不等式约束的极值问题及其经济学应用

来讲，实际上就是要以
(5, 10) 为圆心的同心圆
的半径最小。
O
58
x1
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
即：这个同心圆与可行域相切。
在这个切点，圆的切线斜率与直线斜率相等。 所以，我们首先求圆的切线的斜率。目标函数
可以重写为： (x1 – 5)2 + (x2 – 10)2 – C = 0
L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 , L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 , L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0
x 1
x 2
L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 ,s * L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 ,s * 0
§5.3 库恩—塔克条件
将模型 (5-1) 推广至多变量的情形（但仍然只存 在非负约束而无其他约束），则模型 (5-1) 的最优化 问题可写为：
max y = f(x) (5-2)…
s.t. x ≥ 0
其中：
则在 x*处取极 大值的库恩— 塔克条件为：
x = (x1 , x2 , … , xn)， f(x) 为连续可微函数。
满足不等式组的 x 构成的集合 D 称为可行域， D 中的点称为可行点。如果均衡解在可行域的内部 则称为内部解，如果均衡解在可行域的边界上则称 为角点解。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所谓的简单的不等式约束极值问题是指自变量 个数不超过两个的极值问题。
例子 1 ：利用图解法求解下列极小化模型均衡解
§5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式
令 x = (x1, x2, …, xn) ，f(x) 和 g(x) 是连续的 实值函数，则不等式约束的极值问题的数学模型 的一般形式为：
max y = f(x1, x2, …, xn)
s.t. gi(x1, x2, …, xn) ≤ 0 ，i = 1, 2, …, m
s
s
§5.3 库恩—塔克条件
对 (5-7) 式的 L 在 s* 处求导可得：
L x 1 * ,x 2 * ,* ,s * * * 0 s
于是，该问题库恩—塔克条件中的
L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 ,s * L x 1 * , x 2 * ,* , s * 0 ,s * 0
max y = f(x) s.t. x ≥ 0
…(5-1)
Байду номын сангаас
§5.3 库恩—塔克条件
由于约束条件 x ≥ 0 ，因此说模型 (5-1) 式的最 优解可能会存在三种情况：
第一种情况：y 的极大值对应的均衡解 x* 出现在可
行域的内部。
y
在这种情况下，一阶
A
必要条件为：
dd*xyf' x* 0
O
x*
f x*
xi
0
xi
f x*
xi
0
x* 0
i
1,2 ,...,
n
§5.3 库恩—塔克条件
同样，我们也可以研究非负约束的极小值问题。
我们还是先来看 单变量的情形：
min y = f(x) s.t. x ≥ 0
…(5-3)
同样，最优解也可能会存在三种情况：
§5.3 库恩—塔克条件
非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 (x*, y*) ，使其目标函数值最大。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得直线与坐标轴 的截距最大。
即：直线与可行域相切。
在这个切点，椭圆 切线的斜率与直线的斜 率相等。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆 求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。
前面的分析，我们仅仅是考虑了非负约束而 未考虑其他约束，下面我们就开始研究考虑不等 式约束效应的情形，即本章开头给出的一般化的 模型。我们仍然从简单的情形入手。
§5.3 库恩—塔克条件
1. 两变量一约束极值问题的库恩—塔克条件
两个变量一个约束条件的极值问题可写为：
max y = f(x1 , x2) s.t. g(x1 , x2) ≤ 0
在这个切点，椭圆 切线的斜率与同心圆切 线的斜率相等。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
所以，我们首先求椭圆的切线的斜率。对椭圆 求全微分，得：4xdx + 2ydy = 0 。 整理得： dy 2x 。然后，对圆求全微分，得：
dx y 2xd 2 xyd0 y d yx dx y
于是有 x* = 0 ，代入椭圆方程得 y* = 3 6 。
5x1 + 4x2 = 40
解方程组，得均衡解：
x1*,x2*
80,310。 4141
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
例子 2 ：利用图解法求解下列极大化模型均衡解
max f(x, y) = x + y
2x2 + y2 – 54 ≤ 0 s.t.
x ≥ 0， y ≥ 0
首先，确定可行域（见下页图）。
2x2 + y2 – 54 ≤ 0 s.t.
x ≥ 0， y ≥ 0
首先，确定可行域（见下页图）。
非线性规划的目标就是从可行域内选择一点 (x*, y*) ，使其目标函数值最大。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
对于本题来讲，实际 就是要使得以 (0, 0) 为圆 心的同心圆半径最大。
即：圆与可行域相切。
条件 dd y * x f'x * 0 。
在这种情况下，一阶 必要条件为：
dd*xyf' x* 0
且： x* = 0
y C
D
O x*
x
§5.3 库恩—塔克条件
从上面的讨论来看，模型 (5-1) 问题的极大值点 存在的必要条件是如下三个条件之一：
f ’(x*) = 0 ，且 x* > 0 f ’(x*) = 0 ，且 x* = 0 f ’(x*) < 0 ，且 x* = 0
第5章
不等式约束的极值问题及 其经济学应用
§5.1 不等式约束极值问题数 学模型的一般形式
不等式约束极值问题和等式约束极值问题的 主要区别在于约束条件确定的决策变量取值范围 不同，即可行域不同，从而导致目标函数均衡解 的位置不同，等式约束极值问题的均衡解在可行 域的内点处取得，而不等式约束极值问题的均衡 解可能位于可行域的端点上，那么，在这种情形 下求解最优化问题需要利用库恩—塔克条件。
[A点] [B点] [ C 点或 D 点 ]
这三种情况可概括为如下的统一的论述：
f ’(x*) ≤ 0 ， x*f ’(x*) = 0 ，且 x* ≥ 0 。
§5.3 库恩—塔克条件
那么，这一论述即为模型 (5-1) 问题在 x* 处取 得极大值的一阶必要条件，即：
f ’(x*) ≤ 0 x*f ’(x*) = 0 x* ≥ 0 即为模型 (5-1) 最优化问题的库恩—塔克条件。
不管怎样，我们先来构造 Lagrange 函数： L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ]
必须要注意的是： s.t. s ≥ 0
§5.3 库恩—塔克条件
这样一来，求解原不等式约束极值问题 (5-5) 就 变成了求解仅带有非负约束的 Lagrange 函数的极值 问题，即 (5-5) 等价于：
max L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ]
s.t. s ≥ 0
…(5-7)
即为前述 (5-2) 式的情形。
§5.3 库恩—塔克条件
假设这一非负约束极大值问题的均衡解为（x1*, x2*,λ*, s* ），那么根据 (5-2) 式，我们就可以写出其 在（x1*, x2*,λ*, s* ）处取得极大值的库恩—塔克条件。 但需要注意的是，由于 (5-7) 式仅对变量 s 有非负约 束，所以其库恩—塔克条件为：
…(5-10)
L(x1 , x2 ,λ, s) = f(x1 , x2) +λ[ – g(x1 , x2) – s ] 必须要注意的是： s.t. s ≥ 0 , x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
所以，均衡解为： x * ,y * 0 ,36
§5.3 库恩—塔克条件
一、简单不等式约束（仅存在非负约束） 极值问题的库恩—塔克条件
为得到一般化的不等式约束的库恩—塔克条 件，我们首先来分析简单的不等式约束的库恩— 塔克条件，即仅有非负约束而无其他约束。
我们先来看单变量的情形： [f(x)是连续可微的]
则模型 (5-3) 问题在 x* 处取得极小值的一阶必 要条件可写为：
f ’(x*) ≥ 0 x*f ’(x*) = 0 x* ≥ 0 亦即其为模型 (5-3) 最优化问题的库恩—塔克条件。
§5.3 库恩—塔克条件
同样，将模型 (5-3) 推广至多变量的情形（但仍 然只存在非负约束而无其他约束），则模型 (5-3) 的 最优化问题可写为：
整理得： dy 2x ，于是有：2x1y2x
dx y
y
与 2x2 + y2 – 54 = 0 建立方程组得：22xx2yy2 54
解方程组，得均衡解：(x*, y*) = (3, 6) 。
§5.2 简单不等式约束极值问 题的图解法
例子 3 ：利用图解法求解下列极大化模型均衡解
max f(x, y) = x2 + y2
min C = (x1 – 5)2 + (x2 – 10)2 5x1 + 4x2 ≤ 40