重合，此时△APO 不存在；∴当52t >时，P 在射线OC 上，如备用图2，∴OP ＝25t -，OA ＝4，∴()12544102S t t =⨯-⨯=-；（3）解：当P 在线段BO 上运动时，在y 轴上存在点Q ，使△POQ 与△AOC 全等，∴P 在线段BO 上运动，∴t ≤5÷2＝2.5，∴当BP ＝1，即OP ＝4，OQ ＝3时，△POQ ∴∴AOC ，此时12t =，Q 的坐标是（0，3）或（0，－3）；∴当BP ＝2，即OP ＝3，OQ ＝4时，△QOP ∴∴AOC ，此时221t =÷=，Q 的坐标是（0，4）或（0，－4）；综上所述，12t =或1，Q 的坐标是（0，3）或（0，4）或（0，－3）或（0，－4）．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、非负数的性质等知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（4，1），点C（4，5）．(1)画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标；(2)在x轴上画出点P，使P A1＋PB1最小；(3)直线MN∴y轴，与线段AB，AC分别交于点M，N（点M不与点A，C重合），若将△AMN沿直线MN翻折，点A的对称点为点A′，当点A′落在△ABC的内部时，点M的横坐标m的取值范围是．【答案】(1)见分析，C1（﹣4，5）(2)见分析(3)1＜m＜2.5【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴的轴对称图形△A1B1C1，并写出点C的对称点C1的坐标；（2）连接B1A1′交x轴于点P即可；（3）根据轴对称的性质即可解决问题．(1)解：如图，△A1B1C1，即为所求；C1（﹣4，5）；(2)如图，点P即为所作；(3)当点A的对称点A'落在BC上时，点A'的坐标为（4，2），此时m =12（1+4）=2.5，∴点M 不与点A 重合，点A ′落在△ABC 的内部， ∴点M 的横坐标m 的取值范围是 1＜m ＜2.5 ； 故答案为：1＜m ＜2.5．【点拨】本题考查作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A （1，1），B （3，1），C （3，5），连接AB ，BC ，AC ．(1) 特例感知：分别找到线段AB ，BC ，AC 的中点，并依次标记为D ，E ，F ，它们的坐标为D （_________，_________），E （_________，_________），F （_________，_________）． (2) 观察猜想：仔细观察上述三条线段中点的横坐标与纵坐标，分别与对应的线段AB ，BC ，AC 的两端点的横坐标与纵坐标进行比较，看看它们之间有什么关系，并根据你的猜想完成下列问题．∴ 若点H （-5，1.5），K （-1，-3.5），则线段HK 的中点坐标为_________； ∴ 若点P （a ，b ），Q （c ，d ），则线段PQ 的中点坐标为_________．(3) 拓展应用：若M ，N 分别是三角形111A B C 中11A C ，11B C 的中点，请直接写出MN 与11A B 的位置关系及数量关系．【答案】(1)D （2，1），E （3，3），F （2，3）．(2)∴（-3，-1）；∴（2a c +，2b d+）． (3)11MN A B ∥，1112MN A B =． 【分析】（1）根据所给的条件结合图像可以直接得到找到线段AB ，BC ，AC 的中点的坐标． （2）由（1）可以归纳出一个“已知线段两个端点的坐标，求线段中点的坐标”的结论，然后根据结论求出答案即可．（3）将三角形111A B C 放在平面直角坐标系中，表示出M ，N 的坐标，然后根据坐标得出结论．解：（1）根据图中的方格直接得到线段AB ，BC ，AC 的中点分别为：D （2，1），E （3，3），F （2，3）．（2）根据（1）可以猜想出一个结论：已知线段的两个端点A 、B 的坐标，线段AB 中点的横坐标和纵坐标分别为A 、B 的横坐标和的一半和纵坐标和的一半．所以∴H （-5，1.5），K （-1，-3.5），线段HK 的中点坐标为（-3，-1）；∴P （a ，b ），Q （c ，d ），线段PQ 的中点坐标为（2a c +，2b d+）．（3）如图，将三角形111A B C 放在平面直角坐标系中，点1A 和点O 重合，1B 在x 轴的正半轴上，则1A （0，0），设1B a （，0），1C b c（，），所以()22b c M ，，()22a b cN +，，M 、N 纵坐标相同，所以11MN A B ∥，11A B a =，MN =222a b b a +-=，所以1112MN A B =，∴11MN A B ∥，1112MN A B =． 【点拨】本题考查了平面直角坐标系相关知识，前两问需要学生认真归纳总结，第三问方法不唯一，需要学生认真探索方法，能够正确理解题意并归纳出相关结论是解决本题的关键．。