八年级数学平行四边形的性质判定
平行四边形的判定 新人教版
D
2
C
∴AB∥CD,CB∥AD. ∴四边形ABCD是平行四边形.
随堂练习 6
已知:如图,在□ ABCD中,BF=DE. 求证:四边形AFCE是平行四边形. 证明:
′ ∵四边形ABCD是平行四边形,
D
E
C
A
F
B
∴DC∥AB,DC=AB. ∵ DE=BF, ∴CE=AF, ∴四边形AFCE是平行四边形.
.
4 如图2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF 平分∠BAD交EC延长线于F．求证：CA=CF．
[创新思维] 1、以△ABC的三条边为边在BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、 等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
.
2．如图2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB 于E．求证：BE=CF．
八年级数学(下)第十八章
1.平行四边形(3) 平行四边形的判定
回顾与思考 2
平行四边形的性质(三种语言)
定理:平行四边形的对边相等.
′
∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AB=CD,BC=DA.
A
B C
D
定理:平行四边形的对角相等.
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C, ∠B=∠D.
回顾与思考 3
3
D C
我思,我进步4
平行四边形的判定P79
定理:两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 . 已知:如图,在四边形ABCD中 A D
,∠A=∠C,∠B=∠D.
′
求证:四边形ABCD是平行四边形. 证明: ∵∠A=∠C,∠B=∠D, ∠A+∠C+∠B+∠D=3600.
数学 八下 平行四边形的性质和判定
3.如图，在三角形ABC中，BD平分角ABC，DE平行于BC 交AB于点E，EF平行于AC于点F。试说明BE和CF的数量 关系，并说明理由。
4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在 CD,AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB . (1)求证：四边形AFCE是平行四边： (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？ 若成立，请写出证明，若不成立，请说明理由。
初中数学八年级下册
平行四边形的性质和判定
习课
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边 形。 性质：
1.平行四边形的两组对边分别平行。(定义) 2.平行四边形的两组对边分别相等。 3.平行四边形的两组对角分别相等。 4.平行四边形的两条对角线互相平分。
5.把两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的
平行四边形的个数是
个。
6.平面上有不在同一直线上的三个点A、B、C，以这三个点为
顶点的平行四边形有
个。
7.如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD
A
B
C
D
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于 点E，DF∥AB交AC于点F，解答下列问题： ①如图1，当点D在BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由。 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形， 写出DE,DF,AB之间的关系，并写出证明过程。
二、习题讲解
1.如图,四边形ABCD是平行四边形过点A的直线分别交 CD,CB的延长线于E,F点,且∠EAD=∠BAF. (1)判断△CEF的形状，并说明理由； (2)△CEF的哪两条边之和恰好等于平行四边形ABCD的周 长？为什么？
初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区
初二数学平行四边形7大常见题型+知识点+误区平行四边形是初二数学必考内容，甚至于中考卷里也时常出现它的身影，而且所占分值还不少。
为此，特意给大家整理了初二数学下册必考之【平行四边形】，7大常见题型+知识点+误区！平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
表示：平行四边形用符号“□”来表示。
平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分平行四边形的面积等于底和高的积，即S□ABCD=ah，其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边到其对边的距离，即对应的高。
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对角分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形从对角线看：对角钱互相平分的四边形是平行四边形从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
若一条直线过平行四边形对角线的交点，则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积。
7大常见题型分析（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等例题1：如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。
例题2：如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。
分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。
2020--2021学年人教版八年级数学下册第18章：平行四边形的性质与判定 (1)
平行四边形（第一讲：性质与判定）[知识点梳理与例题讲解]一、平行四边形定义1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(如图)，记作“□ABCD ”。
2、平行四边形的表示：一般按一定的方向依次 表示各顶点，如上图的平行四边形不能表示成□ACBD ，也不能表示成□ADBC 。
二、平行四边形的性质1、平行四边形的对边平行且相等;2、平行四边形相邻的角互补，对角相等;3、平行四边形的对角线互相平分;4、平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点;5、四个相等，四组全等：DOA DOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆===COD AOB ∆≅∆;COB AOD ∆≅∆;CDA ABC ∆≅∆;DAB BCD ∆≅∆. 常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线 的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
[例1]如图，在□ABCD 中，已知AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于_________cm 。
[例2]如图，□ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为________.[例3]（1）已知□ABCD 的周长为60cm，对角线AC、BD 相交于O 点，△AOB 的周长比△BOC 的周长多8cm，则AB 的长度为_________cm。
⑵已知△ABC，若存在点D 使得以A、B、C、D 为顶点的四边形是平行四边形，这样的点D 有______个。
⑶接上题，若已知△ABC 的周长为3，则以所有D 点围成的多边形周长为________。
[例4]如图，在□ABCD 中，E、F 是对角线BD 上的两个点且DF＝BE，试猜想AE 与CF 有何数量关系及位置关系并加以证明。
[例5]如图，当点 E、F 分别在线段BD、DB 的延长线上时，仍有DF＝BE，此时AE 与CF 的数量关系及位置关系有变化吗？[例6]（1）如图，□ABCD 中，平行于边的两条线段EF，GH 把□ABCD 分成四部分，分别记这四部分的面积为S1、S2、S3 和S4，这下列等式一定成立的是( )A．S1＝S3 B．S1＋S3＝S2＋S4C．S3－S1＝S2－S4 D．S1×S3＝S2×S4（2）如图，□ABCD 中，P 是中间任意一点，△ABP，△BCP，△CDP，△ADP的面积分别为S1、S2、S3、S4，则一定成立的是( )A．S1＋S2＞S3＋S4 B．S1＋S2＝S3＋S4C．S1＋S2＜S3＋S4 D．S1＋S3＝S2＋S4三、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
22,2 平行四边形的判定 第一课时八年级数学下册课件(冀教版)
1 将两块全等的含30°角的三角尺按如图的方式摆放在一起，则
四边形ABCD 是平行四边形吗？请尝试用多种方法说明理由.
解：是；说明理由略．
2 如图，在▱ABCD 中，延长AB 到点E，延长CD 到点F， 使BE=DF. 猜想线段AC 与EF 之间的关系，并证明自己
的猜想.
解：AC 与EF 互相平分； 证明如下：如图，连接AF，CE. 在▱ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD， 因为BE＝DF，所以AE＝CF， 又因为AE∥CF， 所以四边形AECF 是平行四边形，所以AC 与EF 互相平分．
3 已知：如图，BD 是▱ABCD 的对角线，点E 和点F 在BD 上，且BE=DF.求证：四边形AECF 是平行四边形.
证明：在▱ABCD 中，AB＝CD，AB∥CD，
因为AB∥CD，所以∠ABE＝∠CDF，
AB＝CD，
在△ABE 和△CDF 中，ABE＝CDF， 所以△ABE ≌△CDF， BE＝DF，
1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？为什么？ 解：是；说明理由略．
2 已知：如图，把△ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到 △DCB. 求证：四边形ACDB 是平行四边形.
解：由把△ABC 绕边BC 的中点O 旋转180°得到△DCB 可知， AB＝CD，∠ABC＝∠DCB，由∠ABC＝∠DCB 得 AB∥CD，所以四边形ACDB 是平行四边形．
(2)由此，你发现了什么结果？与大家交流. 我们发现：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 现在，我们来证明这个结论.
已知：如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，AD =BC. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：如图，连接BD. 在△ABD 和△CDB 中， ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD. ∵AD=CB，BD=DB，∴△ABD ≌△CDB. ∴∠ABD =∠CDB. ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD 是平行四边形.
平行四边形判定的数学公式
平行四边形判定的数学公式一、平行四边形的性质：1.对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
2.对边等长：平行四边形的对边长度相等。
3.各个角度对应相等：平行四边形的对应角相等。
下面我们将介绍一些判定平行四边形的数学公式。
二、判定平行四边形的数学公式：1.利用坐标判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
首先判断对边AB是否平行，可以通过计算斜率来判断：如果两条线段AB和CD的斜率相等，则它们是平行的。
斜率的计算公式为：斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)计算斜率k2=(y4-y3)/(x4-x3)如果k1=k2，则对边AB和CD平行。
同理，可以判断对边BC和AD是否平行，以及对边AC和BD是否平行。
如果对边AB、BC、CD、DA都平行，则四边形ABCD为平行四边形。
2.利用向量判定：设平行四边形的四个顶点分别为A,B,C,D。
定义向量AB、BC、CD、DA，分别为：AB=(x2-x1,y2-y1)BC=(x3-x2,y3-y2)CD=(x4-x3,y4-y3)DA=(x1-x4,y1-y4)如果向量AB与CD平行且向量BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
向量平行的判断公式为：向量a与向量b平行，当且仅当两个向量的比例相等，即：a/b=k(k为常数)对于向量AB与CD，如果（x2-x1）/（x4-x3）=（y2-y1）/（y4-y3），则向量AB与CD平行。
对于向量BC与DA，如果（x3-x2）/（x1-x4）=（y3-y2）/（y1-y4），则向量BC与DA平行。
如果AB与CD平行且BC与DA平行，则四边形ABCD为平行四边形。
3.利用斜率判定：设平行四边形的四个顶点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)。
先计算斜率k1=(y2-y1)/(x2-x1)再计算斜率k2=(y3-y2)/(x3-x2)再计算斜率k3=(y4-y3)/(x4-x3)再计算斜率k4=(y1-y4)/(x1-x4)如果k1=k3且k2=k4，则四边形ABCD为平行四边形。
人教版数学八年级下册平行四边形的个判定定理课件
OB=OD
A
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOD和△COB中
OA=OC（已知） ∠AOD=∠COB （对顶角相等） B
1
O
2
D C
OD=OB （已知） ∴△AOD≌△COB（SAS）
∴ AD=CB（全等三角形的对应边相等）
同理可得： AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形
平行四边形的判定定理3:
同理可证AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形。
平行四边形的判定定理2:
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
符号语言：
A
D
B
C
∵∠A=∠C，∠B=∠D
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）
D
A
O
B
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形？
已知：四边形ABCD, 对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，
∴△ABC≌△CDA（SSS）
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等）
∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴四边形ABCD是平行四边形.
平行四边形的判定定理1:
ห้องสมุดไป่ตู้
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
符号语言：
A
D
∵AB=CD,AD=BC B
C
∴四边形ABCD是平行四边形
∴△AOD≌△COB（SAS）
Ｄ
理 形是平行四边形。
0
Ｃ ∵OA=OC,OB=OD ∴…是平行四边形
3
Ａ
Ｂ
A
D
(A)AB∥CD,AD∥BC
（两组对边分别平行）
平行四边形的性质与判定
平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的一个几何图形，它具有一些独特的性质和判定方法。
在本文中，我将为大家详细介绍平行四边形的性质以及如何判定一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义和性质平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形。
它的定义可以简单地表述为：如果一个四边形的对边互相平行，则这个四边形就是平行四边形。
平行四边形具有以下几个重要的性质：1. 对边互相平行：平行四边形的两组对边都是平行的，这是平行四边形的最基本性质。
2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。
也就是说，连接平行四边形的相邻顶点所得到的对角线，它们的交点将对角线平分。
3. 对边长度相等：平行四边形的对边长度相等。
也就是说，平行四边形的相对边长是相等的。
4. 内角和为180度：平行四边形的内角和等于180度。
也就是说，平行四边形的四个内角之和为180度。
这些性质是平行四边形的基本特征，我们可以根据这些性质来判定一个四边形是否为平行四边形。
二、判定平行四边形的方法1. 判定对边平行：如果一个四边形的对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
我们可以通过观察四边形的边是否平行来判断。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AB和CD是平行的，同时AD和BC也是平行的，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
2. 判定对角线平分：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AC和BD的交点O将两条对角线等分，即AO=OC和BO=OD，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
3. 判定对边长度相等：如果一个四边形的对边长度相等，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果AB=CD，同时AD=BC，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
4. 判定内角和为180度：如果一个四边形的内角和等于180度，那么这个四边形就是平行四边形。
例如，我们有一个四边形ABCD，如果∠A+∠B+∠C+∠D=180度，那么我们可以判定这个四边形是平行四边形。
八年级数学下册平行四边形的判定
平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 还可以总结为边：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
要求此四边形的周长，先判断此四边形的形状，再依据平行四边形的性质解决. （1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线． （2）三角形的中位线与第三边的关系：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半。
✓✓平行四边形判定与性质：✓ 平行四边形的性质和判定 类别 性质 判定边角对角线 对称性 边角对角线平行四①对边平行②对边相①对角相等②邻角对角线互相平分中心对称①两组对边分别分别平行的四边形是平行两组对角分别相等的四边形对角线互相平分的四边形是边形等互补四边形②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形平行四边形矩形①对边平行②对边相等四个角都是直角①对角线互相平分②对角线相等中心对称，轴对称①有一个角是直角的平行四边形是矩形②有三个角是直角的四边形对角线相等的平行四边形是矩形菱形①对边平行②四边相等①对角相等②邻角互补①对角线互相垂直平分②对角线平分每一组对角中心对称，轴对称①有一组邻边相等的平行四边形是菱形②四条边都相等的四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形正方形①对边平行②四边相等四个角都是直角①对角线互相垂直平分②对角线平分每一组对角中心对称，轴对称一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形等腰梯形①两底平行②两腰相等同一底上的两个角相等对角线相等轴对称两腰相等的梯形是等腰梯形同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形对角线相等的梯形是等腰梯形1. 下列说法正确的是（）．A.有两组对边分别平行的图形是平行四边形B.平行四边形的对角线相等C.平行四边形的对角互补，邻角相等D.平行四边形的对边平行且相等2．能够判定四边形是平行四边形的条件是( )A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分 D．一条邻角互补3.以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作（）A.4个B.3个C.2个D.1个4. 下面给出了四边形ABCD中∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ，∠Ｄ的度数之比，其中能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）Ａ．１：２：３：４Ｂ．２：２：３：３Ｃ．２：３：２：３Ｄ．２：３：３：２5、如图，EF过ABCD的对角线的交点O交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A．16 B．14 C．12 D．106、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（）A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD 7、A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD ；②AB=CD ；③CB∥AD ；④CB=AD 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种8、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补D．一组对角互补，另一组对角相等9、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分 D．一对邻角和为180°10．下列四个条件中，能判断四边形是平行四边形的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等 B．两条对角线互相垂直C．两条对角线相等 D．一组对边平行，一组对角相等11．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个12．下面几组条件中，不一定能判定一个四边形是平行四边形的是（）．A．两组对边相等; B．两条对角线互相平分 C．两组对边平行; D．两组对角相等E.一组对边平行，一组对角相等F. 一组对边平行，一组对边相等13．下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的是（）．A．一组对边相等; B．两条对角线互相平分C．一组对边平行; D．两条对角线互相垂直14．下列命题中正确的是（）．A．对角线互相垂直的四边形是菱形; B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形;D．对角线相等的平行四边形是矩形15．如图所示，四边形ABCD和CEFG都是平行四边形，下面等式中错误的是（）．A．∠1+∠8=1800; B．∠2+∠8=180°;C．∠4+∠6=180°; D．∠1+∠5=180°16．在正方形ABCD所在的平面上，到正方形三边所在直线距离相等的点有（）．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个17．菱形的两条对角线长分别为3和4，那么这个菱形的面积为（平方单位）（）．A．12 B．6 C．5 D．718．矩形两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm，则矩形较短边长为（） A．4cm B．2cm C．3cm D．5cm19．下列结论中正确的有（）①等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形，且有三条对称轴；②矩形既是中心对称，又是轴对称图形，且有四条对称轴；③对角线相等的梯形是等腰梯形；④菱形的对角线互相垂直平分．A．①③；B．①②③; C．②③④； D．③④20．小李家住房的结构如图所示，小李打算把卧室和客厅铺上木地板，请你帮他算一算，他至少要买（）m2的木地板A．12xy B．10xy C．8xy D．6xy 87B54231E6DCAFG卫生间橱房卧室客厅2yyxx2x4y13、（08甘肃省白银市）如图6所示，把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合，若150∠=，则AEF ∠=（ ）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°14、四边形ABCD ，仅从下列条件中任取两个加以组合，使得ABCD 是平行四边形，一共有多少种不同的组合？（ ）AB ∥CD BC ∥AD AB=CD BC=AD A.2组 B.3组 C.4组 D.6组 15、下列说法错误的是（ ）A.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形.B.每组邻边都相等的四边形是菱形.C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形.D.四个角都相等的四边形是矩形.三、解答题1. 如图4，将□ABCD 的对角线BD 向两个方向延长至点E 和点F ，使BE DF =，求证四边形AECF 是平行四边形．3.如图，ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，BG ⊥AG 于G ，DH ⊥AC 于H 。
人教版八年级数学下册《平行四边形的判定》平行四边形PPT精品课件
新知探究
于是我们又得到平行四边形的一个判断定理： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
数学表达式：如图，∵AB ＝∥ CD， ∴四边形ABCD是平行四边形．
例题精析
例1 如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
平行四边形的判定
第1课时
新课导入
前面我们学习了平行四边形的定义和性质，它们的内容是什么？ 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形； 平行四边形的性质：
对边相等，对角相等，对角线互相平分.
新课导入 一、复习反思，引出课题
学习完定义和性质后，由以前经验接下来我们应该研究什么？
定义
性质
判？定
平行四边形的判定
新课探究
根据以往学习一些图形判定定理的经验，如何寻找平行四边形 的判定方法？
性质定理 两直线平行，同位角相等
角平分线上的点到角两边的距离相等
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距 离相等
全等三角形的对应边相等 ……
判定定理 同位角相等，两直线平行
角的内部，到角两边距离相等的 点在这个角的角平分线上
∴ △AOD≌△COB．
∴ ∠OAD=∠OCB．
∴ AD∥BC． 同理 AB∥DC．
判定3： 对角线互相平分的四边形是平行四边形．
∴ 四边形ABCD是平行四边形．
新课探究
两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分
的四边形是平行四边形
例题精析
例1 如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.求证：AB∥EF.
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定
初中数学知识归纳平行四边形的性质与判定初中数学知识归纳：平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中常见的基础几何形状之一。
它具有一些独特的性质和判定方法。
本文将对平行四边形的性质进行归纳，并介绍相关的判定方法。
1. 平行四边形的定义平行四边形是指具有两对相对平行的边的四边形。
其中，相对平行的边两两平行且长度相等。
平行四边形具有四个内角和四个外角。
2. 平行四边形的性质2.1 对角线性质平行四边形的对角线互相平分，并且两条对角线的交点是对角线的中点。
这意味着平行四边形具有对称性质，对称轴为对角线。
2.2 内角性质平行四边形的内角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对内角相等，则另外一对内角也相等。
可以通过证明对顶角相等来推导内角对应相等的性质。
2.3 外角性质平行四边形的外角对应相等。
即，如果两条平行边中的一对外角相等，则另外一对外角也相等。
外角的度数等于其对应的内角的补角。
3. 平行四边形的判定方法3.1 对边判定若一条边与另外一条边平行，则这两条边所在的四边形就是平行四边形。
这种判定方法是最简单和直观的。
3.2 对角线判定若一条对角线平分另外一条对角线，并且这条平分线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
3.3 紧凑型判定若一组相邻边的对角线互相平分，并且这条对角线同时也是平行四边形的一条边，则可以判断这个四边形为平行四边形。
4. 平行四边形的应用平行四边形在解决实际问题时有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用场景：4.1 面积计算由于平行四边形的性质，可以利用其高度和底边长来计算面积。
通过将平行四边形分割成三角形或矩形，再进行相应的计算，得到平行四边形的面积。
4.2 相似性判断在解决相似性的问题时，平行四边形也经常被用到。
通过观察两个或多个图形的边长比例，结合平行四边形的性质，可以判断它们的相似性。
4.3 平行线问题平行四边形的平行性质可用于解决平行线问题。
通过观察平行四边形的边之间的关系，并结合对应角等于内角对应的性质，可以推导出平行线之间的关系。
人教版八年级数学下册第18章平行四边形 知识要点总结
人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。
符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。
2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角； 符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。
符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。
初二数学平行四边形的性质与判定
初二数学平行四边形的性质与判定平行四边形是初中数学中的重要概念之一，它具有一系列特点和性质。
本文将介绍平行四边形的性质以及判定方法。
一、平行四边形的性质1. 对边平行性：平行四边形的对边是两两平行的。
即AB ∥ DC, AD ∥ BC。
2. 对角线重合性：平行四边形的对角线互相重合于中点。
即AC = BD，并且AC的中点和BD的中点重合。
3. 对角线相等性：平行四边形的对角线相等。
即AC = BD。
4. 对边相等性：平行四边形的对边相等。
即AB = DC, AD = BC。
5. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。
即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
6. 对边角性：平行四边形的对边对角是两个对立角，互相补角。
即∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°。
二、平行四边形的判定方法根据平行四边形的性质，我们可以通过以下方法判定一个四边形是否为平行四边形。
1. 判定对边平行性：如果一个四边形的两对边分别平行，则该四边形为平行四边形。
2. 判定对边相等性：如果一个四边形的两对边分别相等，则该四边形为平行四边形。
3. 判定对角线重合性：如果一个四边形的对角线的中点重合，则该四边形为平行四边形。
4. 判定对角线相等性：如果一个四边形的对角线相等，则该四边形为平行四边形。
需要注意的是，以上判定方法是可以相互结合使用的，可以根据具体情况选择适当的判定条件。
三、平行四边形的应用平行四边形在几何学和实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 建筑设计：在建筑设计中，平行四边形的性质经常被应用于设计平行放置的房间、墙壁等。
2. 绘图与平行线：学习平行四边形有助于我们更好地理解平行线的性质和画法。
3. 地理测量：在地理测量中，利用平行四边形的性质可以计算地图上的距离和方位角。
4. 四边形面积计算：平行四边形的面积可以通过底边长度和高的乘积来计算，这在实际应用中非常常见。
八年级数学《平行四边形的判定》课件
选做题
2、已知: ABCD中， E、F分别是AC上两点， 且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F． 求证: 四边形BEDF是平行四边形．
Ａ
E
Ｄ
F
Ｂ
Ｃ
图形语言 符号语言 Ｃ∵AB∥CD, AD∥BC Ｄ
Ｂ Ｃ∵AB=CD, AD= BC
∴ABCD是平行四边形
∴ABCD是平行四边形
Ｂ Ｃ ∵∠A=∠C, ∠B=∠D Ｂ Ｃ ∵OA=OC, OB=OD
O
∴ABCD是平行四边形
∴ABCD是平行四边形
Ｂ
必做题
1、已知：E、F是平行四边形ABCD对角 线AC延长线上的两点，并且AE＝CF . 求证：四边形BFDE是平行四边形
命题3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
百炼成金
定义:两组对边分别平行的四边形是 平行四边形 定理1:两组对边分别相等的四边形是 平行四边形 定理2:两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 定理3:对角线互相平分的四边形是 平行四边形
请你来判断：
下列哪些四边形是平行四边形？并说明理由
大显身手
人教版数学教材八年级下
18.1.2平行四边形的判定（1）
知识回顾 定义：两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形
边
平行四边形的两组对边 分别相等
平行四边 形的性质：
平行四边形的两组对角 角 分别相等 对角线 平行四边形的对角线互 相平分
得出猜想
命题1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
命题2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
例1：已知：E、F是平行四边形ABCD对 CF DE= ∥ BF . 角线AC上的两点，并且 AE 求证：四边形BFDE是平行四边形
课堂小结：
18.1.3平行四边形的性质课件华东师大版八年级数学下册
A.63°
B.72°
C.54°
D.60°
4. 如图，在□ABCD中，BF 平分∠ABC，交 AD 于点 F，
CE 平分∠BCD，交 AD 于点 E，AB = 6，EF = 2，则 BC 长为（ B ）
5. 如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是 CD 边上一点， 且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，若 AD = 5， AP = 8，则△APB 的周长为__2_4____.
BC分别相交于点 E 和点 F .求证：OE=OF.
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在
A
E
O
D
的两个三角形全等即可.
证明：▱ABCD中
B
F
C
有OB=OD(平行四边形的对角线互相平分) 又∵∠DOE=∠BOF，
∵AD∥BC
∴△DEO≌△BFO.
∴∠DEO=∠BFE
∴OE=OF
9. 如图，▱ABCD的对角线AC与DB相交于点O，其周长为16，且△AOB
的周长比△BOCAB和BC的长.
解：在▱ABCD中
A
D
O
有OA=OC(平行四边形的对角线互相平分)
B
C
∵△AOB的周长+2=△BOC的周长
∴AB+OA+OB+2=BC+OB+OC，
∴2(AB+BC)=16
43;4=16
又∵▱ABCD的周长等于16
∴AB=3，BC=5
10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为点E，且 BE=5cm，ADAD和BC之间的距离.
1. 已知平行四边形 ABCD 的周长为 32，AB = 4，则 BC 的长为____1_2___.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 四边形性质探索 第一节 平行四边形的性质温故而知新温故1.两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互 补.2.能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；全等三角形的对应边相等，对应角相等.知新1.定义：如图4.1-1所示，两组对边分别平行的四边形叫做 ，记作：“ ”和是ABCD Y 的两条 .2.性质1：平行四边形的对边3.性质2：平行四边形的对角 .4.性质3：平行四边形的对角线互相 .图4.1-15.一条直线上的任一点到另一条直线的垂线段的长度叫做两条平行线之间的距离. （会运用）乐学好思1 如图4.1-1所示，平行四边形可以表示成一下几种形式？ "ABC Y ”,”ACBD Y ”,”BCDA Y ”思路分析： 应该用四个顶点的大写字母表示，并且要按照顺序依次书写，可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示.答案："ABC Y ”,”ACBD Y ” 是错误的，”BCDA Y ”是正确的.乐学好思2 如图4.1-1所示，平行四边形的两条对角线分成的所有三角形中，有多少对全等的三角形？课堂研习•一点即通◎知识全突破●知识点1 探索平行四边形的性质，并且会运用 导航指数 方法一.情景设置 1、做一做（让学生实际动手操作）用一张半透明的纸复制你刚才画的平行四边形，并将复制后的四边形绕一个顶点旋转180度，你能平移该纸片，使它与你画的平行四边形重合吗？（教师用几何画板平台展示整个旋转变化过程） 2、讨论：（小组交流）（1）通过以上活动，你能得到哪些结论？（2）平行四边形对边、对角分别有什么关系？能用别的方法验证你的结论吗？ 温馨提示：答案：通过旋转三角形得到结论：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等方法二.问题导入 图下图4.1-2是两组对边分别平行的四边形： 图4.1-2 即：∥，∥，那么（1）各对边之间有什么样的数量关系？为什么？ （2）各对角之间有什么样的数量关系?为什么？（3）如果连结、,交点为O ，如图4.1-3，那么、之间又有什么关系？OD C B ADCBA O图 4.1-3温馨提示：答案： 解：（1）两组对边分别相等.理由如下： 如图4.1-4,连结，∵∥，∥ ∴∠1=∠2，∠3=∠4又∵， ∴△≌△， ∴，（2）两组对角分别相等 由（1）△≌△，∴∠∠C ∵∥，∴∠∠180°, ∠∠180° ∴∠∠(3)对角线互相平分 由（1），∠3=∠4，∠∠ ∴△≌△，∴，由此得到，平行四边形的对边相等；平行四边形的对 角相等;平行四边形的对角线互相平分.例题1 如图4.1-5，平行四边形中， E 、 F 是分别是、上的点，且，试说明，并写出推理过程.。
●解题规律： 在平行四边形中，证明线段相等是很常见的一类问题，通常结合三角形全等和平行四边形的性质来说明推理.◎知识巧归纳:.:⎧⎪⎪⎨⎪⎧⎪⇒⎨⎪⎩⎪⎩定义两组对边分别是四边形叫做平行四边形对边且平行四边形性质平行四边形对角平行平行相等相等对角线互相平分 ◎随堂小挑战1.如右图4.1-6，在□中， 与交于O 点，则下列结论中不一定成立的是（ ） A 、 B 、 C 、 D 、2.已知: □中,4,7,AB cm BC cm ==则它的周长为 （ ）图4.1-6 A 、11cm B 、22cm C 、28cm D 、44cm3. Y 中，如果∠100°，那么∠A 、∠D 的值分别是（ ） A ．∠80°，∠100° B.∠100°，∠80° C ．∠80°，∠80° D.∠100°，∠100°分析：引导学生进行思考：1）吗？ 2）∠∠C 吗？ 3）△≌△吗？4. 中，若∠A ∶∠1∶3,那么∠，∠，∠，∠.5.如图4.1-8, 分别在△的三边上,且∥, ∥, ∥,则图中共有个平行四边形,分别是.图4.1-86.在平行四边形中（如图4.1-9）,已知两条邻边的长度分别为30,25;求其他两条边的长度,以及它的周长.图4.1-9课后温习•各显神通 ◎牛刀初小试（时间：20分钟 满分：100分）班级： 姓名： 得分：一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1.关于平行四边形的性质，下面说法中不正确的为 （ ）A 、 两个邻角互补B 、两个邻角的平分线互相垂直C 、一组对角的两条角平分线平行或重合。
D 、任何一个外角大于与它不相邻的任何内角。
2.在平行四边形中,∠∠20°,则∠D 的度数是 ( )A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°3.在□中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）A.1∶2∶3∶4B.1∶2∶2∶1C.1∶1∶2∶2D.2∶1∶2∶14.如图4.1-11，M 是平行四边形的一边上的任意一点，若△的面积为S ，△的面积为S 1，△的面积为S 2，则下列大小关系正确的为（ ） A 、S>S 12B 、S<S 12 图4.1-11C 、12D 、无法确定5.如图4.1-12，点E 是□的边上一点、延长线交于F,∠40︒,∠等于（ ）图4.1-12A 、70︒ B 、60︒ C 、40︒ D 、35︒6、如图4.1-13,在平行四边形中，⊥于点E ，⊥于点F ，若4，6，平行四边形的周长为40，则平行四边形的面积为（ ） A 、24 B 、36C 、40D 、48 图4.1-137.如图4.1-14，四边形是平行四边形，∠120°，∠32°.则∠、∠的度数分别为（ ）A.28°，120°B.120°，28°C.32°，120°D.120°，32°图4.1-148.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ）A.大于1B.小于7C.大于1且小于7D.小于7或大于1 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 9．(广西钦州市2010年中考题)如图4.1-15，□的对角线、相交于点O ，点E 是的中点，若＝4，则的长为 ．DEC BAO图4.1-1510. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的边长为短边长为.11.在平行四边形中,∠A : ∠3:2,则∠度,∠度.12.已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是.13.在□中，∠2∠B，则∠度。
14.从平行四边形的一个锐角顶点作它的两条高，如果这两条高的夹角为135o，则这个平行四边形相邻两个内角的度数分别为和。
图4.1-16三、解答题（15-18每小题 11 分，19小题14分,共 58分）15.平行四边形的周长为36 ，一组邻边之差为4 ，求平行四边形各边的长.16.如图4.1-17，在□中，E、F分别是、上的点，且∥，与相等吗？说明理由.图4.1-1717.如图4.1-18，在□中，O是对角线、的交点，⊥，⊥，垂足分别为E、F.那么与是否相等？为什么？图4.1-1818.如图4.1-19,平行四边形的两条对角线相交于O. 若平行四边形的周长是20,△的周长比△的周长大6.求的长.图4.1-1919、如图4.1-20，已知Δ中，5，D是上一点，作∥交于E，作∥交于点F，求四边形的周长。
（8分）20、如图4.1-21，平行四边形中，平分 ，若6 ，10，试求：（1）平行四边形的周长. （2）的长.（6分）图4.1-2121、如图4.1-22，四边形是平行四边形，⊥，求，及的长.图FED CBAFE DCBAOD图4.1-224.2平行四边形的判别(1)教学目标：⒈认知目标：⑴平行四边形的判别方法1。
⑵平行四边形的判别方法2。
二、教学重点、难点：重点:平行四边形的判别条件。
难点:平行四边形的判别条件的应用。
三、教学过程设计：⒈【情境】：⑴上节课我们探讨了平行四边形的定义和性质，现在来复习一下。
⑵结合学生回答，课件显示平行四边形的性质。
2.【动手操作】：⑴现在拿出一长一短的两根小木棒，来拼一个平行四边形。
⑵用量角器等工具检测所拼四边形是否是平行四边形。
⑶提问：若这两根小木棒不作为对角线，能确定平行四边形吗？若不行，能拼出一个特殊的四边形吗？那怎样改变一个条件，就能确定平行四边形？（4）用两根一样长的小木棒，来拼一个平行四边形。
通过观察图形，得出：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
）3【例题精析】:［例1］如图，∥，点B在上且，找出图中的平行四边形例1图例2图［例2］如图所示，在中，、相交于点O，点E、F在对角线上，且.(1)与、与相等吗？(2)四边形是平行四边形吗？⑶若点E、F在、的中点上，你能解决(1)(2)两问吗？4.【随堂练习】:⑴下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）A.两个等腰三角形B. 两个直角三角形C. 两个锐角三角形D. 两个全等三角形⑵能确定四边形是平行四边形的条件是（）A.一组对边平行，另一组对边相等B. 一组对边平行，一组对角相等C. 一组对边平行，一组邻角相等D. 一组对边平行，两条对角线相等⑶已知：四边形中，∥，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：（只需填一个你认为正确的条件即可）。
4.2平行四边形的判别（2）教学目标：1、经历并了解平行四边形的判别方法探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法。
2、探索并了解平行四边形的判别方法：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
能根据判别方法进行有关的应用。
3、在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯。
4、体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。
教学重点：平行四边形的判别方法。
教学难点：根据判别方法进行有关的应用 教学过程： 一、快速反应1、如图，四边形，、相交于点O,若,则四边形是,根据是2、如图，四边形中，,且,则四边形是,理由是3、小明拼成的四边形如图所示，图中的四边形是平行四边形吗？ 结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4、在图中，16, 159。
图中有哪些互相平行的线段？二、议一议1、一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？ 不一定。
如等腰梯形。
三、平行四边形的判别方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。