圆的一般方程ppt课件

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圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
圆的标准方程
OC
x
特况：若圆心为O（0，0），则圆的方程为：x2 y2 r 2
2
思考:下列方程表示什么图 圆的标准方程 形1、? (x -1)2 (y - 2)2 4
以(1, 2)为圆心,2为半径的圆. 2、 x2 y2 2x 4 y 1 0 (x 1)2 ( y 2)2 4
以(1, -2)为圆心,2为半径的圆. 3、 x2 y2 2x 4 y 6 0 (x 1)2 ( y 2)2 1
不表示任何图形.
3
探究:
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 在什么条件下表
示圆?
x2 y2 Dx Ey F 0 (x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F ①
2
2
4
1) 当D2 E2 4F 0方程①表示以点(D , E ) 为圆心，
时,
22
1 D2 E2 4F 为半径的圆.
2
2) 当 D2 E2 4F 0
方程①表示点
D E ( , ).
时, 3) 当
D2
E2
4F
0
时,
22
方程①不表示任何图形.
4
圆的一般方程:
x2 y2 Dx Ey F 0
(x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
圆心: ( D , E )
22
(D2 E2 4F 0)
半径: 1 D2 E2 4F
2
5
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
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圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
与二元二次方程： A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:
1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0
3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表 示圆的一般方程
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练习:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找
出圆心和半径.
1) x2 y2 2x 4 y 1 0 D 2, E 4,F 1 D2 E2 4F 16
圆心: (1,2) 2) x2 y2 6x 0
D 6, E F 0 圆心: (3,0)
半径: r 2
D2 E2 4F 36 半径:r 3
3) x2 y2 2by 0 (b 0)
D F 0, E 2b D2 E2 4F 4b2
圆心: (0,b) 半径:r | b | 8
练习：将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出
圆心坐标及半径
1) x2 y2 2x 4 y 2 0 (x 1)2 ( y 2)2 3
2)
x2 y2 2x y 1 0
(x 1)2 ( y 1)2 9 24
3) x2 y2 4 y 0 x2 ( y 2)2 4
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P122例4：求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，
2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法一： 几何方法
y
M1(1,1) M2(4,2)
0
x
10
例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法二： 解：设所求圆的标准方程为：
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（a）2+（b）2=r2
a=4
（1-a）2+（1-b）2=r2
解得
b=-3
（4-a）2+（2-b）2=r2
r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25 11
例4： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）
的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
方法三：x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
待定系数法 因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F=0
F=0
D+E+F+2=0
解得
D=-8
4D+2E+F+20=0
E=6
所求圆的方程为:
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25 12
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. ➢若已知条件与圆心或半径有关,通常设为 标准方程;
➢若已知圆经过两点或三点,通常设为 一般方程; 2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F 的方程组.
3.解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或 一般方程.
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y
a
P(x,y)是直线a上任意一点
Ax By C 0
P(x,y) 点P的坐标 (x,y)满足的关系式
x
M(x,y) C
M(x,y)是圆C上任意一点
(x a)2 (y b)2 r2
点M的坐标 (x,y)满足的关系式
求轨迹方程即为求出曲线上一动点坐标x，y所满足的关系.
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P122例5已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）,
端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点 M的轨迹方程.
解决办法：主被动点法即代入法（相关点法）
y
B
AM
o
x
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解.设M的坐标为(x,y) A的坐标为(x0,y0)
因为M是AB的中点
主动点
x
x0
4 ,y
y0
3
主被动点法
2
2
即 x0 2x 4, y0 2 y 3
被动点
又点A在圆 (x 1)2 y2 4 上
(x0 1)2 y02 4
代入得(2x 4 1)2 (2 y 3)2 4
即
(x 3)2 (y 3)2 1
所以M的轨迹是以点
3 2
,
3 2
2
2
为圆心，1为半径的圆
设主动点为(x0,y0)
被动点为(x,y)
x0=f(x),y0=g(y)
代入主动点方程
整理得轨迹方程
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➢求动点轨迹的步骤:
1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y); （建系设点） 2.列出动点M满足的条件并列出等式; （条件立式） 3.列方程化简，并说明轨迹的形状. （列方程化简）