抽样技术 7 不等概率抽样.

令M max M i
1i N

每次从 1，N 中简单随机地抽取一随机数a， 同时再独立从 1，M 中简单随机地抽取一随机数b。 若b M a , 则第a个单元入样，若b M a则重抽。 第i个单元被抽中的概率: 1 Mi zi =p{a=i,b M i }=p{a=i} p{b M i }= . N M 显然，zi M i
第四次（5，127），M5=78<127, 舍弃，重抽 ; 第五次 (4,77), M4=137>77, 第4号单元入样； 第六次(9,60),M9=60≥60, 第9号单元入样； 因此第4，7，9号单元被抽中。
放回不等概率抽样对总体特征的估计 三、Hansen-Hurwitz（汉森-郝维茨）估计量及其性质：
6
放回不等概抽样
PPS抽样：有放回的不等概抽样
设总体包含N 个单元，M i是第i个单元的大小或规模的度量， i 1， ，N，总体的总规模度量为：M 0 M i
i 1 N Mi 则第i个单元的抽选概率为：Z i 0, Z i 1 M0 i 1 N
即抽样概率正比于规模度量，一次抽完后再放回，进行下 一次抽取。独立地进行这样的抽样n次，共抽到n个单元 （有可能重复，只调查一次，但计算时按重复数计算）。
727 738
632~667
668~727 728~738
假设在[1,738] 中等概产生第一个随机数为354，再在[1,738]中产生第二 个随机数为553，最后在[1,738]中产生第三个随机数为493，则它们所对 应的第5，7，6号单元被抽中。
例：假设有10个乡，每个乡的村庄数不同，按pps抽3个乡 乡 1 2 3 村庄数Mi 累计 5 5 28 26 33 59 代码 1～5 6～33 34～59 结合一下整群抽样、 多阶段抽样
不等概率抽样概述
2、抽样单元在总体中所占的地位不一致：例 如：要反映某小麦品种的优良情况，以村作 为抽样单位，但各村的种植面积不同，一些 种植面积大的村庄在抽样中是否被抽中对推 断总体的结果有很大影响 ，所以让“大单元” 被抽到的概率大，“小单元”被抽到的概率 小，这样能够大大提高样本的代表性，减少 抽样误差。
不等概率抽样的特点
3、抽样框的创建比简单随机抽样和系统抽样成本 高，更复杂，因为需要存储总体中每一个单元 的度量大小； 4、并非在任何情况下都能使用，因为并不是每一 个总体都有稳定且与主要调查变量相关的有关 大小或规模的度量； 5、抽样及估计（特别对不放回抽样）相当复杂； 6、 当单元大小度量不准确或不稳定时不适用。
4
5 6 7 8
14
10 38 7 50
73
83 121 128 178
60～73
74～83 84～121 122～128 129～178
9
10
2
8
180
188
179～180
181～188
放回不等概率抽样实施方法 2.拉希里法(二次抽取法)（统计学家Lahiri最先提出）： 设 M1, M2,…MN为单元的规模
不等概率抽样的特点
1、凡需使用不等概率抽样的场合，必须提供总体单
元的某种辅助信息。 例如：每个单元的“大小”度量Mi。注意：比估计 和回归估计是估计方法用到了辅助信息，本章是抽 样方法用到辅助信息.
2、不等概率抽样的主要优点是由于使用了辅
助信息，提高了抽样策略的统计效率， 能 显著地减少抽样误差。
拉希里法抽样举例： 例5.1中，M=150,N=10.在[1,10],[1,150] 中分别产 生（ i,m）如下: 第一次 (3,121) , M3=15<121, 舍弃，重抽 ； 第二次（8，50），M8=36<50, 舍弃，重抽 ;
第三次 (7,77) , M7=100>77, 第7号单元入样；
累计 6 151
代码 1~6 7~151
3
4 5 6 7
1.5
13.7 7.8 15 10
15
137 78 150 100
166
303 381 531 631
152~166
167~303 304~381 382~531 532~631
8
9 10
3.6
6 1.1 ＝73.8
36
60 Fra Baidu bibliotek1 738
667
在PPS抽样中，赋予每个单元与Mi相等的代码 数，将代码数累加得到M0，每次抽样都等概产 生一个[1，M0]之间的随机数，设为m，代码m 所对应的单元被抽中。
例5.1 设某个总体有10个单元，相应的单元大小及其代码 数如下表，在其中产生一个n=3的样本。
i
1 2
Mi
0.6 14.5
Mi*10
6 145
不等概率抽样的分类
放回不等概抽样：按照总体单元的规模大小来确定在每次抽 中的概率。抽取后放回总体，再进行下一次抽样，每次抽 样都是独立的。这种抽样称为放回不等概抽样(sampling with probabilities proportional to sizes，简称PPS抽样) • 不放回的不等概抽样：每次在总体中对每个单元按入样概 率进行抽样，抽出的样本不再放回总体，因此，在抽取了 第一个单元后，余下的单元再以什么概率被抽取就较复杂。 这种抽样不是独立的，无论是抽样方法还是方差估计，都 要比放回抽样繁复得多。不放回抽样通常称为πPS抽样。
放回不等概率抽样实施方法 1.代码法
单元i 单元大小M i 1 2 N M1 M2 MN
代码 1， 2， M 1 M 1 1，M 1 2， ，M 1 M 2
M
j1
N 1
j
1， ， M j 2， M j MN M0
j1 j1
N 1
N 1
第七章 不等概抽样
•放回不等概率抽样
•不放回不等概率抽样
•利用软件进行抽样和计算 •案例分析
第一节 不等概率抽样概述
一、不等概率抽样的必要性 1、在简单随机抽样中，总体(或层)中的每个单 元入样的概率都相等。等概率抽样的特点是总 体中的每个单元在该总体中的地位(或重要性) 相同，在抽样时对每个单元采取的是“不偏不 倚”的态度 。等概率抽样不仅实施简单，而且 相应的数据处理公式也简单。但是在许多实际 问题中，我们还需要使用不等概率抽样 (sampling with unequal probabilities)。