快速傅里叶变换FF
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第4章 快速傅里叶变换(FFT)
本章主要内容
引言 基2FFT算法 进一步减少运算量的措施
4.1 引言
DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接计算DFT的 计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切 实际的。
1965年发现了DFT的一种快速算法，使DFT的运算效率提高1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理 创造了条件，推动了数字处理技术的发展。
N/2 点DFT
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3)
4.2 基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
X
(
X (k) XX ((kk)) k)
NXn/NNNNNN(2nnnrrrrrk//////2222221)00000偶x111111xxx(x数n(((xxNNxxxx(nnnnr111(((//2)(((22222)))W0rrrWWWrrrr11))))x)))NNNNWWWWkkkk(xxnnnnn1(WWWNNN(N2222)2rWkkkNNNkrrrrkkk)rnnn)NNnNNWkrrn奇///W2N22NNN002rxrrxxN数///111k2N22(((xr0k00/nnnn2111xNxx()))2n22/WWW1Wx2Nxx((()rxrrr(((/W1NNN2kNk2kx)22())02nnnWWWnkrrr1(xNr)k22NNNWn222x(rkkk1r11(rrrNek2))))nWWWWr1jNNNN2k2Nkk)(k((W12r222rrr)kWrN111k)))(Nk2(er2rW1j)12N)N22kkrr
1984年，提出了分裂基快速算法，使运算效率进一步提高；
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
1.直接计算DFT
考虑x(n)为复数序列
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为：
N 1
X (k) x(n)WNkn, k 0,1,, N 1
Байду номын сангаас
r0
r0
注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-1
4.2 基2FFT算法
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
k
WN
N 2
WNk, X(k)又可表示为:
｛对XX上XXXX((式((kk((kk)kk的))N2运XN2N2)X1算X())1k1(用()Xkk1下)X)X(Wk11图(()WNWkkkX所)N)NkWk2X示X(WNkk2W2X的()N(kkNk2kX)流(X)kk2图()2kk(kk符)0k,)10号,k,01来0k,,1,N12,0表,,N102示,,1N12N2,1N211N2这解D1F样为T1将两N个点N/D2F点T分的
We j22kNr 2kr N /2
r0r0 r0
r0 r0r0
N / 21
N / 21
X (k)
r
N/ 0
21
xx11((rr))WNkWr/ 2 Nk
N
Wk rN0
/
2x1 2x(2r()rW)WN2Nkkr/r2
X1(k ) WNk X 2 (k )
n0
2、减少运算量的思路和方法
的一般情况，对某一 个k值，直接按上式 计算X(k)值需要N次 复数乘法、(N-1)次复 数加法。
思路：N点DFT的复乘次数等于N2。把N点DFT分解为几个
较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN 具有周期性和对称性。
4.2 基2FFT算法
方法：
分解N为较小值：把序列分解为几个较短的序列，分别计算
其DFT值，可使乘法次数大大减少；
利用旋转因子WNk的周期性、对称性进行合并、归类处理，
以减少DFT的运算次数。
lN )
周e期j 2N性 m：W WNmNmlN
eW j 2Nm (mlNlN ) N
e
j 2
eN
j(2mmlN N
)WeNm
j 2 N
4.2 基2FFT算法
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(简称DIT-FFT)和 频域抽取法FFT(简称DIF―FFT)。 1、时域抽取法FFT的算法思想：
将序列x(n)按n为奇、偶数分为x1(n)、x2(n)两组序列；用2 个N/2点DFT来完成一个N点DFT的计算。
X1(k)
X1(k)+ WNkX2(k)
X2(k)
WNk
X1(k)WNkX2(k)
图：蝶形运算符号
完成一个蝶形运算需要 一次复数乘和两次复数 加法运算，经过一次分 解后，共需要复数乘和 复数加的次数为 2(N/2)2+N/2和N2/2
4.2 基2FFT算法
x(0) x(2) x(4) x(6)
设序列x(n)的长度为N，且满足： N 2M , M 为自然数
｛ (1) 按n的奇偶xxxx把xx112212((((((rrxrrrr)))()))n)分xxxxxx((((((解222222rrrrrr为))),,,1两11))),,个, rrNrrrr/200点00,00,,1,11,,的1,1,1,,,,子N2NN22序N2NN2列111111
mWNWm Nm
W N m N
[
对称性：WWNNmmWWNNNNmm
[W[WNNNNmm]]WWNmNm
m N
WN 2
WNm
3不、断F地FT把算长法W序思WNm列N想mN2的N2DFWTWN分mNm解成几个短序列的DFT，并利用旋转
因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。
本章主要内容
引言 基2FFT算法 进一步减少运算量的措施
4.1 引言
DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接计算DFT的 计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量 太大，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切 实际的。
1965年发现了DFT的一种快速算法，使DFT的运算效率提高1－2 个数量级，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理 创造了条件，推动了数字处理技术的发展。
N/2 点DFT
X1(0) X1(1) X1(2) X1(3)
4.2 基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
X
(
X (k) XX ((kk)) k)
NXn/NNNNNN(2nnnrrrrrk//////2222221)00000偶x111111xxx(x数n(((xxNNxxxx(nnnnr111(((//2)(((22222)))W0rrrWWWrrrr11))))x)))NNNNWWWWkkkk(xxnnnnn1(WWWNNN(N2222)2rWkkkNNNkrrrrkkk)rnnn)NNnNNWkrrn奇///W2N22NNN002rxrrxxN数///111k2N22(((xr0k00/nnnn2111xNxx()))2n22/WWW1Wx2Nxx((()rxrrr(((/W1NNN2kNk2kx)22())02nnnWWWnkrrr1(xNr)k22NNNWn222x(rkkk1r11(rrrNek2))))nWWWWr1jNNNN2k2Nkk)(k((W12r222rrr)kWrN111k)))(Nk2(er2rW1j)12N)N22kkrr
1984年，提出了分裂基快速算法，使运算效率进一步提高；
4.2 基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径
1.直接计算DFT
考虑x(n)为复数序列
长度为N的有限长序列x(n)的DFT为：
N 1
X (k) x(n)WNkn, k 0,1,, N 1
Байду номын сангаас
r0
r0
注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-1
4.2 基2FFT算法
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且
k
WN
N 2
WNk, X(k)又可表示为:
｛对XX上XXXX((式((kk((kk)kk的))N2运XN2N2)X1算X())1k1(用()Xkk1下)X)X(Wk11图(()WNWkkkX所)N)NkWk2X示X(WNkk2W2X的()N(kkNk2kX)流(X)kk2图()2kk(kk符)0k,)10号,k,01来0k,,1,N12,0表,,N102示,,1N12N2,1N211N2这解D1F样为T1将两N个点N/D2F点T分的
We j22kNr 2kr N /2
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N / 21
N / 21
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X1(k ) WNk X 2 (k )
n0
2、减少运算量的思路和方法
的一般情况，对某一 个k值，直接按上式 计算X(k)值需要N次 复数乘法、(N-1)次复 数加法。
思路：N点DFT的复乘次数等于N2。把N点DFT分解为几个
较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子WmN 具有周期性和对称性。
4.2 基2FFT算法
方法：
分解N为较小值：把序列分解为几个较短的序列，分别计算
其DFT值，可使乘法次数大大减少；
利用旋转因子WNk的周期性、对称性进行合并、归类处理，
以减少DFT的运算次数。
lN )
周e期j 2N性 m：W WNmNmlN
eW j 2Nm (mlNlN ) N
e
j 2
eN
j(2mmlN N
)WeNm
j 2 N
4.2 基2FFT算法
4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(简称DIT-FFT)和 频域抽取法FFT(简称DIF―FFT)。 1、时域抽取法FFT的算法思想：
将序列x(n)按n为奇、偶数分为x1(n)、x2(n)两组序列；用2 个N/2点DFT来完成一个N点DFT的计算。
X1(k)
X1(k)+ WNkX2(k)
X2(k)
WNk
X1(k)WNkX2(k)
图：蝶形运算符号
完成一个蝶形运算需要 一次复数乘和两次复数 加法运算，经过一次分 解后，共需要复数乘和 复数加的次数为 2(N/2)2+N/2和N2/2
4.2 基2FFT算法
x(0) x(2) x(4) x(6)
设序列x(n)的长度为N，且满足： N 2M , M 为自然数
｛ (1) 按n的奇偶xxxx把xx112212((((((rrxrrrr)))()))n)分xxxxxx((((((解222222rrrrrr为))),,,1两11))),,个, rrNrrrr/200点00,00,,1,11,,的1,1,1,,,,子N2NN22序N2NN2列111111
mWNWm Nm
W N m N
[
对称性：WWNNmmWWNNNNmm
[W[WNNNNmm]]WWNmNm
m N
WN 2
WNm
3不、断F地FT把算长法W序思WNm列N想mN2的N2DFWTWN分mNm解成几个短序列的DFT，并利用旋转
因子的周期性和对称性来减少DFT的运算次数。