大一下学期解析几何考试试卷及答案
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一、填空题(共7题,2分/空,共20分)
1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______.
2.已知向量(1,1,1)a →
=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→
→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.
3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是___66
___________.
4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__
3
147
___________. 5.曲线C:220
1
x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,
对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.
6.曲线C:220
x y
z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____,曲线
C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.
7.椭球面125
492
22=++z y x 的体积是_________________.
二、计算题(共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分)
1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里
,,a b c 是3个非零实数.
解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ,在平面0x =上的射影
点为2(0,,)M a b ,在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ,则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r
,13(0,,)M M b c =-u u u u u u r
于是1M ,12M M u u u u u u r ,13M M u u u u u u r
所确定的平面方程是000
x a
y b z a
c b
c
---=-
即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .
2.已知空间两条直线:1l 0
10x y z +=⎧⎨+=⎩,:2
l 010
x y z -=⎧⎨-=⎩. (1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明:(1) 1l 的标准方程是
1
110
x y z +==
-,1l 经过点1(0,0,1)M -,方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是
2
110
x y z -==
,2l 经过点2(0,0,2)M ,方向向量2{1,1,0}v =,于是
1212003
(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r
0≠,所以1l 和2l 是异面直线。
(2) 由于12(0,0,2)v v ⨯=,122v v ⨯=
1l 和2l 间的距离121212
(,,)
6
32
M M v v d v v =
=
=⨯u u u u u u u u u u u u r (3)公垂线方程是1110000
221100002x y z x y z ⎧+⎪
-=⎪⎪⎪⎨-⎪⎪=⎪
⎪⎩,即
x y x y +=⎧⎨
-=⎩。
3.求曲线221
x y
z ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转产生的曲面方面.
解:设1111(,,)M x y z 是母线221x y
z ⎧=⎨=⎩上任意一点,则过1111(,,)M x y z 的纬圆方程是
222222
11110x y z x y z x x ⎧++=++⎨
-=⎩
,(1)
又211121
x y z ⎧=⎨=⎩ ,(2) 由(1)(2)消去111,,x y z 得到2222220x y z --+=.
4.已知单叶双曲面22214925
x y z +-=,)0,0,2(P 为腰椭圆上的点,
(1)求经过点P 两条直母线方程及其夹角;
(2)求这两条直母线所在的平面π的方程及平面π与腰椭圆所在平面的夹角.
解:(1)设单叶双曲面两直母线方程是()(1)253
()(1)253x z
y w u x z y u w ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩与
()(1)253
()(1)25
3x z
y t v x z y v t ⎧+=-⎪⎪⎨
⎪-=+⎪⎩ 把点)0,0,2(P 分别代入上面两方程组,求得,w u t v ==代入直母线方程,
得到过点)0,0,2(P 的两条直母线12531253x z y x z y ⎧+=+⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩与1253
125
3x z
y x z y ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=+⎪⎩,即
15106300
15106300x y z x y z -+-=⎧⎨
+--=⎩与 15106300
15106300x y z x y z ++-=⎧⎨
---=⎩
两直母线的方向向量可分别取1(0,3,5)v =和2(0,3,5)v =-,设两直母线的夹角是θ,则有12128cos 17v v v v θ⋅-=
=,8
arccos 17
θπ=-. (2)两直母线所在平面π的方程是
2
03
50035
x y z
-=-,即2x =