格与布尔代数试题1电子版本
离散数学答案 第十章 格和布尔代数
第十章格和布尔代数习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界；⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界；⑶是，与⑵同理；⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。
2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。
故a ∨b=b ∧c ；⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ；又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。
即(a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。
习题10.21．解 由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ∉S 1;＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ∉S 2;＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格.2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个：S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24},S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}.3．证明 因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是<L ，∨,∧>的子集，即是<L ，∨,∧>的子代数，故是子格。
4．证明 由(10-4)有，a ∧b ≤a ,由已知a ≤c ,由偏序关系的传递性有，a ∧b ≤c ；同理 a ∧b ≤d 。
由(10-5)和以上两式有，a ∧b ≤c ∧d .5．证明 因为由(10-4)有，a ∧b ≤a ，因此，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨(c ∧d ) ①由分配不等式有，a ∨(c ∧d )≤(a ∨c )∧(a ∨d ) ②再由由(10-4)有，(a ∨c )∧(a ∨d ) ≤a ∨c ③由偏序关系的传递性和①②③则有，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨c同理 (a ∧b )∨(c ∧d )≤b ∨d因此有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤(a ∨c ) ∧(b ∨d )。
离散数学第6章 格与布尔代数
6-1 格的概念
5）下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之，若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理：〈A，∨，∧〉代数系统，∨.∧满足交换性， 结合性，吸收性，则A上存在偏序关系≤，使〈A，≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A，∨，∧〉； 而从满足三个条件的〈A，∨，∧〉也可导出格〈A，≤〉 证明见书：（格中⑻⑼⑾三个性质很重要，决定了格）
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理：格〈A，≤〉 (1)引理6-1.1：〈A，∨，∧〉代数系统，若∨, ∧满足吸收性，
则∨, ∧满足幂等性 证：a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支，由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A，≤〉，≤偏序关系：满足自反性，反对称性， 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示：
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A，∨，∧〉是格〈A，|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
离散数学12格和布尔代数
第十二章 格和布尔代数12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨证明因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。
又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。
即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有：)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。
12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。
又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。
即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。
所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。
（2）证明因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。
又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。
从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。
即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。
因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。
10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。
证明因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。
于是有：)((b a a a a a ∧∨∧=∧)(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a =同理可证，a a a =∨。
故∨和∧也满足等幂律。
10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨证明（1）必要性因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。
格与布尔代数
例7.12 设B={0，1}，B n=BxBx…xB，B n中的元 素a=＜a1，a2，…，an＞，b=＜b1，b2，…，bn＞, 其中ai与bi取0或1，＜0，0，…，0＞表示为0n， ＜1，1，…，1＞表示为1n，定义*， ⊕ 与┐运算
如下：
a*b=＜a1*b1，a2*b2，…,an*bn＞,a⊕b＜a1⊕b1， a2⊕b2，…， an⊕bn＞, ┐a=＜┐a1， ┐a2，…，┐an ＞,可验证：＜Bn，*，⊕，┐，0n，1n＞符合条件 （H1）至（H4），故可构成布尔代数。
3、分配格的判定 定理7.7 格L是分配格，当且仅当L中不含有与钻 石格或五角格同构的子格。 推论7.1 （1）小于五元的格都是分配格；（2） 任意一条链都是分配格。 证明P130
例7.7 图7.4中哪个是分配格，哪个不是？
f
f
f
d e
e d
b
c
d
b
c c
e b
a
（a)L1
a
（b)L2
图7.4 格的示意图
7.1 格的基本概念
7.1.1 格的定义 1、格定义7.1 设＜A，≤＞是一个偏序集，对于 Ɐa,b∈A,子集{a，b}在A中都有一个最大下界(也 称为下确界，记为inf{a,b})和一个最小上界(也称 为上确界，记为sup{a,b}),则称＜A，≤＞为 格。
2、诱导的代数系统 定义7.2 设＜A，≤＞是一个格，如果在A上定义两 个二元运算，使得对Ɐa,b∈A，a∧b等于a和b的最 大下界，a∨b等于a和b的最小上界。则称＜A，∧， ∨ ＞为由格＜A，≤＞所诱导的代数系统。
⊕0 1 00 0 10 1
x ┐x
01 10
可验证＜B，*，⊕ ，┐，0，1＞是布尔格，也称为 二值布尔代数。
离散数学结构 第十三章 格与布尔代数
第十三章格与布尔代数13.1 格的定义与性质一、格作为偏序集的定义1．格的定义定义13.1设<S,>是偏序集,如果x,y S,{x,y}都有最小上界和最大下界,则称S 关于偏序作成一个格。
由于最小上界和最大下界的唯一性,可以把求{x,y}的最小上界和最大下界看成x与y的二元运算∨和∧,即求x∨y和x∧y分别表示x与y的最小上界和最大下界。
这里要说明一点，本章中出现的∨和∧符号只代表格中的运算，而不再有其它的含义。
2．格的实例例13.1设n是正整数,S n是n的正因子的集合。
D为整除关系,则偏序集<S n,D>构成格。
x,y∈S n,x∨y是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数。
x∧y是gcd(x,y),即x与y的最大公约数。
图13.1给出了格<S8,D>，<S6,D>和<S30,D>.图13.1例13.2 判断下列偏序集是否构成格,并说明理由。
(1) <P(B),>,其中P(B)是集合B的幂集。
(2) <Z,≤>,其中Z是整数集,≤为小于或等于关系。
(3) 偏序集的哈斯图分别在图13.2中给出。
二．格的性质1．对偶原理定义13.2设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧的命题。
令f*是将f中的替换成,替换成,∨替换成∧,∧替换成∨所得到的命题。
称f*为f的对偶命题。
例如,在格中令f是(a∨b)∧c c, 则f*是(a∧b)∨c c .格的对偶原理设f是含有格中元素以及符号=,,,∨和∧等的命题。
若f对一切格为真,则f的对偶命题f*也对一切格为真。
例如,对一切格L都有a,b∈L,a∧b a那么对一切格L都有a,b∈L,a∨b a许多格的性质都是互为对偶命题的。
有了格的对偶原理,在证明格的性质时,只须证明其中的一个命题就可以了。
2. 运算性质定理13.1设<L,>是格,则运算∨和∧适合交换律、结合律、幂等律和吸收律,即(1) a,b ∈L 有a∨b=b∨a, a∧b=b∧a(2) a,b,c∈L 有(a∨b)∨c=a∨(b∨c), (a∧b)∧c=a∧(b∧c)(3) a∈L 有a∨a=a, a∧a=a(4) a,b∈L 有a∨(a∧b)=a, a∧(a∨b)=a证(1)a∨b和b∨a分别是{a,b}和{b,a}的最小上界。
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§4.7 格和布尔代数习题4.71．确定具有如图4.4所示哈斯图的偏序集是否为格。
图4.4 习题1的图解图(a)不是格，图(b)是格，图(c)是格。
2．证明每个有限格都有一个最小元素和一个最大元素。
证明：用反证法，假设某有限格中没有最大元素，只有极大元，则这几个极大元之间没有上确界，与格的定义矛盾，从而有限格中都有最大元素。
同理可证明有最小元素。
3．给出一个无限格的例子，使得（1）既没有最小元素也没有最大元素。
（2）有最小元素但没有最大元素。
（3）有最大元素但没有最小元素。
（4）有最小元素也有最大元素。
解：（1）对于偏序集<R，≤>，既没有最小元素也没有最大元素。
（2）对于偏序集<N，≤>，有最小元素0，但没有最大元素。
（3）对于偏序集<Z-，≤>，有最大元素-1，但没有最小元素。
（4）对于偏序集<[1,2]，≤>，有最大元素2，有最小元素1。
4．给出一个有限格的例子，其中至少1个元素有多于1个的补元，且至少1个元素没有补元。
解如下哈斯图所示的偏序集是一个格，元素e有补元a和d，元素a有补元e和d，元素d有补元a和e，但元素b和c都没有补元。
1bd5．设是有界格，证明：（1）若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。
（2）若≥3，且是链（全序集），则不是有补格。
证明：（1） 用反证法，假设L 中存在一个元素a 以自身为补元，所以a -1=a.据有界格的定义，则a ⨁a =a =1，a ⨂a =a =0显然，二者矛盾。
因此若≥2，则中不存在以自身为补元的元素。
（2） 用反证法，假设L 是有补格，则L 中每个元素都是有补元的。
若a 和b 是补格， 则需要满足a ⨁b =1，a ⨂b =0，但是a,b 间不一定可以比较，也就是说不一定是全序集，与条件矛盾。
6．格是分配格吗？试分析之。
解：不是分配格，例如有三个数，c|a,b 与c,a 都不具有整除关系，但是，但，不满足分配律，所以不是分配格。
(优选)第篇格与布尔代数
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的 a,bA, 都有：
ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
(1)先证 ab (a∧b)=a
由ab和a a ，根据定理15-1.2得 a a∧b
又根据a∧b的定义， 有
a∧b a
由二元关系的反对称性得 ：
（优选）第篇格与布尔代数
通常用a∨b 表示{a,b}的上确界,用a∧b 表示{a， b}的下确界,∨和∧分别称为保联(join)和保交(meet) 运算。由于对任何a，b，a∨b及a∧b都是A 中确定 的成员，因此 ∨,∧均为A上的运算。
例3 设S={a,b} ， (S) ={, {a},{b},{a,b}} 由格< (S), >诱导的代数系统为< (S),∨,∧> 。 其中∨为集合的并运算和∧为集合的交运算。
a∧b = a
(2) 再证 (a∧b)=a ab
设a∧b=a，则a =a∧bb ，这就证明了
(a∧b)=a ab
综合(1)和(2)得： ab(a∧b)
定理15-1.7 设<A, >是一个格,那么，对于任意的
a,b,cA, 都有： aca∨(b∧c) (a∨b)∧c
证明思路： (1)先证 ac a∨(b∧c) (a∨b)∧c 根据定理15-1.6有 ac (a∨c)=c 根据定理15-1.5有a∨(b∧c)(a∨b)∧(a∨c)
可以证明，若<A,>是格，则<A,R>也是格。 称R是的逆关系。记为。
格对偶原理可以叙述为：设P是对任意格都真的命题， 如果在命题P中把换成 ，∨换成∧，∧换成∨，就
格与布尔代数试题1电子版本
格与布尔代数试题1一、选择题（每小题2分，共30分）1、N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（C ）。
)(A 有界格 )(B 有补格 )(C 分配格 )(D 有补分配格2、在有界格中，若只有一个元素有补元，则补元（C ）。
)(A 必唯一 )(B 不唯一 )(C 不一定唯一 )(D 可能唯一3、下面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格（C ）fgceaecdfdebca ebABCD4、以下为4个格对应的哈斯图，（ D ）是分配格。
A BCD5、只含有有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ D ）)(A 分配格 )(B 有补格 )(C 布尔格 )(D 有界格6、设≤><,L 是一条链，其中3≥L ，则≤><,L （ C ）)(A 不是格 )(B 是有补格 )(C 是分配格 )(D 是布尔格7、设A 为一个集合，⊆><),(A P 为有补格，)(A P 中每个元素的补元（ A ）)(A 存在且唯一 )(B 不存在 )(C 存在但不唯一 )(D 可能存在8、设≤><,A 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足（ B ）)(A 每个元素都有一个补元 )(B 每个元素都至少有一个补元 )(C 每个元素都无补元 )(D 每个元素都有多个补元9、如下哈斯图（ C ）表示的关系构成有补格。
ABCD10、如图给出的哈斯图表示的格中（ B ）元素无补元。
abdfg)(A a )(B c)(C e )(D f11、设格>≤<>≤<21,,B A 和如图所示，它们的运算分别为⊗⊕∧∨，和,。
令8421)(,)(,)(,)(x d f x c f x b f x a f ====，则f （ B ）)(A 是格同态映射 )(B 不是格同态映射 )(C 是格同构映射 )(D 是自同态映射12、有限布尔代数的元素的个数必定等于（ C ）)(A n 2 )(B 2n )(C n 2 )(D n 413、在布尔格≤><,A 中有3个原子321,,a a a 则=1a （ B ）)(A 32a a ∧ )(B 32a a ∨ )(C 32a a ∧ )(D 32a a ∨14、在布尔格≤><,A 中，}2105|{的正因子的整数倍且是是X X A =，|为整除关系。
地六章-格和布尔代数(1)
定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1，称为互 相对偶的两个关系。 对任意 x, y∈L，xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的 关系即为蕴涵关系 的逆关系。 因此，对任意 P, Q∈S， (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数，Sn 是 n 的所有因数的集合， 两个正整数的最大公因数 ，最小公倍数 可看作是 Sn 上两个代数运算，于是，(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义（以对应一个代数格；任意一个代 数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律，实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a，由 , 满足吸收律知
a(aa)＝a
a(aa)＝a
故
aa＝a(a(aa))
aa＝a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知，上面两式的等式右端都等于 a。
因此，
aa＝a
aa＝a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合，定义 “” 关系如下： A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S， sup{A, B}＝A∧B∈S inf{A, B}＝A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算 和 封闭， 则 M 称作子格。
例如：a 是格 L 的一个固定元素，则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合，显然是一个子格。若 a≥b，则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格，这样的子格 叫作一个闭区间(商)，记作 M(a,b)。
例如，S6＝{1, 2, 3, 6}， S24＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。
6.3格与布尔代数
格的性质(续)
6)、保序性：如果b≤c，那么a∧b≤a∧c a ∨ b≤a∨c 7)、分配不等式: •
a∨(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c); a∧(b∨c)≥(a∧b)∨(a∧c); 8)、模不等式： a≤b a∨(b∧c) ≤b∧(a∨c)
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证明： (a∨b)∨c=a∨(b∨c)
先证： (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) ∵ a ≤ a∨(b∨c) b ≤ b∨c ≤a∨(b∨c) ∴a∨b≤ a∨(b∨c) 又：c ≤ a∨(b∨c) 从而， (a∨b)∨c ≤ a∨(b∨c) 同理有 a∨(b∨c) ≤(a∨b)∨c ， 由偏序的反传递性知，(a∨b)∨c=a∨(b∨c)
5的补元是2和3。
例：在<S24,|> 中
24 12 6 4 2 1 S24 8
最大元为24,最小元为1, 1和24互为补元, 3和8互为补元，
3
2,4,6,12均不存在补元。
例：
1 在如上图有界格中0和1互为补 a b c d 元而 a,b,c,d的补元均有三个， 譬如，a的补元是b，c，d。 0 1 a c 0 b 在下图中的有界格中，0和1互 为补元， 但a,b,c均不存在补元。
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代数格
定义10：设L是一个非空集合，∧，∨是L中的两 个二元运算，两个运算还满足a,b,c∈L (1)交换律 (2)结合律 a∧b=b∧a，a∨b=b∨a； (a∧b)∧c= a∧(b∧c)， (a∨b)∨c=a∨ (b∨c); (3)吸收律 a∧(b∨c)= a, a∨(b∧c)= a
例1：
记作(L,≤,1,0)或记(L,∧,0,0,1)
例:(Sn,|)是格,则其是有界格,其中最大元是n,最小元 是1,因x∈Sn,1|x,x|n。
第7章 格和布尔代数
第7章 格和布尔代数 章
③设ab，bc，则a∧b=a，b∧c=b，于是 a∧c=（a∧b）∧c＝a∧（b∧c）＝a∧b=a 故ac。传递性得证。 （2）可证ab当且仅当a∨b＝b。 设ab，那么a∧b=a，从而（a∧b）∨b＝a∨b, 由吸收律即得b=a∨b。反之，设a∨b＝b，那么a∧ （a∨b）＝a∧b，由吸收律可知a＝a∧b，即ab。
证明 （1）因为a∨b是a的一个上界，所以aa∨b；同 理有ba∨b。由对偶原理可得a∧ba，a∧bb。 （2）由题设知ab，cd，由（1） 有bb∨d，db∨d，于是由的传递性 有ab∨d，cb∨d。 这说明b∨d是a和c的一个上界，而a∨c是a和c的最 小上界，所以，必有 a∨cb∨d 将a∧c≤b∧d的证明留给读者。 （3）将（2）中的a代替b，b代替c，c代替d即可得证。
第7章 格和布尔代数 章
第7章 格和布尔代数 章
7.1 格与子格 7.2 特殊格 7.3 布尔代数 7.4 例题选解 习题七
第7章 格和布尔代数 章
7.1 格与子格
本章将讨论另外两种代数系统——格与布尔代数， 它们与群、环、域的基本不同之处是：格与布尔代数 的基集都是一个有序集。这一序关系的建立及其与代 数运算之间的关系是介绍的要点。格是具有两个二元 运算的代数系统，它是一个特殊的偏序集，而布尔代 数则是一个特殊的格。
⊆ 就是S的子集之间的包含关系。
第7章 格和布尔代数 章
（2）〈Sn,*,。〉是一个代数系统，Sn是n的所有因 子作元素构成的集合,这里对于任意的x,y∈Sn,x*y={x,y} 的最大公约数，x。y={x,y}的最小公倍数，因为*,。满 足可交换、可结合并满足吸收律，所以〈Sn,*, 。 〉是 格，并且该格对应的偏序关系就是整除关系。简单地 说，子格即为格的子代数。
离散数学 第五章 格与布尔代数
由于这里的*和⊕就是上面格中的*运算和⊕运算，故有
a*b=glb{a,b}= GLB{a,b} a⊕b=lub{a,b}= LUB{a,b}
下面证明半序关系≤等于半序关系≤’。 1）若a≤b，则有GLB{a,b}=a ，又因为a*b=GLB{a,b}， 故有a*b=a，即a≤’b，由(a,b) 的任意性知≤ ≤’。 2）若a≤’b，则有a*b=a ，又因为a*b=GLB{a,b}，故有 a=GLB{a,b}，由下确界的定义知有a≤b，由(a,b)的任意性知 ≤’ ≤。
例2. 设I是整数集合， a,b∈I， 定义运算*和⊕如下： a*b=min{a,b} a⊕b=max{a,b} 则<I, *,⊕>是代数系统。 1）由于 a∈I, a*a=min{a,a}=a a⊕a=max{a,a}=a
故由定义1知，*和⊕运算均满足幂等律。 2）任取a,b∈I，由于有
a*(a⊕b)=min{a,max{a,b}}=a
由集合相等的定义知≤’=≤，即≤和≤’是同一个半序关 系。
由此可知，格与任意两个元素有上、下确界的半序集 是等价的，即格就是格。于是得到 格的另一种等价的定义。
定义3’ 设<L, ≤>是半序集，若L中的任意两个元素有上、 下确界存在，则称<L, ≤>是格。 由于定义3和定义3’的等价性，以后关于格，既可以用 <L,*,⊕>表示，也可以用 表示。当用<L,*,⊕>表示时，半序 关系是用a*b=a或a⊕b=b定义的。当用<L, ≤>表示时，两个运 算是用
故*运算和⊕运算满足结合律。
2）由于 a,b∈I，有 a*b=min{a,b}=min{b,a}=b*a a⊕b=max{a,b}=max{b,a}=b⊕a 故*运算和⊕运算满足交换律。
第6章 格与布尔代数
借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+；(4)0改为1；(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础，在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的，后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究，在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文，为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
离散数学 格与布尔代数
P’: a∨b≥a
{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a
三. 格的性质
<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。a,b,c,d∈A 1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b
此性质由运算∨和∧的定义直接得证。 2.如果a≤b，c≤d，则 a∨c≤b∨d，a∧c≤b∧d。 证明：如果a≤b，又b≤b∨d，由传递性得 a≤b∨d, 类似由c≤d， d≤b∨d，由传递性得 c≤b∨d, 这说明b∨d是 {a,c} 的一个上界，而a∨c是 {a,c} 的最小上
可见它们同构。
格同构，它们的哈斯图的形状一定相同。
具有1、2、3个元素的格分别同构于含有一、二、三 个
元素的链。
a
a
a
b
b c
具有4个元素的格分别同构a 于下面两种格形 a式之一：
b
c
b
c
d
d
具有5个素的格分别同构于下面五种格形式之一：
a b c b
d
e
a c d b e
a c b
d e
a
c
d
c
e
a b
d e
2. 格同态的保序性
定理：设f是格<A1,≤1> 到<A2, ≤2> 的同态映射，则对任 何a,b∈A1，如果a≤1b，则 f(a)≤2f(b)。 证明：令<A1,∨1,∧1>和 <A2,∨2,∧2>是格<A1,≤1> 和
<A2, ≤2>诱导的代数系统，任取a,b∈A1，设a≤1b， 则 a∧1b=a f(a∧1b)=f(a) 即 f(a)∧2f(b)=f(a) 而 f(a)∧2f(b) ≤2f(b) 所以 f(a)≤2f(b). 3. 格同构的保序性
离散数学第七章格与布尔代数
contents
目录
• 格的概述 • 布尔代数 • 格与布尔代数的应用 • 格与布尔代数的关系 • 格与布尔代数的扩展知识
01
CATALOGUE
格的概述
格的定义与性质
定义
格是一个有序的二元组(L,≤)，其中L 是非空集合，≤是L上的二元关系， 满足自反性、反对称性和传递性。
布尔代数性质
布尔代数具有一些基本性质，如交换 律、结合律、吸收律等，这些性质使 得布尔代数成为逻辑推理和电路设计 等领域的重要工具。
布尔代数的运算
逻辑与运算
逻辑与运算用符号"∧"表示，表示两个逻辑量同时 为真时结果才为真。
逻辑或运算
逻辑或运算用符号"∨"表示，表示两个逻辑量至少 有一个为真时结果才为真。
布尔代数的扩展运算
布尔函数的复合
01
通过将两个或多个布尔函数连接在一起，形成更复杂的布尔函
数。
布尔函数的展开
02
将一个复杂的布尔函数分解为简单的布尔函数，以便更好地理
解和分析。
布尔函数的化简
03
通过消除冗余的输入和输出，简化布尔函数的表示。
格与布尔代数在其他领域的应用
计算机科学
01
格与布尔代数在计算机科学中有着广泛的应用，例如
布尔代数用于描述命题逻辑和谓词逻辑中的各种关系和运算，而格理论则用于描述集合论和集合运算。
格与布尔代数的理论框架为逻辑推理提供了数学基础，有助于深入研究和理解逻辑推理的本质和规律。
计算机科学中的应用
01 02 03 04
计算机科学是离散数学的另一个重要应用领域，其中格与布尔代数在 计算机算法、数据结构和程序设计语言等方面有广泛应用。
布尔代数(1)
布尔代数首先是一个格，是个特殊的格(布尔格)，其特 殊性表现在三个方面，即有界性，有余性和可分配性。另外 显见，在集合 B 中存在一个偏序关系 ≤，同时因布尔代数 是个有余分配格，故前述的关于有余格、分配格的性质在其 中皆成立，亦即为布尔代数的一般性质。
因为布尔代数是一个格，今后将布尔代数中的运算简 记为 •，称为乘法。运算 简记为 ，称为加法。因为布尔 代数是有界格，将最大元素记为 1，最小元素记为 0。因为 布尔代数是有余分配格，所以，对布尔代数中任意元素 a， 有唯一的余元素，因此，这是布尔代数上的一个一元代数运 算，称为余运算，今后将布尔代数中的余运算记为 ˉ ，例 如，元素a的余元素记为，因此，一个布尔代数可记为 (B, •, , ˉ, 0, 1)。今后，有时将 a•b 简记为 ab。
一个布尔代数必有上述的性质，但上述布尔 代数的性质不是互相独立的，这些性质可以由交 换律、分配律、同一律和互余律推出。下面我们 用亨廷顿公理（Huntington 公理）来重新定 义 布 尔 代 数 。 下 述 Huntington 公 理 中 的 H1~H4 是相互独立的，其中的任意一个公理都 不能由其余的公理推出来。
P’ 或 P’’ 中可能没有元素，但照样适用以下的论证。
由交换律， P＝P’•(an•P’’)＝P’•(P’’•an)＝(P’•P’’)•an，
现在 P’•P’’ 中只有 n1 个元素 a1, a2,…, an1， 只不过次序有颠倒，由归纳法假定，
P’•P’’ ＝ a1• a2• … • an1 因此，P＝(P’•P’’)•an ＝a1• a2• … •an1•an，
②′ab＝ba
③ (a•b)•c＝a•(b•c)
③′(ab) c＝a(bc)
④ a•(ab)＝a
第九章 格与布尔代数 - 同济大学
定义9.3.3 设L是格，若对任意 b, c ∈ L，有 是格， 定义 是格 若对任意a, ， 分配律) ∧ （1）a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c) (∧对∨的分配律 ） ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ 分配律) （2）a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c) (∨对∧的分配律 ） ∨ ∧ ∨ ∧ ∨ ∨ 则称L是分配格 是分配格。 则称 是分配格。 是集合， 是分配格。 例9.3.2 设S是集合，则(P(S), ⊆ )是分配格。 是集合 是分配格
• 如果 是一个有界格，则对任意 ∈ L均有 如果L是一个有界格 则对任意a 是一个有界格， 均有 （1）O ≼ a ≼ I ） （2）a ∨ O = a, a ∧ O = O ） （3）a ∨ I = I, a ∧ I = a ） 是正整数集合，偏序“ 例 设Z+是正整数集合，偏序“≼”为：a ≼ b ⇔ a|b | 则格(Z 无最大元。 则格 +, ≼)不是有界格， (Z+, ≼) 无最大元。 不是有界格， 全序集(Z, ≤)不是有界格， (Z, ≤)无最元。 无最元。 全序集 不是有界格， 无最元
定义9.3.6 设( B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S是B的非空 是布尔代数， 是 的非空 定义 是布尔代数 子集，如果S 对于运算∨ 封闭，则称S是布 子集，如果 对于运算∨, ∧, ¯ 都封闭，则称 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 例如， 是布尔代数， 例如，设(B, ∨, ∧, ¯ )是布尔代数，S={O, I }, 则S是布 是布尔代数 是布 尔代数B的子代数 的子代数。 尔代数 的子代数。 如果S是布尔代数 的子代数， 是布尔代数B的子代数 例9.3.9 如果 是布尔代数 的子代数，则O, I ∈ S. I = a∨a, O = a∧a ∨ ∧
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12}b) L={1，2，3，4，6，8，12}c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
126312 4c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A }[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x 863 124 12 10 84 2 6 973 1 5 10∈A1∧f (x)=y)}⊆B 所以B1∈2B，故此S⊆2B；又B0=f (A)∈S (因为A∈2A)，所以S非空；对于任何B1，B2∈S，存在着A1，A2∈2A，使得B1=f (A1)，B2=f (A2)，从而L∪B{B1，B2}=B1∪B2=f (A1)f (A2)=f (A1∪A2) （习题三的8的1））由于A1∪A2⊆A，即A1∪A2∈2A，因此f (A1∪A2)∈S，即上确界L∪B{B1，B2}存在。
对于任何B1，B2∈S，定义A1=f –1(B1)={x|x∈A∧f (x)∈B1}，A2=f-1(B2)={x|x∈A∧f (x)∈B2}，则A1，A2∈2A，且显然B1=f (A1)，B2=f (A2)，于是GLB{B1，B2}=B1∩B2=f (A1)∩f (A2)⊇f (A1∩A2) （习题三的8的2））又若y∈B1∩B2，则y∈B，且y∈B2。
第十章格与布尔代数
( y) (x y) (x) ( y) (x) 2 ( y); (2) : ()由(1)得：x 1 y (x) 2 ( y)，反之：(x) 2 ( y) (x) ( y) ( y) (x y) y x y x 1 y ()对x, y L1，x 1 y (x) 2 ( y) 令x y z，则x 1 z，y 1 z (x) 2 (z)，( y) 2 (z) (x) ( y) (z) (x y) 另一方面，是满射，(x)，( y) L2，则(x) ( y) L2 则必存在u L1，使得(u) (x) ( y)
13/73
10.2 子格与格同态
(x) 2 (u)，( y) 2 (u) x 1 u，y 1 u， x y 1 u (x y) 2 (u) (x) ( y) (x y) (x) ( y) 同理：(x y) (x) ( y) 为格同构
• 例10-2：在同构意义下：具有1，2，3个元素的格
➢(1)偏序集的任一子集并非都有上下确界， ➢(2)偏序集的某一子集的上下确界若存在，则唯一，
格的定义确定了上下确界的存在性，
➢(3){x, y}的上确界记为x∨y，下确界记为x∧y
1/73
10.1 格的定义与性质
• 定义10.2：设f是含有格中元素及符号=, ≤,≥,
∨, ∧的命题，令 f *是将f中≤,≥, ∨, ∧分别 替换为≥, ≤,∧,∨所得到的命题，则称 f * 是f 的对偶命题或称对偶式。
3/73
10.1 格的定义与性质
➢由定理10.1知，格的两个运算满足交换律，结合
律，幂等律，因此可以考虑用带有这4条性质的2 个二元运算∨, ∧，来像群，环，域，一样定义 格，即用<L, ∨, ∧ >来定义格，可以证明这是 可行的。
第十五章 格与布尔代数
性质2：每个链<L,≤>都是分配格。 链
（|L|≥3）链
例：试判断下面两个哈斯图是否表示的是分配格？
a
a
b
c
bc d
d
e
e
(1)
(2)
显然(1)是格，但因为b(cd)= ba=b，而 (bc)(bd)=ee=e，故它不是分配格；显然(2)也是格 ，但因为c(bd)= ca=c，而(cb)(cd)=ed=d，故 它也不是分配格，
a
a
b
c
bc
d
d
e
e
(1)
(2)
a
b
c
e
d
f
g
(3)
例：证明<Sn,≤>是一个分配格。 证：设∧和∨分别为Sn上的交（或积）和并 （或和）运算，对于任意a，b，c∈Sn，有 a∨(b∧c)=lcm(a, gcd(b, c)) =gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))=(a∨b∧(a∨c) a∧(b∨c)=gcd(a, lcm(b, c)) =lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))=(a∧b)∨(a∧c) （事实上，上面是利用“最大公约数对最小公 倍数是分配的，最小公倍数对最大公约数也是分
显然，对于ab，有：
①ab≤a和ab≤b，则表明ab是a和b的下 界。
②若c≤a和c≤b，则c≤ab，这表明ab是a和 b的最大下界。
对于ab，有：
①a≤ab和b≤ab，则表明ab是a和b的上 界。
②若a≤c，且b≤c，则ab≤c，这表明ab是a 和b的最小上界。
例 设n为正整数，Sn为n的正因子的集合 ，≤为整除关系，则<Sn，≤>构成格。
解：a)的最小元是a，无最大元。b)既无最大元也 无最小元。c)无最小元，最大元是d。d)的最小元 是a，最大元是d。
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格与布尔代数试题1
一、选择题（每小题2分，共30分）
1、N 是自然数集，≤是小于等于关系，则≤><,N 是（C ）。
)(A 有界格 )(B 有补格 )(C 分配格 )(D 有补分配格
2、在有界格中，若只有一个元素有补元，则补元（C ）。
)(A 必唯一 )(B 不唯一 )(C 不一定唯一 )(D 可能唯一
3、下面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格（C ）
f
g
c
e
a
e
c
d
f
d
e
b
c
a e
b
A
B
C
D
4、以下为4个格对应的哈斯图，（ D ）是分配格。
A B
C
D
5、只含有有限个元素的格称为有限格，有限格必是（ D ）
)(A 分配格 )(B 有补格 )(C 布尔格 )(D 有界格
6、设≤><,L 是一条链，其中3≥L ，则≤><,L （ C ）
)(A 不是格 )(B 是有补格 )(C 是分配格 )(D 是布尔格
7、设A 为一个集合，⊆><),(A P 为有补格，)(A P 中每个元素的补元（ A ）
)(A 存在且唯一 )(B 不存在 )(C 存在但不唯一 )(D 可能存在
8、设≤><,A 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足（ B ）
)(A 每个元素都有一个补元 )(B 每个元素都至少有一个补元 )(C 每个元素都无补元 )(D 每个元素都有多个补元
9、如下哈斯图（ C ）表示的关系构成有补格。
A
B
C
D
10、如图给出的哈斯图表示的格中（ B ）元素无补元。
a
b
d
f
g
)(A a )(B c
)(C e )(D f
11、设格>≤<>≤<21,,B A 和如图所示，它们的运算分别为⊗⊕∧∨，和,。
令8421)(,)(,)(,)(x d f x c f x b f x a f ====，则f （ B ）
)(A 是格同态映射 )(B 不是格同态映射 )(C 是格同构映射 )(D 是自同态映射
12、有限布尔代数的元素的个数必定等于（ C ）
)(A n 2 )(B 2n )(C n 2 )(D n 4
13、在布尔格≤><,A 中有3个原子321,,a a a 则=1a （ B ）
)(A 32a a ∧ )(B 32a a ∨ )(C 32a a ∧ )(D 32a a ∨
14、在布尔格≤><,A 中，}2105|{的正因子的整数倍且是是X X A =，|为整除关系。
则30的补元为（ C ）
)(A 15 )(B 30 )(C 35 )(D 70
15、设>≤<>≤<21,,B A 和是两个格，的双射到是B A f ，则对任意的A b a ∈,，有)()(21b f a f b a ≤⇔≤是格同构的（ C ）
)(A 必要条件 )(B 充分条件
)(C 充要条件 )(D 既不充分也不必要
二、由下列集合L 构成的偏序集≤><,L ，其中≤定义为：对于1n ，
2n ,L ∈1n ≤2n 当且仅当1n 是2n 的因子。
问其中哪几个偏序集是格（说明理
由）。
（共6分）
a)、}12,6,4,3,2,1{=L b)、}14,12,8,6,4,3,2,1{=L c)、}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{=L
三、图中为格L 所对应的哈斯图。
（共10分）
1
c
a
（1）0,,,d b a 的补元是否存在？如存在请给出。
（2）L 是否是有补格？说明理由。
（3）L 是否是分配格？说明理由。
四、n S 是由正整数n 的所有因子构成的集合，n m |表示n m 整除。
对于格
><|,30D （共10分）
（1）、证明><|,30D 是布尔格。
（2）、作出其对应偏序集的哈斯图。
（3）、找出30D 的所有原子。
五、给定布尔代数>⌝∧∨<,,},1,0{中的布尔表达式如下所示，将其化简。
(共6分)
)
()()()()()()(z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧六、设)()()(),,,(4324213214321x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧=是布尔代数
>∧∨<,,},1,0{上的一个表达式。
试写出),,,(4321x x x x E 的析取范式和合取范
式。
（共10分）
七、设>∧∨<,,,L 是一个布尔代数，如果在L 上定义二元运算⊕为：
)()(b a b a b a ∧∨∧=⊕
证明：>⊕<,L 是一个阿贝尔群。
（共10分）
八、设>∧∨<,,,B 是一个布尔代数，如果在B 上的两个二元运算 和+定义为：
=+b a )()(b a b a ∧∨∧；b a b a ∧=
证明：>+< ,,B 是以1为么元的环。
（共10分） 九、>∧∨<,,,B 是布尔代数，B b a ∈∀,，求证：b a =当且仅当
0)()(=∧∨∧b a b a 。
（共8分）。