随机信号分析(常建平,李林海)课后习题答案第二章习题讲解
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2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=,其中0ω为常数,随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度?
解:2
2
1
~(0,1)..........()2A a A N f a e π
-
=
212
11
()
~(0,1)(0)2t X x X t A N f x e
π
-==⇒
=;,
2
223203A 1
2()
~(0,)()24
2X t x X t N f x e πωπ
ωπ
-==⇒;=, 00
2323()
0()()
t X t f x x πωπ
ωδ===,;
(离散型随机变量分布律)
2-2 如图2.23所示,已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组
成,出现的概率为1131
,,,8484。
t
()
X t 1
234561
t 2
t 1()x t 2()x t 3()x t 4()
x t o
图2.23 习题2-2
在1
t 和2
t 两个时刻的分布律如下:
1
ζ
2
ζ
3
ζ
4
ζ
1()
X t 1 2 6 3 2()
X t
5
4
2
1
1212(,)
k k p t t 1/8 1/4 3/8 1/4
求 ? 1212[()],[()],
[()()]E X t E X t E X t X t ()411
29
[()]8
k k k E X t x p t ===
∑221
[()]8
E X t =
()()(){}
1
2
1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑
2-23
[][]1
2
()cos (0,1)(;),()()(,)X
X
X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程,其中(均匀分布)。求,,?
[][][][][][][][]
[][][]()()()22
2
2
121222
1121222
()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12
(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY
D a
E X t E A t XH t EA XH
D X t
E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH
t =+=⋅+⎡⎤=-⎣⎦
=+=+=⋅=
++⎡⎤⎣⎦+==+=+++公式:+b =Y方法:
()2212s cos cos 2
XH t t t XH +++
()()
()()22cos 0
22~,322cos 022
~,cos 0()2
1
22,cos 2cos cos cos c 2
1322,(;)cos o 2
s 2X k t k t t
X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH
k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π
π
πππ
π
πππ
πππππππππδ-
+<<
+>+<<+<=
+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示
()
,20
H t k x XH else π
π⎧⎪⎪
⎪⎪
⎨⎪=+=⎪⎪
⎪⎩
2-4 已知随机过程()X t A Bt =+,其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ?②若已知随机变量相互独立,
它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ,求()X t 的一
维概率密度(;)X f x t
第②问
方法一:用雅克比做(求随机变量函数的分布) 步骤:
t 时刻,()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量
12X A Bt X A
=+⎧⎨
=⎩(题目要求的)(自己设的量,可以是其它量)
②求反函数
③求雅克比行列式J ,得到|J| ④利用公式1
2
X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =⋅
()AB ()AB A B f f a f b ⇔=相互独立
⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1
X f x ⑥t 为变量,则得到(;)X f x t
,A B