3.2.1 直线的点斜式方程(练习)(解析版)

3.2.1直线的点斜式方程（练习）
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．过点(－3,2)，倾斜角为60°的直线方程为()
A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝3
3
(x＋3)
C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝3
3
(x＋3)
【答案】C[因为直线的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝3，由直线方程的点斜式，可得方程为y－2＝3(x＋3)．]
2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为()
A．y＝3x＋2B．y＝－3x＋2
C．y＝－3x－2D．y＝3x－2
【答案】D[直线的倾斜角为60°，则其斜率为3，利用斜截式得y＝3x－2.]
3．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为()
A．a＋b B．2a－b
C．b－2a D．|2a－b|
【答案】C[由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a.]
4．直线l过点(－3,0)，且与直线y＋1＝2x垂直，则直线l的方程为()
A．y＝－1
2(x－3)B．y＝－1
2
(x＋3)
C．y＝1
2(x－3)D．y＝1
2
(x＋3)
【答案】B[因为直线y＝2x－1的斜率为2，所以直线l的斜率为－1
2
.又直线l过点(－3,0)，
故所求直线的方程为y＝－1
2
(x＋3)，选B.]
5．直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是()
【答案】D
[对于A 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于B 选
项，由l 1得a ＜0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0，矛盾；对于C 选项，由l 1得a ＞0，b ＜0，而由l 2得a ＜0，b ＞0，矛盾；对于D 选项，由l 1得a ＞0，b ＞0，而由l 2得a ＞0，b ＞0.故选D.]
二、填空题
6．直线y ＝2x ＋1的斜率为________.
【答案】
2
7．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．
【答案】[－2,2]
[b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，
如图，
当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1,0)时b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．]
8．与直线l ：y ＝3
4
x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________.
【答案】y ＝34x －3
[依题意设直线方程为y ＝3
4
x ＋b ，
令x ＝0可得纵截距为b ，令y ＝0可得横截距为－4
3b ，
∴－4
3
b ＋b ＝1，∴b ＝－3，
所以直线方程为y＝3
4
x－3.]
三、解答题
9．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝3
3
x的倾斜角的2倍，求这条直线的点斜式方程．
【答案】∵直线y＝3
3
x的斜率为3
3，
∴它的倾斜角为30°，
∴所求直线的倾斜角为60°，斜率为 3.
又直线经过点A(2，－3)，
∴这条直线的点斜式方程为y＋3＝3(x－2)．
10．已知三角形的顶点坐标是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程.
【答案】直线AB的斜率k AB＝
－3－0
3－(－5)
＝－
3
8，过点A(－5,0)，
∴直线AB的点斜式方程为y＝－3
8
(x＋5)，
即所求的斜截式方程为
y＝－3
8x－15
8
.
同理，直线BC的方程为y－2＝－5
3 x，
即y＝－5
3
x＋2.
直线AC的方程为y－2＝2
5 x，
即y＝2
5
x＋2.
∴直线AB，BC，AC的斜截式方程分别为y＝－3
8
x－15
8，y＝－
5
3
x＋2，y＝2
5
x＋2.
1．已知等边三角形ABC 的两个顶点A (0,0)，B (4,0)，且第三个顶点在第四象限，则BC 边所在的直线方程是(
)
A ．y ＝－3x
B ．y ＝－3(x －4)
C ．y ＝3(x －4)
D ．y ＝3(x ＋4)
【答案】C
[由题意，知直线BC 的倾斜角为60°，故直线BC 的斜率为3，由点斜式得所
求直线的方程为y ＝3(x －4)．]
2．方程y ＝ax ＋1
a
表示的直线可能是图中的(
)
【答案】B
[直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距为1
a
.当a ＞0时，斜率a ＞0，在y
轴上的截距1a ＞0，则直线y ＝ax ＋1
a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a ＜0时，斜
率a ＜0，在y 轴上的截距1a ＜0，则直线y ＝ax ＋1
a
过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．]
3．设直线l 的倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的1
2，且与y 轴的交点到x 轴的距离是
3，则直线l 的方程是________.
【答案】y ＝3x ±3
[直线y ＝－3x ＋1的倾斜角为120°，
所以直线l 的倾斜角为60°，∴k l ＝tan 60°＝3，又直线l 在y 轴上的截距为b ＝±3.所以直线l 的方程为y ＝3x ±3.]
4．已知直线y ＝1
2x ＋k 与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k 的取值范围是
________．
【答案】(－∞，－1]∪[1，＋∞)
[令y ＝0，则x ＝－2k .令x ＝0，则y ＝k ，则直线与两坐
标轴围成的三角形的面积为S ＝1
2
|k |·|－2k |＝k 2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k 2≥1，所以k 的取值范围是k ≥1或k ≤－1.]
5．已知直线l ：y ＝ax ＋
3－a
5
.(1)求证：无论a 为何值，直线l 必经过第一象限；(2)若直线l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)当x ＝15时，y ＝35
，
所以直线l
l 必经过第一象限．(2)如图，
直线OA 的斜率k OA ＝35－015
－0＝3.若直线l 不经过第二象限，则直线l 的斜率k l ≥3，即a ≥3.所以实数a 的取值范围为[3，＋∞).。