2021重庆年中考25题二次函数综合专题(2)
2021年重庆年中考二次函数综合专题练习
2021年重庆年中考25题二次函数综合专题练习（11月中旬期中集合）1（一外2021级初三上期中测试）如果，直线3y x =-与x 轴，y 轴分别交于B 、C 两点，点A 为x 轴上一点，抛物线2y x bx c =++恰好经过A 、B 、C 三点，对称轴分别与抛物线交于点D ，与x 轴交于点E ，连接AC 、EC ， （1）求抛物线的解析式（2）点P 是抛物线上异于点D 的一动点，若PBCAECSS=求此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若P 在BC 下方，Q 是直线PO 上一点，M 是射线PC 上一点，请问对称轴上是否存在一点N ，使得P 、Q 、M 、N 构成以PN 为对角线的菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明.2（南开2021级初三上期中测试）抛物线21+4y x bx c =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （2,0），B （-6,0）.（1）求抛物线以及直线BC 的解析式；（2）如图1，点P 是直线BC 上方抛物线的一动点，谷点P 作PQ//y 轴交直线BC 于点Q ，点T 在直线QB 上，连接PT ，若△PQT 是以PQ 为底的等腰三角形，则△PQT 的周长是否存在最大值？若存在，求出周长的最大值以及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，过点A 作AF//y 轴交直线BC 于点F ，点D 是抛物线的顶点，连接BD 、CD 、OF,△OAF 沿射线AB 防线以每秒1个单位长度运动，运动时间为t （t>0），当点F 与点D 重合时立即停止运动，设运动过程中△OAF 与四边形OCDB 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式.3（育才2020级初三上期中考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C.（1）求直线BC 的解析式；（2）若点P 为抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，43ABPABC SS =,求此时点P 的左边.（3）若将△AOC 沿射线CB 方向平移，平移后的三角形记为111A O C △,连接1A A 交抛物线于M 点，是否存在点1C ,使得1AMC △为等腰三角形？若存在，直接写出1C 点横坐标；若不存在，请说明理由.4（一中共同体2021级初三上期中测试）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线223=-++与x轴交y x x=+恰好经过于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线顶点为E，C、D两点关于抛物线的对称轴对称，直线y kx bA、C两点.（1）求直线AC的解析式；（2）设点P是直线AC上方抛物线上的一动点，求当△PAC的面积取得最大值时，求此时点P的坐标；（3）若点M在此抛物线上，点N在对称轴上，则以A、C、M、N为顶点的四边形能否成为以AC为边的平行四边形？若能，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由.5（巴蜀2021级初三上期中测试）如图，点A 在抛物线26y x x =-+上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（2,2）. （1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任意一点，P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH HF +的最小值；（3）在（2）中，2PH HF ++取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60后得到''CF H △,过点'F 作'CF 的垂直与直线AB 交于点Q ，点R 为y 轴上一动点，M 为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D 、Q 、R 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由.6（八中2021级初三上期中测试）如图1，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴交于点A （－3，0）和B（1，0）两点，与y 轴交于点C （1）求该抛物线的函数表达式；（2）P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，过点P 作PD ∥y 轴交AC 于点D ，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，求出PD +EF 的最大值及此时点P 的坐标；M ，点N 为，N ，H 为顶点的四边7（南开2021级初三上阶段测试二）如图，抛物线21322y x x =-++与坐标轴分别交于A ，B ，C 三点，D 是抛物线的顶点，连接BC ，BD ，（1）求点D 的坐标及直线BC 的解析式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，E 为BD 上一动点，当PBC 面积为2716时，求点P 的坐标，并求出此时2PE BE +的最小值； （3）在（2）的条件下，延长PE 交x 轴于点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得PFQ △为直角三角形？若存在请直接写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由．8（十八中2021级初三上周测五）如图1，抛物线21333y x x =--+与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C,连接AC 、BC. （1）求线段AC 的长；（2）如图2，E 为抛物线的顶点，F 为AC 上方的抛物线上一动点，M 、N 为直线AC 上的两动点（M 在N 的左侧），且MN=4，作FP ⊥AC 于点P ，FQ//y 轴交AC 于点Q ，当△FPQ 的面积最大时，连接EF 、EN 、FM,求四边形ENMF 周长的最小值.（3）如图3，将△BCO 沿x '''B C O △,再将'''B C O △绕点'O 顺时针旋转α度，得到'''''B C O △（其中0180α<<），旋转过程中直线''''B C 与直线AC 交于点G ，与x 轴交于点H ，当△AGH 时等腰三角形时，求α的度数.9（八中2021级九上周测六）如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（-1,0），B（3,0），与y轴交于C点，D是抛物线的顶点且纵坐标为2.（1）求点D的坐标及直线BC的解析式；（2）如图2，连接BD，P点为BD上方抛物线一点，过点P作PH⊥BD于H，过P点作y轴平行线交BC于E，有最大值时的P点坐标及最大值为多少？PE（3）在抛物线对称上有一点M ，在平面直角坐标系中有一点N ，使以B 、C 、M 、N 为顶点的四边形为矩形，求出N 点坐标.10（八中2021级九上定时训练八）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A （-1,0），B （6,0）两点，与y 轴交于点C （0,3），顶点为D. （1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上且位于直线BC 上方的一个动点，过点P 作PQ//y 轴交BC 于点Q ，求5PQ CQ +的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，将原抛物线向右下方平移得到抛物线'y ，使得'y 的顶点在直线BC 上且过点F （2，-1），'y 与原抛物线相交于点E ，点G 我射线BC 上的一动点，是否存在点G ，使得180DBE BEG ∠+∠=,若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由.11（一中2021级初三上国庆作业一）如图，已知抛物线y＝﹣x2+x﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH长度最大时，在△APB 内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．（2）若点D是OC的中点，将抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y'的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．12（巴蜀2021级初三上第一次月考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线6332612++-=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C 。
2024重庆中考复习第25题-二次函数综合题
2024重庆中考复习第25题-二次函数综合题2024年重庆中考复习第25题为一道关于二次函数的综合题。
由于题目没有具体给出，我将为您提供一道关于二次函数的综合题，并给出一个详细的解答，希望能对您的复习有所帮助。
题目：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为实数，且a ≠ 0。
已知f(1) = 0，f(3) = 0，f(4) = 6、求函数f(x)的表达式。
解答：根据题目已知条件，我们可以列出以下方程组：1)f(1)=0：a(1)^2+b(1)+c=0a+b+c=0--(1)2)f(3)=0：a(3)^2+b(3)+c=09a+3b+c=0--(2)3)f(4)=6：a(4)^2+b(4)+c=616a+4b+c=6--(3)现在我们有一个包含三个未知数（a，b，c）的方程组。
我们可以通过解这个方程组来求出函数f(x)的表达式。
首先，我们可以通过方程(1)和方程(2)的消元法得到一个新的方程。
(2)-(1)得：9a+3b+c-(a+b+c)=08a+2b=04a+b=0--(4)然后，我们可以通过方程(4)和方程(3)的消元法得到另一个新的方程。
(4)×4得：16a+4b=0将这个方程代入到方程(3)中，得到：16a+4b+c=6将16a+4b=0代入到上式，得到：c=6现在我们已经得到了a、b和c的值。
将这些值代入到函数f(x) =ax^2 + bx + c中，即可得到函数f(x)的表达式。
将a=-1、b=4和c=6代入到函数f(x)中，得到：f(x)=-x^2+4x+6所以，函数f(x)的表达式为f(x)=-x^2+4x+6以上就是针对2024年重庆中考复习第25题的一道关于二次函数的综合题的解答。
希望能对您的复习有所帮助。
如果您有任何其他问题，请随时提问。
2021重庆年中考25题二次函数综合专题(2)
2021重庆年中考25题二次函数综合专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）如图，在平面直角坐标系抛物线22y x x c =--+（c 为常数）与一次函数y x b =-+（b 为常数）交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0）求B 点坐标；点P 为直线AB 上方抛物线上一点，连接PA,PB ，当1258PABS=时，求点P 的坐标;将抛物线22y x x c =--+（c 为常数）沿射线AB 平移1y 与原抛物线22y x x c =--+相交于点E ，点F 为抛物线1y 的顶点，点M 为y 轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N ，使得以点E,F,M,N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
2（重庆一外2021级九上第一次月考）已知，如图直线1l 与直线2l 分别于x 轴交于点A,BA 已知OB=2OA ，1l ，2l 交于第一象限的点C （，且△ABC 是等边三角形；求直线1l 与直线2l 的解析式；点D 是线段AB 上的一动点，过点D 作DE//AC 交BC 于E ，连接DC ，当△CDE 的面积最大时，求点D 的坐标；取在（2）中△CDE 的面积最大时的点D ，在直线1l 与直线2l 上取点M 、N ，以点D 、M 、N 为顶点构成的△DMN 能否构成等腰直角三角形，若能，求求出点M 的坐标，若不能，请说明理由。
3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A,B 两点，其中A （-3，-4）B(0,-1) 求该抛物线的函数表达式；点P 为直线AB 下方抛物线上任意一点，连接PA ，PB ，求△PAB 面积的最大值；将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为直线AB 上的一点，在y 轴左侧原抛物线上是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在请说明理由.4（重庆南开2021级九上阶段测试二）如图，抛物线21322y x x =-++与坐标轴分别交于点A 、B 、C 三点，D 是抛物线的顶点，连接BC 、BD ； 求点D 的坐标及直线BC 的解析式；点P 是直线BC 上方抛物线上的一点，E 为BD 上一动点，当△PBC 面积2716时，求点P 的坐标，并求出此时PE BE +的最小值； 在（2）的条件下，延长PE 交x 轴于点F ，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q ，使得△PFQ 为直角三角形？若存在请直接写出Q 的坐标，若不存在请说明理由。
重庆中考数学25题二次函数专项训练：平行四边形的存在性
第二讲 平行四边形的存在性例1、（2022•重庆A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221与直线AB 交于点A （0，4-），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC+PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．练习1、（2022•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=243与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，交AB 于点M ，求PM+56AM 的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P 关于抛物线c bx x y ++-=243的对称轴对称．将抛物线c bx x y ++-=243向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P′、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．练习2、如图1，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0），B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD+PH 的最大值及此时点P 的坐标；（3）把抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 向右平移23个单位，再向上平移165个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M ，在新抛物线上找一点N ，直接写出所有使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．练习3、（选讲）在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴的交点为A(1-，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接AC ，BC ，P 是第一象限内抛物线上一动点，过点P 作PT ⊥x 轴交BC 于点T ，过点P 作PR//AC 与BC 交于点R ．求△PRT 的周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿CA 方向平移，使得新抛物线'y 刚好经过点A ，设M 为新抛物线上一点，N 为原抛物线对称轴上一点，当点B ，C ，M ，N 组成的四边形为平行四边形时，直接写出点N 的纵坐标．自我巩固1、（2021•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （1-，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接PA ，PD ，求⊥PAD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 沿射线AD 平移24个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．。
2021年重庆中考25题二次函数综合专题(八中试题集) (无答案)
2021年重庆年中考25题二次函数综合专题（八中试题集）1（八中2020级初三下定时训练九）如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣2+bx+c 经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是抛物线上的一动点（不与B，C两点重合），当S△BEC＝S△BOC时，求点E的坐标；（3）若点F是抛物线上的一动点，当S△BFC为什么取值范围时，对应的点F有且只有两个？2（八中2020级初三下定时训练五））如图，在平⾯直⻆坐标系中，⾯次函数y＝ax2+bx+c的图象与直线AB交于A、B两点，A（1，﹣）、B（﹣2，0），其中点A是抛物线y＝ax2+bx+c的顶点，交y轴于点D．（1）求⾯次函数解析式；（2）如图1，点P是第四象限抛物线上⾯动点，若∠PBA＝∠BAD，抛物线交x轴于点C．求△BPC的⾯积；（3）如图2，点Q是抛物线第三象限上⾯点（不与点B、D重合），连接BQ，以BQ为边作正⾯形BEFQ，当顶点E或F恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的Q点的坐标．3（八中2020级初三下定时训练八）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y 轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．4（八中2021级初三上第一次月考模拟）己知抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，当四边形ABPC的面积最大时，求出四边形ABPC的面积最大值及此时点P的坐标．（3）如图2，将抛物线向右平移个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为y'，若抛物线y'与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在（2）的条件下，当△PQE是等腰三角形时，求点E的坐标．5（八中2020级初三上定时练习十四）已知：抛物线y =ax 2 +bx +c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB<OC ）是方程x 2-10x +16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线2-=x .(1)求此抛物线的表达式；(2)若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 的最大值；(3)若点M 在抛物线的对称轴上，P 是平面坐标系上一点，在抛物线上是否存在一点N ，使以P 、C 、M 、N 为顶点的四边形是正方形？如果存在，请写出满足条件的点N 的坐标；如果不存在，请说明理由。
重庆中考25题二次函数题专练
1. 如图，抛物线4212-+=x x y 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，顶点为H ，其对称轴交x 轴于点N 。
直线l 经过B 、D 两点，交抛物线的对称轴于点M ，其中点D 的横坐标为5-. （1）连接AM ，求∆ABM 的周长；（2）若P 是抛物线位于直线BD 的下方且在其对称轴左侧上的一点，当四边形DPHM 的面积最大时，求点P（3）连接AC ，若F 为y轴上一点，当∠MBN =点的坐标.2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线27922x x --+与直线12y x b =+交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上，点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合)，连接PA 、PB 。
(1)求直线的解析式及A 、B 两点的坐标；(2)过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点C ，当线段PC 最大时，求此时点C 的坐标及PC 的最大值：(3)当∠PAB=90°时，求此时点P 的坐标。
3.如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为()1,0-，抛物线的对称轴为直线 1.5x =，点M 为线段AB 上一点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于P ，交过点A 的直线y x n =-+于点C 。
（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）M 位于线段AB 的什么位置时，PC 最长，并求出此时P 点的坐标；（3）若在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点Q ，使23ABQ APB S S ∆∆=，求点Q 的坐标。
4.如图，二次函数32-+=bx ax y 的图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），一次函数n mx y +=的图象经过点B 和二次函数图象上另一点A . 点A 的坐标（4 ，3），21t a n =∠ABC . （1）求二次函数函数和一次函数解析式；（2）若抛物线上的点P 在第四象限内，求ABP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）若点M 在直线AB 上，且与点A 的距离是到x 轴距离的25倍，求点M 的坐标.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a x2+bx-3（a≠0）与x轴交于点A（-2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段B C上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△P BQ存在时，求运动多少秒使△PB Q的面积最大，最大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△C B K ：S△P B Q=5：2，求K点坐标．6．如图，已知抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，连接B C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BC M的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△C NQ为直角三角形，求点Q的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，点D为抛物线的顶点，点P是第四象限的抛物线上的一个动点（不与点D重合）．（1）求∠OBC的度数；（2）连接CD、BD、DP，延长DP交x轴正半轴于点E，且S△O C E =S四边形OC D B，求此时P点的坐标；（3）过点P作PF⊥x轴交BC于点F，求线段PF长度的最大值．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A 和点B，其中点A的坐标为（-2，0），抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC 的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．9．如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A，交y轴于点B，已知经过点A，B的直线的表达式为y=x+3．（1）求抛物线的函数表达式及其顶点C的坐标；（2）如图①，点P（m，0）是线段AO上的一个动点，其中-3＜m＜0，作直线DP ⊥x轴，交直线AB于D，交抛物线于E，作EF∥x轴，交直线AB于点F，四边形D EFG 为矩形．设矩形DE FG的周长为L，写出L与m的函数关系式，并求m为何值时周长L最大；（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使点A，B，Q构成的三角形是以AB为腰的等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
2021年中考一轮复习数学《二次函数》压轴题必做题型25道(难度较大)(无答案)
2021年中考数学复习《二次函数》压轴题必做题型25道（难度较大）（无答案）1.如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？2. 如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)求顶点D的坐标与对称轴l；4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(6,6),(6,0),抛物线y=-(x-m)2+n的顶点P在折线OA—AB上运动.(1)当点P在线段OA上运动时,抛物线y=-(x-m)2+n与y轴交点坐标为(0,c).用含m的代数式表示n.(2)当抛物线y=-(x-m)2+n经过点B时,求抛物线所对应的函数解析式.y A 45︒O B 2x5. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，求实数k 的取值范围．6. 如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.7. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2),水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的解析式是y=-x2+4x+(x>0),求圆形水池的半径至少为多少米时,才能使喷出的水流不至于落在池外.8. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.9. 已知某款熊猫纪念品成本为30元/件,当售价为45元/件时,每天销售250件,售价每上涨1元,销量下降10件.(1)求每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数解析式.(2)若每天该熊猫纪念品的销量不低于240件的情况下,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?(3)小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后这款纪念品每天剩余的利润不低于3 600元,试确定该熊猫纪念品销售单价的范围.10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝12x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小？若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；11. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-1.(1)b= ;(用含a的代数式表示)(2)当a=-1时,若关于x的方程ax2+bx+c=0在-4<x<1的范围内有解,求c的取值范围;(3)若抛物线过点(-1,-1),当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,求a的值.12. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．13. 如图 12-1，抛物线y=ax2＋bx＋3 交x 轴于点A（-1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 12-2，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．求四边形ACFD 的面积；14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点．当以PQ为直角边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；15. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．16. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；＝2？若存在，求出点G的坐标，若不(2)在抛物线上是否存在一点G，使得S△ACG存在，请说明理由；17. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(-3,0).(1)填空:b= ,c= .(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的点N的坐标.18. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；(2)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM ＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；19. 已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式.(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.20. 平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上．以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由；以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．22. 如图，抛物线215322y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点 P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，求DQB △面积S 和m 的函数关系式，并求出DQB △面积的最大值；（3）当DQB △面积最大时，在x 轴上找一点E ，使55QE EB +的值最小，求E 的坐标和最小值．23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A、B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.25.如图1,抛物线y=-35[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。
2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集(二)
2021年中考数学《二次函数综合压轴题》模拟训练题集（二）1．如图①，直线l：y＝mx+n（m＜0，n＞0）与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．（1）若l：y＝﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y＝﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．（2）求P的对称轴（用含m、n的代数式表示）；（3）如图②，若l：y＝﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标．2．已知菱形OABC的边长为5，且tan∠AOC＝，点E是线段BC的中点，过点A、E的抛物线y＝ax2+bx+c与边AB交于点D．（1）求点A和点E的坐标；（2）连结DE，将△BDE沿着DE翻折．①当点B的对应点B'恰好落在线段AC上时，求点D的坐标；3．如图，抛物线y＝ax2﹣11ax+24a交x轴于C，D两点，交y轴于点B（0，），过抛物线的顶点A作x轴的垂线AE，垂足为点E，作直线BE．（1）求直线BE的解析式；（2）点H为第一象限内直线AE上的一点，连接CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P，设线段EH 的长为m，点P的横坐标为n，求n与m之间的函数关系式．（不要求写出自变量m的取值范围）；（3）在（2）的条件下，在线段BE上有一点Q，连接QH，QC，线段QH交线段PD于点F，若∠HFD＝2∠FDO，∠HQC＝90°+∠FDO，求n的值．4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣8，0），对称轴是直线x＝﹣3，点B是抛物线与y轴交点，点M、N同时从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度分别沿x轴的负半轴、y的负半轴方向匀速运动，（当点N到达点B时，点M、N同时停止运动）．过点M作x轴的垂线，交直线AB于点C，连接CN、MN，并作△CMN关于直线MC的对称图形，得到△CMD．设点N运动的时间为t秒，△CMD与△AOB重叠部分的面积为S．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当0＜t＜2时，①求S与t的函数关系式；②直接写出当t＝时，四边形CDMN为正方形；（3）当点D落在边AB上时，过点C作直线EF交抛物线于点E，交x轴于点F，连接EB，当S△CBE：S△ACF＝1：3时，直接写出点E的坐标为．5．已知：在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）．（1）如图1，分别求b、c的值；（2）如图2，点D为第一象限的抛物线上一点，连接DO并延长交抛物线于点E，OD＝3•OE，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，点P为第一象限的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，连接EP、EH，点Q为第二象限的抛物线上一点，且点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，连接PQ，设∠AHE+∠EPH＝2α，PH＝PQ •tanα，点M为线段PQ上一点，点N为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH、NH，满足∠MHN＝60°，MH＝NH，过点N作PE的平行线，交y轴于点F，求直线FN的解析式．6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，点C是y轴正半轴上的一个动点，抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a是常数，且a＞0）过点C，与x轴交于点A、B，点A在点B的左边．连接AC，以AC为边作等边三角形ACD，点D与点O在直线AC两侧．（1）求点A，B的坐标；（2）当CD∥x轴时，求抛物线的函数表达式；（3）连接BD，当BD最短时，请直接写出抛物线的函数表达式．8．如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝3．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标．（3）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图直角坐标系中，△ABO，O为坐标原点，A（0，3），B（6，3），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A，B，点P为抛物线上AB上方的一个点，连结P A，作PQ⊥AB垂足为H，交OB于点Q．（1）求b，c的值；（2）当∠APQ＝∠B时，求点P的坐标；（3）当△APH面积是四边形AOQH面积的2倍时，求点P的坐标．10．综合与探究如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l 经过B、C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD、BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）①请直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时t的值；②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值．11．如图，△OAP是等腰直角三角形，∠OAP＝90°，点A在第四象限，点P坐标为（8，0），抛物线y＝ax2+bx+c 经过原点O和A、P两点．（1）求抛物线的函数关系式．（2）点B是y轴正半轴上一点，连接AB，过点B作AB的垂线交抛物线于C、D两点，且BC＝AB，求点B坐标；（3）在（2）的条件下，点M是线段BC上一点过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，求△CBN面积的最大值．12．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC于点D，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长．②连接PB，PC，求△PBC的面积最大时点P的坐标．（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y＝（x﹣1）2+n与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3），点D与C 关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点P是抛物线上的一点，当△ABP的面积是8，求出点P的坐标；（3）过直线AD下方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AD交于点N，已知M点的横坐标是m，试用含m的式子表示MN的长及△ADM的面积S，并求当MN的长最大时S的值．14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（0＜m＜3），连接CD、BD、BC、AC，当△BCD的面积等于△AOC面积的2倍时，求m的值；（3）若点N为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．16．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2BO，AC＝6，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过A、B两点．（1）求点A的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．18．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；（3）如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），直线y＝h（h为常数，且0＜h＜6）与BC交于点D，与y轴交于点E，与AC交于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AE，求h为何值时，△AEF的面积最大．（3）已知一定点M（﹣2，0），问：是否存在这样的直线y＝h，使△BDM是等腰三角形？若存在，请求出h的值和点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B 的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式．（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣3，0）（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC，求点P的坐标；（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．22．定义：对于抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），若b2＝ac，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y ＝x2﹣x+1是黄金抛物线（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）将黄金抛物线y＝x2﹣x+1沿对称轴向下平移3个单位①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②新抛物线如图所示，与x轴交于A、B（A在B的左侧），与y轴交于C，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．③当直线BC下方的抛物线上动点P运动到什么位置时，四边形OBPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形OBPC的最大面积．23．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点（如图1），顶点为M．（1）a、b的值；（2）设抛物线与y轴的交点为Q（如图1），直线y＝﹣2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线扫过的区域的面积；（3）设直线y＝﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D（如图2）．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）没有公共点时，试探求其顶点的横坐标的取值范围．24．如图，平面直角坐标系中，直线y＝a（x+1）（x﹣3）交x轴、y轴于A、B两点，交y轴于点C，且tan∠CAO ＝3．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，P点的横坐标为t，PQ的长为d，求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，若d＝，（t＞1），M为第一象限抛物线上一点，点A作y轴的平行线直线l，连接MC并延长交直线l于点E，连接BE、AM、BP，BE＝AM，点F在线段BP上，∠F AB＝∠EMA，求F点坐标．25．如图1，已知直线y＝a与抛物线y＝交于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）若AB＝4，求a的值；（2）若抛物线上存在点D（不与A、B重合），使CD＝AB，求a的取值范围；（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．26．抛物线y＝﹣x交x轴于点A，点B（6，n）为抛物线上一点．（1）求m与n之间的函数关系；（2）如图，点C（﹣n，0）在x轴上，且∠BAC＝2∠ACB，求m的值；（3）在（2）的条件下，P为直线BC上方抛物线上一点，过点P作PD∥AB交x轴于点D，DE⊥BC交OP于点E，，求点P坐标．27．如图1，直线y＝﹣x+2与x轴交于A，与y轴交于B，点C（1，m）是直线AB上一点，抛物线y＝ax2+bx+c 过O、A、C三点，P为直线AB上一动点．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，当P点在线段AB上时，如果在x轴上方的抛物线上总存在两个点D，使△OPD的面积与△OP A 的面积相等，求点P横坐标的取值范围；（3）如图2，Q为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，连接QB交抛物线于D，连接AD交y轴于E，连AQ 交y轴于F，求OE•OF的值．28．如图，抛物线y＝a（x﹣）（x+3）交x轴于点A、B，交y轴于点C，tan∠CAO＝．（1）求a值；（2）点P为第一象限内抛物线上一点，点P的横坐标为t，连接P A，PC，设△P AC的面积为S，求S与t之间的关系式；（3）在（2）的条件下，点Q在第一象限内的抛物线上（点Q在点P的上方），过点P作PE⊥AB，垂足为E，点D在线段AQ上，点F在线段AO上连接ED、DF，DE交AP于点G，若∠QDF+∠QDE＝180°，∠DF A+∠AED＝90°，PG＝PE，PG：EF＝3：2，求点P的坐标．29．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣2x+6分别交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D，对称轴交x轴于点H．（1）如图1，点P是第二象限内抛物线上的一个动点，取线段HC的中点E，将线段HE沿直线HC平移，线段HE平移后对应的线段是H′E′，连接PH′、E′B，当△PHC的面积最大时，求PH′+H′E′+E′B的最小值；（2）如图2，作射线BD，将∠ABD沿x轴平移至∠A′B′D′，使点B′与点O重合，然后将∠A′B′D′绕点B′顺时针旋转至边B′D′经过点D，再让∠A′B′D′的顶点B′沿y轴上下滑动，但在滑动过程中，始终保持边B′D′经过点D，且∠A′B′D′＝∠ABD，另一边B′A′所在直线与直线AD交于点F．是否存在点F，使得△DFB′为等腰三角形？若存在，求出OB′的长；若不存在，请说明理由．30．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C．（1）如图1，若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥x轴交直线BC于点D，作PE⊥BC 于点E，点M为直线BC上一动点，点N为x轴上一动点，连接PM，MN．当DE最长时，求PM+MN+AN 的最小值；（2）如图2，将△AOC绕点O逆时针旋转30°得△A'OC'，将△A'OC'沿直线A′O平移得到△A″O'C″，直线C″O'与x轴交于点F，连接F A″，将△F A″O′沿边A″O'翻折得△F'A″O'，连接CA″，CF′，当△CA″F′是等腰三角形时，求此时点A″的坐标．31．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）点P为线段BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，连接PC、PB，当△PBC面积最大时，在y 轴找点D，使得PD﹣OD的值最小时，求这个最小值．（2）如图2，抛物线对称轴与x轴交于点K，与线段BC交于点M，在对称轴上取一点R，使得KR＝12（点R 在第一象限），连接BR．已知点N为线段BR上一动点，连接MN，将△BMN沿MN翻折到△B'MN．当△B'MN 与△BMR重叠部分（如图中的△MNQ）为直角三角形时，直接写出此时点B'的坐标．32．已知抛物线的解析式y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（﹣1，0）抛物线与y轴正半轴交于点C，△ABC面积为6．（1）如图1，求此抛物线的解析式；（2）P为第一象限抛物线上一动点，过P作PG⊥AC，垂足为点G，设点P的横坐标为t，线段PG的长为d，求d与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）如图2，在（2）的条件下，过点B作CP的平行线交y轴上一点F，连接AF，在BF的延长线上取点E，连接PE，若PE＝AF，∠AFE+∠BEP＝180°，求点P的坐标．33．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣2，0），点B（1，0），交y轴于点C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上有一点N，过点N作y轴的平行线，交直线AC于点F，设点N的横坐标为n，线段NF的长为l，求l关于n的函数关系式；（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．34．抛物线C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，若A（2，0），连AC、BC．①直接写出C1的解析式及△ABC的面积；②将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△A′O′C′（其中A、O、C的对应点分别为A′、O′、C′）．若旋转后的△A′O′C′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上，求点A′的坐标；（2）如图2，平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点，P（，0）是x轴正半轴上一点，过P作直线交C2的图象于A、B，过A的直线y＝x+b交C2于点C，过P作x轴的垂线交BC于点M，设点M的纵坐标为n，试判断an是否为定值？若是，求这个定值，若不是，说明理由．35．如图1，抛物线y＝ax2+bx经过原点O和点A（12，0），在B在抛物线上，已知OB⊥BA，且∠A＝30°．（1）求此抛物线的解析式．（2）如图2，点P为OB延长线上一点，若连接AP交抛物线于点M，设点P的横坐标为t，点M的横坐标为m，试用含有t的代数式表示m，不要求写取值范围．（3）在（2）的条件下，过点O作OW⊥AP于W，并交线段AB于点G，过点W的直线交OP延长线于点N，交x轴于点K，若∠WKA＝2∠OAP，且NK＝11，求点M的横坐标及WG的长．36．如图1，已知抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A和B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求出直线BC的解析式．（2）M为线段BC上方抛物线上一动点，过M作x轴的垂线交BC于H，过M作MQ⊥BC于Q，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M的坐标；当△MHQ的周长最大时在对称轴上找一点R，使|AR﹣MR|最大，求出此时R 的坐标．（3）T为线段BC上一动点，将△OCT沿边OT翻折得到△OC′T，是否存在点T使△OC′T与△OBC的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT的长，若不存在，请说明理由．37．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC2＝OA•OB．（1）证明：tan∠BAC•tan∠ABC＝1；（2）若点C的坐标为（0，2），tan∠OCB＝2：①求该抛物线的表达式；②若点D是该抛物线上的一点，且位于直线BC上方，当四边形ABDC的面积最大时，求点D的坐标．38．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A和点B（﹣2，0），与交y轴于点C（0，4）．f （x0）表示当自变量为x0时的函数值，对于任意实数m，均有f（m﹣1）＝f（3﹣m）．（1）求该二次函数的解析式；（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CQE的面积最大时，求点Q 的坐标；（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）．是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，D为y轴上一点，点D关于直线BC的对称点为D′．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在x轴上方，且△OBD的面积等于△OBC的面积时，求点D的坐标；（3）当点D'刚好落在第四象限的抛物线上时，求出点D的坐标；（4）点P在抛物线上（不与点B、C重合），连接PD、PD′、DD′，是否存在点P，使△PDD′是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40．已知：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣8k交x轴于点B，交y轴于点C，经过B，C两点的抛物线y ＝ax2+bx+4交x轴负半轴于点A，AB＝10．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一点，作PH⊥BC于点H，设PH的长为d，点P的横坐标为t，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点P关于直线BC的对称点为M，连接OM，若OM∥BC，作PD⊥x轴于点D，连接CD，F在线段BC上（对称轴右侧），连接PF，∠CDP＝∠CBD+∠FPD，求点F的坐标．41．已知抛物线y＝ax2﹣3amx﹣4am2（a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），与y轴交于C点，顶点为P，OC＝2AO．（1）求a与m满足的关系式；（2）直线AD∥BC，与抛物线交于另一点D，△ADP的面积为，求a的值；（3）在（2）的条件下，过（1，﹣1）的直线与抛物线交于M、N两点，分别过M、N且与抛物线仅有一个公共点的两条直线交于点G，求OG长的最小值．42．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣b）（x﹣3）（b＜0）与x轴分别交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴与点C，OB＝OC，tan∠CAB＝3．（1）求a，b的值；（2）点P为抛物线y＝a（x﹣b）（x﹣3）在第一象限内图象上一点，PM⊥BC于点D，交抛物线于另一点M，设点P的横坐标为t，线段PD的长度为d，求d与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点E为线段OD的中点，过点E的直线HG交PM于点G，交x轴于点H，点G在y 轴的左侧，连接CG，若∠ODB＝∠GHO+45°，tan∠GCO＝时，求点H的坐标．43．如图1，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0）．（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）设点P是抛物线上的动点，若在此抛物线上有且只有三个P点使得△P AB的面积是定值S，求这三个点的坐标及定值S．（3）若点F是抛物线对称轴上的一点，点P是（2）中位于直线AB上方的点，在抛物线上是否存在一点Q，使得P、Q、B、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存请说明理由．44．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+（a≠0）过点C（0，4），顶点为M，与x轴交于A，B两点．如图所示以AB 为直径作圆，记作⊙D．（1）试判断点C与⊙D的位置关系；（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．45．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．46．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是线段AB上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的解析式；（2）在点P运动过程中，是否存在点Q，使得以QM为直径的圆与y轴相切？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，将△AOC绕平面内某点H顺时针旋转90°，得到△A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1、若△A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点H为“和谐点”请直接写出“和谐点”H的坐标．47．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）如图1，点P是直线AC上方的抛物线上一动点，过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E．当线段PE长取得最大值时，在直线AC上找一点Q，使得△PQD周长最小，求出这个最小周长；（2）把抛物线沿直线AC平移，抛物线上两点A、D平移后的对应点分别是A′、D′，在平面内是否存在一点M，使得以点A′、D′、M、B为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．48．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+6与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，点P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴，交直线BC于点H，过点P作PQ⊥BC于点Q，当PQ﹣PH最大时，点C关于x轴的对称点为点D，点M为直线BC上一动点，点N为y轴上一动点，连接PM、MN，求PM+MN+ND的最小值；（2）如图2，连接AC，将△OAC绕着点O顺时针旋转，记旋转过程中的△OAC为△OA'C'，点A的对应点为点A'，点C的对应点为点C'．当点A'刚好落在线段AC上时，将△OA'C'沿着直线BC平移，在平移过程中，直线OC'与抛物线对称轴交于点E，与x轴交于点F，设点R是平面内任意一点，是否存在点R，使得以B、E、F、R 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由．49．已知一次函数y＝kx+2的图象经过点，与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数y＝ax2+bx （a＞0）的图象经过点A和点P，顶点为M，对称轴与一次函数的图象相交于点N．（1）求一次函数的解析式以及A点，B点的坐标；（2）求顶点M的坐标；（3）在y轴上求一点Q，使得△PNM和△PBQ相似．50．如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C．（1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）；（2）若直线y＝﹣x+n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值；（3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题2.2函数动点图象问题
函数图象解题思路起点：动点从何处出发，何时出发，何速度运动，运动方向是什么，形成的是何图形？起点有没有意义？点运动的路程（边长）中间点：分阶段运动，中间的位置是什么？终点：何时何地结束运动，停止时是否有先后？特殊点：运动过程中特殊的位置。
类型一、实际问题【经典例题1】已知A ，B 两地相距120千米，甲、乙两人沿同一条公路从A 地出发到B 地，乙骑自行车，甲骑摩托车，图中DE ，OC 分别表示甲、乙离开A 地的路程s （单位：千米）与时间t （单位：小时）的函数关系的图象，设在这个过程中，甲、乙两人相距y （单位：千米），则y 关于t 的函数图象是（ ）A.B. C. D.【解析】 由题意和图象可得，乙到达B 地时甲距A 地120km ，开始时两人的距离为0； 甲的速度是：120÷(3−1)=60km/h ，乙的速度是：80÷3=380km/h ，即乙出发1小时后两人距离为380km ；设乙出发后被甲追上的时间为x h ，则60(x −1)=380x ，得x =1.8，即乙出发后被甲追上的时间为1.8h.所以符合题意的函数图象只有选项B.故选：B.练习1-1甲、乙两位同学进行长跑训练，甲和乙所跑的路程S （单位：米）与所用时间t （单位：秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线OBCD ，则下列说法正确的是（ ）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.跑步过程中，两人相遇一次C.起跑后160秒时，甲、乙两人相距最远D.乙在跑前300米时，速度最慢练习1-2小明在书上看到了一个实验：如图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动．小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象，如下图所示．小明选择的物体可能是（ ）A．B．C．D．练习1-3如图，在一个盛水的圆柱形容器的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速将小球从水下向水面上拉动时，圆柱形容器内水面的高度与时间的函数图象大致是（）类型二：几何动态①动点图形面积【经典例题2】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4cm，△B=30°，点P从点B 出发，以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A. B. C. D.【解析】作AH ⊥BC 于H ，∵AB=AC=4cm ，∴BH=CH ，∵∠B=30°，∴AH=12AB=2，BH=3AH=23，∴BC=2BH=43，∵点P 运动的速度为3m/s ，Q 点运动的速度为1cm/s ，∴点P 从B 点运动到C 需4s ，Q 点运动到C 需8s ，当0△x △4时，作QD ⊥BC 于D ，如图1，BQ=x ，BP=3x ，在Rt △BDQ 中，DQ=21BQ=21x ， ∴y=21⋅21x ⋅3x =43x 2，当4<x △8时，作QD ⊥BC 于D ，如图2，CQ=8−x ，BP=43在Rt △BDQ 中，DQ=21CQ=21(8−x )，∴y=21⋅21(8−x )⋅43=−3+83， 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤=)84(383)40(432x x x x y ，，，.故选D.练习2-1四边形ABCD 为直角梯形，CD△AB ，CB△AB 且CD=BC=21AB ，若直线l △AB ，直线l 截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y ，点A 到直线L 的距离为x ，则y 与x 关系的大致图象为（ ）A.B. C. D.练习2-2如图，四边形ABCD 是矩形，AB=8，BC=4，动点P 以每秒2个单位的速度从点A 沿线段AB 向B 点运动，同时动点Q 以每秒3个单位的速度从点B 出发沿B −C −D 的方向运动，当点Q 到达点D 时P 、Q 同时停止运动，若记△PQA 的面积为y ，运动时间为x ，则下列图象中能大致表示y 与x 之间函数关系图象的是( )练习2-3如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C．设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）A. B. C. D.练习2-4如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积S与x的大致图象是（）A. B. C. D.练习2-5如图，正方形ABCD中，AB=4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s 的速度分别沿CB﹣BA、CD﹣DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t （s），△AEF的面积为S（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（）练习2-6如图，在△ABCD中，AB=6，BC=10，AB△AC，点P从点B出发沿着B→A→C的路径运动，同时点Q从点A出发沿着A→C→D的路径以相同的速度运动，当点P到达点C时，点Q随之停止运动，设点P运动的路程为x，y=PQ2，下列图象中大致反映y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．练习2-7如图，在平面直角坐标系x Oy中，A(2，0)，B(0，2)，点M在线段AB 上，记MO+MP最小值的平方为s，当点P沿x轴正向从点O运动到点A时(设点P的横坐标为x)，s关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.练习2-8木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）A. B. C. D.练习2-9数学课上，老师提出一个问题：如图△，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等腰直角三角形ABC，使△BAC=90°，点C在第一象限，设点B的横坐标为x，设……为y，y与x之间的函数图象如图△所示，题中用“……”表示的缺失的条件应补为( )A. 点C的横坐标B. 点C的纵坐标C. △ABC的周长D. △ABC的面积练习2-10如图，在平面直角坐标系x Oy中，以点A(2，3)为顶点作一直角∠PAQ，使其两边分别与x轴，y轴的正半轴交于点P，Q.连接PQ，过点A作AH⊥PQ 于点H.设点P的横坐标为x，AH的长为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（）.②动点图形边长【经典例题3】如图△，在矩形ABCD中，AB<AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动.设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图△所示，则AD边的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 6【解析】当P 点在AB 上运动时，△AOP 面积逐渐增大，当P 点到达B 点时，△AOP 面积最大为3． ∴21AB •21=3，即AB •BC=12． 当P 点在BC 上运动时，△AOP 面积逐渐减小，当P 点到达C 点时，△AOP 面积为0，此时结合图象可知P 点运动路径长为7，∴AB+BC=7．则BC=7-AB ，代入AB •BC=12，得AB 2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB<AD ，即AB<BC ，所以AB=3，BC=4．故选：B ．练习3-1如图1，动点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿以1cm/s 的速度运动到点D ，设点P 的运动时间为x （s ），△PAB 的面积为y(cm 2)，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则a 的值为（ ） A.25 B.5 C. 2 D.52练习3-2如如图△，菱形ABCD中，∠B=60°，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B--运动到点D.图△是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时出发沿折线B C D间t变化关系图象，则a的值是（）A.2B.2.5C.3D.练习3-3如如图1，四边形ABCD中，AB△CD，△B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发沿折线B﹣A﹣D﹣C方向以1单位/秒的速度运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，则AD等于（）A．10B．C．8D．练习3-4如如图1，点P 从ABC △的顶点B 出发，沿B C A →→匀速运动到点A ，图2是点P 运动时，线段BP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中M 为曲线部分的最低点，则ABC △的面积是______．练习3-5如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C 时停止运动，过点E 做FE ⊥AE ，交CD 于F 点，设点E 运动路程为x ，FC=y ，如图2所表示的是y 与x 的函数关系的大致图象，当点E 在BC 上运动时，FC 的最大长度是52，则矩形ABCD 的面积是() A.523 B. 5 C. 6 D. 425【经典例题4——圆】如图，在平面直角坐标系x Oy中，以(3，0)为圆心作△P，△P与x轴交于A. B，与y轴交于点C(0，2)，Q为△P上不同于A. B的任意一点，连接QA、QB，过P点分别作PE△QA于E，PF△QB于F. 设点Q的横坐标为x，PE2+PF2=y.当Q 点在△P上顺时针从点A运动到点B的过程中，下列图象中能表示y与x的函数关系的部分图象是( )【解析】△P(3，0)，C(0，2)，△PC2=13.△AC是直径，△△Q=90°.又PE△QA于E，PF△QB于F，△四边形PEQF是矩形。
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用(二)
2021年九年级数学中考复习——函数专题：二次函数实际应用（二）1．为确保贫困人口到2020年底如期脱贫，习总书记提出扶贫开发“贵在精准，重在精准，成败之举在于精准”，近年来扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农因地制宜种植一种有机生态水果并拓宽了市场，有机生态水果产量呈逐年上升，去年这种水果的产量是亩产约1000千克．（1）预计明年这种水果产量要达到亩产1440千克，求这种水果亩产量去年到明年平均每年的增长率为多少？（2）某水果店从果农处直接以每千克30元批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为40元，则每天可售出200千克，若每千克的平均销售价每降低1元，每天可多卖出50千克，设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时．该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？2．一种工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件．（1）当每件售价130元时，获得的利润为多少元？（2）每天获得利润为W元，求每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式？要使每天获得的利润最大，每件需降价多少元？最大利润为多少元？3．某商品的成本为20元，市场调查发现：当售价为180元时，每周可售出50件，每涨价10元每周少售出1件．现要求每周至少售出35件，且售价不低于180元．（1）设售价为x元（x为10的整数倍），每周利润为y元，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（2）当售价为多少时，（销售这种商品）每周的利润最大？最大利润是多少？（3）若希望每周利润不得低于10400元，则售价x的范围为．4．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．求OD的长．5．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？6．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？7．某品牌钢笔进价为每支20元，经销商小周在销售中发现，每月销售量y（支）与销售单价x（元）之间满足一次函数y＝﹣10x+500的关系，在销售中销售单价不低于进价，而每支钢笔的利润不高于进价的60%，设小周每月获得利润为w（元）．（1）当销售单价定为每支多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（2）如果小周想要每月获得的利润不低于2000元，那么小周每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）．8．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？9．李师傅承包了一片池塘养鱼，他用总长为120m的围网围成如图所示的6个矩形区域，其中除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等．若AE＝xm，矩形ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？10．陆臻同学善于总结改进学习方法，他发现每解题1分钟学习收益量为2；对解题过程进行回顾反思效果会更好，用于回顾反思的时间x（单位：分钟）与学习收益量y的关系如图所示（其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点）．某一天他共有30分钟进行学习，且用于回顾反思的时间不能超过用于解题的时间．（1）求陆臻回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；（2）陆臻如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）参考答案1．解：（1）设这种水果去年到明年每亩产量平均每年的增长率为x，由题意，得：1000（1+x）2＝1440，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：平均每年的增长率为20%．（2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：w＝（m﹣30）[200+50×（40﹣m）]＝﹣50（m﹣37）2+2450，∵﹣50＜0，∴当m＝37时，w取得最大值为2450．答：当每千克平均销售价为37元时，一天的利润最大，最大利润是2450元．2．解：（1）当每件售价130元时，135﹣130＝5（元），即降价5元，由题意得：（130﹣100）（100+4×5）＝30×（100+20）＝30×120＝3600（元），∴当每件售价130元时，获得的利润为3600元．（2）由题意得：W＝（135﹣x﹣100）（100+4x）＝﹣4x2+40x+3500＝﹣4（x﹣5）2+3600，∴当x＝5时，每天获得的利润最大，最大利润为3600元．∴每天获得的利润W与降价x元之间的函数关系式为：W＝﹣4x2+40x+3500，要使每天获得的利润最大，每件需降价5元，最大利润为3600元．3．解：（1）由题意得：y＝（x﹣20）（50﹣）＝﹣x2+70x﹣1360，∵要求每周至少售出35件，∴50﹣≥35，解得：x≤330，又∵售价不低于180元，∴180≤x≤330．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+70x﹣1360（180≤x≤330，且x为10的整数倍）；（2）∵y＝﹣x2+70x﹣1360＝﹣（x﹣350）2+10890，∵二次项系数为负，当x≤350时，y随x的增大而增大，又∵180≤x≤330，∴当x＝330时，y＝10850，最大值∴当售价为330元时，（销售这种商品）每周的利润最大，最大利润是10850元；（3）∵每周利润不得低于10400元，∴﹣（x﹣350）2+10890≥10400，∴（x﹣350）2≤4900，解得：280≤x≤420，又∵180≤x≤330，∴280≤x≤330．故答案为：280≤x≤330，且x为10的整数倍．4．解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），把x＝0，y＝3代入上式得，3＝a（0﹣0.4）2+3.32，解得a＝﹣2，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．（2）把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，化简得（x﹣0.4）2＝0.36，解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，∴OD＝1m．5．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）•y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000．∵每件的利润不高于成本价的60%．∴20≤x≤20（1+60%），∴20≤x≤32，∴w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）．（2）∵w＝﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32），∴对称轴为直线x＝﹣＝35，又∵a＝﹣10＜0，∴抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，∴当x＝32时，w有最大值，最大值为﹣10×322+700×32﹣10000＝2160（元）．∴当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．6．解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，将点B（0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a＝﹣，故该抛物线解析式为y＝﹣（x﹣6）2+10；（2）根据题意，当x＝6+4＝10时，y＝﹣×16+10＝＞6，∴这辆货车能安全通过．7．解：（1）由题意得：w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵a＝﹣10＜0，20≤x≤20（1+60%），∴当20≤x≤32时，w随x的增大而增大，＝﹣10（32﹣35）2+2250＝2160．∴当x＝32时，w最大答：当销售单价定为每支32元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润是2160元．（2）设小周每月的成本需要p（元），根据题意得：p＝20（﹣10x+500）＝﹣200x+10000，∵w＝﹣10x2+700x﹣10000≥2000，∴30≤x≤40，又∵20≤x≤32，﹣200＜0，∴当30≤x≤32时，w≥2000，p随x的增大而减小，＝﹣200×32+10000＝3600．∴当x＝32时，p的值最小，p最小值答：想要每月获得的利润不低于2000元，小周每月的成本最少需要3600元．8．解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∴1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵a＜0∴函数开口向下，有最大值，∴当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．9．解：（1）∵除矩形AEFJ外，其它5个矩形的面积都相等，且AE＝xm，∴IC＝3ID＝3xm，3AE+3AD+5IC＝120，∴3x+3AD+5×3x＝120，∴AD＝（40﹣6x）m，∴y＝4x（40﹣6x）＝﹣24x2+160x，∵AD＞0，40﹣6x＞0，∴0＜x＜，∴y＝﹣24x2+160x（0＜x＜）；（2）y＝﹣24x2+160x＝﹣24+，∵﹣24＜0，∴x＝时，y取得最大值，最大值是．10．解：（1）当0≤x≤5时，设y＝a（x﹣5）2+25，把（0，0）代入，得：0＝25a+25，解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣5）2+25＝﹣x2+10x；当5＜x≤15时，y＝25．综上，y＝；（2）设陆臻用于回顾反思的时间为x（0≤x≤15）分钟，学习收益总量为Z，则他用于解题的时间为（30﹣x）分钟．当0≤x≤5时，Z＝﹣x2+10x+2（30﹣x）＝﹣x2+8x+60＝﹣（x﹣4）2+76．＝76．∴当x＝4时，Z最大当5＜x≤15时，Z＝25+2（30﹣x）＝﹣2x+85．∵Z随x的增大而减小，∴Z＜﹣2×5+85＝75．综上所述，当x＝4时，Z＝76，此时30﹣x＝26．最大∴陆臻用于回顾反思的时间为4分钟，用于解题的时间为26分钟时，才能使这30分钟的学习收益总量最大．。
2021年中考数学专题二次函数综合运用
二次函数的综合运用1、(2013·重庆B卷25题)如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A（3，3）．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1=23S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．1、分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=-1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（-3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点（1，0）；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=-1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x-3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x-3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标（4，21）或（-4，5）；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x-3，再设Q点坐标为（x，-x-3），则D点坐标为（x，x2+2x-3），然后用含x的代数式表示QD=23924x⎛⎫-++⎪⎝⎭．2、（2011•丹东）己知：二次函数26y ax bx=++（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2-4x-12=0的两个根．（1）请直接写出点A、点B的坐标．（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标．（3）如图1，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段0B上一个动点（点Q不与点0、B重合）．过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．2、分析：（1）A（-2，0），B（6，0）；（2）()2211262822y x x x=-++=--+，顶点坐标（2，8）；（3）作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接AC′y=x+2，交抛物线对称轴于P点（2,4）；（4）由DQ∥AC得△BDQ∽△BCA，利用相似比表示△BDQ的面积，利用三角形面积公式表示△ACQ的面积，根据S△CDQ=S△ABC-S△BDQ-S△ACQ=()()()22 332463626 88m m m---+=--+．3、（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（-1，-1-m）．（1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）；（2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．3、（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，y=-x2+2mx+m；（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m-x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标43,55m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，运用待定系数法得到直线OA′的解析式34y x=-，确定E点坐标（4m，-3m），根据抛物线l与线段CE相交，（4m，-8m2+m）列出关于m的不等式组，求出解集即可1182m≤≤；（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解p13,24⎛⎫⎪⎝⎭．4、（2013•舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线()221144y x m m m=--+的顶点为A，与y 轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE ∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标；（2）求DE的长？（3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？4、（1）点B的坐标为（0，2）；（2）延长EA，交y轴于点F，证出△AFC≌△AED，进而证出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性质，求出DE=4；（3）①根据点A和点B的坐标，得到x=2m，2144y m m=-++，将2xm=代入2144y m m=-++，即可求出二次函数的表达式2114162y x x=-++；②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，然后分（如图1）和（图2）两种情况解答．m的值为8或-8．5、（2013•张家界）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5、（1）y=-x+1；（2）21212y x x=-++；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值2136、（2013•增城市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点B的坐标为（3，0），直线y=-x+3恰好经过B，C两点（1）写出点C的坐标；（2）求出抛物线y=x2+bx+c的解析式，并写出抛物线的对称轴和点A的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，抛物线顶点为D且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．6、（1）由直线y=-x+3可求出C点坐标C（0，3）；（2）由B，C两点坐标便可求出抛物线方程y=x2-4x+3，从而求出抛物线的对称轴x=2和A（1，0）（3）作出辅助线OE，由三角形的两个角相等，证明△AEC∽△AFP，根据两边成比例，便可求出PF=2，从而求出P点坐标点P的坐标为（2，2）或（2，-2）．7、（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．7、（1）y=x2-4x+3；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式y=x-1，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D（2,1）；（3）根据直线AC的解析式y=x+m，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线y=x134-，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解面积278,F坐标53,24⎛⎫-⎪⎝⎭．8、（2013•安顺）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．8、分析：（1）由于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点均在坐标轴上，故设一般式解答和设交点式（两点式）解答均可．y=-x2+2x+3（2）分以CD为底和以CD为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．()3555;2,322⎛+⎝⎭（3）根据抛物线上点的坐标特点，利用勾股定理求出相关边长，再利用勾股定理的逆定理判断出直角梯形中的直角，便可解答（2，3）．9、（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++122c c b解得： b =－21c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y --------3分（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得，OCDEAO AD = --------------4分 ∴122DEm =- ∴DE =22m ------------------------------------5分∴△CDE 的面积=21×22m-×m=242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分备用图题图26（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k , －k －1)过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1)过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2 （2－k )2+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中(2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2 解得：k =25∴P 4(25,－27) ------------------------12分 10、（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1） 设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE ∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2）， ∴∠BOE= ∠OBD= 45 ∴OE ∥BD∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中， OD=5122222=+=+DFOF ，BE=5122222=+=+FB EF∴OD= BE∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分(3) 存在， ………………8分由题意得：29332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ）， 由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形∴1±=y当y=1时，即1342=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分 当y=-1时，即1342-=+-x x ， ∴x=2， ∴Q 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1） 使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形31． ………………12分11、（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．EFQ 1 Q 3Q 2MCDP解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，09a a ∴=+= ························· 1分 ∴二次函数的解析式为：2y x =++·············· 3分 （2）D为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N，则DN =3660AN AD DAO =∴==∴∠=，° ·············· 4分OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴===·························· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 （3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =···················· 8分116(62)222BCPQ S t t ∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··························· 9分 当32t =时，BCPQ S·················· 10分∴此时3339332444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，2PQ ∴===·············· 11分 12．（本小题满分13分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标． 解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-．将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． ··············· （3分）（2）存在． ······························ （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-，当14m <<时，4AM m =-，215222PM m m =-+-．又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时，APM ACO △∽△，即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭．解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ················· （6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． ······················ （7分）类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ·················· （8分） 当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． ········ （9分） （3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ． 由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-． ············· （10分） E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． ············ （11分）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大． (21)D ∴，．13.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD ≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ， 此时点Q 的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．14、(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.15、如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入21y ax bx =++得：1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：1a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分（2）令0x =，得1y = ∴()0,1C ……………………………………………4分∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >，则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上 ∴ ()211k k --=--+解得12k =，21k =-（不合题意，舍去） ()2,3D -- ∴DE=3(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可)∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分∵∠ABC=∠ABD=45 ∴∠DBC=90∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有2 在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=32设M 点的横坐标为m ，则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD=∵21,1AN m MN m =--=-即 2232=解得：1m =-（舍去） 22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC=2322=解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）…………10分② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC= ∵21,1AN m MN m =+=-∴ 2322=解得11m =-（舍去） 243m =∴47,39M ⎛⎫-⎪⎝⎭(ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD= 即 2232=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴()4,15M -∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭…………………………12分16、在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。
2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题
2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题一、二次函数1．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫--⎪⎝⎭． 【解析】【分析】 (1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+- 解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-；()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0，则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+， ∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V 2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274，此时点P的坐标是153,4P⎛⎫--⎪⎝⎭．【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF最大进行理解.2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求点A、B、C的坐标；(2)点M(m，0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N，可得矩形PQNM．如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；(3)当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？并求出此时的△AEM的面积；(4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC交于点G(点G在点F的上方)．若FG＝22DQ，求点F的坐标．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【详解】(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y＝kx+b，∴303k bb-+=⎧⎨=⎩解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S＝12AM×EM＝12．(4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x＝﹣l，∴N应与原点重合，Q点与C点重合，∴DQ＝DC，把x＝﹣1代入y＝﹣x2﹣2x+3，解得y＝4，∴D(﹣1，4)，∴DQ＝DC∵FG＝，∴FG＝4．设F(n，﹣n2﹣2n+3)，则G(n，n+3)，∵点G在点F的上方且FG＝4，∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)＝4．解得n＝﹣4或n＝1，∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长．3．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x元,每星期的销售量为y件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【解析】【分析】（1）根据售量与售价x （元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x ）×10+100＝3×100，解得：x ＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w ，根据题意得，w ＝（x ﹣30）[（60﹣x ）×10+100]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．4．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵，∴QF=1．①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-．考点：二次函数综合题；分类讨论．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC 的解析式为y=3x+3，∴直线PC 的解析式可设为y=﹣13x+b ， 把C （0，3）代入得b=3，∴直线PC 的解析式为y=﹣13x+3， 解方程组223133y x x y x ⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得03x y =⎧⎨=⎩或73209x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P 点坐标为（73，209）； 过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=﹣x+b ， 把A （﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13， ∴直线PC 的解析式为y=﹣13x ﹣13， 解方程组2231133y x x y x ⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得10x y =-⎧⎨=⎩或103139x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P 点坐标为（103，﹣139）. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）. 点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．6．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若25MN =C 的值；（Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -…；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解;(3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解.【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点， ∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
重庆中考数学第25题二次函数综合专题训练2
2021级重庆中考数学第25题二次函数综合专题训练21.如图，直线y=−x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，对称轴为x=1的抛物线经过B、C 两点，与x轴的另一个交点为A，顶点为D、点P是该抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x 轴于点E，分别交线段BD、BC于点F、G，设点P的横坐标为t(1<t<3).(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；(2)求证：①FG=GE；②∠BDC=∠CAO；(3)当△FCG为等腰三角形时，求t的值.2.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+1经过A（﹣1，0），B（1，1）两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝k1x+b1（k1，b1为常数，且k1≠0），直线l2：y＝k2x+b2（k2，b2为常数，且k2≠0），若l1⊥l2，则k1•k2＝﹣1.解决问题：①若直线y＝2x﹣1与直线y＝mx+2互相垂直，则m的值是____；②抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A，B重合），求点M到直线AB的距离的最大值.3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点C使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积.4.如图，四边形ABCO为矩形，点A在x轴上，点C在y轴上，且点B的坐标为（2,1），将此矩形绕点O逆时针旋转90°得矩形DEFO，抛物线y=-x2+bx+c过B、E两点.(1)求此抛物线的函数解析式.(2)将矩形DEFO向右平移，当点E的对应点E’在抛物线上时，求线段DF扫过的面积.(3)若将矩形ABCO向上平移d个单位长度后，能使此抛物线的顶点在此矩形的边上，求d 的值.5.抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式；(2)求∠ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标.6.如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+34x+c经过B、C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？(3)3.在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.7.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点C（0，3）.(1)求抛物线的表达式；(2)P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设E是抛物线上的一点，在x轴上是否存在点F，使得A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.8.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A（﹣4，0），B（﹣1，3），C（﹣3，3）.(1)求此二次函数的解析式(2)设此二次函数的对称轴为直线l，该图象上的点P（m，n）在第三象限，其关于直线1 的对称点为M，点M 关于y 轴的对称点为N，若四边形OAPN 的面积为20，求m，n 的值；(3)在对称轴直线l 上是否存在一点D，使△ADC 的周长最短，如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，请说明理由.9.已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：(3)如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，求△PDQ面积的最小值.10.如图，在平面直角坐标系xoy中，把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=(x−ℎ)2+k，所得抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为M；(1)写出h、k的值以及点A、B的坐标；(2)判断三角形BCM的形状，并计算其面积；(3)点P是抛物线上一动点，在y轴上找点Q.使点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形，直接写出对应的点P的坐标.(不用写过程)(4)点P是抛物线上一动点，连接AP，以AP为一边作正方形APFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点F或G恰好落在y轴上时，请直接写出对应的点P的坐标.(不写过程)11.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，且当x ＝0和x ＝2时，y 的值相等，直线y ＝3x －7与这条抛物线交于两点，其中一点横坐标为4，另一点是这条抛物线的顶点M.(1)求顶点M 的坐标.(2)求这条抛物线对应的函数解析式.(3)P 为线段BM 上一点(P 不与点B ，M 重合)，作PQ ⊥x 轴于点Q ，连接PC ，设OQ ＝t ，四边形PQAC 的面积为S ，求S 与t 的函数解析式，并直接写出t 的取值范围.(4)在线段BM 上是否存在点N ，使△NMC 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.12.已知顶点为A 的抛物线y =a(x −12)2−2 经经经B(−32经2)经经C(52经2).(1)经经经经经经经经经(2)经经1经经经AB经x经经经经经M经经y经经经经经E经经经经经y经经经经经F经经经经AB经经经经P经经经OPM经经MAF经经经POE经经经经(3)经经2经经Q经经经A经B经C经经经经经经Q经QN经y经经经经E经EN经x经经经经QN经经经EN经经经经N 经经经QE经经经QEN经QE经经经经经QEN′经经经N′经经x经经经经经经经经Q经经经经.13.经经经经经y =−x −2经经经经经经经经经A经经B经经经A经y经经经经经经经经经C经经经经(3,1).(1)经经经经经经经经经(2)经P经经经AB经经经经经经经PM//x经经经经经BC经经经经经经经经经M经N经经经P经PE⊥x经经经E经经PE经PM经经经经经经经经y经经经经经Q经经|PQ−CQ|经经经经经经|PQ−CQ|经经经经经经经Q经经经经(3)经经经经经经经经D经经△ABD经经经经经经经经D经经经经.x+3经y经经经经C经14. .经经经经经经y经经x2+bx+c经x经经经A经经1经0经经B经5经0经经经经经经y经经34经x经经经经D.经P经经经CD经经经经经经经经经经经经经P经PF经x经经经F经经经经CD经经E经经经P经经经经经m.(1)经经经经经经经经经(2)经PE经经经经经m经经.(3)Q经经经经经经经经经经经经经2.经经经经经经PQCD经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经经Q经经经经经经经经经经经经经经.15.如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)已知点F（0，1），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边2形？16. 如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）.(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′.在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.。
2021-2022学年重庆中考数学25题专题复习：二次函数综合题八 面积最值类
2021-2022学年重庆中考数学25题专题复习二次函数综合题8面积最值类1.如图，直线y＝1x＋4分别交x、y轴于B、C两点，经过B、C两点的抛物线交x轴于点2A，且A点坐标为(4，0).2.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)如图1，若点P是BC上方抛物线上一点，求四边形ABPC面积S的最大值，并求此时点P的坐标；(3)如图2，抛物线对称轴交直线BC于点E，点Q是抛物线上任意一点，过点Q作QH//y轴交直线BC于点H，当以D、E、H、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点Q的坐标.3.如图①，已知抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．4.（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N ，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连结BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.5.已知抛物线y＝a x2＋3x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点2A右侧），与y轴交于点C.6.（1）求抛物线的解折式和A，B两点的坐标；（2）如上图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由.x2+bx+c与x轴交于A(-1，0)、B两点（A在B左），y轴交于7.已知：如图，抛物线y=34点C（0，-3）.8.9.（1）求抛物线的解析式；10.（2）若点D是线段BC下方抛物线上的动点，求四边形ABDC面积的最大值；（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以B、C、E、P为顶点的平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x=1交x轴于点B．连接EC，AC．点P，Q为动点，设运动时间为t秒．12.（1）填空：点A坐标为________；抛物线的解析式为_____．（2）在图1中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ与△OCE相似？（3）在图2中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ．当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？13.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3√3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点与y轴交于点C，D为抛物线顶点．14.（1）求抛物线的解析式；15.（2）如图1，过点C的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，求点E的坐标．16.（3）如图2，直线y=kx-2k+√3交抛物线于P，Q两点，求△DPQ面积的最小值．17.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段BC上的一动点(不与B、C重合)，PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；(3)在(2)的条件下，当△BCM的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
2021年重庆中考25题：二次函数专题练习(12月月考考试试题集)
2021年重庆年中考25题二次函数专题练习（12月月考考试试题集）1（八中2021级初三上定时训练12）如图，二次函数21(0)2y x bx c a =++≠的图象与x 轴相交于点A 、B （A 在B 左侧），点A 的坐标为（-2,0），与y 轴正半轴交于点C ，点D 在抛物线上，CD//x 轴，且CD=6， （1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P 为线段CD 上方抛物线上一点，连接OP 交CD 于点E ，点Q 是线段AB 上一点，求四边形PEQD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图②，抛物线上一点F 的横坐标为2，直线CF 交x 轴于点G ，点M 为y 轴右侧上一点，过点M 作直线CF 的垂线，垂足为Q ，若∠MCN=∠BGC ，直接写出点N 的坐标.2（八中2021级初三定时训练11）如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，对称轴为直线x=2，已知经过点B 、C 两点的直线解析式为5y x =-+ （1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，点E 为直线BC 上方抛物线上一点，过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于点M ，作EG ⊥BC 于G ，求△EGM 周长的最大值，以及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接BD ，将抛物线向右平移，使得新抛物线过原点，点P 为直线BD 上一点，在新抛物线上是否存在点Q ，使得以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q 坐标，若不存在，请说明理由.3（八中2020级初三第三次月考）如图在平面直角坐标系中，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠交x 轴于A （-4,0），B （1,0），交y 轴于C （0,3） （1）求此抛物线解析式；（2）如图1，点P 为直线AC 上方抛物线上一点，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，再过点Q 作QR//AC 交y 轴于点R ，求PQ+QR 的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图2，点E 在抛物线上，横坐标为-3，连接AE ，将线段AE 沿直线AC 平移，得到线段''A E ，连接'CE ，当△''A E C 为等腰三角形时，只写写出点'A 的坐标。
2021年重庆中考数学二次函数25题专题训练解析版
2021重庆中考数学二次函数25题专题训练1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF＝45°，请直接写出相应的点P的坐标．2.如图1，二次函数y＝﹣x2+x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3. 二次函数2y -与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，连接BD ．（1）如图1，点P 为抛物线上的一点，且在线段BD 的下方（包括线段的端点），连接PA ，PC ，AC ．求PAC ∆的最大面积；（2）如图2，直线1l 过点B 、D ．过点A 作直线21//l l 交y 轴于点E ，连接点A 、E ，得到OAE ∆，将OAE ∆绕着原点O 顺时针旋转(0180)αα︒<<得到△11OA E ，旋转过程中直线1OE 与直线1l 交于点M ，直线11A E 与直线1l 交于点N ．当△1E MN 为等腰三角形时，直接写出点1E 的坐标并写出相应的α值．4.已知二次函数3332332--=x x y 与x 轴交于B A 、两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线交于点D ，连接BD AD 、．（1）如图1，求ABD ∆的周长；（2）如图2，点P 是线段CB 下方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线交BC 于点M ，交BD 于点N ，BC PH ⊥，点Q 是以P 为圆心PN 为半径的圆周上的动点，点R 是直线AD 上的动点，当PHM ∆周长最大时，求RQ BR +的最小值；（3）将抛物关于y 轴对称，对称后的抛物线与x 轴分别交于11B A 、点（点1A 在点1B 的左侧），连接D A 1，将D B A 11∆绕点1A 顺时针旋转α（0180α<≤），记旋转后的图形为121D B A ∆，旋转过程中直线12D B 分别与直线D A 1和x 轴交于点E 、点F ，当EF A 1∆是等腰三角形时，请直接写出F B 2的长度.5.已知抛物线y＝﹣x2+x+9与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）如图1，点P为线段BC上方抛物线上的任意一点，当四边形PCAB面积最大时，连接OP并延长至点Q，使PQ＝OP，在对称轴上有一动点E，将△ACE沿边CE翻折得到△A′CE，取BA′的中点N，求BQ+QN的最大值；（2）如图2，将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置，点A，C的对应点分别为A1，C1，且点A1落在线段AC上，再将△A1OC1沿y轴平移得△A2O1C2，其中直线O1C2与x轴交于点K，点T是抛物线对称轴上的动点，连接KT，O1T，△O1KT能否成为以O1K为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点T的坐标；若不能，请说明理由．（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物1.解：（1）在直线解析式y＝x+2中，令x＝0，得y＝2，∴C（0，2）．∵点C（0，2）、D（3，）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，解得b＝，c＝2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2．（2）∵PF∥OC，且以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形，∴PF＝OC＝2，∴将直线y＝x+2沿y轴向上、下平移2个单位之后得到的直线，与抛物线y轴右侧的交点，即为所求之交点．由答图1可以直观地看出，这样的交点有3个．将直线y＝x+2沿y轴向上平移2个单位，得到直线y＝x+4，联立，解得x1＝1，x2＝2，∴m1＝1，m2＝2；将直线y＝x+2沿y轴向下平移2个单位，得到直线y＝x，联立，解得x3＝，x4＝（不合题意，舍去），∴m3＝．∴当m为值为1，2或时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形．（3）存在．理由：设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+2），F（m，m+2）．如答图2所示，过点C作CM⊥PE于点M，则CM＝m，EM＝2，∴FM＝y F﹣EM＝m，∴tan∠CFM＝2．在Rt△CFM中，由勾股定理得：CF＝m．过点P作PN⊥CD于点N，则PN＝FN•tan∠PFN＝FN•tan∠CFM＝2FN．∵∠PCF＝45°，∴PN＝CN，而PN＝2FN，∴FN＝CF＝m，PN＝2FN＝m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF＝＝m．∵PF＝y P﹣y F＝（﹣m2+m+2）﹣（m+2）＝﹣m2+3m，∴﹣m2+3m＝m，整理得：m2﹣m＝0，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，）；同理求得，另一点为P（，）．∴符合条件的点P的坐标为（，）或（，）．2.解：（1）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），∴OC＝3．令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝6，∴A（﹣4，0），B（6，0），∴OA＝4，OB＝6．∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°，∵CO⊥AD，∴OC2＝OA•OD，∴OD＝，∴D（，0）．（2）∵y＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴E（1，）．如图2，连接OE、BE，作HG⊥x轴于点G，交BE于点P．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y＝﹣x+．设H（m，﹣m2+m+3），则P（m，﹣m+）．∴HG＝﹣m2+m+3，HP＝y H﹣y P＝﹣m2+m﹣．∴S△BHE＝（x B﹣x E）•HP＝（﹣m2+m﹣）＝﹣m2+m﹣．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴＝＝，∴FG＝HG＝﹣m2+m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+m2﹣m﹣4＝m2+m，∴S△AFC＝AF•OC＝（m2+m）＝m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB＝×4×3+×3×1+6×＝，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC＝+（﹣m2+m﹣）﹣（m2+m）＝﹣m2+m+15＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S五边形FCEHB取得最大值．此时，H的横坐标为．（3）∵B（6，0），C（0，3），D（，0），∴CD＝BD＝，BC＝3，∴∠DCB＝∠DBC．①如图3﹣1，△CMN≌△DCB，MN交y轴于K，则CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∠CMN＝∠CNM＝∠DBC＝∠DCB，∴MN∥AB，∴MN⊥y轴，∴∠CKN＝∠COB＝90°，MK＝NK＝MN＝，∴△CKN∼△COB，∴＝＝，∴CK＝，∴OK＝OC+CK＝，∴N（，）．②如图3﹣2，△MCN≌△DBC，则CN＝CB＝3，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB＝，MN＝BC＝3，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则＝＝＝，∴CR＝，RM＝，∴OR＝3﹣，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD ∼△MQN ， ∴＝＝，∴MQ ＝MN ＝，NQ ＝MN ＝， ∴NQ ﹣RM ＝，OR +MQ ＝，∴N （﹣，）．综上所述，满足要标的N 点坐标有：（，）、（3，3）、（﹣，）．3. （1）222333333(23)(1)232222y x x x x x =--=--=--， ∴顶点D 的坐标为(1,23)-，令0y =，则23(23)02x x --=， 1x ∴=-或3x =，(1,0)A ∴-，(3,0)B ，令0x =，则332y =-， 33(0,)2C ∴-， AC ∴是定值，要ACP ∆的面积最大，则点P 到AC 的距离最大，即当点P 在点B 位置时，点P 到AC 的距离最大， ()33113133222ABC ACP S S AB OC ∆∆∴==⋅=+⋅=最大； （2）由（1）知，(3,0)B ，(1,23)D -，∴直线1l 的解析式为333y x =-，12//l l ，且1l 过点A ，∴直线2l 的解析式为33y x =+，(0,3)E ∴， 3OE ∴=，在Rt AOE ∆中，1OA =， 3tan 3OA AEO OE ∴∠==，30AEO ∴∠=︒， 12//l l ，60DBO ∴∠=︒，由旋转知，1OE OE ==，1130A E O AEO ∠=∠=︒， 130ME N ∴∠=︒如图，△1E MN 为等腰三角形，∴①当1111E N M N =时，1111130E M N A E O ∴∠=∠=︒，603060BOM α∴=∠=︒-︒=︒，过点1E 作1E F x ⊥轴于F ，1112E F OE ∴==，132OF F ∴=，13(2E ∴，②当2222E M E N =时，2222221(18030)752E N M E M N ∠=∠=︒-︒=︒，2756015BOM ∴∠=︒-︒=︒，105α∴=︒，过点2E 作2E H x ⊥轴，在OH 上取一点Q ，使2OQ E Q =， 230E QH ∴∠=︒，设2E H a =，则22E Q a =，HQ =，22OQ E Q a ∴==，(2OH a =+，在2Rt OHE ∆中，根据勾股定理得，22[(2]3a a ++=，a ∴（舍去负值），2E ∴．③当3333E M M N =时，33333330E N M M E N ∠=∠=， 333120E M N ∴∠=︒，360BOM ∴∠=︒，150α∴=︒， 360OBM ∠=︒，33330E N M ∠=︒， 390N GB ∴∠=︒，32OG ∴=，332E G =， 33(2E ∴，3)2-． 4. 解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∴334,1D当0=y 时，03332332=--x x 1,321-==∴x x ())0,1(,0,3-∴A B 4=∴AB2213AD BD ∴==42143ABD C AB AD BD ∆=++=+（2）PMN ∆ ∽BOC ∆PM HM PH PM C PMH 233+=++=∴∆ ∴当PM 最大时，PHM C ∆最大设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---333233,),333,(2m m m P m m M ∴m m PM 3332+-= 23=∴m 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,23,435,23N P43=∴PN B 点关于直线AD 的对称点)7316,711(1--BRQ BR +∴最小=432899191-=-PN P B（3）283843433B F =±或或5. 解：（1）针对于抛物线y ＝﹣x 2+x +9，令x ＝0，则y ＝9， ∴C （0，9）， 令y ＝0， ∴0＝﹣x 2+x +9，∴x ＝﹣3，或x ＝9，∴A （﹣3，0），B （9，0）， ∵S 四边形ABPC ＝S △ABC +S △BPC ＝×（9+3）×9+S △BPC ＝45+S △BPC ，要四边形ABPC 的面积最大，只要△BPC 的面积最大， ∵B （9，0），C （0，9）∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +9，如图1，过点P 作PD '∥y 轴交BC 于D '， 设点P （m ，﹣ m 2+m +9）（0＜m ＜9），∴D （m ，﹣ m +9）， ∴PD '＝﹣m 2+m +9﹣（﹣m +9）＝﹣m 2+m ＝﹣（m ﹣）2+，∴S △BPC ＝ [﹣（m ﹣）2+]×9＝﹣（m ﹣）2+∴当m＝时，△BPC的面积最大，即：四边形ABPC的面积最大，∴P（，），∵点Q在OP的延长线上，且PQ＝OP，∴Q（9，），∵B（9，0）∴BQ⊥x轴，BQ＝，如图2，延长BQ至F，使QF＝BQ，连接A'F，∴BF＝45，∴F（9，45），∵点N是A'B的中点，∴QN是△A'BF的中位线，∴A'F＝2QN，∵BQ+QN＝9+QN，最大，∴QN最大，即：A'F最大，由折叠知，点A'在以点C为圆心，AC＝6为半径的圆上，∴FA'过点C时，A'F最大，∵C（0，9），F（9，45），∴直线CF的解析式为y＝x+9，令y＝0，∴x＝﹣＞3，∴点A'在x轴下方，如图3，过点C作CD⊥BF于D，在Rt△CDF中，CF＝＝9，＝CF+A'C＝9+6，∴A'F最大＝，∴QN最大∴（QN+QB）＝+＝；最大（2）在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝9，∴tan∠OAC＝＝，∴∠OAC＝60°，由旋转知，OA＝OA1，∴△AOA1是等边三角形，∠A1OA＝60°＝∠OA1C1，∴A1C1∥x轴，∴∠OC1A1＝30°，C1（9，3）∴直线OC1的解析式为y＝x，∵OC1∥O1C2，∴设直线O1C2的解析式为y＝x+b，∴O1（0，b），K（﹣b，0），∴OO1＝|b|，OK＝|b|，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+9，∴此抛物线的对称轴为x＝3，①当∠O1KT＝90°时，b＜0，OO1＝﹣b，OK＝﹣b，如图4，易证，△O1OK≌△KHT（AAS），∴OO1＝KT，OK＝HT，∴|b|+|b|＝3，∴b＝．∴HT＝OK＝，∴T（3，）；②当∠KO1T＝90°时，当b＞0时，如图5，OO1＝b，OK＝b，易证，△O1OK≌△O1HT（AAS），∴OO 1＝HT ，OK ＝O 1H ， ∴b ＝3，∴OH ＝O 1H ﹣OO 1＝OK ﹣OO 1＝9﹣3，∴T （3，9﹣3）；当∠KO 1T ＝90°时，当b ＜0时，如图6， OO 1＝﹣b ，OK ＝﹣b ，易证，△O 1OK ≌△O 1HT （AAS ）， ∴OO 1＝HT ，OK ＝O 1H ， ∴b ＝﹣3，∴OH ＝O 1H +OO 1＝OK +OO 1＝9+3，∴T （3，﹣9﹣3）； 即：（3，）或（3，9﹣3）或（3，﹣9﹣3）．6.（1）∵3332332--=x x y ， ∴()()3133-+=x x y . ∴A （-1，0），B （3，0）. 当x =4时，335=y . ∴E （4，335）， 设直线AE 的解析式为y=kx+b ，将点A 和点E 的坐标代入得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-33540b k b k ， 计算得出：33,33==b k ， ∴直线AE 的解析式为3333+=x y （2）设直线CE 的解析式为3-=mx y ，将点E 的坐标代入得33534==m ，计算出332=m . ∴直线CE 的解析式为3332-=x y . 过点P 作PF ∥y 轴，交CE 与点F.设点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--333233,2x x x ，则点F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3332,x x ， 则FP=x x x x x 33433333233333222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴△EPC 的面积=x x x x 3383324334332122+-=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯ ∴当x =2时，△EPC 的面积最大.∴P （2，3-）.如图2所示：作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H,连接G 、H 交CD 和CP 与N 、M.∵K 是CB 的中点. ∴k （23，23-）.∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为（23，23-）.∵点G 与点K 关于CD 对称， ∴点G （0，0），∴KM+MH+NK=MH+MN+GN.当点O 、N 、M 、H 在条直线上时，KM+MH+NK 有最小值，最小值=GH.∴GH=32322322=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛. ∴KM+MH+NK 的最小值为3. （3）如图3所示：∵y′经过点D ，y′的顶点为点F ， ∴点F （3，334-）. ∵点G 为CE 的中点， ∴G （2，33）. ∴FG=3212335122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∴当PG=PQ 时，点Q （3，321234+-），Q′（3，321234--）.当GF=GQ 时，点F 与点Q″关于33=y 对称， ∴点Q″（3，32）. 当QG=QF 时，设点Q 1的的坐标为（3，a ）.由两点间的距离公式可以知道：22331334⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+a a ，计算得出：532-=a . ∴点Q 1的坐标为（3，532-）. 综上所述，点Q 的坐标为（3，321234+-）或（3，321234--）或（3，32）或（3，532-）.。
2021年重庆中考数学第25题二次函数综合专题训练1
2021级重庆中考数学第25题二次函数综合专题训练11.如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）.(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′.在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.2.如图，抛物线y =−x 2−2x +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点.(1)求A 、B 、C 的坐标；(2)点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；(3)在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）.若FG=DQ ，求点F 的坐标.3.已知：如图，二次函数y ＝﹣12x 2+32x +2的图象交x 轴于A 点和B 点（A 点在B 点左则），交y 轴于E 点，作直线EB ，D 是直线EB 上方抛物线上的一个动点，过D 点作直线l 平行于直线EB.M 是直线EB 上的任意点，N 是直线l 上的任意点，连接MO ，NO 始终保持∠MON 为90°，以MO 和ON 为边，做矩形MONC.(1)在D 点移动过程中，求出当△DEB 的面积最大时点D 的坐标：在△DEB 的面积最大时，求矩形MONC 的面积的最小值；(2)在△DEB 的面积最大时，线段ON 交直线EB 于点G ，当点D ，N ，G ，B 四个点组成平行四边形时，求此时线段ON 与抛物线的交点坐标.4.如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G.(1)求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；(2)如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：(3)在2.的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由.5.如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l过C交x轴于E（4，0）.(1)写出D的坐标和直线l的解析式；(2)P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；(3)点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′.在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣√33x 2+2√33x+√3与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D.(1)求直线BC 的解析式；(2)如图2，点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC.当△PBC 的面积最大时，在线段BC 上找一点E （不与B 、C 重合），使PE+12BE 的值最小，求点P 的坐标和PE+12BE 的最小值；(3)如图3，点G 是线段CB 的中点，将抛物线y=﹣√33x 2+2√33x+√3沿x 轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D ，y′的顶点为F.在抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q ，使得△FGQ 为直角三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.7.如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A.(1)求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； (2)在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积.8.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3）.(1)求这个二次函数的表达式；(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标.9.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,3)、B(4,0)和原点O,P为直线OA上方抛物线上的一个动点.(1)求直线OA及抛物线的解析式;(2)过点P作x轴的垂线,垂足为D,并与直线OA交于点C,当△PCO为等腰三角形时,求D的坐标;(3)设P关于对称轴的点为Q,抛物线的顶点为M,探索是否存在一点P,使得△PQM的面积为1,8如果存在,求出P的坐标;如果不存在,请说明理由.x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10.如图，已知抛物线y=1310），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.（1）求抛物线的解析式；（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.m的顶点为A，与y轴交于点11.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+m2+43B.当抛物线不经过坐标原点时，分别作点A、B关于原点的对称点C、D，连结AB、BC、CD、DA.（1）分别用含有m的代数式表示点A、B的坐标.（2）判断点B能否落在y轴负半轴上，并说明理由.（3）连结AC，设l=AC+BD，求l与m之间的函数关系式.（4）过点A作y轴的垂线，交y轴于点P，以AP为边作正方形APMN，MN在AP上方，如图②，当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时，直接写出m的取值范围.12.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)分别交x轴、y轴于点A(2,0)、B(0,4)，点P 是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.(1)若a+b=0.①求抛物线的解析式；②当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B,P,D为顶点的三角形与ΔAOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.x2 bxc经过△ABC 的三个顶点，其中点A(0，1)，点B(9，10)，13.如图，已知抛物线y13AC∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点，过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB、AC 分别交于点E、F.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形AECP 的最大面积；(3)如图2，当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q，使得以C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.14.如图1，已知二次函数y=mx 2+3mx ﹣274m 的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点D 和点B 关于过点A 的直线l ：y=﹣√33x ﹣3√32对称.(1)求A 、B 两点的坐标及二次函数解析式；(2)如图2，作直线AD ，过点B 作AD 的平行线交直线1于点E ，若点P 是直线AD 上的一动点，点Q 是直线AE 上的一动点.连接DQ 、QP 、PE ，试求DQ+QP+PE 的最小值；若不存在，请说明理由：(3)将二次函数图象向右平移32个单位，再向上平移3√3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M ，其横坐标为3，在y 轴上是否存在点F ，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F 坐标；若不存在，请说明理由.15.如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，OC=OE=4，B为线段OA的中点，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交于M，点P为线段FG上一个动点（与F、G不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点Q.(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；(2)判断△BDC的形状，并给出证明；当P在什么位置时，以P、O、C为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此时点P的坐标；(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.16.抛物线y=ax2+bx的顶点M（√3，3）关于x轴的对称点为B，点A为抛物线与x轴的一个交点，点A关于原点O的对称点为A′；已知C为A′B的中点，P为抛物线上一动点，作CD⊥x轴，PE⊥x轴，垂足分别为D，E.(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；(2)当0＜x＜2√3时，是否存在点P使以点C，D，P，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2021重庆年中考25题二次函数综合专题（2）
1（巴蜀2021级初三上第一次月考）如图，在平面直角坐标系抛物线2
2y x x c =--+（c 为常数）与一次函数 y x b =-+（b 为常数）交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（-3,0）
求B 点坐标；
点P 为直线AB 上方抛物线上一点，连接PA,PB ，当1258PAB S =时，求点P 的坐标;
将抛物线22y x x c =--+（c 为常数）沿射线AB 平移1y 与原抛物线
22y x x c =--+相交于点E ，点F 为抛物线1y 的顶点，点M 为y 轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点N ，使得以点E,F,M,N 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
2（重庆一外2021级九上第一次月考）已知，如图直线1l 与直线2l 分别于x 轴交于点A,BA 已知OB=2OA ，
1l ，2l 交于第一象限的点C （，且△ABC 是等边三角形；
求直线1l 与直线2l 的解析式；
点D 是线段AB 上的一动点，过点D 作DE//AC 交BC 于E ，连接DC ，当△CDE 的面积最大时，求点D 的坐标；
取在（2）中△CDE 的面积最大时的点D ，在直线1l 与直线2l 上取点M 、N ，以点D 、M 、N 为顶点构成的△DMN 能否构成等腰直角三角形，若能，求求出点M 的坐标，若不能，请说明理由。
3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2
y x bx c =++与直线AB 相交于A,B 两点，其中A （-3，-4）B(0,-1)
求该抛物线的函数表达式；
点P 为直线AB 下方抛物线上任意一点，连接PA ，PB ，求△PAB 面积的最大值；
将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线21111(0)y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为直线AB 上的一点，在y 轴左侧原抛物线上是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点E 的横坐标；若不存在请说明理由.。