matlab下的矩阵运算

第二讲矩阵运算

§1基本矩阵运算元

我们在第一讲章已说明过 MATLAB 的运算是以数组(array>及矩阵 (matrix> 方式在做运算，而这二者在MATLAB的基本运算性质不同，数组强调元素对元素的运算，而矩阵则采用线性代数的运算方式。我们就来说明矩阵运算的特点。

以下将数组及矩阵的运算符号及其意义列出

>> A=[2 5 1。 7 3 8。 4 5 21。 16 13 0]。

>> A' % A的转置矩阵

A =

2 7 4 16

5 3 5 13

1 8 21 0

>> A=[4 -1 3]。 B=[-2 5 2]。

>> dot_prod = sum(A.*B> % 二个数组做内积

dot_prod =

-7

>> c=dot(A,B> % 以dot函数也可做内积运算

c =

-7

>> A=[4。 -1。 3]。

>> dot_prod = sum(A'.*B>。 % 如果A是行数组则先做转置，再做内积

>> F=[2 5 -1]。 G=[0 1 -3]。

>> out_prod=F'*G。 % 二矩阵做外积

>> A=[2,5,1。 0,3,-1]。

>> B=[1,0,2。 -1,4,-2。 5,2,1]。

>> C=A*B % 矩阵相乘，注意二个矩阵的大小须相容

C =

2 22 -5

-8 10 -7

>> A=[2 1。 4 3]。

>> A^2 % 矩阵次方

ans =

8 5

20 13

下面我们演示一个具体的例子。

假设我们把本地区的天气分为3种状态：晴，阴，雨。若今天天阴，则明天天晴的概率为1/2，阴的概率为1/4，下雨的概率为1/4。如果今天天阴，或者今天下雨，则明天天气是其它情况的概率会是其它的值，将这些概率值列入下面的表中。

天气状态转移概率表

2行第3列(最后一列>的值为1/2,，这给出了今天下雨明天转阴的概率。

将上表内的概率数据用矩阵A表示

矩阵A中概率称为转移概率，矩阵A称为转移矩阵。

已知今天天气晴、阴、雨的概率，可以用转移矩阵A提供的数据来计算明天天气晴、阴

、雨的概率。记、、分别为今天天气是晴、阴、雨的概率，、、分别为明

天天气是晴、阴、雨的概率，两个列向量

分别称为今日概率向量和明日概率向量，则有矩阵计算式

以当前状态预测未来状态的概率模型称为Markov链。如果在清晨我们听到的天气预报为，今天阴或雨的概率都是1/2,

那么，今日概率向量。利用上式计算明日概率向量的Matlab操作是：

A=[3/4 1/2 1/4。1/8 1/4 1/2。1/8 1/4 1/4]。 %输入矩阵A

P=[0 1/2 1/2]'。 %输入向量P

P1=(A*P>'

P1 =

3/8 3/8 1/4

这里，P1就是按行向量的形式输出的结果。明天天气为晴、阴的概率都是3/8,下雨的概率是1 /4。

明日的概率向量可以用前面的Markov链求出，那么两天的概率向量可用公式

给出。这里需要计算，我们再用Matlab完成矩阵乘积的计算。

A2=A^2

A2 =

21/32 9/16 1/2

3/16 1/4 9/32

5/32 3/16 7/32

用键盘敲入A2 = A^2

后再按下【Enter】键就得到了结果A2。从本例可见，Matlab的操作并不复杂，它用于矩阵

运算十分方便。

§2 线性方程组的求解

因为矩阵的乘法运算一般不具有可交换性，所以AX与XA一般不相同，为求解X，Matla b提供了两种除法运算符：斜杠“\”和“/”分别表示左除和右除。

左除“\”：用X=A\B表示AX=B的解；右除“/”：用X=B/A表示XA=B的解。

例解线性方程组

输入：

A=[2 1 -5 1 。1 -3 0 -6。0 2 -1 2。1 4 -7 6],b=[8 9 -5 0]

A =

2 1 -5 1

1 -3 0 -6

0 2 -1 2

1 4 -7 6

b =

8 9 -5 0

方程组的解为

X=(A\b'>'

X =

3.0000 -

4.0000 -1.0000 1.0000

§3多项式与矩阵多项式

一、多项式行向量的创建方法

在MATLAB里，多项式由一个行向量表示，它的系数是按降序排列。例如，输入多项式x4－12x3＋0x2＋25x＋116

>> p=[1 -12 0 25 116]

p =

1 -1

2 0 25 116

注意，必须包括具有零系数的项。除非特别地辨认，MATLAB无法知道哪一项为零。给出这种形式，用函数roots找出一个多项式的根。

?>>r=roots(p>

r =

11.7473

2.7028

-1.2251 + 1.4672i

-1.2251 - 1.4672i

因为在MATLAB中，无论是一个多项式，还是它的根，都是向量，MATLAB按惯例规定，多项式是行向量，根是列向量。给出一个多项式的根，也可以构造相应的多项式。在MATLAB中，命令poly执行这个任务。

>> pp=poly(r>

pp =

1.0e+002 *

Columns 1 through 4

0.0100 -0.1200 0.0000 0.2500

Column 5

1.1600 + 0.0000i

>> pp=real(pp> %throw away spurious imaginary part

pp =

1.0000 -1

2.0000 0.0000 25.0000 116.0000

因为MATLAB无隙地处理复数，当用根重组多项式时，如果一些根有虚部，因为截断误差，则poly的结果有一些小的虚部，这是很普通的。消除虚假的虚部，如上所示，只要使用函数real抽取实部。

二、多项式乘法

函数conv支持多项式乘法(执行两个数组的卷积>。考虑两个多项式a(x>=x3＋2x2＋3x＋4和b(x>= x3＋4x2＋9x＋16的乘积：