MATLAB在量子力学中的应用
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程序如下：
function E=shor(m,a)%建立函数文件
n=1:10;%量子数n
h=6.63*1e-34;%普朗克常量
E=n.^2*h^2/(8*m*a^2);%n能级的能量值
x=0:1.0*1e-12:a;%x的值
subplot(4,2,1)%分割绘图区域，第一个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(pi*x/a);%n=1的波函数
二、薛定谔方程简介
量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持旺盛的生命力，硕果颇传。大学物理中给我们介绍了有关量子力学的基本概念和薛定谔方程，着重给我们分析了无限深势阱问题，但大学物理求解方法不仅繁琐费时，而且难以理解。，下面我们用MATLAB语言对此问题做一下分析。
在用MATLAB求解之前，首先简单介绍一下薛定谔方程，薛定谔方程式量子力学的基础，是学习量子力学的第一步。
在经典力学中，如果知道质点的受力情况，以及质点在起始时刻的坐标和速度，那么牛顿运动方程可求得质点在任何时刻的运动状态，在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的，如果我们知道它所遵循的运动方程，那么由起始状态和能量，就可求解粒子的状态，先建立自由粒子的薛定谔方程，然后，在此基础上，建立在势场中运动的微观粒子所遵循的薛定谔方程。
下面在来确定常数 ，由于粒子被限制在 和 的势阱中，因此，按归一化条件，粒子在此区间内出现的概率总和为1，即
（19）
或
（20）
令 ,则上式左侧积分为
（21）
于是，可得
这样，式（7）所表现得波函数即为
， （22）
由此可得，能量为E所表示的粒子在势阱中得概率密度为
（23）
下面用MATLAB语言求解电子的各能级能量、波函数曲线和概率密度曲线。
subplot(4,2,4)%分割绘图区域，第四个子图
y2=(2/a)*sin(2*pi*x/a).^2;%n=2的概率密度函数
plot(x,y2);%绘制n=2的概率密度曲线
title('n=2');%给n=2的概率函数曲线加标题
subplot(4,2,6)%分割绘图区域，第六个子图
y2=2/a*sin(3*pi*x/a).^2;%n=3的概率密度函数
（6）
其中 （7）
把式（5）代入式（6）可得
（8）
或 （9）
显然，由于 只是x的函数，而与时间无关，所以，式（9）称为在势能中一维运动粒子的定态薛定谔方程，此方程之所以被称为定态，不仅因为粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，而且系统的能量也为一与时间无关的常量，概率密度 亦不随时间而改变，这是定态所具有特性，下面，讲述的粒子在无限深势阱中的运动可视为定态下的运动。
[关键词]量子力学 MATLAB语言 一维无限深方势阱波函数 概率密度
一、问Hale Waihona Puke Baidu的提出
MATLAB语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制理论）最具影响力、也是最有活力的软件。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用，它是一种集数值运算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能。在量子力学中，可以利用其帮助初学者理解量子力学与经典力学截然不同的思维方式和观念，理解微观粒子的波粒二象性。下面将以一维势阱问题，波函数和概率密度曲线问题为例讲述MATLAB在量子力学中的应用。
若粒子在势能为 的势场中运动，则其能量为 。将此关系式代入式（3），并利用式（2），不难得到
（5）
这是在势场中作一维运动的粒子的含时薛定谔方程，这个方程描述了一个质量为m的粒子，在势能为 的势场中，其随时间而变化的规律。
在有些情况下，微观粒子势能为 仅是坐标的函数，而与时间无关。于是，就可以把式（1）所表达的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即
（28）
由此可得，一维运动粒子的概念密度函数为
(29)
下面用MATLAB语言求解一维运动粒子的波函数曲线和概率密度曲线
程序如下：
r=input('please input r');%输入r的值
a=input('please input a');%请输入a的值
x=0:0.0001:a;%设置位置变量x的值
（14）
式中m为粒子的质量，E为粒子的总能量。如令k为
（15）
则上式可写成
（16)
根据边界条件，x=0时，
利用MATLAB语言求解此方程程序如下：
y=dsolve('D2y+k^2*y','y(0)=0','x')%%求方程（16）
0 ax
图1 一维无限深方势阱中得粒子
运行结果：
y =
C1*sin(k*x)
下面我们再来求解一个一维运动粒子的波函数和概率密度曲线问题
四、用MATLAB语言求解一维运动粒子的波函数曲线，概率密度曲线
已知一维运动粒子的波函数为 （24）
图2 在一维无限深方势阱中，粒子的能级、波函数和概率密度
有归一化条件：
或
（25）
上式积分可得：
（26）
于是可得：
（27）
这样，式（12）表示的波函数即为
please input a6
y3 =
1.0827
x1 =
0.5000
当 =0.5时的运行结果如下，运行图像如图4所示：
please input r0.5
please input a20
y3 =
0.2707
x1 =
2
由以上程序的数据分析和图形显示可知，当 =1时，粒子在x=1处出现的概率最大，概率为0.5413，当当 =0.5时，粒子在x= 2处出现的概率最大，概率为0.2707，给定一个 （ ）就能求出一个概率最大值和概率最大的x值，再次说明一维运动的粒子在空间各处出现的概率密度是不均匀的，随 的改变而改变， 越大，最大概率密度峰值也远大，这与经典力学很不相同，按照经典力学粒子在空间各处运动是不受限制的，粒子在空间各处出现的概率亦应是相等的，但在量子力学中，这样的结论明显不成立，空间粒子在各处出现的概率明显不均匀，从图3 和图 4我们可以看出，空间粒子只有可能出现在某一小区域内，在其它区域出现的概率为零。
运行结果的图像如图2所示：
通过以上程序对粒子在一维无限深方势阱中运动的图形描述，数据分析，我们发现，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，为1.0e-015 *0.00151.0e-015 *0.00601.0e-015 *0.01361.0e-015 *0.0242……一些列量子化的能量值；粒子在势阱各处的概率密度并不是均匀分布的，随量子数而改变，当量子数n=1时，粒子在势阱中部x=a/2附近出现得概率最大，而在两端出现的概率为零。随着量子数n的增大，概率密度分布曲线的峰值个数也增多，例如n=2有两个峰值；n=3有三个峰值……而且两相邻峰值间的距离将缩小得很小，彼此靠的很近，非常接近粒子在势阱中各处概率处处相等的情况。
(1)当粒子在 范围内时， =0；
(2)当 及 时， 。
这就是说粒子只能在宽度为a的两个无限高势垒壁之间自由运动，就像一小球被限制在无限深的平底深谷中运动那样，我们理想化了得势阱曲线叫无限深方形势阱。因为粒子只限于沿x轴方向运动，故这个势阱为一维无限深的方形势阱，简称一维方势阱。
有上述边界条件已知，粒子在势阱中得势能 （x）与时间无关，且 =0.因此，由一般的薛定谔方程（1），粒子在无限深方势阱中得定态薛定谔方程为
图3 =1时一维运动粒子的波函数曲线和概率密度曲线
假如有一电子在宽度为0.02nm的一维方势阱中，则其 ，调用shor函数求解其各能级能量、波函数曲线和概率密度曲线
程序如下：
a=0.2*1e-9;%a为势阱的宽度
m=9.1*1e-31;%粒子的质量
E=shor(m,a)%调用shor函数
运行结果如下；
E =
1.0e-015 *
0.0015 0.0060 0.0136 0.0242 0.0377 0.0543 0.0740 0.0966 0.1223 0.1510
设有一质量为m、动量为p,能量为E的自由E的自由粒子，沿x轴运动，则其波函数可表示为
（1）
将上式对x取二阶偏导数，对t取一阶偏导数，分别得
（2）
（3）
考虑到自由粒子的能量E只等于其动能 ，且当自由粒子的速度较光速小很多时，在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能之间的关系为 ，于是，由两式可得
（4）
这就是做一维运动的自由粒子的薛定谔方程
plot(x,y1)%绘制n=4的波函数图象
title('n=4');%给n=4的波函数曲线加标题
subplot(4,2,2)%分割绘图区域，第二个子图
y2=2/a*sin(pi*x/a).^2;%n=1的概率密度曲线
plot(x,y2);%绘制n=1的概率密度曲线
title('n=1');%给n=1的概率函数曲线加标题
y1=4*r^3*x.^2.*exp(-2*r*x);%x>=0的概率密度函数
y2=2*sqrt(r^3)*x.*exp(-r*x);%x>=0的波函数
y3=max(y1)%求概率密度最大值
x1=x(find (y1==y3))%求概率密度最大值对应的x值
subplot(1,2,1)%分割绘图区域，第一个子图
《
MATLAB在量子力学中的应用
******
学号：***********
专业：通信工程
班级：2010级通信工程
指导老师：***
学院：物理电气信息学院
完成日期：2011-12-11
MATLAB在量子力学中的应用
（曹诗凤 12010240520 2010级通信班）
[摘要]量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持有旺盛的生命力，硕果颇传。虽然《大学物理》中介绍的量子力学只是一些最基本的概念，但之中涉及了许多复杂的数值计算问题，解微分方程的问题，图像显示问题，例如一维无限深势阱问题，一维运动粒子的波函数曲线问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB语言正是处理这些复杂问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用，另外利用其可以减少工作量，节约时间，加深理解对量子力学的理解，同时可以培养应用知识的能力。
subplot(4,2,5)%分割绘图区域，第五个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(3*pi*x/a);%n=3的波函数
plot(x,y1);%绘制n=3的波函数图象
title('n=3');%给n=3的破函数曲线加标题
subplot(4,2,7)%分割绘图区域，第七个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(4*pi*x/a);%n=4的波函数
plot(x,y1,x1,y3,'p');%绘制概率密度曲线，并标记最大概率点
title('概率密度曲线')
subplot(1,2,2)%分割绘图区域，第二个子图
plot(x,y2);%绘制波函数曲线
title('波函数曲线')
运行结果如下：
当 =1时的运行结果如下，图像如图3所示：
please input r2
plot(x,y1);%绘制n=1的波函数图象
title('n=1');%给n=1的破函数曲线加标题
subplot(4,2,3)%分割绘图区域，第三个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(2*pi*x/a);%n=2的波函数
plot(x,y1);%绘制n=2的波函数图象
title('n=2');%给n=2的破函数曲线加标题
又根据边界条件，x=a 时， ，此时式（16）的解为
（17）
一般说来，A可不为零，故 ，有
n=1,2,3…，上式也可写成
将上式与式（4）相比较，可得势中粒子可能的能量值为
（18）
式中n为量子数，表明粒子的能量只能取离散的值，由式（9）可以看到，当n=1时，势阱中粒子的能量为 ，n=2,3,4…时， 4 ，9 ，16 。这就是说，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。
如粒子是在三维势场中运动的，则可把式（9）推广为
（10）
或简写成
（11）
引入拉普拉斯算符 ，（12）
上式可简写为
；（13）
这就是一般的薛定谔方程，它是在势能 仅与坐标有关的力场中运动的粒子的德布罗意波德波动方程
三、用MATLAB语言求解一维无限深势阱问题
如图1所示，设想一粒子处在势能为 的力场中，并沿x轴作一维运动。粒子的势能 满足下述边界条件：
plot(x,y2);%绘制n=3的概率密度曲线
title('n=3');%给n=3的概率函数曲线加标题
subplot(4,2,8)%分割绘图区域，第八个子图
y2=2/a*sin(3*pi*x/a).^2;%n=4的概率密度函数
plot(x,y2);%绘制n=4的概率密度曲线
title('n=4');%给n=4的概率函数曲线加标题
function E=shor(m,a)%建立函数文件
n=1:10;%量子数n
h=6.63*1e-34;%普朗克常量
E=n.^2*h^2/(8*m*a^2);%n能级的能量值
x=0:1.0*1e-12:a;%x的值
subplot(4,2,1)%分割绘图区域，第一个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(pi*x/a);%n=1的波函数
二、薛定谔方程简介
量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持旺盛的生命力，硕果颇传。大学物理中给我们介绍了有关量子力学的基本概念和薛定谔方程，着重给我们分析了无限深势阱问题，但大学物理求解方法不仅繁琐费时，而且难以理解。，下面我们用MATLAB语言对此问题做一下分析。
在用MATLAB求解之前，首先简单介绍一下薛定谔方程，薛定谔方程式量子力学的基础，是学习量子力学的第一步。
在经典力学中，如果知道质点的受力情况，以及质点在起始时刻的坐标和速度，那么牛顿运动方程可求得质点在任何时刻的运动状态，在量子力学中，微观粒子的状态是由波函数描述的，如果我们知道它所遵循的运动方程，那么由起始状态和能量，就可求解粒子的状态，先建立自由粒子的薛定谔方程，然后，在此基础上，建立在势场中运动的微观粒子所遵循的薛定谔方程。
下面在来确定常数 ，由于粒子被限制在 和 的势阱中，因此，按归一化条件，粒子在此区间内出现的概率总和为1，即
（19）
或
（20）
令 ,则上式左侧积分为
（21）
于是，可得
这样，式（7）所表现得波函数即为
， （22）
由此可得，能量为E所表示的粒子在势阱中得概率密度为
（23）
下面用MATLAB语言求解电子的各能级能量、波函数曲线和概率密度曲线。
subplot(4,2,4)%分割绘图区域，第四个子图
y2=(2/a)*sin(2*pi*x/a).^2;%n=2的概率密度函数
plot(x,y2);%绘制n=2的概率密度曲线
title('n=2');%给n=2的概率函数曲线加标题
subplot(4,2,6)%分割绘图区域，第六个子图
y2=2/a*sin(3*pi*x/a).^2;%n=3的概率密度函数
（6）
其中 （7）
把式（5）代入式（6）可得
（8）
或 （9）
显然，由于 只是x的函数，而与时间无关，所以，式（9）称为在势能中一维运动粒子的定态薛定谔方程，此方程之所以被称为定态，不仅因为粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，而且系统的能量也为一与时间无关的常量，概率密度 亦不随时间而改变，这是定态所具有特性，下面，讲述的粒子在无限深势阱中的运动可视为定态下的运动。
[关键词]量子力学 MATLAB语言 一维无限深方势阱波函数 概率密度
一、问Hale Waihona Puke Baidu的提出
MATLAB语言是当今国际上科学界（尤其是自动控制理论）最具影响力、也是最有活力的软件。它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序和语言接口的功能。MATLAB语言在各国高校与研究单位起着重大的作用，它是一种集数值运算、符号运算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能。在量子力学中，可以利用其帮助初学者理解量子力学与经典力学截然不同的思维方式和观念，理解微观粒子的波粒二象性。下面将以一维势阱问题，波函数和概率密度曲线问题为例讲述MATLAB在量子力学中的应用。
若粒子在势能为 的势场中运动，则其能量为 。将此关系式代入式（3），并利用式（2），不难得到
（5）
这是在势场中作一维运动的粒子的含时薛定谔方程，这个方程描述了一个质量为m的粒子，在势能为 的势场中，其随时间而变化的规律。
在有些情况下，微观粒子势能为 仅是坐标的函数，而与时间无关。于是，就可以把式（1）所表达的波函数分成坐标函数与时间函数的乘积，即
（28）
由此可得，一维运动粒子的概念密度函数为
(29)
下面用MATLAB语言求解一维运动粒子的波函数曲线和概率密度曲线
程序如下：
r=input('please input r');%输入r的值
a=input('please input a');%请输入a的值
x=0:0.0001:a;%设置位置变量x的值
（14）
式中m为粒子的质量，E为粒子的总能量。如令k为
（15）
则上式可写成
（16)
根据边界条件，x=0时，
利用MATLAB语言求解此方程程序如下：
y=dsolve('D2y+k^2*y','y(0)=0','x')%%求方程（16）
0 ax
图1 一维无限深方势阱中得粒子
运行结果：
y =
C1*sin(k*x)
下面我们再来求解一个一维运动粒子的波函数和概率密度曲线问题
四、用MATLAB语言求解一维运动粒子的波函数曲线，概率密度曲线
已知一维运动粒子的波函数为 （24）
图2 在一维无限深方势阱中，粒子的能级、波函数和概率密度
有归一化条件：
或
（25）
上式积分可得：
（26）
于是可得：
（27）
这样，式（12）表示的波函数即为
please input a6
y3 =
1.0827
x1 =
0.5000
当 =0.5时的运行结果如下，运行图像如图4所示：
please input r0.5
please input a20
y3 =
0.2707
x1 =
2
由以上程序的数据分析和图形显示可知，当 =1时，粒子在x=1处出现的概率最大，概率为0.5413，当当 =0.5时，粒子在x= 2处出现的概率最大，概率为0.2707，给定一个 （ ）就能求出一个概率最大值和概率最大的x值，再次说明一维运动的粒子在空间各处出现的概率密度是不均匀的，随 的改变而改变， 越大，最大概率密度峰值也远大，这与经典力学很不相同，按照经典力学粒子在空间各处运动是不受限制的，粒子在空间各处出现的概率亦应是相等的，但在量子力学中，这样的结论明显不成立，空间粒子在各处出现的概率明显不均匀，从图3 和图 4我们可以看出，空间粒子只有可能出现在某一小区域内，在其它区域出现的概率为零。
运行结果的图像如图2所示：
通过以上程序对粒子在一维无限深方势阱中运动的图形描述，数据分析，我们发现，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的，为1.0e-015 *0.00151.0e-015 *0.00601.0e-015 *0.01361.0e-015 *0.0242……一些列量子化的能量值；粒子在势阱各处的概率密度并不是均匀分布的，随量子数而改变，当量子数n=1时，粒子在势阱中部x=a/2附近出现得概率最大，而在两端出现的概率为零。随着量子数n的增大，概率密度分布曲线的峰值个数也增多，例如n=2有两个峰值；n=3有三个峰值……而且两相邻峰值间的距离将缩小得很小，彼此靠的很近，非常接近粒子在势阱中各处概率处处相等的情况。
(1)当粒子在 范围内时， =0；
(2)当 及 时， 。
这就是说粒子只能在宽度为a的两个无限高势垒壁之间自由运动，就像一小球被限制在无限深的平底深谷中运动那样，我们理想化了得势阱曲线叫无限深方形势阱。因为粒子只限于沿x轴方向运动，故这个势阱为一维无限深的方形势阱，简称一维方势阱。
有上述边界条件已知，粒子在势阱中得势能 （x）与时间无关，且 =0.因此，由一般的薛定谔方程（1），粒子在无限深方势阱中得定态薛定谔方程为
图3 =1时一维运动粒子的波函数曲线和概率密度曲线
假如有一电子在宽度为0.02nm的一维方势阱中，则其 ，调用shor函数求解其各能级能量、波函数曲线和概率密度曲线
程序如下：
a=0.2*1e-9;%a为势阱的宽度
m=9.1*1e-31;%粒子的质量
E=shor(m,a)%调用shor函数
运行结果如下；
E =
1.0e-015 *
0.0015 0.0060 0.0136 0.0242 0.0377 0.0543 0.0740 0.0966 0.1223 0.1510
设有一质量为m、动量为p,能量为E的自由E的自由粒子，沿x轴运动，则其波函数可表示为
（1）
将上式对x取二阶偏导数，对t取一阶偏导数，分别得
（2）
（3）
考虑到自由粒子的能量E只等于其动能 ，且当自由粒子的速度较光速小很多时，在非相对论范围内，自由粒子的动量与动能之间的关系为 ，于是，由两式可得
（4）
这就是做一维运动的自由粒子的薛定谔方程
plot(x,y1)%绘制n=4的波函数图象
title('n=4');%给n=4的波函数曲线加标题
subplot(4,2,2)%分割绘图区域，第二个子图
y2=2/a*sin(pi*x/a).^2;%n=1的概率密度曲线
plot(x,y2);%绘制n=1的概率密度曲线
title('n=1');%给n=1的概率函数曲线加标题
y1=4*r^3*x.^2.*exp(-2*r*x);%x>=0的概率密度函数
y2=2*sqrt(r^3)*x.*exp(-r*x);%x>=0的波函数
y3=max(y1)%求概率密度最大值
x1=x(find (y1==y3))%求概率密度最大值对应的x值
subplot(1,2,1)%分割绘图区域，第一个子图
《
MATLAB在量子力学中的应用
******
学号：***********
专业：通信工程
班级：2010级通信工程
指导老师：***
学院：物理电气信息学院
完成日期：2011-12-11
MATLAB在量子力学中的应用
（曹诗凤 12010240520 2010级通信班）
[摘要]量子力学的应用和成就是多方面的，迄今仍保持有旺盛的生命力，硕果颇传。虽然《大学物理》中介绍的量子力学只是一些最基本的概念，但之中涉及了许多复杂的数值计算问题，解微分方程的问题，图像显示问题，例如一维无限深势阱问题，一维运动粒子的波函数曲线问题，对其手工求解较为复杂，而MATLAB语言正是处理这些复杂问题的很好工具，既能进行数值求解，又能绘制有关曲线，非常方便实用，另外利用其可以减少工作量，节约时间，加深理解对量子力学的理解，同时可以培养应用知识的能力。
subplot(4,2,5)%分割绘图区域，第五个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(3*pi*x/a);%n=3的波函数
plot(x,y1);%绘制n=3的波函数图象
title('n=3');%给n=3的破函数曲线加标题
subplot(4,2,7)%分割绘图区域，第七个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(4*pi*x/a);%n=4的波函数
plot(x,y1,x1,y3,'p');%绘制概率密度曲线，并标记最大概率点
title('概率密度曲线')
subplot(1,2,2)%分割绘图区域，第二个子图
plot(x,y2);%绘制波函数曲线
title('波函数曲线')
运行结果如下：
当 =1时的运行结果如下，图像如图3所示：
please input r2
plot(x,y1);%绘制n=1的波函数图象
title('n=1');%给n=1的破函数曲线加标题
subplot(4,2,3)%分割绘图区域，第三个子图
y1=sqrt(2/a)*sin(2*pi*x/a);%n=2的波函数
plot(x,y1);%绘制n=2的波函数图象
title('n=2');%给n=2的破函数曲线加标题
又根据边界条件，x=a 时， ，此时式（16）的解为
（17）
一般说来，A可不为零，故 ，有
n=1,2,3…，上式也可写成
将上式与式（4）相比较，可得势中粒子可能的能量值为
（18）
式中n为量子数，表明粒子的能量只能取离散的值，由式（9）可以看到，当n=1时，势阱中粒子的能量为 ，n=2,3,4…时， 4 ，9 ，16 。这就是说，一维无限深方势阱中粒子的能量是量子化的。
如粒子是在三维势场中运动的，则可把式（9）推广为
（10）
或简写成
（11）
引入拉普拉斯算符 ，（12）
上式可简写为
；（13）
这就是一般的薛定谔方程，它是在势能 仅与坐标有关的力场中运动的粒子的德布罗意波德波动方程
三、用MATLAB语言求解一维无限深势阱问题
如图1所示，设想一粒子处在势能为 的力场中，并沿x轴作一维运动。粒子的势能 满足下述边界条件：
plot(x,y2);%绘制n=3的概率密度曲线
title('n=3');%给n=3的概率函数曲线加标题
subplot(4,2,8)%分割绘图区域，第八个子图
y2=2/a*sin(3*pi*x/a).^2;%n=4的概率密度函数
plot(x,y2);%绘制n=4的概率密度曲线
title('n=4');%给n=4的概率函数曲线加标题