数学建模竞赛题

注意：竞赛共A和B两题，每队同学任选一题，请参赛同学务必提交电子版和纸质版论文，并在5月18日（上班时间）将纸质版论文交到图书馆1003办公室。

A题：如何投资简单有效？（傻瓜投资策略）

有一位刚毕业的大学生（记为小A），没有积蓄，刚入职场，工作很忙，且经常需要加班。小A希望通过努力工作、勤俭节约和适当投资使自己能够有一定积蓄来应对未来的一些挑战（如结婚生子）。由于小A没有时间学习如何进行个人投资，于是，他根据一位专业人士的建议，决定像巴菲特对多数人建议的那样，定期投资于指数基金。那么，如何才能实现简单有效的投资？

假设小A除掉生活所需的费用后，每月可留下a=1000元用于投资或储蓄（活期），且用于投资的钱N年内不会用到。为简单起见，假设基金的净值当天可知。现在有以下几种傻瓜投资策略供小A考虑：

策略1（固定日期按份额定投）：每月选择固定一天（比如第一天）以当天净值买入固定份额基金（份额记为b）。比如当天净值为0.8元，买入500份，就需要投资400元。

策略2（固定日期按金额定投）：每月选择固定一天（比如第一天）以当天净值买入固定金额基金（金额记为d）。比如d=400元时若当天净值为0.8元则可以买入500份，若净值为1.0元则可以买入400份。

策略3（固定日期随机定投）：每月选择固定一天（比如第一天）随机买入一定额度（不超过a）基金。

策略4（月内新低按金额定投）：每月出现月内第一个低点（即当天净值低于本月之前任何一天）那天以当天净值买入固定金额基金（金额记为d），每月只买入一次（本月内出现更低低点时不再买入基金）。如果月内没有出现在月内低点买入的机会，就在月内最后一天以当天净值买入固定金额基金（金额记为d）。

假设小A开始工作的时间晚于2005年6月，工作后就选择按上述某种策略进行指数基金的投资。试通过几种典型的证券指数（标普500、沪深300、上证综指、深证成指）来评估讨论以上4种策略连续投资N年能否给小A带来跑赢通货膨胀速率的资产升值，并对这几种策略加以比较。为简单起见，假设小A投资的指数基金能够完全跟踪复制所选的证券指数的每日收盘价，并假设小A开始按前述策略投资的那一天（记为T）的净值为单位1；同时，可假定通货膨胀速率为固定值每年5%以减化计算。

问题1：对T＝2006.1.1,研究N=1到9时4种不同策略针对4个不同指数的投资表现，计算平均年化收益率。不同的指数投资效果有何不同？各种策略哪个有较好的表现？投资年限N起什么样的作用？试分析你所看到的结果的背后原因。

问题2：将T从2006年~2011年间变化时，再进行一下讨论。当N固定时投资起始时间对投资收益有无显著的影响？

问题3：考虑更大的投资年限N=10以及N=20，以标普500指数来分析以上投资策略自1990年以来的投资表现。这些策略能否跑赢通货膨胀速率？

问题4：你能否找到新的傻瓜投资策略？给出一些你的想法。

说明：可以通过如下网址来下载历史数据：

/table.csv?s=代码

标普500：^GSPC；沪深300：000300.ss；上证综指：000001.ss；深证成指：399001.SZ

(在浏览器中将每种指数冒号后面的代码替换掉上面网址中的两个汉字“代码”，例如下载沪深300指数历史数据，可用/table.csv?s=000300.ss) )

B题：找出你的指纹密码

人的指纹各不相同，里面藏着很多秘密。指纹可以用来确定人的身份，广泛用于刑侦、加密、考勤等领域，最近还出现了用指纹进行手机解锁等应用。还有一些人声称指纹与人的健康、性格、命运等都有一定的联系。指纹传统上以图像格式存储，一般占用较多的空间，且图像里面的像素信息并不易用来进行分析或比对。为发现指纹中隐藏的秘密，我们需要有一种方法来描述指纹的内在结构、具体形态和其它特征并将其用最少的字节数来存储于计算机中。

试根据下图中的指纹例子，不借助现有的指纹相关算法及软件，来尝试进行一次“指纹密码”发现之旅。

问题1：以第一个指纹为例，给出一种用不超过200字节（下面称为“指纹密码”）来刻画描述指纹基本特征的表示方法，介绍其数学原理。你能否进一步压缩表示指纹特征的字节数？对可能性予以讨论。你给出的“指纹密码”能否由指纹唯一确定？

问题2：将你的方法编程实现，对每一幅指纹都给出其“指纹密码”的表示。基于你找到的这些指纹表示，你能否给出一种方法比较不同指纹间的异同及相似程度？

问题3：你能否对以下16个指纹进行对比和归类？请给出你对比及分类的依据和结果。

问题4（选作）：尝试用你的方法来分析是否可将你自己的指纹与队友的指纹予以明显区分。

‘

补充说明：提交论文时请附上你的程序代码作为附件。题目中的指纹例子分辨率较低，主要用作展示测试你所给的方法。如果需要利用真实的较高分辨率的指纹数据进行测试，可以在以下网址下载一个10个人（每个人8个指纹样本）的数据库DB1_B，你可以用该数据库来完成题目中的所有问题。

http://bias.csr.unibo.it/fvc2004/Downloads/DB1_B.zip