二元一次方程 行程、工程问题

二元一次方程组中的行程、工程问题

1. 甲、乙二人在400米的跑道上练习跑步，如果同方向跑，他们每隔3分零20秒就相遇一次；如果相对而跑，他们每隔40秒相遇一次，求甲、乙二人的速度.

分析：同向跑相遇时，快者比慢者多跑一圈；相对跑相遇时，两人一共跑一圏。注意此题目没有说谁的速度快，因此要分两种情况回答问题。（3分零20秒＝200秒）解：设甲、乙二人的速度分别为x米/秒，y米/秒。

依题意，得

分别解这两个方程组得：

答：甲、乙二人的速度分别为6米/秒和4米/秒或4米/秒和6米/秒。

2. 某学校组织学生到100千米以外的某地夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行。先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人。已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发。

分析：我们从行程问题的3个基本量去寻找，可以发现，速度已明确给出，只能从路程和时间两个量中找出等量关系，由题意知，先坐车的一半人，后坐车的一半人，车三者所用时间相同，所以根据时间来列方程组。如图所示是路程示意图，正确使用示意图有助于分析问题，寻找等量关系。

解：设先坐车的一半人下车点距起点x千米，这个下车点与后坐车的一半人的上车点相距y千米，根据题意得

化简得解得：

从起点到终点所用的时间为

∴出发时间为：17－10＝7.即早晨7点出发。

答：要使学生下午5点到达，必须早晨7点出发。

3. 某段工程拟在30天内（含30天）完成。现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成。请问：

（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用是多少万元？

分析：解本题时我们必须要清楚工作的效率可以表示为时间的倒数，也就是说如果甲完成该工程需要x天，那么甲每天就完成该工程的，也就是说甲的工作效率是；同样，

如果乙完成该工程需要y天，每天就可以完成该工程的，然后根据题中的前后两次不同的施工情况列出方程组。第二问中我们要先计算比较，哪个单位施工费用低，同时还要考虑要在规定的时间内完成工程。

解：（1）设甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天。

由题意，得：

解得：

（2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，那么，甲单独完成该工程共需要施工费用40×0.6＝24（万元）；乙工程队每天的施工费用为0.35万元，那么，乙单独完成该工程共需要施工费用0.35×60＝21（万元）；因为24万元＞21万元，所以甲的施工费用高，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成。

由（1）知，乙工程队30天完成工程的，所以甲工程队需施工

（天）

最低施工费用为0. 6×20＋0. 35×30=22.5（万元）。

答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；（2）要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是22.5万元。