高二数学培优训练(直线与方程)

长丰一中高二数学培优训练直线与方程项贤安（2016-10-28）一．选择题（共10小题）1．直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，] D．[0，]∪[，π）2．已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）3．已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）4．已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．5．已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]6．若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．37．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．9．直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[0，] C．[0，]∪（，]D．[，）10．已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，若直线l∥m，则直线l与直线m之间的距离是（）A．B．C．D．二．解答题（共4小题）11．已知两直线l1：x+ysinθ﹣1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．12．（2010?泉州一模）在同一平面内，边长为2的等边△ABC的两个顶点B、C分别再两条平行直线l1，l2上，另一个顶点A在直线l1、l2之间，AB与l1的夹角为θ，0o＜θ＜60o．（I）当θ=45o时，求点A到直线l1的距离；（II）若点A到直线l1、l2的距离分别为d1、d2，记d1?d2=f（θ），求f（θ）的取值范围．13．（2015春?凉山州校级期末）已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2016?曲靖校级模拟）直线xsinα﹣y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A．（0，）B．（0，π）C．[﹣，] D．[0，]∪[，π）【分析】由已知直线方程求出直线斜率的范围，再由斜率为直线倾斜角的正切值得答案．【解答】解：由xsinα﹣y+1=0，得此直线的斜率为sinα∈[﹣1，1]．设其倾斜角为θ（0≤θ＜π），则tanθ∈[﹣1，1]．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：D．【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．（2016?衡阳三模）已知点（﹣1，2）和（，0）在直线l：ax﹣y+1=0（a≠0）的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是（）A．（，）B．（0，）∪（，π）C．（，）D．（，）【分析】由点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，得（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0，解出即可．【解答】解：点（﹣1，2），（，0）在直线ax﹣y+1=0的同侧，（﹣a﹣2+1）（a+1）＞0解不等式可得，﹣＜a＜﹣1∴，故选：D．【点评】要求a的范围，关键是要根据题意建立关于 a 的不等式的范围，而根据不等式表示平面区域的知识可得在直线同一侧的点的坐标代入直线方程的左侧的值的符合一致，两侧的值的符合相反．3．（2016?南昌一模）已知点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），且y0＜x0+2，则的取值范围是（）A．[﹣，0）B．（﹣，0）C．（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）【分析】由题意可得，线段PQ的中点为M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用，可得x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，分类讨论：当点位于线段AB（不包括端点）时，当点位于射线BM（不包括端点B）时，即可得出．【解答】解：∵点P在直线x+3y﹣2=0上，点Q在直线x+3y+6=0上，线段PQ的中点为M（x0，y0），∴，化为x0+3y0+2=0．又y0＜x0+2，设=k OM，当点位于线段AB（不包括端点）时，则k OM＞0，当点位于射线BM（不包括端点B）时，k OM＜﹣．∴的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．4．（2016?山东模拟）已知直线l的方程为ax+2y﹣3=0，且a∈[﹣5，4]，则直线l的斜率不小于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】先求出直线的斜率的范围，再根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：由ax+2y﹣3=0得到y=﹣x+，故直线的斜率为﹣，∵直线l的斜率不小于1，∴﹣≥1，即a≤﹣2，∵且a∈[﹣5，4]，∴﹣5≤a≤﹣2，∴直线l的斜率不小于1的概率为=，故选：C．【点评】本题考查了几何概型的问题，以及直线的斜率问题，属于基础题．5．（2016?湖南四模）已知直线l：3x﹣4y+m=0上存在不同的两点M与N，它们都满足与两点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率k MA与k MB之积为﹣1，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3）B．（﹣4，4）C．（﹣5，5）D．[﹣5，5]【分析】由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，求出以AB为直径的圆的方程，可知直线l与圆相交，利用点到直线的距离公式求出m的范围得答案．【解答】解：由题意可知，点M、N、A、B在以AB为直径的圆上，则该圆的方程为x2+y2=1．∵M、N是不同的两点，∴直线l与圆相交，且直线l与圆相切为临界条件，此时原点到直线l的距离等于圆的半径，即1=，∴m=±5．∴m的取值范围为（﹣5，5）．故选：C．【点评】不同考查直线的斜率，考查了直线与圆的位置关系的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．6．（2016?河西区模拟）若直线2mx+y+6=0与直线（m﹣3）x﹣y+7=0平行，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．1或﹣1 D．3【分析】直接利用两条直线平行的充要条件，解答即可．【解答】解：因为两条直线平行，所以：解得m=1故选B．【点评】本题考查两条直线平行的判定，容易疏忽截距问题，是基础题．7．（2016春?武威校级期末）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax﹣By﹣C=0不经过的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案．【解答】解：由题意可知B≠0，故直线的方程可化为，由AB＞0，BC＞0可得＞0，＜0，由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第二象限，故选B【点评】本题考查直线的斜率和截距的几何意义，属基础题．8．（2016春?宜春校级期末）三角函数f（x）=asinx﹣bcosx，若f（﹣x）=f（+x），则直线ax﹣by+c=0的倾斜角为（）A．B．C． D．【分析】由f（x）=asinx﹣bcosx，且f（﹣x）=f（+x）得到a=﹣b，再由直线ax﹣by+c=0求得直线的斜率，根据倾斜角的正切值等于斜率得答案．【解答】解：由f（﹣x）=f（+x），知三角函数f（x）的图象关于x=对称，∴f（0）=f（），∴asin0﹣bcos0=asin﹣bcos，即a=﹣b，∴直线ax﹣by+c=的斜率，其倾斜角为．故选：D．【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了直线的倾斜角，是基础题．9．（2016春?廊坊期末）直线（1+a2）x﹣y+2=0的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[0，] C．[0，]∪（，]D．[，）【分析】表示出直线的斜率k=k=1+a2≥1，从而求出直线的倾斜角的范围即可．【解答】解：由（1+a2）x﹣y+2=0，得：y=（1+a2）x+2，故k=1+a2≥1，故直线的倾斜角的取值范围是[，），故选：D．【点评】本题主要考查直线斜率和倾斜角之间的关系，求出斜率的取值范围是解决本题的关键．10．（2016春?成都校级月考）已知直线l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，若直线l ∥m，则直线l与直线m之间的距离是（）A．B．C．D．【分析】由两直线平行的条件列式求得a的值，代入直线l，m后化简，然后由两平行线间的距离公式得答案．【解答】解：由l：（a+3）x+y﹣1=0，直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，且l∥m，得，解得：a=﹣4．∴直线l：（a+3）x+y﹣1=0化为：x﹣y+1=0．又直线m：5x+（a﹣1）y+3﹣2a=0，即x﹣y+2.2=0．∴直线l与直线m之间的距离是d==．故选：C．【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了两平行线间的距离公式，是基础题．二．解答题（共19小题）11．（2016春?新疆期末）已知两直线l1：x+ysinθ﹣1=0和l2：2xsinθ+y+1=0，试求θ的值，使得：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．【分析】（1）由A 1B 2﹣A 2B 1=0，且B 1C 2﹣B 2C 1≠0，可得sin θ=±，θ=k π±，k ∈Z ．（2）根据题意，可得A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件，故有2sin θ+sin θ=0，解出sin θ，进而可得θ值．【解答】解：（1）由A 1B 2﹣A 2B 1=0，即2sin 2θ﹣1=0，得sin 2θ=，∴sin θ=±．由B 1C 2﹣B 2C 1≠0，即1+sin θ≠0，即sin θ≠﹣1．综上，sin θ=±，θ=k π±，k ∈Z ，∴当θ=k π±，k ∈Z 时，l 1∥l 2．（2）∵A 1A 2+B 1B 2=0是l 1⊥l 2的充要条件，∴2sin θ+sin θ=0，即sin θ=0，∴θ=k π（k ∈Z ），∴当θ=k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2．【点评】本题考查两直线平行、垂直的条件，以及已知三角函数值求教的大小．12．（2010?泉州一模）在同一平面内，边长为2的等边△ABC 的两个顶点B 、C 分别再两条平行直线l 1，l 2上，另一个顶点A 在直线l 1、l 2之间，AB 与l 1的夹角为θ，0o＜θ＜60o．（I ）当θ=45o 时，求点A 到直线l 1的距离；（II ）若点A 到直线l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，记d 1?d 2=f （θ），求f （θ）的取值范围．【分析】（I ）过点A 作直线l 1的垂线，垂足为M ，然后解三角形，求点A 到直线l 1的距离；（II ）过点A 作直线l 2的垂线，垂足为N ，点A 到直线l 1、l 2的距离分别为d 1、d 2，表示出d 1、d 2，和d 1?d 2=f （θ），然后求f （θ）的取值范围．【解答】解：（I ）过点A 作直线l 1的垂线，垂足为M ，在Rt △ABM 中，sin45°=，∴|AM |=2sin45°=2×即：点A 到直线l 1的距离为．（II ）过点A 作直线l 2的垂线，垂足为N ，∵AB 与l 2的夹角为θ，∴AC 与l 2的夹角为60°﹣θ，在Rt △ABM ，d 1=AM=2sin θ在Rt △ACN ，d 2=AN=2sin （60°﹣θ）d 1?d 2═4sin （60°﹣θ）sin θ===2sin （2θ+30°）﹣1∵0°＜θ＜60°∴30°＜2θ+30°＜150°∴＜sin （2θ+30°）≤1，∴d 1d 2∈（0，1]【点评】本题考查点到直线的距离，正弦函数的定义域和值域，考查学生的计算能力，是中档题．13．（2015春?凉山州校级期末）已知过点A（1，1）且斜率为﹣m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．【分析】设l的方程，求出P、Q的坐标，得到PR和QS的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，由四边形PRSQ为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值．【解答】解：设l的方程为y﹣1=﹣m（x﹣1），则P（1+，0），Q（0，1+m）．从而可得直线PR和QS的方程分别为x﹣2y﹣=0和x﹣2y+2（m+1）=0．又PR∥QS，∴|RS|==．又|PR|=，|QS|=，四边形PRSQ为梯形，S四边形PRSQ  =[+]?=（m++）2﹣≥（2+）2﹣=3.6．∴四边形PRSQ的面积的最小值为 3.6．【点评】本题考查直线方程的应用，2条平行线间的距离公式的应用，使用基本不等式求式子的最小值．。