运用匈牙利法算法
匈牙利算法解决二分图最大匹配
匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配预备知识 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。
匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆分图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。
⼆分图 ⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A，B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A，j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
匹配 在图论中，⼀个图是⼀个匹配（或称独⽴边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。
这时每个顶点都⾄多连出⼀条边，⽽每⼀条边都将⼀对顶点相匹配。
例如，图3、图4中红⾊的边就是图2的匹配。
图3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为⾮匹配点，1-5、4-7为匹配边，其他边为⾮匹配边。
最⼤匹配 ⼀个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最⼤匹配。
图 4 是⼀个最⼤匹配，它包含 4 条匹配边。
任意图中，极⼤匹配的边数不少于最⼤匹配的边数的⼀半。
完美匹配 如果⼀个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是⼀个完美匹配。
显然，完美匹配⼀定是最⼤匹配，但并⾮每个图都存在完美匹配。
最⼤匹配数：最⼤匹配的匹配边的数⽬。
最⼩点覆盖数：选取最少的点，使任意⼀条边⾄少有⼀个端点被选择。
最⼤独⽴数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最⼩路径覆盖数：对于⼀个DAG（有向⽆环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于⼀条路径，路径长可以为0（即单个点）定理1：Konig定理——最⼤匹配数 = 最⼩点覆盖数定理2：最⼤匹配数 = 最⼤独⽴数定理3：最⼩路径覆盖数 = 顶点数 - 最⼤匹配数匈⽛利算法例⼦ 为了便于理解，选取了dalao博客⾥找妹⼦的例⼦： 通过数代⼈的努⼒，你终于赶上了剩男剩⼥的⼤潮，假设你是⼀位光荣的新世纪媒⼈，在你的⼿上有N个剩男，M个剩⼥，每个⼈都可能对多名异性有好感（惊讶，-_-||暂时不考虑特殊的性取向） 如果⼀对男⼥互有好感，那么你就可以把这⼀对撮合在⼀起，现在让我们⽆视掉所有的单相思（好忧伤的感觉，快哭了），你拥有的⼤概就是下⾯这样⼀张关系图，每⼀条连线都表⽰互有好感。
匈牙利算法 计算机题目
匈牙利算法计算机题目摘要：1.匈牙利算法的概述2.匈牙利算法的应用领域3.匈牙利算法在计算机题目中的应用实例4.如何使用匈牙利算法解决计算机题目5.结论正文：一、匈牙利算法的概述匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家Mátéi Kálmán 于1937 年提出。
该算法采用贪心策略，通过不断迭代寻找图中未被匹配的顶点，并将其与待匹配的顶点配对，直到所有顶点都被匹配或者无法找到匹配的顶点为止。
匈牙利算法在计算机科学、运筹学、图论等领域具有广泛的应用。
二、匈牙利算法的应用领域1.任务分配：在项目管理中，可以将任务分配给具有不同技能和时间的团队成员，以实现最优任务分配。
2.资源调度：在资源有限的情况下，通过匈牙利算法可以实现最优资源调度，提高资源利用率。
3.数据融合：在数据融合领域，匈牙利算法可以应用于数据融合和数据挖掘，提高数据分析效果。
4.社交网络：在社交网络中，匈牙利算法可以用于寻找最优好友推荐，提高用户满意度。
三、匈牙利算法在计算机题目中的应用实例以N 个学生和N 个课程为例，每个学生可以选择修习若干课程，每个课程有一定的容量限制。
要求通过匈牙利算法找到学生和课程之间的最大匹配数，使得每个学生的课程总容量不超过其限制，同时所有课程都被充分使用。
四、如何使用匈牙利算法解决计算机题目1.构建邻接矩阵：根据题目中给出的学生和课程信息，构建一个N×N 的邻接矩阵，表示学生和课程之间的选择关系。
2.初始化匹配矩阵：初始化一个N×N 的匹配矩阵，用于记录学生和课程之间的匹配情况。
3.迭代寻找匹配：根据邻接矩阵和匹配矩阵，采用贪心策略迭代寻找未被匹配的顶点，并将其与待匹配的顶点配对，更新匹配矩阵。
4.判断匹配情况：当所有顶点都被匹配或者无法找到匹配的顶点时，迭代结束。
若所有顶点都被匹配，输出匹配矩阵；否则，输出无法找到匹配的顶点。
匈牙利算法详细步骤例题
匈牙利算法详细步骤例题
嘿，朋友们！今天咱就来讲讲这神奇的匈牙利算法。
你可别小瞧它，这玩意儿在好多地方都大有用处呢！
咱先来看个具体的例子吧。
就说有一堆任务，还有一堆人，要把这
些任务分配给这些人，怎么分才能最合理呢？这时候匈牙利算法就闪
亮登场啦！
第一步，咱得弄个表格出来，把任务和人之间的关系都给标上。
比
如说，这个人干这个任务合适不合适呀，合适就标个高分，不合适就
标个低分。
这就好像给他们牵红线似的，得找到最合适的搭配。
然后呢，开始试着给任务找人。
从第一个任务开始，找个最合适的人。
要是这个人还没被别的任务占着，那太好了，直接就配对成功啦！要是已经被占了呢，那就得看看能不能换一换，让大家都更合适。
就好比是跳舞，你得找到最合适的舞伴，跳起来才带劲嘛！要是随
便找个人就跳，那多别扭呀。
这中间可能会遇到一些麻烦，比如好几个人都对同一个任务感兴趣，那可咋办？这就得好好琢磨琢磨啦，得权衡一下，谁更合适。
有时候你会发现，哎呀，怎么这么难呀，怎么都找不到最合适的搭配。
别急别急，慢慢来，就像解一道难题一样，得一点点分析。
咱再说说这算法的奇妙之处。
它就像是一个聪明的红娘，能把最合适的任务和人牵到一起。
你想啊，要是没有它，那咱不得乱点鸳鸯谱呀，那可不行，得把资源都好好利用起来才行呢。
比如说，有五个任务，五个。
匈牙利算法步骤和公式
匈牙利算法是一种求解指派问题的算法，其步骤如下：对指派问题的系数矩阵进行变换，使每行每列至少有一个元素为“0”。
具体做法是让系数矩阵的每行元素去减去该行的最小元素，再让系数矩阵的每列元素减去该列的最小元素。
从第一行开始，若该行只有一个零元素，就对这个零元素加括号，对加括号的零元素所在的列画一条线覆盖该列。
若该行没有零元素或者有两个以上零元素（已划去的不算在内），则转下一行，依次进行到最后一行。
从第一列开始，若该列只有一个零元素。
就对这个零元素加括号（同样不、考虑已划去的零元素）。
再对加括号的零元素所在行画一条直线覆盖该列。
若该列没有零元素或有两个以上零元素，则转下一列，依次进行到最后一列为止。
重复上述步骤（1）和（2）可能出现3种情况：（5）按定理进行如下变换：①从矩阵未被直线覆盖的数字中找出一个最小的k；②当矩阵中的第i行有直线覆盖时，令；无直线覆盖时。
求解指派问题的匈牙利算法.doc
3.2 求解指派问题的匈牙利算法由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家D.Konig 提出的更为简便的解法—匈牙利算法。
算法主要依据以下事实：如果系数矩阵)(ij c C =一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵)(ij b B = ，则以C 或B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
利用上述性质，可将原系数阵C 变换为含零元素较多的新系数阵B ，而最优解不变。
若能在B 中找出n 个位于不同行不同列的零元素，令解矩阵中相应位置的元素取值为1，其它元素取值为零，则所得该解是以B 为系数阵的指派问题的最优解，从而也是原问题的最优解。
由C 到B 的转换可通过先让矩阵C 的每行元素均减去其所在行的最小元素得矩阵D ，D 的每列元素再减去其所在列的最小元素得以实现。
下面通过一例子来说明该算法。
例7 求解指派问题，其系数矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素15，同样，第二行元素减去17，第三行元素减去17，最后一行的元素减去16，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=06310157124074011B 再将第3列元素各减去1，得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=****20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛43124321 由等价性，它也是例7的最优指派。
有时问题会稍复杂一些。
例8 求解系数矩阵C 的指派问题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下∨∨∨⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----- 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767 容易看出，从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素，但5=n ，最优指派还无法看出。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
【最新版】
目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。
该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。
此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。
二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。
下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。
假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。
我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。
可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。
边表示任务与工人之间的效率关系。
匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。
三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。
然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。
2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。
这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。
3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。
整数规划---匈牙利法
x1 (1) 1 0 0 0 x2 0 (1) 1 0 0 x3 0 1 0 0 (1) x4 0 0 (1) 0 0 x5 0 0 1 (1) 1
y1
y2
y3
y4
y5
但礼让原则未必都能得到最大 匹配，其次礼让原则当规模大 时无法使用，且无法用计算机 实现
z' = ∑∑C'ij xij =∑∑Cij xij − a∑xij + b∑xij = ∑Cij xij − a + b = z − a + b
j =1 i =1 n n
利用这个性质，可使原效益矩阵变换为含有很多零 元素的新的矩阵(即每行减去该行的最小值，再每列 也类似)，其余C’ij ≥0. 如果C=(C’ij)有n个不同行，不同列的零元素，以下 简称为独立的零元素，则令矩阵x=( xij )中，对这n个独 立的零元素位置取１，其余取０，代入目标函数得z’＝ ０，它一定是最小（因为C’ij ≥0 ）
Step4:增加(转移)零元素 a．求出未被直线覆盖的元素中的最小值k(本例中 k=2)． b．对打√行减去k，对打√列加上k go to step2
2 (0) 8 11 (0) 5 2 3 (0) 0 13 4
√
5 √ 4 0 √ 5
0 (0) 6 13 (0) 5 4 3 (0) 0 11 2
进一步考虑
指派问题用匈牙利法计算，模型需要满足的形式： （1）目标函数是求最小值 （2）效益矩阵必须是n阶方阵 （3）效益矩阵中每个元素Cij ≥0，且是常数
如人员分配问题：
x1 x2 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y4 y5
x1 x2 A = (aij ) = x3 x4 x5 1 0 0 0 0
匈牙利算法求解原理的应用
匈牙利算法求解原理的应用什么是匈牙利算法匈牙利算法是一种用于解决二分图最大匹配问题的算法。
所谓二分图，就是一个节点集合可以分为两个不相交的子集，而且每个子集内的节点之间不存在边。
在二分图中，最大匹配问题就是寻找最大的边集合，使得每个节点都和边集合中的某条边相邻接。
匈牙利算法的原理是通过增广路径的方法来求解最大匹配问题。
其中增广路径是指在匹配图中的一条未被匹配的边交替经过未被匹配的节点，最终到达另一个未被匹配的节点的路径。
匈牙利算法的应用匈牙利算法有许多实际应用场景。
以下列举了一些典型的应用案例：1.婚姻匹配问题：假设有n个男人和n个女人，每个人都有一个倾向表，表明他们对各种婚姻选择的偏好程度。
那么如何进行匹配，使得每个人都得到一个满意度最高的选择，同时保证没有不合适的匹配？这就可以使用匈牙利算法进行求解。
2.任务分配问题：假设有m个任务和n个工人，每个任务对于每个工人都有不同的技能要求和报酬。
如何将任务分配给工人，使得任务总报酬最大化，并满足每个任务的要求？这也可以使用匈牙利算法进行求解。
3.运输问题：在某个地区有n个供应点和n个需求点，以及不同供应点到需求点之间的运输成本。
那么如何选择合适的运输方案，使得总运输成本最小？同样可以使用匈牙利算法进行求解。
4.社交网络匹配问题：在一个社交网络中，每个人都有一定的朋友圈和交往偏好。
如何将这些人进行匹配，使得每个人都能够找到最适合的交往对象？匈牙利算法也可以应用于这种情况。
匈牙利算法的实现步骤下面是匈牙利算法的具体实现步骤：1.在匹配图中选择一个未匹配的顶点作为起始点，并为其标记为已访问。
2.对于当前顶点的每一个邻接顶点，如果该邻接顶点未被匹配，则找到一条增广路径。
如果该邻接顶点已被匹配，但可以通过其他路径找到一条增广路径，则将该邻接顶点的匹配权转移到当前顶点的匹配边上。
3.继续选择下一个未匹配的顶点，重复步骤2，直到无法找到增广路径为止。
4.返回当前匹配图的最大匹配。
用匈牙利算法求二分图的最大匹配
用匈牙利算法求二分图的最大匹配二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是匈牙利算法。
这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。
最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。
匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：初始时最大匹配M为空while 找得到增广路径do 把增广路径加入到最大匹配中去可见和最大流算法是一样的。
但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。
（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。
每条边也不需要有方向。
）图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。
图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。
我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质：(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。
（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连。
）(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。
）(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。
而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。
）(7)最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
匈牙利算法流程
匈牙利算法流程匈牙利算法是一种经典的图论算法，用于解决二分图的最大匹配问题，其流程简洁而高效。
下面将以人类的视角来叙述匈牙利算法的流程。
我们假设有一个二分图，其中左边有一组顶点，右边有另一组顶点。
我们的目标是找到一个最大的匹配，即找到左边的每个顶点与右边的某个顶点之间的边，使得每个右边的顶点最多与一个左边的顶点相连。
开始时，我们将所有的边标记为未匹配状态。
然后，我们从左边的第一个顶点开始，尝试寻找一个未匹配的右边的顶点。
如果找到了，我们将这条边标记为匹配状态，并继续寻找下一个左边的顶点。
如果没有找到，我们就需要进行增广路径的寻找。
为了寻找增广路径，我们从未匹配的左边顶点开始，沿着它的边逐个访问右边的顶点。
如果当前的右边顶点已经匹配了，我们就尝试寻找与这个右边顶点相匹配的左边顶点，然后再以这个左边顶点为起点，继续递归地寻找下一个右边顶点。
如果找到了增广路径，我们就可以通过交替匹配和取消匹配来增加匹配数目。
为了实现这个过程，我们需要用一个数组来保存每个左边顶点的匹配状态，另一个数组来保存每个右边顶点的匹配状态。
同时，我们还需要一个标记数组来记录每个左边顶点是否已经访问过。
通过深度优先搜索的方式，我们可以找到增广路径并更新匹配状态。
当所有的左边顶点都被访问过时，我们就找到了一个最大的匹配。
此时，我们可以输出匹配数目，或者根据需要输出具体的匹配方案。
总结一下，匈牙利算法通过不断寻找增广路径来增加匹配数目，直到无法找到增广路径为止。
它的核心思想是通过深度优先搜索来寻找增广路径，以达到最大匹配的目标。
这个算法简单而高效，被广泛应用于实际问题的求解中。
匈牙利算法示例范文
匈牙利算法示例范文匈牙利算法是一种解决二分图最大匹配问题的经典算法，也称为增广路径算法。
它的核心思想是通过不断寻找增广路径来不断增加匹配数，直到无法找到新的增广路径为止。
下面我将通过一个示例来详细介绍匈牙利算法的流程和原理。
假设有一个二分图G=(V,E)，其中V={U,V}是图的两个顶点集合，E 是边集合。
我们的目标是找到一个最大的匹配M，即图中不存在更多的边可以加入到匹配中。
首先，我们需要为每个顶点u∈U找到一个能和它相连的顶点v∈V，这个过程称为初始化匹配。
我们可以将所有的顶点u初始化为null，表示还没有和它相连的顶点v。
然后，我们选择一个u∈U的顶点作为起始点，尝试寻找一条增广路径。
增广路径是指一条交替经过未匹配边和已匹配边的路径。
我们从起始点u开始，按照深度优先的方式扩展路径，不断寻找下一个可以加入路径的顶点v。
1. 如果u没有和任何顶点相连，那么说明找到了一条增广路径。
我们将路径上的未匹配边变为已匹配边，已匹配边变为未匹配边，然后返回true，表示找到了一条增广路径。
2. 如果u有和一些顶点v相连，但是v还没有和其他顶点相连，即v的匹配点为null，那么说明找到了一条增广路径。
我们将路径上的未匹配边变为已匹配边，已匹配边变为未匹配边，并将v设置为u的匹配点。
然后返回true，表示找到了一条增广路径。
3. 如果v已经和其他顶点相连，那么我们尝试寻找一条从v的匹配点u'出发的增广路径。
如果找到了一条增广路径，我们将路径上的未匹配边变为已匹配边，已匹配边变为未匹配边，并将v设置为u'的匹配点。
然后返回true，表示找到了一条增广路径。
4. 如果无法找到可行的增广路径，返回false。
通过不断重复上述过程，直到无法找到新的增广路径为止。
此时，我们得到的匹配M就是最大匹配。
下面我们通过一个具体的例子来演示匈牙利算法的运行过程。
假设我们有一个二分图，U={1,2,3}，V={4,5,6}，边集E={(1,4),(1,5),(2,4),(3,5),(3,6)}。
二分图(匈牙利,KM算法详解)
4,匹配数+1;
最小点覆盖
最小覆盖： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集 合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一 个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数） ＝最大匹配数 M
简单的证明如下：
1
4
1
4
2
5 把图中红色线去掉
2
5
蓝色线加上
3
6
3
6
1
4
更改各自的匹配点
找到一个更好的匹配 2
5
3
6
总结
所以流程就是:
1,对于一个未匹配的节点u,寻找它的每条边,如果它的边上 的另一个节点v还没匹配则表明找到了一个匹配,直接转步 骤4;
2,假如节点u它边上的另一个节点v已经匹配,那么就转向跟 v匹配的节点,假设是w,然后再对w重复1,2的步骤,即寻找增 广路.
现在我们假设要求的是最大距离.那么就是求最大权 匹配. 下面我们先介绍一下KM算法
KM算法
基本概念：可行顶标和相等子图
可行顶标：L是一个关于结点的函数，L(x)是顶点x对应 的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有 L(x)+L(y)>=w(x,y)
相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图
KM算法
定理：如果一个相等子图中包含完备匹配，那 么这个匹配就是最优匹配
证明：由于在算法过程一直保持顶标的可行性， 所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有 结点的顶标之和，则相等子图中的完备匹配肯 定是最优匹配
KM算法
算法流程 设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i] ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，
指派问题匈牙利算法最大值
指派问题匈牙利算法最大值
匈牙利算法(匈牙利算法,也被称为“插入-删除算法”或“排序算法”)是一种整数排序算法,在指派问题中可以将一个整数数组按照一定规则排序,使得所有指派中最大的元素出现的位置都不相同。
以下是匈牙利算法在解决指派问题的最大值问题的步骤:
1. 将数组分为两个部分,左半部分尽可能地小,右半部分尽可能地大。
2. 从右半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行
比较。
如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。
3. 接下来,从左边半部分开始,将一个元素与它的指派对象的最大值进行比较。
如果两个元素之间的指派关系不符合要求,就将它们交换位置。
4. 重复步骤2和步骤3,直到左半部分的最大值与右半部分的最大值相等。
5. 在最右半部分找到最大的元素,将它与左半部分的最大值交换。
6. 重复步骤1到步骤5,直到数组中的所有元素都被排序。
匈牙利算法的时间复杂度为O(nlogn),其中n为数组的长度。
在实际应用中,该算法通常用于小规模数据的排序,对于大规模数据的
排序则需要使用更高效的算法。
匈牙利算法——精选推荐
二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。
（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）解二分图最优匹配问题可用穷举的方法，但穷举的效率=n！，所以我们需要更加优秀的算法。
先说一个定理：设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i]表示，第j个y顶点的可行标用ly[j]表示)，如果对所有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示边的权)，且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j]成立，则M是图G的一个最优匹配。
Kuhn－Munkras算法（即KM算法）流程：v(1)初始化可行顶标的值v(2)用匈牙利算法寻找完备匹配v(3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值v(4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为止KM算法主要就是控制怎样修改可行顶标的策略使得最终可以达到一个完美匹配，首先任意设置可行顶标（如每个X节点的可行顶标设为它出发的所有弧的最大权，Y节点的可行顶标设为0），然后在相等子图中寻找增广路，找到增广路就沿着增广路增广。
而如果没有找到增广路呢，那么就考虑所有现在在匈牙利树中的X节点（记为S集合），所有现在在匈牙利树中的Y节点（记为T 集合），考察所有一段在S集合，一段在not T集合中的弧，取delta = min {l(xi)+l(yj)-w(xi,yj) , | xi in S, yj in not T} 。
明显的，当我们把所有S集合中的l(xi)减少delta之后，一定会有至少一条属于(S, not T)的边进入相等子图，进而可以继续扩展匈牙利树，为了保证原来属于(S,T )的边不退出相等子图，把所有在T 集合中的点的可行顶标增加delta。
随后匈牙利树继续扩展，如果新加入匈牙利树的Y节点是未盖点，那么找到增广路，否则把该节点的对应的X匹配点加入匈牙利树继续尝试增广。
匈牙利算法示例
(1) 从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素； (2) 再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最 小元素。
1
第二步：进行试指派，以寻求最优解。 在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独
2
6
0
0
0 0 0 1
1
0
0
0
0 1 0 0
0
0
1
0
1152
练习：
费 工作
用
人员
A
B
C
D
E
甲
7
5
9
8
11
乙
9
12
7
11
9
丙
8
5
4
6
8
丁
7
3
6
9
6
戊
4
6
7
5
11
13
7 5 9 8 11 5
9 12
7 11
9
7
8 5 4 6 9 4
7
3
6
9
6
3
4 6 7 5 11 4
2 0 4 3 6
2
◎0 2
3
Ø0
0Ø 4 4 0◎ 6
22
Ø0 Ø0 3 ◎0 3
1
6
0Ø 2
◎0
3 2 0◎ 0Ø 3
2
◎0 2
3
Ø0
0◎ 4 4 0Ø 6
23
用匈牙利法求解下列指派问题，已知效率矩 阵分别如下：
7 9 10 12
1
3
二次指派问题 匈牙利算法
二次指派问题匈牙利算法
匈牙利算法（匈牙利算法）是一个经典的用于解决二分图最大匹配问题的算法。
它的基本思想是通过交替路径的方法来寻找增广路径，从而不断增加匹配的数量。
以下是匈牙利算法的步骤：
1. 初始化一个空的匹配，即所有顶点都不属于任何一个匹配；
2. 从左侧的一个未匹配顶点开始，尝试为其查找增广路径；
3. 在查找增广路径时，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）等方法；
4. 如果找到增广路径，则将路径上的边进行反转，即原来是匹配边的变成非匹配边，原来是非匹配边的变成匹配边；
5. 如果没有找到增广路径，则说明已经得到了最大匹配，算法终止；
6. 重复步骤2至5，直到所有的顶点都被匹配。
匈牙利算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。
在实际应用中，通过使用一些优化技巧，可以达到更高的效率。
需要注意的是，匈牙利算法只能解决二分图最大匹配问题，即图的边集可以分割成两个互不相交的子集，将每个子集的顶点与另一个子集的顶点相连。
对于一般的图，可能需要使用其他算法来解决最大匹配问题。
匈牙利算法 浅析 带例子
什么是二分图，什么是二分图的最大匹配，二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流（我在此假设读者已有网络流的知识）；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。
这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。
匈牙利算法其实很简单，但是网上搜不到什么说得清楚的文章。
所以我决定要写一下。
最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。
匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：初始时最大匹配为空while 找得到增广路径do 把增广路径加入到最大匹配中去可见和最大流算法是一样的。
但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。
（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。
每条边也不需要有方向。
）图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。
图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。
我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质：(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。
（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。
）(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。
）(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。
而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。
）(7)最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
指派问题——匈牙利法
指派问题的匈牙利解法
为 m，令矩阵 B (bij )nn , bij m cij ，则 以 B为效率矩阵的最小化指派问题和以C为 效率矩阵的原最大化指派问题有相同的最优
解；
非标准形式的指派问题
(2) 资源数量(人数等)与事件数不等的指派
•若资源少，事件多，则增加一些虚拟的 资源点，这些虚拟的资源做事件的效率 系数为0，可理解为这些费用(成本)实际 上不会发生；
若◎元素的数目m=n，则该指派问题的最优 解已经得到，否则转入Step 3；
13
指派问题的匈牙利解法——步骤（续）
Step 3. 设有 m<n 个◎, 找最少覆盖所有0的直线 1) 对没有◎的行打√ 2) 对已打√行中含所在列打√ 3) 对已打√列中含◎所在行打√ 4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线 得到最少覆盖所有0的直线数l。
nn
n
n
cijxij ckjx kj (s) x kj
i1 j1
j1
j1
ik
nn
n
cijxij ckjx kj (s)
i1 j1
j1
ik
z (s)
指派问题的匈牙利解法
• 根据此定理，可以对 做如下改变，目的是 找出C 中的 n个不同行不同列的0元素：
0
匈牙利算法———Hopcroft-Karp算法
匈牙利算法———Hopcroft-Karp算法（转）一、匈牙利算法算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.二、二分图最大匹配二分图最大匹配的经典匈牙利算法是由Edmonds在1965年提出的，算法的核心就是根据一个初始匹配不停的找增广路，直到没有增广路为止。
匈牙利算法的本质实际上和基于增广路特性的最大流算法还是相似的，只需要注意两点：（一）每个X节点都最多做一次增广路的起点；（二）如果一个Y节点已经匹配了，那么增广路到这儿的时候唯一的路径是走到Y节点的匹配点（可以回忆最大流算法中的后向边，这个时候后向边是可以增流的）。
找增广路的时候既可以采用dfs也可以采用bfs，两者都可以保证O(nm)的复杂度，因为每找一条增广路的复杂度是O(m)，而最多增广n次，dfs在实际实现中更加简短。
三、Hopcroft-Karp算法SRbGa很早就介绍过这个算法，它可以做到O(sqrt(n)*e)的时间复杂度，并且在实际使用中效果不错而且算法本身并不复杂。
Hopcroft-Karp算法是Hopcroft和Karp在1972年提出的，该算法的主要思想是在每次增广的时候不是找一条增广路而是同时找几条不相交的最短增广路，形成极大增广路集，随后可以沿着这几条增广路同时进行增广。
运用匈牙利法算法PPT课件
其结果如矩阵七所示：
0√ 0X 4 7 2 2 13 0 √ 0 X 4 0X 4 6 0 X 0 X 4 0√ 3 2 21/4/8
12
8.即员工甲负责任务A，员工乙负责任务D， 员工丙负责任务B，员工丁负责任务C，员 工戊负责任务E，参照表4－10各员工完成 任务时间汇总表得出下表所示的员工配置
员工最终配置结果表
2021/4/8
13
谢谢观看
2021/4/8
14
感谢您的阅读收藏，谢谢！
2021/4/8
15
➢匈牙利法的运算牵涉到线性代数中的矩阵 运算，具体的理论基础较为复杂！这里我 们只需要知道它的运算方法即可
2021/4/8
3
匈牙利法运用于员工指派时应具备的约 束条件
➢指派问题是一种特殊的整数规划问题具体 一点就是：有M个员工去做N件任务，但每 个人的效率不一，而且一个人只能安排一 件任务，问怎样安排工作才能使效率最大 化
✓ 求最优解时，要先找只含一个“0”的行（或列）， 将该行（或列）中的“0”打“√”；将带“√”的“0”所在 列（或行）中的“0”打“X”。
2021/4/8
5
匈牙利法的具体计算方法
➢假定甲单位有甲、乙、丙、丁、戊五个员 工，需要在一定的生产技术组织条件下， 完成A、B、C、D、E五项任务，每个员工完 成每项工作所需要耗费的工作时间，如表410所示。
矩阵三
4 0 4 11 3 6 13 0 4 5 00 20 0 80 36 3 4 0 8 11 1
矩阵四
4.画盖“0”线。即画最少的线将矩阵三中的
20201/4全/8 部覆盖住，得矩阵四
9
5.数据转换。若盖“0”线的数目等于矩阵的维
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
匈牙利法的具体计算方法
假定甲单位有甲、乙、丙、丁、戊五个员 工，需要在一定的生产技术组织条件下， 完成A、B、C、D、E五项任务，每个员工完 成每项工作所需要耗费的工作时间，如表410所示。
请求出：员工与任务之间应当如何进行配 置，才能保证完成工作任务的时间最短？
各员工完成任务时间汇总表
求解的问题是最小化问题，如工作时间最 小化，费用最小化等
运用匈牙利法时所应注意的事项
匈牙利法的计算过程不唯一，最终矩阵的形式也 不唯一，但最终配置结果一定相同。 约减方法不唯一，可先进行行约减，再进行列约 减；也可以先进行列约减，再进行行约减。 盖“0”线画法不一，但要从含“0”最多的行和 列开始画盖“0”线。 求最优解时，要先找只含一个“0”的行（或列）， 将该行（或列）中的“0”打“√”；将带“√”的 “0”所在列6 12 3 2 4 4 18 9 12 17 11 6 14 19
矩阵一
11 14 5 15 10
5 0 7 13 1 0 9 0 5 0
4 0 2 3 8
13 6 2 8 13
6 8 3 6 4
矩阵二
3.检查矩阵二，若矩阵二各行各列均有“0” 则跳过此步，否则再继续进行约减最终我们 得到了矩阵三。 4 6 0 8 4 0 13 0 0 0 4 11 3 0 4 5 2 0 0 3 6 3 8 11 1
员工最终配置结果表 员工 任务 甲 乙 丙 丁 戊
A
B C D E
10
6 4 9 10
谢谢观看
表4-10
员工 任务 A B C D E 10 13 3 18 11 5 19 2 9 6 9 6 4 12 14 18 12 4 17 19 11 14 5 15 10 甲 乙 丙 丁 戊
1.以各员工完成各项任务的时间构造矩阵一 2.对矩阵一进行行约减即每一行数据减去本行数 据中的最小数，得矩阵二
其结果如矩阵七所示：
0√ 2 0X 4 0X 0X 13 4 0 √ 0X 4 0√ 6 3 8 7 0X 0X 2 7 2 4 0X 2 0√
矩阵七
8.即员工甲负责任务A，员工乙负责任务D， 员工丙负责任务B，员工丁负责任务C，员 工戊负责任务E，参照表4－10各员工完成 任务时间汇总表得出下表所示的员工配置
运用匈牙利法算法计算人与岗 位的配置
小组成员：董泽发 汪广真 赵云鹏 孙明东 宋启江 洪涛 黄冠 张来福
1.匈牙利法的起源和提出 2.匈牙利法运用于员工指派时应具备 的约束条件
3.运用匈牙利法时所应注意的事项 4.匈牙利法的具体计算方法
匈牙利法的起源和提出
匈牙利法是求解及小型（优化方向为极小） 指派问题的一种方法，这种方法最初由 w.w.kuhn提出，后经改进而形成，解法基 于匈牙利数学家D.König给出的一个定 理而得名。
6.通过重复第4、5步直到盖“0”线的数目等于矩阵 的维数。得到矩阵六 7.求最优解。对n维矩阵，找出不同行、不同列的n个 “0”，每个“0”的位置代表配置关系，具体步骤如下： 也就是前面的注意事项。 （1）先找只含有一个“0”的行（或列），将该行 （或列）中的“0”打“√” （2）将带“√”的“0”所在列（或行）中的“0”打 “X”。 （3）重复（1）步和（2）步至结束。若所有行列均 含有多个“0”，则从“0”的数目最少的行或列中一个 “0”打“√” 其结果如矩阵七所示，即员工甲负责任务A，员工乙 负责任务D，员工丙负责任务B，员工丁负责任务C， 员工戊负责任务E，参照表4－10各员工完成任务时 间汇总表得出表4－11所示的员工配置最终结果。
矩阵三
4 6 0 8 4
0 13 0 0 0
4 0 2 3 8
11 4 0 6 11
3 5 0 3 1
矩阵四
4.画盖“0”线。即画最少的线将矩阵三中的 0全部覆盖住，得矩阵四
5.数据转换。若盖“0”线的数目等于矩阵的维 数则直接跳到第七步，若盖“0”线的数目小 于矩阵的维数则要进行以下数据转换，操作步 骤如下： （1）.找出未被盖“0”线覆盖住的数中的最小 值ƛ，本题中的ƛ=1。 （2）.将未被盖“0”线覆住的数减去ƛ。 （3）.将盖“0”线交叉点的数加上ƛ。 3 0 4 10 2 0 0 4 7 2 5 13 0 3 4 2 13 0 0 4 矩 矩 0 1 3 0 0 0 4 6 0 0 阵 阵 五 六 7 0 3 5 2 4 0 3 2 2 3 0 8 10 0 0 0 8 7 0
匈牙利法的运算牵涉到线性代数中的矩阵 运算，具体的理论基础较为复杂！这里我 们只需要知道它的运算方法即可
匈牙利法运用于员工指派时应具备的约 束条件
指派问题是一种特殊的整数规划问题具体 一点就是：有M个员工去做N件任务，但每 个人的效率不一，而且一个人只能安排一 件任务，问怎样安排工作才能使效率最大 化 员工数目与任务数目相等