高中数学培优班专题资料(含答案)

空间几何体的表面积和体积
培优班专题资料
考点一 几何体的表面积
(1)一个正方体的棱长为m ，表面积为n ，一个球的半径为p ，表面积为q .若m p ＝2，则n q
＝( ) A.8π
B.6π
C.π6
D.
π8
解析 由题意可以得到n ＝6m 2
，q ＝4πp 2
，所以n q ＝6m 24πp 2＝
32π×4＝6
π
，故选B. 答案 B
(2)某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．54
B ．58
C ．60
D ．63
解析 由三视图可知，该几何体是一个棱长为3的正方体截去一个长、宽、高分别为1，1，3的长方体，所以该几何体的表面积S 表＝6×32
＋2×1×3＝60. 答案 C
(3)(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．3π
B ．4π
C ．2π＋4
D ．3π＋4
解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：
S ＝2×1
2π×12＋12
×2π×1×2＋2×2
＝π＋2π＋4＝3π＋4. 答案 D
(4)(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )
A ．1＋ 3
B ．2＋ 3
C ．1＋2 2
D ．2 2
解析 由空间几何体的三视图可得
该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2
＝2＋3，故
选B. 答案 B
(5)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
解析 如图，要使三棱锥O －ABC 即C －OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O －ABC 最大＝V C －OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2
＝4π×
62
＝144π，选C. 答案 C
(6)(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．54
B ．60
C ．66
D ．72
解析 该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋5
2×4＋3×5＝60.选B.答案 B
(7)(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
A ．90 cm 2
B ．129 cm 2
C ．132 cm 2
D ．138 cm 2
解析 由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12
×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2
)．答案 D (8)(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π
4
B ．16π
C ．9π
D.27π
4
解析 设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2
＝81π4.
故选A.
(9)(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为
( )
A ．21＋ 3
B ．18＋3
C ．21
D ．18
解析 根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2
＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.
答案 A
(10)(2012·安徽，12)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
解析 由三视图可知，该几何体为底面是直角梯形且侧棱垂直于底面的棱柱，故该几何体的表面积为S
＝2×12×(2＋5)×4＋[2＋5＋4＋42＋（5－2）2
]×4＝92.
答案 92
考点二 几何体的体积
(1)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( ) A ．2 B.92 C.3
2
D ．3
解析 根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：
V ＝13×
1＋2
2
×2x ＝3⇒x ＝3. 故选D. 答案 D
(2)(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π
2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直
线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π
3
B.4π3
C.5π3
D ．2π
解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．
所求体积V ＝π×12×2－13π×12
×1＝53π.
答案 C
(3)(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.1
3＋π B.2
3
＋π C.1
3
＋2π D.2
3
＋2π
解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12
×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.答案 A
(4)(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.1
8
B.17
C.16
D.15
解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
111111A A B D B C D ABCD
V V --＝
111
1111111
A A
B D A B
C
D ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12
×113
－13×12
×12×1
＝15，选D.答案 D
(5)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
A ．72π
B ．48π
C ．30π
D ．24π
解析 由三视图可知，该几何体是半个球体和一个倒立圆锥体的组合体，球的半径为3，圆锥的底面半径为3，高为4，则根据体积公式可得几何体的体积为30π，故选C.答案 C
(6)(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π
3
B ．4π
C ．2π
D.4π3
解析 如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π
3，故选D.
答案 D
(7)(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成
一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈
136
L 2
h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2
h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为
( ) A.227
B.258
C.15750
D.
355113
解析 圆锥的体积V ＝13πr 2
h ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2h ＝L 2
h 12π，由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.
答案 B
(8)(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
A.17
27
B.59
C.1027
D.13
解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体．一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22
×4＋π×32
×2＝34π(cm 3
)．而毛坯的体积V
＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3
)，所以V 2V ＝20π54π
＝
10
27
.故选C.答案 C (9)(2012·新课标全国，11)已知三棱锥S ­ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， △ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( ) A.26
B.36
C.23
D.22
解析 如图，H 为△ABC 的外接圆圆心，则∠BHC ＝120°，设△ABC 的外接圆半径为r ，
则1＝BC 2
＝HC 2
＋HB 2
－2HC ·HB ·cos 120°＝3r 2
， ∴r ＝
33
. 连接OH ，根据球的截面性质知，
OH ⊥平面ABC ，
∴OH ＝OC 2－CH 2
＝1－13＝63
. ∵O 为SC 的中点，
∴S 到平面ABC 的距离为2OH ＝26
3，
∴V S ­ABC ＝13S △ABC ×263＝13×34×263＝2
6.
答案 A
(10)(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．
解析 设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22
×8，解得r ＝7.
答案
7
(11)(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相
等，且S 1S 2＝94，则V 1
V 2
的值是________．
解析 设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2.
由题意得S 1S 2＝πr 21
πr 22＝94，∴r 1r 2＝32
.
又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，
∴h 1h 2＝r 2r 1＝2
3
， 故V 1V 2＝
S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝3
2
.
答案 32
(12)(2013·江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F ­ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1­ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.
解析 由题意可知点F 到面ABC 的距离与点A 1到面ABC 的距离之比为1∶2，S △ADE ∶S △ABC ＝1∶4. 因此V 1∶V 2＝1
3
AF ·S △AED 2AF ·S △ABC
＝1∶24.答案 1∶24。