2019年北京高考文科数学真题及答案

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2019年高考真题北京卷文科数学试卷(详解版)(加密版)

二、填空题（本大题共
→→→→
9.已知向量=(−4,3)，=(6,)，且⊥，则=．
【答案】8
→→→→
【解析】 ∵ = (−4,3)， = (6, )， ⊥ ．
→→
∴ ⋅ = −4 × 6 + 3 × = 0，
∴ = 8．
故答案为：8．
⩽ 2，
10.若，满足{
⩾ −1，
2
13.已知，是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
① ⊥ ；②//；③ ⊥ ．
以其中的两个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个正确的命题：．
【答案】若//， ⊥ ，则 ⊥
2
D选项： =1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递减．

故选A.
4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）．
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解析】模拟程序的运行，可得 = 1， = 1；
= 2，不满足条件 ⩾ 3，执行循环体，
= 2， = 2，不满足条件 ⩾ 3，执行循环体，
∴具有充分性，
若()为偶函数，则有(−) = ()，即cos (−) + sin (−) = cos + sin ，
∴需要2sin = 0恒成立，∴ = 0，具有必要性．故选C．
7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足2−1=
= 3， = 2，此时，满足条件 ⩾ 3，退出循环，输出的值为2．
故选：B．
5.已知双曲线2− 2= 1（ > 0）的离心率是5，则 =（）．
2
A.√6B.4C.2D.1
2
【答案】D
【解析】双曲线2− 2= 1（ > 0）的离心率是5，

2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(北京卷正式版)【含答案及解析】

2019年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷正式版）【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，集合，则（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）2. 若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ A ）（ B ）（ C ）（ D ）3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（ A ） 2 （ B ）（ C ）（ D ）4. 若满足则的最大值为（ A ） 1 （ B ） 3（ C ） 5 （ D ） 95. 已知函数，则（ A ）是偶函数，且在 R 上是增函数（ B ）是奇函数，且在 R 上是增函数（ C ）是偶函数，且在 R 上是减函数（ D ）是奇函数，且在 R 上是增函数6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ A ） 60 （ B ） 30（ C ） 20 （ D ） 107. 设 m , n 为非零向量，则“ 存在负数，使得 m = λn ” 是“ m · n <0” 的（ A ）充分而不必要条件（ B ）必要而不充分条件（ C ）充分必要条件（ D ）既不充分也不必要条件8. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3 361 ，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 10 80 ．则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48 ）（ A ） 10 33 （ B ） 10 53（ C ） 10 73 （ D ） 10 93二、填空题9. 在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称 . 若 sin = ，则 sin =_________ ．10. 若双曲线的离心率为，则实数 m =__________ ．11. 已知，，且 x + y =1 ，则的取值范围是 __________ ．12. 已知点 P 在圆上，点 A 的坐标为 (-2,0) ， O 为原点，则的最大值为 _________ ．13. 能够说明“ 设 a ， b ， c 是任意实数．若 a > b > c ，则a + b > c ” 是假命题的一组整数 a , b , c 的值依次为 ______________________________ ．14. 某学习小组由学生和学科网 & 教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ ）教师人数的两倍多于男学生人数．① 若教师人数为 4 ，则女学生人数的最大值为 __________ ．② 该小组人数的最小值为 __________ ．三、解答题15. 已知等差数列和等比数列满足 a 1 = b 1 =1, a 2 + a 4 =10, b 2b 4 = a 5 ．（Ⅰ ）求的通项公式；（Ⅱ ）求和：．16. （本小题 13 分）已知函数 .（ I ） f ( x ) 的最小正周期；（ II ）求证：当时，．17. （本小题 13 分）某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，将数据分成 7 组： [20,30 ），[30,40 ），┄ ， [80,90] ，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ ）从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；（Ⅱ ）已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间 [40,50 ）内的人数；（Ⅲ ）已知样本中有一半男生的分数学 . 科网不小于 70 ，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．18. （本小题 14 分）如图，在三棱锥 P – ABC 中，PA ⊥ AB ，PA ⊥ BC ，AB ⊥ BC ， PA = AB = BC =2 ， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点．（Ⅰ ）求证：PA ⊥ BD ；（Ⅱ ）求证：平面BDE ⊥ 平面 PAC ；（Ⅲ ）当PA ∥ 平面 BD E 时，求三棱锥 E – BCD 的体积．19. （本小题 14 分）已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0) ， B(2,0) ，焦点在 x 轴上，离心率为．（Ⅰ ）求椭圆 C 的方程；（Ⅱ ）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4:5 ．20. （本小题 13 分）已知函数．（Ⅰ ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ ）求函数在区间上的最大值和最小值．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。

2019年全国高考北京市数学(文)试卷及答案【精校版】

2019年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟，。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合{}0,1,2,4A =，{}1,2,3B =，则AB =（）A.{}0,1,2,3,4B.{}0,4C.{}1,2D.{}3 2.下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（）A.xy e -= B.y x = C.ln y x = D.y x = 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（）A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A.1B.3C.7D.15输出5.设a 、b 是实数，则“a b >”是“22a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分6.已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,4 D.()4,+∞7.已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=，则m 的最大值为（）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率 p 与加工时间t （单位：分钟）2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟第2部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京卷文数高考试题文档版(附精品解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>0）的离心率是5，则a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1 （C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷

2019年全国高考文科数学试题及解析-北京卷数学〔文〕〔北京卷〕本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将【答案】答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分〔选择题共40分〕【一】选择题共8小题，每题5分，共40分。

在每题列出旳四个选项中，选出符合题目要求旳一项。

〔1〕集合{|24},{|3>5}A x x B x x x =<<=<或，那么A B =〔A 〕{|2<<5}x x 〔B 〕{|<45}x x x >或〔C 〕{|2<<3}x x 〔D 〕{|<25}x x x >或〔2〕复数12i =2i+- 〔A 〕i 〔B 〕1+i 〔C 〕i -〔D 〕1i -〔3〕执行如下图旳程序框图，输出旳s 值为〔A 〕8〔B 〕9〔C 〕27〔D 〕36〔4〕以下函数中，在区间(1,1)-上为减函数旳是〔A 〕11y x=-〔B 〕cos y x =〔C 〕ln(1)y x =+〔D 〕2x y -= 〔5〕圆〔x +1〕2+y 2=2旳圆心到直线y =x +3旳距离为〔A 〕1〔B 〕2〔C 〔D 〕〔6〕从甲、乙等5名学生中随机选出2人，那么甲被选中旳概率为〔A 〕15〔B 〕25〔C 〕825〔D 〕925〔7〕A 〔2，5〕，B 〔4，1〕.假设点P 〔x ，y 〕在线段AB 上，那么2x −y 旳最大值为〔A 〕−1〔B 〕3〔C 〕7〔D 〕8〔8〕某学校运动会旳立定跳远和30秒跳绳两个单项竞赛分成预赛和决赛两个时期.下表为在这10名学生中，进入立定跳远决赛旳有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛旳有6人，那么〔A 〕2号学生进入30秒跳绳决赛〔B 〕5号学生进入30秒跳绳决赛〔C 〕8号学生进入30秒跳绳决赛〔D 〕9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分〔非选择题共110分〕【二】填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕向量=a b ，那么a 与b 夹角旳大小为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔10〕函数()(2)1x f x x x =≥-旳最大值为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 〔11〕某四棱柱旳三视图如下图，那么该四棱柱旳体积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(12)双曲线22221x y a b-=〔a ＞0，b ＞0〕旳一条渐近线为2x +y =0〕，那么a =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏；b =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.(13)在△ABC 中，23A π∠=，，那么b c =﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. (14)某网店统计了连续三天售出商品旳种类情况：第一天售出19种商品，翌日售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出旳商品有3种，后两天都售出旳商品有4种，那么该网店①第一天售出但翌日未售出旳商品有﹏﹏﹏﹏﹏﹏种；②这三天售出旳商品最少有﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏种.【三】解答题〔共6题，共80分.解承诺写出文字说明，演算步骤或证明过程〕〔15〕〔本小题13分〕{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.〔Ⅰ〕求{a n }旳通项公式；〔Ⅱ〕设c n =a n +b n ，求数列{c n }旳前n 项和.〔16〕〔本小题13分〕函数f 〔x 〕=2sin ωx cos ωx +cos2ωx 〔ω>0〕旳最小正周期为π.〔Ⅰ〕求ω旳值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕旳单调递增区间.〔17〕〔本小题13分〕某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米旳部分按4元/立方米收费，超出w 立方米旳部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月旳用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：〔I 〕假如w 为整数，那么依照此次调查，为使80%以上居民在该月旳用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？〔II 〕假设同组中旳每个数据用该组区间旳右端点值代替，当w=3时，可能该市居民该月旳人均水费.〔18〕〔本小题14分〕如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥∥〔I 〕求证：DC PAC ⊥平面；〔II 〕求证：PAB PAC ⊥平面平面；(III)设点E 为AB 旳中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA CEF ⊥平面?说明理由.〔19〕〔本小题14分〕椭圆C ：22221x y a b+=过点A 〔2,0〕，B 〔0,1〕两点. 〔I 〕求椭圆C 旳方程及离心率；〔II 〕设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 旳面积为定值.〔20〕〔本小题13分〕设函数()32.f x x ax bx c =+++ 〔I 〕求曲线().y f x =在点()()0,0f 处旳切线方程；〔II 〕设4a b ==，假设函数()f x 有三个不同零点，求c 旳取值范围；〔III 〕求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点旳必要而不充分条件.。

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学(文)(北京卷)试题(解析版)

2019年全国普通高等学校招生统一考试数学（文）（北京卷）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、单选题1．已知集合A={(|||<2)},B={−2,0,1,2},则A. {0,1}B. {−1,0,1}C. {−2,0,1,2}D. {−1,0,1,2}【答案】A【解析】分析：将集合化成最简形式，再进行求交集运算.详解：故选A.点睛：此题考查集合的运算，属于送分题.2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.详解：的共轭复数为对应点为，在第四象限，故选D.点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分.3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.4．设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：证明“”“成等比数列”只需举出反例即可，论证“成等比数列”“”可利用等比数列的性质.详解：当时，不成等比数列，所以不是充分条件；当成等比数列时，则，所以是必要条件.综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件故选B.点睛：此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.5．“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以()12,n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列. 等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中， 0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数. 详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.7．在平面直角坐标系中， ,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A. ABB. CDC. EFD. GH【答案】C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在AB 上时， cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在CD 上时， cos ,sin x y αα==， tan y x α=， tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在EF 上时， cos ,sin x y αα==， tan y xα=， sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在GH 上且GH 在第三象限， tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较. 8．设集合则A. 对任意实数a，B. 对任意实数a，（2,1）C. 当且仅当a<0时,（2,1）D. 当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】分析：求出及所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.二、填空题9．设向量a=（1,0），b=（−1,m）,若，则m=_________.【答案】【解析】分析：根据坐标表示出，再根据，得坐标关系，解方程即可.详解：，，由得：，，即.点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.10．已知直线l过点（1,0）且垂直于轴，若l被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点，将点坐标代入可求参数的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点在抛物线上，将代入中，解得：，，由抛物线方程可得：，焦点坐标为.点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.11．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.【答案】（答案不唯一）【解析】分析：根据原命题与命题的否定的真假关系，可将问题转化为找到使“若，则”成立的，根据不等式的性质，去特值即可.详解：使“若，则”为假命题则使“若，则”为真命题即可，只需取即可满足所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）点睛：此题考查不等式的运算，解决本题的核心关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.12．若双曲线的离心率为，则a=_________.【答案】4【解析】分析：根据离心率公式，及双曲线中的关系可联立方程组，进而求解参数的值.详解：在双曲线中，，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点，根据双曲线的离心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式，找到之间的关系.13．若,y满足，则2y−的最小值是_________.【答案】3【解析】分析：将原不等式转化为不等式组，画出可行域，分析目标函数的几何意义，可知当时取得最小值.详解：不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.点睛：此题考查线性规划，求线性目标函数的最值，当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最大，在轴上截距最小时，值最小；当时，直线过可行域在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.14．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】分析：根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则为钝角，，故.点睛：此题考查解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.三、解答题15．设是等差数列，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求.【答案】（I）（II）【解析】分析：（1）设公差为，根据题意可列关于的方程组，求解，代入通项公式可得；（2）由（1）可得，进而可利用等比数列求和公式进行求解.详解：（I）设等差数列的公差为，∵，∴，又，∴.∴.（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.∴点睛：等差数列的通项公式及前项和共涉及五个基本量，知道其中三个可求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.16．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）将化简整理成的形式，利用公式可求最小正周期；（2）根据，可求的范围，结合函数图像的性质，可得参数的取值范围.详解：（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1.所以，即.所以的最小值为.点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.【解析】分析：（1）分别计算样本中电影总部数及第四类电影中获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（2）利用古典概型公式，计算没有获得好评的电影部数，代入公式可得概率；（3）根据每部电影获得好评的部数做出合理建议..详解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50，故所求概率为.（Ⅱ）设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有140×0.6+50×0.8+300×0.85+200×0.75+800×0.8+510×0.9=1628部.由古典概型概率公式得.（Ⅲ）增加第五类电影的好评率, 减少第二类电影的好评率.点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.18．（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD，P A⊥PD，P A=PD，E，F分别为AD，PB的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面P AB⊥平面PCD；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析【解析】分析：（1）欲证，只需证明即可；（2）先证平面，再证平面P AB⊥平面PCD；（3）取中点，连接，证明，则平面.详解：（Ⅰ）∵，且为的中点，∴.∵底面为矩形，∴，∴.（Ⅱ）∵底面为矩形，∴.∵平面平面，∴平面.∴.又,∵平面，∴平面平面.（Ⅲ）如图，取中点，连接.∵分别为和的中点，∴，且.∵四边形为矩形，且为的中点，∴，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.又平面，平面，∴平面.点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：（1）线面平行的性质定理；（2）三角形中位线法；（3）平行四边形法. 证明线线垂直的常用方法：（1）等腰三角形三线合一；（2）勾股定理逆定理；（3）线面垂直的性质定理；（4）菱形对角线互相垂直.19．设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】分析：（1）求导，构建等量关系，解方程可得参数的值；（2）对分及两种情况进行分类讨论，通过研究的变化情况可得取得极值的可能，进而可求参数的取值范围.详解：解：（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题.解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性.20．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .【答案】（Ⅰ）2213x y +=（Ⅲ）1【解析】分析：（1）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（2）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出AB ，求其最值；（3）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 详解：（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由22{ 13y x mx y =++=消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则1232mx x +=-， 212334m x x -=，则12AB x =-=，易得当20m =时， max ||AB =AB （Ⅲ）设()11,A x y ， ()22,B x y ， ()33,C x y ， ()44,D x y ，则221133x y += ①， 222233x y += ②，又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+，由()1222{ 13y k x x y =++=消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=，则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以1111712,4747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，同理可得2222712,4747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 4471,44QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x =-变形为AB =再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。

2019年高考数学真题-北京卷(文)答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）D （3）A （4）B （5）D（6）C（7）A（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）8（10）–3 1 （11）22(1)4x y −+=（12）40（13）若,l m l α⊥⊥，则m αP ．（答案不唯一）（14）130 15三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，得2221323()2b c c =+−⨯⨯⨯−．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+−⨯⨯⨯−．解得5c =．所以7b =．（Ⅱ）由1cos 2B =−得3sin 2B =．由正弦定理得33sin sin 14a A Bb ==．在ABC △中，B C A +=π−．所以33sin()sin 14B C A +==．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =−，所以23410,102,103a d a d a d =−+=−+=−+．因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以()()()23248106a a a +=++．所以2(22)(43)d d d −+=−+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+−=−．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =−．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤．所以，n S 的最小值为630S =−．（17）（共12分）解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A 的学生有27+3=30人，仅使用B 的学生有24+1=25人， A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100–30–25–5=40人．估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为401000400100⨯=．（Ⅱ）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则1()0.0425P C ==．（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由（II ）知，()P E =0.04．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，()P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．（18）（共14分）解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA BD⊥．又因为底面ABCD为菱形，所以BD AC⊥．所以BD⊥平面PAC．（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE．因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．所以AB⊥AE．所以AE⊥平面PAB．所以平面PAB⊥平面PAE．（Ⅲ）棱PB上存在点F，使得CF∥平面PAE．取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．则FG∥AB，且FG=12 AB．因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=12 AB．所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形．所以CF∥EG．因为CF⊄平面PAE，EG⊂平面PAE，所以CF ∥平面PAE ．（19）（共14分）解：（I ）由题意得，b 2=1，c =1．所以a 2=b 2+c 2=2．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则直线AP 的方程为1111y y x x −=+．令y =0，得点M 的横坐标111M x x y =−−．又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+−．同理，22||||1x ON kx t =+−．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++−=．则122412kt x x k +=−+，21222212t x x k−=+．所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+−+−()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+−++−22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k−+=−⋅+−⋅−+−++12||1t t+=−．又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=−．解得t =0，所以直线l 经过定点（0，0）．（20）（共14分）解：（Ⅰ）由321()4f x x x x =−+得23()214f x x x '=−+．令()1f x '=，即232114x x −+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x −=−，即y x =与6427y x =−．（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =−∈−．由321()4g x x x =−得23()24g'x x x =−．令()0g'x =得0x =或83x =．(),()g'x g x 的情况如下：x 2−(2,0)−8(0,)3 838(,4)34()g'x+−+()g x6− Z]6427−Z所以()g x 的最小值为6−，最大值为0．故6()0g x −≤≤，即6()x f x x −≤≤．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <−时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=−=−>；当3a >−时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥−=−−=+>；当3a =−时，()3M a =．综上，当()M a 最小时，3a =−．。

2019年北京卷《文数》高考真题文档版及解析答案(精准版)

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（A ）（–1，1）（B ）（1，2）（C ）（–1，+∞）（D ）（1，+∞）（2）已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（A （B （C ）3（D ）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A ）12y x =（B ）y =2x-（C ）12log y x=（D ）1y x=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（5）已知双曲线2221x y a-=（a >0，则a =（A（B ）4（C ）2（D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β（B ）4β+4sin β（C ）2β+2cos β（D ）2β+2sin β第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年北京市高考数学试卷(文科)以及答案解析

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，1）B．（1，2）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）2．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．53．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线﹣y2＝1（a＞0）的离心率是，则a＝（）A．B．4C．2D．6．（5分）设函数f（x）＝cos x+b sin x（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.18．（5分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（）A．4β+4cosβB．4β+4sinβC．2β+2cosβD．2β+2sinβ二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年高考文数北京卷(附答案与解析)

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学（文）本试卷满分150分,考试时长120分钟.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}|12A x x =-＜＜，{}|1B x x =＞，则A B ⋃=( )A .()1,1-B .()1,2C .()1,-+∞D .()1,+∞ 2. 已知复数2z i =+，则z z ⋅=( )ABC .3D .5 3.下列函数中，在区间()0,+∞上单调递增的是( ) A .12y x =B .2xy -=C .12log y x =D .1y x=4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( )A .1B .2C .3D .45.已知双曲线2221x y a-=（0a ＞a =( ) AB .4C .2D .126.设函数()cos sin f x x b x =+（b 为常数），则“0b =”是“()f x 为偶函数”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg Em m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （1,2k =）．已知太阳的星等是26.7-，天狼星的星等是 1.45-，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A .10.110B . 10.1C .lg10.1D . 10.110-8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A .44cos ββ+B .44sin ββ+C .22cos ββ+D .22sin ββ+第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知向量()=4,3-a ，()6,m =b ，且⊥a b ，则m = .10.若x ，y 满足2,1,4310,x y x y ⎧⎪-⎨⎪-+⎩≤≥≥则y x -的最小值为，最大值为 .11.设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页（共18页）数学试卷第4页（共18页）12.某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 .13.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l m ⊥；②m α∥；③l α⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．三、解答题共6小题，共80分。

2019年北京卷文科数学真题(解析版)

2019年北京卷文科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。

1.已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（） A. （–1，1） B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C 【详解】∵{|12},{|1}A x x B x =-<<=> ，∴(1,)A B ⋃=+∞ ，故选C.2.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.3.下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（） A. 12y x = B. y =2x -C.12log y x =D. 1y x=【答案】A【详解】函数122,log xy y x -==， 1y x= 在区间(0,)+∞ 上单调递减，函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .4.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .5.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =（）A.B. 4C. 2D.12【答案】D【详解】分析：详解：∵双曲线的离心率ce a==，c =，∴a=，解得12a = ，故选D.6.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数； ()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m 1的星的亮度为E 2（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E E E E -=⋅= ，故选D.8.如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（）A. 4β+4cos βB. 4β+4sin βC. 2β+2cos βD. 2β+2sin β【答案】B【详解】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为βr 2+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |s in （π-β）+12|OP ||OA |Sin （π-β）=4β+2Sinβ+2Sinβ=4β+4 Sinβ，故选B .二、填空题：每小题5分，共30分。

2019年北京高考文科数学真题及答案

绝密★启封并使用完毕前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）本试卷共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2} （D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C）76（D）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（A （B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD （C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈ （B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉ （D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2019年高考文数北京卷-答案

2019年普通高等学校招生全国统一考试·北京卷数学（文）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1．【答案】C【解析】由题意得{}|1AB x x =-∪＞，即()1,A B =-+∞∪，故选C ．【考点】集合的并运算． 2．【答案】D【解析】通解：因为2z i =+，所以2z i =-，所以()()()222422415z z i i i i i ⋅=+-=-+-=--=，故选D ．优解：222||215z z z ⋅==+=，故选D ．【考点】共轭复数的概念和复数的代数运算． 3．【答案】A【解析】对于幂函数y x α=，当0α＞时，y x α=在()0,+∞上单调递增，当0α＜时，y x α=在()0,+∞上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数1y x =可转化为1y x -=，所以函数1y x=在()0,+∞上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数x y a =（0a ＞，且1a ≠），当01a ＜＜时，x y a =在(),-∞+∞上单调递减，当1a ＞时，xy a =在(),-∞+∞上单调递增，而选项B 中的函数2xy -=可转化为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此函数2x y -=在()0,+∞上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数log a y x =（0a ＞，且1a ≠），当01a ＜＜时，log a y x =在()0,+∞上单调递减，当1a ＞时，log a y x =在()0,+∞上单调递增，因此选项C 中的函数12log y x =在()0,+∞上单调递减，故选项C 不符合题意．故选A ．【考点】幂函数，指数函数，对数函数的单调性． 4．【答案】B【解析】执行程序框图，2,2;2,3;2s k s k s =====，结束循环，输出s 的值为2，故选B ．【考点】循环结构的程序框图． 5．【答案】D【解析】通解：由双曲线方程可知21b =，所以c 所以c e a ==解得12a =，故选D ．优解：由22221,1b e e b a =+=，得215=1+a ，得12a =，故选D ．【考点】双曲线的标准方程和离心率． 6．【答案】C【解析】0b =时，()cos f x x =，显然()f x 是偶函数，故“0b =”是“()f x 是偶函数”的充分条件；()f x 是偶函数，则有()()f x f x -=，即()()cos sin cos sin x b x x b x -+-=+，又()()cos cos ,sin sin x x x x -=-=-，所以cos sin cos sin x b x x b x -=+，则2sin 0b x =对任意x ∈R 恒成立，得0b =，因此“0b =”是“()f x 是偶函数”的必要条件．因此“0b =”是“()f x 是偶函数”的充分必要条件，故选C ．【考点】充分必要条件的判断． 7．【答案】A【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为1m 与1E ,天狼星的星等与亮度分别为2m 与2E ，则由已知条件可知1226.7, 1.45m m =-=-，根据两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=，把1m 与2m 的值分别代入上式得，()1251.4526.7lg 2E E ---=，得12lg 10.1E E =，所以10.11210E E =，故选A ．【考点】指数与对数的运算． 8．【答案】B【解析】如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧AB 上取一点C ，则阴影部分面积为ABP △和弓形ACB 的面积和．因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当ABP △的面积最大时，阴影部分面积最大．又AB 的长为定值，故当点P 为优弧AB 的中点，点P 到弦AB 的距离最大，此时ABP △面积最大，即当P 为优弧AB 的中点时，阴影部分面积最大．下面计算当P 为优弧AB 的中点时阴影部分的面积．因为APB ∠为锐角，且=APB β∠，所以2,=180AOB AOP BOP ββ==︒-∠∠∠，则阴影部分的面积()211+222sin 1802244sin 22AOP BOP OAB S S S S ββββ=+=⨯⨯⨯︒-+⨯⨯=+△△扇形，故选B ．【考点】三角形面积，扇形面积公式．第Ⅱ卷二、填空题 9．【答案】8【解析】因为⊥a b ，所以4630m ⋅=-⨯+=a b ，解得8m =．【考点】向量垂直，向量的数量积． 10．【答案】3-1【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，令z y x =-，作出直线=0y x -，并平移，当平移后的直线过点()2,3A 时，z 取最大值，()max 1y x -=；当平移后的直线过点()2,1C -时，z 取最小值，()min 3y x -=-．【考点】线性规划．【考查能力】数形结合，运算求解．11．【答案】22(1)4x y -+=【解析】因为抛物线的标准方程为24y x =，所以焦点()1,0F ，准线l 的方程为1x =-，所求的圆以F 为圆心，且与准线l 相切，故圆的半径2r =，所以圆的方程为22(1)4x y -+=．【考点】抛物线的几何性质，圆的标准方程． 12．【答案】40【解析】如图，由三视图可知，该几何体为正方体1111ABCD A B C D -去掉四棱柱1111B C GF A D HE -所得，其中正方体1111ABCD A B C D -的体积为64，()111114224242B C GF A D HE V -=+⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为642440-=．【考点】几何体的三视图，体积．13．【答案】若l m ⊥，l α⊥，则m α∥.（或m α∥，l α⊥，则l m ⊥，答案不唯一）【解析】其中两个论断作为条件，一个论断作为结论，可组成3个命题．命题（1）：若l m ⊥，m α∥，则l α⊥，此命题不成立，可以举一个反例，例如在正方体1111ABCD A B C D -中，设平面ABCD 为平面α，11A D 和11A B 分别为l 和m ，满足条件，但结论不成立．命题（2）：若l m ⊥，l α⊥，则m α∥，此命题正确．证明：作直线1m m ∥，且与l 相交，故l 与1m 确定一个平面β，且1l m ⊥，因为l α⊥，所以平面α与平面β相交，设n αβ=∩，则l n ⊥，又1m ，n β⊂，所以1m n ∥，又1m m ∥，所以m n ∥，又m 在平面α外，n α⊂，故m α∥．命题（3）：若m α∥，l α⊥，则l m ⊥，此命题正确．证明：过直线m 作一平面，且与平面α相交，脚线为a ，因为m α∥，所以m a ∥．因为l α⊥，a α⊂，所以l a ⊥，又m a ∥，所以l m ⊥．【考点】空间中线面的位置关系． 14．【答案】13015【解析】①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒共需60+80=140（元），总价达到120元，又10x =，即顾客少付10元，所以需要支付130元．②设顾客买水果的总价为a 元，当0120a ≤＜时，顾客支付a 元，李明得到0.8a 元，且0.80.7a a ≥，显然符合题意，此时0x =；当120a ≥时，则()0.80.7a x a -≥恒成立，即18x a ≤恒成立，min 18x a ⎛⎫⎪⎝⎭≤，又120a ≥，所以min1=158a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15x ≤．综上可知，015x ≤≤，所以x 的最大值为15．【考点】不等式问题，参数的取值范围．三、解答题（共6小题，共80分）15．【答案】解：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-．解得5c =．所以7b =．（Ⅱ）由1cos 2B =-得sin B =．由正弦定理得sin sin a A B b ==．在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==．【考点】利用正、余弦定理理解三角形． 16．【答案】解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+．因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以()()()23248106a a a +=++．所以2(22)(43)d d d -+=-+．解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a ＞；当6n ≤时，0n a ≤．所以，n S 的最小值为630S =-．【考点】等差数列的通项公式，前n 项和公式，等比数列的性质．17．【答案】解：（Ⅰ）由题知，样本中仅使用A 的学生有27330+=人，仅使用B 的学生有24125+=人， A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有1003025540---=人．估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为401000400100⨯=．（Ⅱ）记事件C 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则1()0.0425P C ==．（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”．假设样本仅使用B 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由（II ）知，()=0.04P E ．答案示例1：可以认为有变化．理由如下：()P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E 是随机事件，()P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．【考点】样本估计总体等统计思想，古典概型的知识． 18．【答案】解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥．又因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥．所以BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥．因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，且E 为CD 的中点，所以AE CD ⊥．所以AB AE ⊥．所以AE ⊥平面PAB ．所以平面PAB ⊥平面PAE ．（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得CF ∥平面PAE ．取F 为PB 的中点，取G 为PA 的中点，连结CF ，FG ，EG ．则FG AB ∥，且12FG AB =．因为底面ABCD 菱形，且E 为CD 的中点，所以CE AB ∥，且12CE AB =．所以FG CE ∥，且FG CE =．所以四边形CEGF 为平行四边形．所以CF EG ∥．因为CF ⊄平面PAE ，EG ⊂平面PAE ，所以CF ∥平面PAE ．【考点】线面垂直的判定定理，性质定理，面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理． 19．【答案】解：（I ）由题意得，21b =，1c =．所以2222a b c =+=．所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设1122P x y Q x y （，），（，），则直线AP 的方程为1111y y x x -=+．令0y =，得点M 的横坐标111M x x y =--．又11y kx t =+，从而11||||1M x OM x kx t ==+-．同理，22||||1x ON kx t =+-．由22,12y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=．则122412kt x x k +=-+，21222212t x x k-=+．所以1212||||||||11x x OM ON kx t kx t ⋅=⋅+-+-()12221212||(1)(1)x x k x x k t x x t =+-++-22222222212||224(1)()(1)1212t k t kt k k t t k k -+=-⋅+-⋅-+-++12||1t t+=-．又||||2OM ON ⋅=，所以12||21tt+=-．解得0t =，所以直线l 经过定点()0,0．【考点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系． 20．【答案】解：（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+．令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-，即y x =与6427y x =-．（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-．由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-．令()0g'x =得0x =或83x =． (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0．故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a -＜时，()(0)|(0)|3M F g a a a =-=-≥＞；当3a -＞时，21()(2)|(2)|63ni i M F g a a a X =-=--=+∑≥＞；当3a =-时，()3M a =．综上，当()M a 最小时，3a =-．【考点】利用导数求曲线的切线方程，不等式的证明，与函数最值有关的问题．。

2019年北京卷文数高考试题文档版(含答案)

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=（A）（–1，1）（B）（1，2）（C）（–1，+∞）（D）（1，+∞）（2）已知复数z=2+i，则z z⋅=（A）3（B）5（C）3 （D）5（3）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（A）12y x=（B）y=2x-（C）12logy x=（D）1yx=（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（5）已知双曲线2221xya-=（a>0）的离心率是5，则a=（A ）6 （B ）4 （C ）2 （D ）12（6）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为k m 的星的亮度为k E （k =1,2）．已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10.110-（8）如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（A ）4β+4cos β （B ）4β+4sin β （C ）2β+2cos β （D ）2β+2sin β第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(精校版)2019年北京卷文数高考真题文档版(含答案),推荐文档

绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40 分)、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中, (1 )已知集合 A={x —<x<2} , B={x|x>1}，则 A U B=(2 )已知复数z=2+i ，则z z(3)下列函数中，在区间(0, + )上单调递增的是(4)执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为选出符合题目要求的一项。

(A)( -,1)(B)( 1, 2)(C ) (D )(1, + m )(A) ,3(C ) (D )1(A) y x 2(B) y=2 x(C )log^x2(D )(A) 1(B) 2(C ) 3 (D )2x (5)已知双曲线牛a1 (a>0)的离心率是.5，则a=(6)设函数f (x ) =cosx+bsinx (b 为常数)，则“ b=0”是“ f (x )为偶函数”的(A)充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件(D )既不充分也不必要条件两颗星的星等与亮度满足 m 2 -g 弓lg 号,2 E2其中星等为m k 的星的亮度为 E k ( k=1,2) •已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是 -.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为域的面积的最大值为第二部分(非选择题共110分):■、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9)已知向量 a = ( -, 3), b = (6, m ),且 a b ，则 m= ____________________ .x 2,(10 )若x , y 满足 y 1,则y x 的最小值为 ____________ ，最大值为 ___________ .4x 3y 1 0,(11 )设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为I •则以F 为圆心，且与I 相切的圆的方程为 __________________ (12)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示•如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 ____________(A )、、6(B) 4(C ) 2(7)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述. (A) 1010.1( B ) 10.1(C ) lg10.1 (D ) 1010.1(8)如图,A ,B 是半径为 2的圆周上的定点,P 为圆周上的动点,APB 是锐角，大小为 ©图中阴影区(A) 4 供4cos ©(B) 4 供4sin © (C) 2 供2cos ©(D) 2 供2sin ©①I 丄m ;②m //:③I 丄以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： __________ .(14)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80% .① 当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 __________ 元；② 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，贝Ux 的最大值为三、解答题共6小题，共80分。

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