任意凸多边形的重心求解

模型的建立与求解
一、计算凸多边形的重心
对于任意凸多边形，我们以其重心为蛛网的中枢区中心，也即蜘蛛的等待猎物点，以此点出发，先发出放射丝，再织捕丝。

1.计算任意凸多边形重心的理论基础
1.四边形的重心作法：连接出四边形的一条对角线，这样四边形就变成两个三角形的组合体，分别作出
两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段AB，同样，连接出四边形的另一条对角线，四边形就变成另外两个三角形的组合体，分别作出这两个三角形的重心，并连接两个重心成一条线段CD，则线段AB，CD的交点就是四边形的重心。

2.五边形的重心作法：连接出五边形的任一条对角线，将五边形分为1个三角形与一个四边形组合体，分
别作出三角形的重心，和四边形的重心，并连成线段AB；连接五边形的另外一条对角形，将五边形分为另1个三角形与四边形的组合体，分别作出三角形与四边形的重心，并连接成线段CD；则AB、CD的交点就是五边形的重心。

3、用数学归纳法，对于六边形、七边形，N边形，都可以用上述方法，先连接出一条对角线，将N边形化为一个三角形与(N-1)边形，或四边形与(N-2)边形，然后分别作出重心，并连接成线段，然后再连接另外一条对象线，分别作出两个组合体的重心并连接成线段，两条线段的交点就是N边形的重心。

2．重心计算的算法程序实现：
有了以上理论基础，我们通过C++语言编写了一个计算任意凸多边形的程序，算法思想如下，算法程序见附录一。

○1在平面上取一点(一般取原点)得到N个三角形OP[i]P[i+1](其中点的顺序为逆时针)
○2分别求出这N个三角形的重心Ci和面积Ai(注意此处面积是有向面积, 就是用叉乘求面积时保留其正负号)
○3求出A = A1+A2+...+AN(同样保留正负号的代数相加)
○4重心C = sigma(Ai+Ci)/A;
附录一：任意凸多边形重心C++算法
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
struct point
{
double x;
double y;
};
point gravity(point *p, int n)
{
double area = 0;
point center;
center.x = 0;
center.y = 0;
for (int i = 0; i < n-1; i++)
{
area += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y)/2;
center.x += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y) * (p[i].x + p[i+1].x);
center.y += (p[i].x*p[i+1].y - p[i+1].x*p[i].y) * (p[i].y + p[i+1].y);
}
area += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y)/2;
center.x += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y) * (p[n-1].x + p[0].x);
center.y += (p[n-1].x*p[0].y - p[0].x*p[n-1].y) * (p[n-1].y + p[0].y); center.x /= 6*area;
center.y /= 6*area;
return center;
}。