随机准备金-拔靴法bootstrapping方法

重新构造一个增量三角形
年度 1 2 3 4 1 1,078.88 1,242.02 1,000.00 1,192.34 2 474.02 454.93 410.63 3 94.79 74.04 Ult -
重构增量三角形的算法为 ������‘ = ������ + ������ ∙ ������
20
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
把增量三角形转变为累积三角形
年度 1 2 3 4 1 1,078.88 1,242.02 1,000.00 1,192.34 2 1,552.90 1,696.96 1,410.63 3 1,647.69 1,771.00 Ult 1,647.69
实际上，这个样本是从正态分布N(10,5)产生的
10
© 2012 CPCR. All rights reserved.
参数Bootstrap举例
接下来，我们要利用参数Bootstrap技术做统计推断 首先，从N(9.51, 5.06)重新抽取10个拔靴带样本如下：
从10个拔靴带样本中重新计算了正态分布的参数 这样，我们就实现了建模中的参数不确定性
VaR 90%=
从而得到VaR 90%的平均值为9.1，样本标准差为1.912 从而我们推断，VaR 90%有很大可能在9.1左右
8
© 2012 CPCR. All rights reserved.
参数Bootstrap
什么参数bootstrap方法？
• 参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本X=(X1,…,Xn) 且已知其总体分布F(x)的情况下，利用对原始样本X进行 n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的参数特征θ。 • 参数Bootstrap方法的具体做法是：用原始样本X对F(x) 做参数估计θ；然后从估计的F(x)中重复抽取Bootstrap 样本m次，用每个Bootstrap样本来得到参数θ估计值的 分布，近似作为θ的分布。
������−������ ������
19
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
重抽残差三角形做一个拔靴带样本
年度 1 2 3 4 1 0.3077 3.1573 0.1409 -0.2210 2 1.9104 -0.2985 0.3077 3 -0.2210 -2.8561 Ult -0.2985
7
© 2012 CPCR. All rights reserved.
非参数Bootstrap举例
这时，我们采用非参数拔靴带法得到10个拔靴带样本
X1 0 2 0 10 0 2 0 2 2 0 5 5 X2 10 10 10 2 10 2 0 10 2 2 5 10 X3 6 0 10 2 2 2 2 6 5 0 5 6 X4 0 0 2 10 6 0 10 2 10 10 2 10 X5 10 2 10 10 5 2 0 10 0 5 2 10 X6 10 10 0 2 2 10 6 2 10 2 0 10 X7 2 0 2 2 2 10 6 0 10 2 10 10 X8 10 4 0 10 10 0 10 2 4 6 2 10 X9 5 0 2 10 2 10 4 2 0 6 10 10 X10 2 0 2 10 10 10 0 2 0 2 0 10
以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10 万次，得到总准备金的均值约是689，标准差约是52
21
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
22
© 2012 CPCR. All rights reserved.
对E&V拔靴带法的说明
E&V提出的拔靴带法并不是基于标准链梯法模型，因此 它也不是用来预测链梯法的波动性的，这是因为拔靴带 法违背了链梯法的一些基本法则：
以上仅是一个拔靴带样本，我们需要重复m次，比如10 万次，得到总准备金的均值约是693，标准差约是88 本质上类似于针对LDF的随机链梯法
15
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
已知的实际累积赔款三角形如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 1500 1600 1400 3 1600 1700 Ult 1600
拔靴带法及其在赔款准备金评 估中的应用
李晓翾, 中国/英国精算师
非寿险随机准备金评估技术研讨会
深圳 ▪ 2012年8月8日
主 要 内 容
拔靴带法简介 拔靴带法在准备金评估中的应用 拔靴带法在Excel中的实现 拔靴带法与GLM框架的关系
2
© 2012 CPCR. All rights reserved.
拔靴带法简介
什么叫bootstrap方法？
• Bootstrap方法最初是由美国斯坦福大学的Bradley Efron 教授 于1979年在归纳前人研究成果的基础上提出来的 • Bootstrap是一种通过对总体分布未知的观测数据进行模拟再抽 样来对其分布特征进行统计推断的统计方法 • Bootstrap的基本思想是：在原始数据的范围内做有放回的抽样， 得到大量的bootstrap样本并计算相应的统计量，从而完成对其 真实总体分布的统计推断 • Bootstrap方法的出现，在一定程度上解决了无法获得大量样本 可能导致的推断失误
得到损失进展因子如下：
年度 1-2 2-3 1 1.5 1.066667 2 1.333333 1.0625 3 1.4 4 选定值： 1.40625 1.064516 3-Ult 1
1
其中选定值为全部年度加权平均
16
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
灰色区域的LDF是通过拔靴带法得到的一个拔靴带样本
14
© 2012 CPCR. All rights reserved.
针对LDF的拔靴带法举例
得到的未来赔款预测的一个拔靴带样本如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 1500 1600 1400 1680 3 终极 准备金 1600 1600 0 1700 1700 0 1493.333 1493.333 93.33333 1785 1785 585 Total: 678.3333
18
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
得到的残差三角形(e)如下：
年度 1 2 3 4 1 -2.1051 1.9104 0.1409 2 3.1573 -2.8561 -0.2210 3 0.3077 -0.2985 Ult -
残差的算法为 ������ =
源自文库
13
© 2012 CPCR. All rights reserved.
针对LDF的拔靴带法举例
已知累积赔款三角形如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 1500 1600 1400 3 1600 1700 Ult 1600
得到损失进展三角形如下：
年度 1 2 3 4 1-2 2-3 1.5 1.066667 1.333333 1.0625 1.4 1.066667 1.4 1.0625 3-Ult 1 1 1 1
6
© 2012 CPCR. All rights reserved.
非参数Bootstrap举例
假设得到样本X=(0,0,2,2,2,4,5,6,10,10,10),我们想判断 样本背后的总体分布的VaR 90% 单从随机样本计算出来的VaR 90%为10，它正确吗？ 实际上，这个样本是从分布DUniform(0,10)产生的，所 以VaR 90%的真实值应为9
链梯法是从前往后的预测，而不是从后向前的预测
链梯法中各个增量赔款是相关的，而不是相互独立的 链梯法的上半个三角形是不变的，而不是随机的
所以，拔靴带法准备金的期望值并不等于链梯法的值
23
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V拔靴带法的ODP版本
9
© 2012 CPCR. All rights reserved.
参数Bootstrap举例
X 11.34 9.91 2.82 6.63 7.92 15.21 8.61 9.95 5.41 21.04 5.82
假设得到样本X如右面所示，我们已知它来自于 一个正态分布 单从随机样本计算出来的均值为9.51，标准差为 5.06。从而我们判断总体分布为N(9.51, 5.06)
年度 1 2 3 4 1 1068.82 1135.62 995.56 1200 2 434.21 461.35 404.44 3 96.97 103.03 Ult 0
实际的增量赔款三角形(A)如下：
年度 1 2 3 4 1 1000 1200 1000 1200 2 500 400 400 3 100 100 Ult 0
11
© 2012 CPCR. All rights reserved.
主 要 内 容
拔靴带法简介 拔靴带法在准备金评估中的应用 拔靴带法在Excel中的实现 拔靴带法与GLM框架的关系
12
© 2012 CPCR. All rights reserved.
拔靴带法在准备金评估中的应用
Bootstrap是一种统计方法，它在准备金评估中的应用 方式也有多种 最著名的应用是England与Verrall在1999年将拔靴带法 引入到随机准备金领域中，主要是针对拟合残差引入了 拔靴带法 也有人将拔靴带法应用到损失进展因子上也形成一种随 机性准备金方法
3
© 2012 CPCR. All rights reserved.
拔靴带法的典故
术语“Bootstrap”来自短语“to pull oneself up by one's bootstraps” 源自西方神话故事“ The Adventures of Baron Munchausen”，男爵掉到了深湖底，没有工具，所以他 想到了拎着鞋带将自己提起来 计算机的引导程序boot也来源于此 意义：不靠外界力量，而靠自身提升自己的性能，翻译 为自助/自举
4
© 2012 CPCR. All rights reserved.
拔靴带法的分类
非参数bootstrap
参数bootstrap
5
© 2012 CPCR. All rights reserved.
非参数Bootstrap
什么是非参数bootstrap方法？
• 非参数Bootstrap方法是在得到一组随机样本 X=(X1,…,Xn)且分布F(x)未知的情况下，利用对原始样 本X进行n次重复抽样获得的样本来研究F(x)的统计特征 θ。 • 非参数Bootstrap方法的具体做法是：对原始样本X有放 回的重复抽样n次，每次抽取一个，得到的样本称为一个 Bootstrap样本，计算此样本下θ的估计值；然后重复抽 取Bootstrap样本m次，即可得到θ估计值的分布，它可 近似作为θ的分布。
针对这个三角形，使用标准链梯法算出准备金
年度 1 2 3 4 LDF: 1 1,078.88 1,242.02 1,000.00 1,192.34 1.4034 2 1,552.90 1,696.96 1,410.63 1,673.31 1.0520 3 1,647.69 1,771.00 1,483.92 1,760.24 1.0000 Ult 1,647.69 1,771.00 1,483.92 1,760.24 Res 0.00 0.00 73.28 567.90 641.18
拟合的累积赔款三角形如下：
年度 1 2 3 4 1 1068.82 1135.62 995.56 1200 2 1503.03 1596.97 1400 3 1600 1700 Ult 1600
17
© 2012 CPCR. All rights reserved.
E&V提出的拔靴带法举例
拟合的增量赔款三角形(E)如下：