人教九年级数学上册- 第二十二章 二次函数数学活动

解：它们在同一函数图象上. y
设函数解析式为y=an2+bn+c, 14
图象经过点(1,1),(2,3),(3,6). 12
1 a b c, 则3 4a 2b
6 9a 3b
c, c,
解得
a
b
c
12, 12, 0.
10 8 6 4
2
该函数的解析式为y
1 2
n2
1 2
n.
O
2 4 6 8 10 12
n 1 2 3 4 5… S 1 3 6 10 15 …
(2)当n＝6时，S= 21 ;
1 3 6 10 15 21
n＝6
(3)根据表中的数据，把S作为点的纵坐标，n作为点的横 坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；
y
14
解：(3)如图
12
10
8
6
4
2
O 2 4 6 8 10 12
x
(4)请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗?如果在 某一函数的图象上，求出该函数的解析式．
m.
则AD
l
nx 3
m.
长方形框架ABCD的面积S
x·l 3nx
n 3
x2
l 3
x，
l
b 2a
3 2（
n） 3
l 2n
.
当竖档AB为wenku.baidu.com
l 2n
m时，长方形框架ABCD的面积最大.
拓展延伸
4.如图①是棱长为a的小正方体，图②、图③由这样的小 正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下 分别把第一层、第二层、第三层…第n层的小正方体的 个数记为S．解答下列问题： (1)填表：
l
如果铝合金材料总长度为l m, 设AB为x m，当AB= 8 m时， 长方形框架ABCD的面积S最大.
(3)经过这三种情形的试验，他们发现对于图案④这样的情
形也存在着一定的规律．
探究: 如图案④，如果铝合金材料总长度为l m共有n条竖档
时，那么当竖档AB为多少时,长方形框架ABCD的面积最大.
解：设AB=x
x
活动2 曲线l的形状
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,2).在x轴
上任取一点M，完成以下作图步骤：
①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1， 过点M作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.
②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方 法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线
y
P3
A(0,2)
M
-3 O
解：设该函数解析式为y=ax2， ∵抛物线过点(20，2)， ∴2=a×202，解得a=0.005， ∴y=0.005x2. 当x=18时，y=1.62<1.8. ∴该货船在这个河段不能安全通过.
2.根据以下10个乘积，回答问题： 1×399；2×398；3×397；4×396；…；398×2；399×1． (1)猜一猜：所有的积中，哪两个数的积最大？ (2)运用二次函数的知识说明你的猜想是正确的.
第二十二章 二次函数数学活动
新课导入
问题: 观察下列两个两位数的积，猜一猜其 中哪个积最大.
91×99,92×98,…,98×92,99×91. 这节课我们运用二次函数的知识探究和 说明两数的积的最大值.
(1)探究具有某种特点的两数的积中存在的某种规律. (2)建立二次函数模型证明猜想是否正确. (3)通过活动，培养学生的观察、比较、归纳和概括能力.
O
x
即曲线L的形状是抛物线.
l2
l1
基础巩固
随堂演练
1.如图是某段河床横断面的示意图．查阅该河段的水文资 料，得到下表中的数据：
(1)请你以上表中的各对数据(x，y)作为点的坐标，尝试 在坐标系中画出y关于x的函数图象;
解：(1)如图.
y
14
10
6
2
O 10 20
30
40 50
x
(2)当水面宽度为36米时，一艘吃水深度(船底部到水面的 距离)为1.8米的货船能否在这个河段安全通过?为什么?
请根据以上图案回答下列问题:
(1)在图案①中，如果铝合金材料总长度(图中所有黑线的长
4 度和)为6m,当AB为1m,长方形框架ABCD的面积是 3 m2;
(2)在图案②中，如果铝合金材料总长度为6m，设AB为xm, 长方形框架ABCD的面积为S= x(2-x) (用含x的代数式表示)； 当AB= 1 m时, 长方形框架ABCD的面积S最大; 在图案③中，
【对应训练】
观察：
5×5=0×1×100+25, 15×15=1×2×100+25, 25×25=2×3×100+25, 35×35=3×4×100+25,
解：y=(n-1)×n×100+25 =100n2-100n+25.
此解析式是二次函数.
…
请猜测，第n个算式（n为正整数）的结果y应表示为什
么解析式?此解析式是否为二次函数？
猜想：下列式子中，哪个乘积最大？
901×999，
902×998， 猜测:950×950最大！
…，
998×902, 999×901.
这个猜测对 不对呢？
证明：设第一个数是900+x，则第二个数是(1000-x), 设两数积为y. (1)求y与x的函数关系式； y=(900+x)(1000-x)=-x2+100x+900000 (2)求y的最大值； y=-(x-50)2+902500 ∴y的最大值为902500，此时x=50.
3x
连接起来.
l2
l1
（1）观察画出的曲线L，猜想它 是我们学过的哪种曲线？
（2）对于曲线L上任意一点P，线段PA与PM有什么关系？
设点P的坐标是（x,y）,你能由PA与PM的关系得到x、y满
足的关系式吗？
y
（提示：根据勾股定理用含x,y的 式子表示线段PA的长.）
P 3 A(0,2)
M
O
x
l2
推进新课
活动1 关于两数乘积的猜想与证明
猜想：下列式子中，哪个积最大？
901×999，
902×998，
…，
猜一猜
998×902,
999×901.
先研究稍小一点的数，算一算，看你的猜想是 否正确：
91×99= 9009 , 92×98= 9016 , 93×97= 9021 , 94×96= 9024 , 95×95= 9025 .
解：(1)200×200的积最大.
(2)设第一个乘数为x，第二个乘数为(400-x)，乘积为y.
∴y=x(400-x)=-x2+400x.
又
b 2a
400
2 1
200.
当x=200时，y有最大值.猜想正确.
综合应用
3.九(1)班数学兴趣小组在社会实践活动中，进行了如下 的课题研究：用一定长度的铝合金材料，将它设计成外 观为长方形的三种框架，使长方形框架面积最大.小组讨 论后，同学们做了以下三种试验:
l1
你能由此确定曲线 解：对于曲线L上任意一点P，连接LP是M哪、种PA曲，线吗？
则线段PA与线段PM的关系为：PA=PM,
设点P的坐标为(x,y),
y
则PA2=x2+(y-2)2，PM=|y|，
由PA与PM的关系列等式x2+(y-2)2=y2， P
化简得y=x2/4+1.
M
3 A(0,2)
由此，点P在函数y=x2/4+1的图象上.