典例分析

例题讲解

例 1 、观察下图中的图形 (a) — (g) ，其中哪些是与图形（1）、（2）、（3）相似的？

分析：

观察图形（1）、（2）、（3）分析其结构特点，可以看出，图（1）由8

个小长方形组成的大长方形，其中三个小长方形有对角线，另有一个圆和一个阴影三角形，易知图(a)、(c)和它相似；显然（2）与(d)相似，而(e)图看起来也有相似形状，但仔细观察可知，圆变成了椭圆，如同哈哈镜中的图形；（3）与(g)相似，但（3）与(b)是不相似的，有如同（2）与(e)形式.

解答： (a)、(c) 和图（1）相似，(d)和图(2)相似，(g)和图(3)相似.

点拨：

判断两个图形是否相似，特别是判断较复杂的图形是否相似，要抓住图形的特征，如本题中每个图形构成要素，抓住其中的某一要素或一个局部进行判断和比较，切忌胡须眉毛一把抓，要做到有的放矢 .

例 2、要做甲、乙两个形状相同（相似）的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm，

三角形框架乙的一边长为20cm，那么，符合条件的三角形框架乙共有（）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

分析：根据相似多边形特征求解，但要分类讨论 .

解答： C

点拨：

分类讨论既是一种重要的数学思想，又是一种常用的解题方法，运用分类讨论法解题的关键是如何正确进行分类 .本题的分类标准是乙三角形框架的已知边与甲三角形框架的哪一条边是对应边，因此，有3种情况.

例 3、如图，已知：在ABCD中,G是DC延长线上一点,AG分别交BD和BC于E、F.试说明AF·AD=AG·BF.

分析：

要说明等积式 AF·AD=AG·BF，可先转化为.显然AF、BF两线段

是△ABF的两边，而AG、AD恰好是△ADG的两边.因此，应从判定相似三角形入手.由四边形ABCD为平行四边形，所以AB∥CG，即△ABF～△GCF，又AD∥CF，∴有△GCF～△GDA，从而有△ABF～△GDA.

解答：∵四边形 ABCD是平行四边形

∴AB∥DC，AD∥BC，

∴△ABF～△GCF，△GCF～△GDA，

∴△ABF～△GDA，

∴，

即AF·AD=AG·BF

点拨：（1）一般地，说明等积式成立，可先将其化为比例式，再根据三角形相似说明其成立；

（2）三角形相似具有传递性，如果△A

1B

1

C

1

～△A

2

B

2

C

2

，△A

2

B

2

C

2

～△A

3

B

3

C

3

，

那么△A

1B

1

C

1

～△A

3

B

3

C

3

.

例 4 、如图，，试说明∠BAD=∠CAE.

分析：

欲说明∠ BAD=∠CAE，可转化为说明△ABC～△ADE，得到∠BAC=∠DAE，由已知条件，三边对应成比例的两个三角形相似.

解答：

∵∴△ABC～△ADE，∴∠BAC=∠DAE，即∠BAC－∠DAC=∠DAE －∠DAC，故∠BAD=∠CAE.

点拨：

具备两边或三边对应成比例，而要求说明角相等，常利用相似三角形来说明，具备两边成比例的，可以考虑夹角是否相等或第三边是否成比例，具备三边对应成比例，考虑这三条边是否能构成三角形 .