薛定谔方程及提出背景
《薛定谔方程》PPT课件
1993年 用STM 技术镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表 面的扫描隧道显微镜照片。Fe 原子形成“电子围栏” （半径7.13nm），可看到围栏中的同心圆状驻波， 直观地证实了电子的波动性。
由于这一贡献，宾尼、罗赫尔和鲁斯卡 三人分享了 1986年度的诺贝尔物理奖。
前两人是扫描隧穿显微镜的直接发明者， 第三人是 1932年电子显微镜的发明者， 这里是为了追朔他的功劳。
没有向-x方向的
可以想见，原来在Ⅰ区的粒子也可以在势垒 的另一边Ⅲ 区出现！这在经典物理是不可想象的！
这称为“量子隧道效应”。
计算结果表明（不证）， 粒子的穿透率为
T e
2a
2m(U0 E)
若 m、a、( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了“量子隧道效应”现象的存在。 例如，★ 放射性核的 粒子衰变 ★ 隧道二极管 ★ 扫描隧穿显微镜
1 2
2
x
2
，
Hn是厄密（Hermite）多项式， 最高阶是 (x)n，
上两式相加得 2 (l1 l2 ) π l π
式中 l 也是整数。 所以有 l π
2 l 0 时，有 o Asin kx --奇函数 l 1 时，有 e Acos kx --偶函数
l 的其他数值所对应的解都不是独立的，
因为它们和 0、 e 的形式一样，只可能有正负 的区别，这并不影响 2 ,即概率密度的分布不变。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。若控制隧 道电流不变，则探针在垂直于样品方向上的高度变化 就能反映样品表面的起伏；若控制针尖高度不变，通 过隧道电流的变化可得到表面态密度的分布。
0 10
30
50
70
90
薛定谔方程
薛定谔方程（英语：Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔在1926年提出的一个用于描述量子力学中波函数的运动方程[1]，被认为是量子力学的奠基理论之一。
薛定谔方程主要分为含时薛定谔方程与不含时薛定谔方程。
含时薛定谔方程相依于时间，专门用来计算一个量子系统的波函数，怎样随着时间演变。
不含时薛定谔方程不相依于时间，可以计算一个定态量子系统，对应于某本征能量的本征波函数。
波函数又可以用来计算，在量子系统里，某个事件发生的概率幅。
而概率幅的绝对值的平方，就是事件发生的概率密度。
薛定谔方程的解答，清楚地描述量子系统里，量子尺寸粒子的统计性量子行为。
量子尺寸的粒子包括基本粒子，像电子、质子、正电子、等等，与一组相同或不相同的粒子，像原子核。
薛定谔方程可以转换为海森堡的矩阵力学，或费曼的路径积分表述 (path integral formulation) 。
薛定谔方程是个非相对论性的方程，不能够用于相对论性理论。
海森堡表述比较没有这么严重的问题；而费曼的路径积分表述则完全没有这方面的问题。
[编辑]含时薛定谔方程虽然，含时薛定谔方程能够启发式地从几个假设导引出来。
理论上，我们可以直接地将这方程当作一个基本假定。
在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
[编辑]不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦薛定谔方程
爱因斯坦-薛定谔方程（Einstein-Schrödinger equation）是一个量子力学中的方程，将爱因斯坦的相对论和薛定谔方程结合在一起，描述了物质和场相互作用的行为。
这个方程是在广义相对论和量子力学之间的理论框架下提出的。
具体而言，爱因斯坦-薛定谔方程描述了物质在引力场中的行为，以及粒子与电磁场的相互作用。
它是一个偏微分方程，通常被写成：iħ∂ψ/∂t = (c^2√(p^2c^2 + m^2c^4) + eφ)ψ。
其中，ψ是波函数，描述了量子态的演化；t是时间；ħ是约化普朗克常数；c是光速；p是动量算符；m是粒子的静质量；e是元电荷；φ是电磁场势。
爱因斯坦-薛定谔方程是一个非常复杂的方程，它描述了物质在引力场和电磁场中的量子行为。
这个方程在理论物理的研究中扮演着重要的角色，帮助我们理解微观世界的行为。
但是，由于其复杂性，解析解很难找到，通常需要使用数值方法进行求解。
量子力学薛定谔方程
量子力学薛定谔方程引言量子力学是描述微观粒子行为的物理理论，而薛定谔方程是量子力学的核心方程之一。
薛定谔方程由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，它描述了微观粒子的波动性质和运动规律。
本文将详细介绍量子力学薛定谔方程的背景、推导过程以及其在解释微观世界中粒子行为方面的重要性。
背景在20世纪初，科学家们发现了一些无法用经典物理学解释的现象，比如黑体辐射、光电效应和原子光谱等。
这些现象表明，在微观尺度下，经典物理学的规律不再适用。
为了解释这些现象，物理学家们开始寻找一种新的理论来描述微观世界。
波粒二象性根据实验结果和理论分析，科学家们得出了一个重要结论：微观粒子既具有粒子性又具有波动性。
这就是所谓的波粒二象性。
根据这一概念，物理学家们开始研究如何用波动方程来描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的推导薛定谔方程的推导基于波动方程和量子力学的基本假设。
首先，我们假设微观粒子的运动状态可以用一个波函数来描述。
这个波函数是一个复数函数，它包含了关于粒子位置和动量等信息。
然后，根据经典波动理论，我们可以得到微观粒子的波动方程。
接下来，通过引入哈密顿算符和能量守恒原理，我们得到了薛定谔方程。
薛定谔方程的一般形式为：ĤΨ=iℏ∂Ψ∂t其中，Ĥ是哈密顿算符，Ψ是波函数，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数。
薛定谔方程的意义薛定谔方程在解释微观世界中粒子行为方面起着重要作用。
首先，通过求解薛定谔方程，我们可以得到微观粒子的能级和能量分布情况。
这对于研究原子、分子以及固体材料的性质具有重要意义。
其次，薛定谔方程还可以描述微观粒子的运动轨迹和概率分布。
根据波函数的模平方，我们可以计算出粒子在不同位置的概率密度。
这为我们理解粒子在空间中的行为提供了依据。
此外，薛定谔方程还可以用于描述微观粒子之间的相互作用和碰撞过程。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到相互作用势能和散射截面等重要物理量。
薛定谔方程的应用薛定谔方程在量子力学研究领域有着广泛的应用。
量子力学：薛定谔人物简介
波函数
• 波函数是描述微观粒子状态的数学函数 • 包含了关于粒子的所有信息 • 波函数的模平方表示粒子在某个位置出现的概率密度
薛定谔方程
• 薛定谔方程是描述波函数随时间变化的微分方程 • 提供了求解波函数的方法 • 为量子力学的理论框架奠定了基础
薛定谔的粒子波动性与测量问题
薛定谔的理论对后世物理学的影响
对后世物理学的影响
• 薛定谔的理论为量子力学的发展奠定了基础 • 对量子场论、量子计算等领域产生了重要影响
对科学哲学的影响
• 薛定谔的科学哲学思想对后世产生了重要影响 • 强调了观测者在科学理论中的作用 • 对科学解释和科学方法论等问题进行了深入的探讨
04
薛定谔的个人品质与哲学思想
• 尼尔斯·玻尔是薛定谔的导师之一 • 两人在量子力学和原子物理学等领域进行了合作研究
薛定谔在量子力学中的历史地位
历史地位
• 被誉为量子力学的奠基人之一 • 与阿尔伯特·爱因斯坦、尼尔斯·玻尔等人共同奠定了量子 力学的基础
对后世的影响
• 薛定谔的工作为量子力学的发展提供了重要理论支持 • 对原子物理学、核物理学和粒子物理学等领域产生了深 远影响
• 在维也纳和瑞士接受教育 • 对数学和物理学产生浓厚兴趣 • 1910年获得维也纳大学物理学博士学位
03 教育背景
• 在维也纳大学和苏黎世大学学习 • 受到了恩斯特·马赫和阿尔伯特·爱因斯坦的影响 • 在普朗克和玻尔的指导下进行研究工作
薛定谔的科研生涯与主要贡献
科研生涯
• 1911年开始在维也纳大学担任物理学讲师 • 1914年加入奥地利皇家科学院 • 1920年代开始在柏林大学和剑桥大学担任教授
《薛定谔方程》课件
波函数需要满足归一化条件，即 ∫Ψ*(r,t)Ψ(r,t)dV=1，以确保粒 子存在于有限空间内。
时间演化算符
时间演化算符定义
时间演化算符描述波函数的演化过程，通常表示为 U(t)，其中t是时间。
时间演化算符的性质
时间演化算符是幺正算符，即U(t)U*(t)=I，其中I是 单位算符。
时间演化算符的作用
时间演化算符可以将初始时刻的波函数演化到任意时 刻的波函数。
能量算符
能量算符定义
能量算符描述微观粒子的能 量，通常表示为H。
能量算符的性质
能量算符是厄米特算符，即 H=H*。
能量算符的作用
能量算符可以将波函数投影 到能量本征态上，得到粒子 的能量。
边界条件和初始条件
边界条件
描述波函数在边界上的行为，如周期 边界、反射边界等。
原理
通过选取适当的变分函数，将薛定谔方程的 求解问题转化为求变分极值的问题。
步骤
选取合适的变分函数，将薛定谔方程转化为变分问 题，然后利用变分法的基本原理求解该问题。
应用范围
适用于具有某些特殊性质的薛定谔方程，如 具有对称性、周期性等性质的问题。
04
薛定谔方程的经典实例
一维无限深势阱
描述
一维无限深势阱是一个理想化的模型，用于描述粒子在一维空间中的 运动，其中势能只在有限区域内存在。
在生物学中，它可以用来描述生物分子的结构和性质， 如蛋白质的结构和功能等。
02
薛定谔方程的基本概念
波函数
01
波函数定义
波函数是描述微观粒子状态的函 数，通常表示为Ψ(rห้องสมุดไป่ตู้t)，其中r是 位置向量，t是时间。
02
波函数的性质
薛定谔
埃尔温·薛定谔奥地利物理学家。
概率波动力学的创始人。
主要研究有关热学的统计理论问题，写出了有关气体和反应动力学、振动、点阵振动的热力学以及统计等方面的论文，同时还研究过色觉理论。
1925年底到1926年初，薛定谔在A.爱因斯坦关于单原子理想气体的量子理论和L.V.德布罗意的物质波假说的启发下，从经典力学和几何光学间的类比，提出了对应于波动光学的波动力学方程，奠定了波动力学的基础。
1926年3月,薛定谔发现波动力学和矩阵力学在数学上是等价的,是量子力学的两种形式，可以通过数学变换,从一个理论转到另一个理论。
薛定谔起初试图把波函数解释为三维空间中的振动，把振幅解释为电荷密度,把粒子解释为波包。
但他无法解决“波包扩散”的困难。
最后物理学界普遍接受了玻恩提出的波函数的几率解释。
1924年，L.V.德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性，即不仅具有粒子性，同时也具有波动性。
在此基础上，1926年薛定谔提出用波动方程描述微观粒子运动状态的理论，后称薛定谔方程，奠定了波动力学的基础，因而与P.A.M.狄拉克共获1933 年诺贝尔物理学奖。
1944年当法国物理学家德布罗意的“微观粒子也像光一样具有波粒二象性”的假说被美国物理学家戴维逊和革末利用“电子的晶体粉末散射实验”证实后，有一天，薛定谔就这一奇特现象作了一个讲座，他受到了一位物理学家——彼得·德拜的挑战，他问薛定谔：如果电子是用波来描述的，那么它们的波动方程是什么？自从牛顿创造了微积分，物理学家们得以用微分方程描述波，因此薛定谔将德拜的问题——写出微分方程当成一项挑战。
那个月薛定谔外出度假，当回来的时候他已经写出了方程。
正如在他之前的麦克斯韦采用法拉第的力场，提炼出了光的麦克斯韦方程；薛定谔采用德布罗意的物质波，提炼出了光子的薛定谔方程。
荣誉1926年他提出著名的薛定谔方程，为量子力学奠定了坚实的基础。
方程的提出只是稍晚于沃纳·海森堡的矩阵力学学说，此方程至今仍被认为是绝对的标准，它使用了物理学上所通用的语言即微分方程。
薛定谔方程 量子力学
薛定谔方程量子力学
薛定谔方程是描述量子力学中粒子的运动和态演化的方程。
它由奥地利物理学家埃尔温·薛定谔于1925年提出，被认为是量子力学的基本方程之一。
薛定谔方程的一般形式如下：
iħ∂Ψ/∂t = HΨ
其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，Ψ是波函数（描述粒子的态），t是时间，H是哈密顿算符（描述粒子能量和势能的算符）。
薛定谔方程是一个时间相关的偏微分方程，它描述了波函数随时间的演化。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子的波函数随时间的变化规律，从而了解粒子的能谱、位置概率分布等物理性质。
薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，为我们理解微观领域的粒子行为提供了重要的工具。
它在量子力学的各个领域中都有广泛的应用，比如描述电子的行为、原子和分子的结构以及固体物理等。
薛定谔方程
1936年他回到奥地利任格拉茨大学理论物理教授。不到两年，奥地利被纳粹并吞后，他又陷入了逆境。1939 年10月流亡到爱尔兰首府都柏林，就任都柏林高级研究所所长，从事理论物理研究。在此期间还进行了科学哲学、 生物物理研究，颇有建树。出版了《生命是什么》一书，试图用量子物理阐明遗传结构的稳定性。1956年薛定谔 回到了奥地利，被聘为维也纳大学理论物理教授，奥地利政府给予他极大的荣誉，设定了以薛定谔命名的国家奖 金，由奥地利科学院授予。
背景与发展
1900年，马克斯·普朗克在研究黑体辐射中作出将电磁辐射能量量子化的假设，因此发现将能量与频率关联 在一起的普朗克关系式。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦从对于光电效为hν；其中，因子h是普朗克常数。这一点子成为后来波粒二象性概念的早期路标之一。 由于在狭义相对论里，能量与动量的关联方式类似频率与波数的关联方式，因此可以揣测，光子的动量与波长成 反比，与波数成正比，以方程来表示这关系式。
主量子数n和能量有关的量子数。原子具有分立能级，能量只能取一系列值，每一个波函数都对应相应的能量。 氢原子以及类氢原子的分立值为：
，n越大能量越高电子层离核越远。
希尔伯特空间与薛定谔方程
一般，物理上将物理状态与希尔伯特空间上的向量（vector），物理量与希尔伯特空间上的算符相对应。这 种形式下的薛定谔方程为
第二章 薛定谔方程
第三个实验——氢原子光谱：
氢原子激发后会发出光，测其波长，得到原子光谱。
不连续性
656.3 486.1 434.1 410.2
nm
H
H
H
H
H
早在1884年，Balmer已将当时已知的可见区14条氢谱
线总结成经验公式，后被J.R.Rydberg表示成如下的波
数形式），并正确地推断该式可推广之(式中n1、n2均为 正整数):
三个著名实验导致“量子”概念的引入和 应用 第一个实验——黑体辐射
所谓黑体，是指能全部吸收 各种波长入射光线辐射的物 体。带有一个微孔的空心金 属球，非常接近于黑体，进 入金属小孔的辐射，经过多 次吸收、反射，使射入的辐 射完全被吸收。当空腔受热 时，又能发射出各种波长的 电磁波。
黑体辐射.swf
1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔物理奖。
de Broglie波不仅对建立量子 力学和原子、分子结构理论有重要 意义，而且在现代科学技术上有重 要应用。 使用de Broglie波 的电子显微镜分辨率 达到光学显微镜的千 倍,为我们打开了微观 世界的大门（扫描隧 道显微镜达原子级分 辨率）。
请在后面输入加速电压: de Broglie波长等于
30000 V 7.07254 pm
de Broglie波的提出是类比法的成功典范
从科学方法论的角度讲，由光的波粒二象性到实物微粒
的波粒二象性是一种类比推理。类比是由两个或两类对象之
间在某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面也可能相 似或相同的思想方法，是一种由特殊到特殊、由此类及彼类 的过程。类比可以提供重要线索，启迪思想，是发展科学知 识的一种有效的试探方法。我们在研究工作中需要重视这种
18.3薛定谔方程
2 2 由（ 1）（2）得： i 2 2m t x
若粒子在外力场中运动，且外力场是保守力场，粒子在保 守力场中的势能是U，则粒子 的总能量为：
1 2 E p U (x ,t ) 2m 将E 代入,作类似的上述运算，可得
2 2 i U (x ,t ) 2 t 2m x
称哈密顿算符
2、定态薛定谔方程
若势能不是时间的函数，即 U U (x ,y ,z ) ，则波函数写为：
(x ,y ,z ,t ) (x ,y ,z ) f(t )
代入薛定谔方程得：
1 2 1 f 2 U i 2m f t
只是空间坐标的函数
只是时间的函数
要使等式成立，必须两边都等于与时间和坐标无 关的常数，令这个常数为 E 。
i f E f t
其解为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt
i
f(t ) ke
所以波函数为：
(x ,y ,z ,t ) (x ,y ,z ) e
Et
i
粒子在空间出现的概率密度
(x ,y ,z , t)
d2 2m (x ) 2 (E U ) (x ) 0 2 dx
1933年获得诺贝尔物理学奖
设质量为m、动量为p的自由粒子沿x方向运动，如果不考 虑相对论效应，其能量可表示为：
E p 2 2m
自由粒子的波函数为 (x ,t ) Ae
(Et px )
i
分别对波函数中的x和t求偏导，可得
2 p2 2 (1) 2 x
i E (2) t
2 2 i U (x ,y ,z ,t ) t 2m
薛定谔方程、量子力学简介
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
由归一化条件求C 由归一化条件求 归一化条件 归一化条件
∫−∞ ψ
∞
2
dx = ∫ ψψ dx = 1
* 0
a
∫
a
0
nπ C sin xd x = 1 a
2 2
C=
2 a
2 nπ ψ ( x) = sin x , (0 ≤ x ≤ a ) a a 2 nπ x) n =1,2,3,4,5,L sin( ψ(x) = a 势 内 阱 a
自由粒子
(v << c )
E = Ek
2
∂Ψ i2π =− EΨ ∂t h
2
2
p = 2mE k
一维运动自由粒子 的含时薛定谔方程
h ∂ Ψ h ∂Ψ − =i 2 2 8 π m ∂x 2 π ∂t
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
若粒子在势能为 Ep 的势场中运动
2 2
E = Ek + Ep
薛定谔方程、 (49)薛定谔方程、量子力学简介
一、薛定谔方程（1925 年） 薛定谔方程（ 思考】 【思考】 波函数来自哪个方程？ 波函数来自哪个方程？ 薛定谔方程
特殊情况 一般情况 .. 薛定谔（ 薛定谔（Erwin Schrodinger,1887~1961） ） 奥地利物理学家. 奥地利物理学家 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 动力学 并建立了量子力学的近似方法 . 年间， 量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 力学和波动 两个等价的理论：矩阵力学和波动力学 相对论量子力学（ 狄拉克）： ）：描述高速运 相对论量子力学（1928 年，狄拉克）：描述高速运 动的粒子的波动方程 .
薛定谔方程与一维势阱问题
薛定谔方程与一维势阱问题作者：王烽来源：《课程教育研究》2019年第27期【关键词】薛定谔方程 ;定态薛定谔方程 ;一维势阱【中图分类号】G633.7 ;【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2019）27-0160-021.薛定谔方程的背景下面是一个典型的教科书问题：你的车已经用完了汽油，你要用多大的力才能把它加速到给定的速度？答案来自牛顿第二运动定律：其中是加速度，是力，是质量，这个完美、直截了当。
但牛顿第二运动定律可以描述各种运动，因此至少在理论上可以回答一个物理学家可能要问的关于世界的几乎所有问题。
事实真的是这样的吗？当人们第一次开始考虑最小尺度的世界時，例如电子绕原子核旋转，慢慢意识到事情变得非常奇怪，事实上，牛顿定律不再适用。
为了描述这个微小的世界，你需要用到迟至二十世纪初才开始发展的量子力学理论。
这个理论的核心方程类似于经典力学中的牛顿第二定律，它被称为薛定谔方程。
薛定谔方程是以薛定谔（1887-1961）的名字命名。
“在经典力学中，我们使用位置和动量来描述一个物理系统的状态，”例如，假设桌面上有一些运动着的台球，如果你知道了每个球在某个时刻的位置和动量，那么你就知道了该系统在该时刻的一切：这里的一切是指运动的状态和运动的速度。
我们会问：“如果我们知道一个系统的初始条件，即我们知道系统在该时间的状态，那么该系统的动态如何演变？”牛顿第二定律可以帮助我们回答此类问题。
但是到了微观世界里，经典力学就不再适用，因此量子力学应运而生。
在量子力学建立之初有一个有趣的故事——薛定谔的猫。
薛定谔的猫是关于量子理论的一个理想实验。
内容是：一只猫被封在一个密室里，密室里有食物，有毒药。
毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。
如果原子核衰变，则放出阿尔法粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的氰化物气体，猫必死无疑。
原子核的衰变是随机事件，物理学家所能精确知道的只是半衰期——衰变一半所需要的时间。
第一章薛定谔方程
第一章薛定谔方程薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，描述了微观粒子的运动状态和演化规律。
它的提出对于量子力学的发展产生了深远的影响，并深刻改变了人们对世界的认识。
本文将围绕着展开讨论，探究其背后所蕴含的深刻物理学原理。
首先，我们来回顾一下薛定谔方程的提出背景。
20世纪初，物理学家们在研究微观粒子的运动规律时，遇到了经典物理学无法解释的种种难题。
经典力学在描述微观粒子的行为时无法给出合理的解释，因此人们渐渐意识到需要一种全新的理论来描述这些微小世界中的规律。
正是在这样的背景下，薛定谔方程应运而生。
薛定谔方程的提出，标志着量子力学的诞生。
薛定谔方程不同于经典物理学中的牛顿力学方程，它描述的是微观粒子的波函数随时间的演化，而非粒子的轨迹和速度。
通过对波函数的求解，我们可以得到微观粒子在不同时刻的位置、动量以及其他物理量的概率分布。
这种概率性描述方式，颠覆了人们对于物质世界运动规律的传统认识，揭示了微观粒子背后隐藏的深奥规律。
薛定谔方程的提出，引发了人们对于量子力学本质的讨论。
在量子力学中，波函数的叠加原理和不确定性原理等概念颠覆了人们对于经典物理学中确定性原理的理解。
薛定谔方程的波函数解释了微观粒子的波粒二象性，即微粒既具有粒子的离散性，又具有波的波动性。
这种全新的物理学范式挑战了人们对世界的认知，促使人们重新审视自然界中的种种现象。
薛定谔方程在理论物理学中有着广泛的应用。
量子力学作为现代物理学的核心理论，已经在众多领域展现了其强大的解释和预测能力。
薛定谔方程在固体物理、量子化学、粒子物理等领域都有着重要的应用，为人们深入理解微观世界提供了有效的工具和方法。
薛定谔方程的解析、数值求解和近似方法已经成为当今物理学研究中不可或缺的一部分。
除了在理论物理学中的应用，薛定谔方程还对实验物理学的发展产生了深远的影响。
量子力学中的许多理论预言已经得到了实验证实，如双缝实验、量子隧穿现象等。
这些实验证实不仅证明了薛定谔方程的正确性，也进一步深化了人们对量子力学的理解。
薛定谔方程
称为势场中一维运动粒子的薛定谔方程
= (x, t)是粒子在势场U= U(x, t)中运动的波
函数。 太原理工大学大学物理
2.三维薛定谔方程式 由一维方程推广可得三维薛定谔方程式
2 2 2 2 i ( 2 2 2 ) U (r , t ) t 2m x y z
令左端等于常数E，得
积分
f (t ) e
i Et
df (t ) 1 i E dt f (t )
令右端也等于常数E，得
一维定态薛定谔方程 太原理工大学大学物理
讨论： 1）势能不显含时间的粒子状态称为定态。 2）处于定态下的粒子在空间的概率密度分布不 随时间发生变化。
Ψ ( x, t ) Ψ ( x)e
2 2 2 ( x,t ) 2 2 替换 P P ( x , t ) 注意 x 2 x 2 x x
2
太原理工大学大学物理
取偏导后得
( x,t ) i E( x,t ) t
2 ( x,t ) Px2 2 ( x, t ) 2 x
波函数写成
Ψ ( x, t ) Ψ ( x) f (t )
将波函数代入薛定谔方程
得
太原理工大学大学物理
两边同除以Ψ (x)f(t)，分离变量，得到:
左边只与时间有关,右边只与空间坐标有关 左右两边的变量又相互独立，两边必须等于 同一个常量E时，等式才能成立.
由量纲分析可知，E具有能量的量纲。
太原理工大学大学物理Βιβλιοθήκη 1）微观粒子满足德布罗意关系式
E / h, h / p
2）满足非相对论的能量关系式
3）波函数应遵从线性方程。若 1 是方程的解， 则 c 1 也是它的解。若波函数 1 与 2 是某粒 子的可能态，则它们的线性组合 c1 1 c2 2也 是该粒子的可能态。 4)自由粒子的外势场应为零，即 U=0 太原理工大学大学物理
16-2薛定谔方程
粒子被束缚在势阱中， 粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系 列分立值，即能量是量子化的。 列分立值，即能量是量子化的。
n (x) = 0, 2 nπx sin( ), n (x) = a a
x ≤ 0, x ≥ a
0≤ x≤a
由波函数可得 粒子在阱势内各处 出现的概率。 出现的概率。
n = 1,2,3,L
解：
根据能级公式
En =
h2 π2 2m a
n2 2
∴ En = En +1 En
= (n + 1) 2
因为 h = 所以
π 2h 2
2ma
2
n2
πh 2
2ma
2
= (2n + 1)
π 2h 2
2ma 2
h = 1 .056 × 10 34 J s 2π
9
me = 9.1 × 10 31 kg
v
2m
t
v v 设:ψ(r , t) = (r ) f (t)
h2 v v v df (t) f (t)2(r ) +U(r )(r) f (t) = ih(r ) 2m dt
两边除以(r ) f (t) 可得： 可得：
h2 2 v 1 1 df (t) v (r ) +U(r )(r)] = ih v [ f (t) dt (r ) 2m
nπ k= a
n =1,2,3,L
n =1 2,3,L ,
结果说明： 结果说明
nπx (x) = Asin( ), n =1 2,3,L , a nπ x 2 a 由归一化条件 2 A= )dx =1 Asin ( a ∫0 a
一维无限深势阱中运动的粒子波函数为： 一维无限深势阱中运动的粒子波函数为：
薛定谔方程的建立
薛定谔方程的建立1925年，薛定谔在苏黎世大学任教,并兼任大物理学家德拜的助手。
薛定谔过去一直在致力于分子运动的统计力学方面的研究，所以很快注意到爱因斯坦于1925年2月德布罗意发表的关于理想气体量子理论的论文，并从中受到影响.薛定谔本人在1926年4月给爱因斯坦的一封信中曾谈起过：“如果不是您的第二篇关于气体简并的论文提示了我注意到德布罗意思想之重要性的话，恐怕我的整个事情都还未能开始呢。
”德拜的回忆说,当初在慕尼黑大学时，曾由德拜、薛定谔等人一块儿组织过一些讨论，德布罗意的博士论文发表后，他们曾进行过讨论。
由于难于理解，德拜就让薛定谔仔细钻研一下，然后给大家讲解。
“正是这个准备过程使他进步了。
作了报告后不过数月之久，他的正式论文就发表出来了.”薛定谔建立的波动力学是从光学和力学的类比入手的;他发现,微观粒子的运动，用哈密顿动力学方程描述和用德布罗意波波阵面方程描述具有同样的形式,从而看出物质波的“几何光学"等同于经典力学。
他把光学与力学进行类比：几何光学是波动光学的近似和简化，若经典力学等同于几何光学，则应该有一门波动力学等同于波动光学，它将如波动光学可以解释干涉衍射一样，用来解释原子领域的过程。
他于是引进波函数，把粒子在力场中的运动，描绘成波动的过程，建立了有名的薛定谔方程。
薛定谔的论文正式发表于1926年3月，题目为“作为本征值问题的量子化”，这是他四篇系列论文中的第一篇。
薛定谔利用哈密顿—雅可比（Hamilton －Jacobi ）微分方程，针对氢原子的具体情形，最后导出了一个一函数的本征值方程： 0)(2222=++∆ψψr e E K m 这就是定态下的薛定谔方程.玻尔的氢原子能级作为方程中函数的本征值自然而然地出现了。
薛定谔方程的引入方式并不是唯一的，其正确性只能由它所得出的结果是否正确来加以保证.事实证明，薛定谔方程在低速微观领域是十分正确的。
波动方程的建立标志了波动力学的诞生。
薛定谔方程及提出背景
薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假假设，系统内有个粒子，那么波函数是定义于 -位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用别离变量法，猜测的函数形式为；其中，是别离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会发觉就是能量．代入这猜测解，经过一番运算，含时薛定谔方程(1)会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程(2)变为。
历史背景与开展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律(Bragg'slaw)计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反响这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个发觉里。
薛定谔方程的基本概念
薛定谔方程的基本概念薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一，它的提出是量子力学的重要里程碑。
本文将介绍薛定谔方程的基本概念，包括方程的起源、数学形式以及其在量子力学中的应用。
1. 薛定谔方程的起源量子力学是研究微观世界的物理学分支，旨在解释微观粒子的行为和性质。
20世纪初，量子力学的奠基人之一薛定谔（ErwinSchrödinger）提出了薛定谔方程，以描述微观粒子的运动和状态演化。
2. 薛定谔方程的数学形式薛定谔方程是一个偏微分方程，它用于描述微观粒子的波函数随时间和空间的演化。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是微观粒子的波函数，t代表时间，m代表粒子的质量，V代表势能。
方程右边第一项描述了粒子的动能，第二项描述了势能对波函数的影响。
3. 波函数和可观测量波函数是薛定谔方程的解，它包含了微观粒子的全部信息。
通过波函数，我们可以计算得到粒子的各种可观测量，如位置、动量、能量等。
这些可观测量是通过对波函数进行数学操作得到的。
4. 薛定谔方程的解和物理意义薛定谔方程的解即波函数可以用于描述微观粒子的各种性质和行为。
波函数的平方的模的绝对值的平方表示了粒子在不同位置出现的概率密度。
因此，薛定谔方程不仅提供了描述微观世界的工具，也提供了一种概率解释。
5. 应用举例：粒子在势阱中的行为薛定谔方程在量子力学中有广泛的应用。
一个典型的例子是研究粒子在势阱中的行为。
势阱是一个具有一定势能的区域，它可以代表原子、分子等微观体系。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱中的能级、波函数的形状等信息。
结语：薛定谔方程作为量子力学的基本方程，为我们理解微观世界提供了重要的工具。
它的提出使得我们能够描述和预测微观粒子的行为，并且在研究原子、分子等微观体系时有着广泛的应用。
通过深入研究薛定谔方程，我们可以更好地理解和探索量子世界的奥秘。
（注：本文参考了量子力学和薛定谔方程的基本概念，并根据题目要求进行了适当的调整和结构化。
合流超几何方程薛定谔方程
合流超几何方程薛定谔方程合流超几何方程和薛定谔方程是两个重要的数学和物理方程。
本文将详细介绍这两个方程的背景、定义、特点以及在数学和物理领域的应用。
首先，让我们从合流超几何方程开始。
合流超几何方程是一个特殊的微分方程，形式为：x(x-1)y'' + [c-(a+b+1)x]y' - aby = 0其中，y''表示y对于x的二阶导数，y'表示y对于x的一阶导数。
这个方程是由合流超几何函数引出的，合流超几何函数是由高斯超几何函数推广而来的一类特殊函数。
合流超几何函数对于解决许多物理和数学问题具有重要的作用，比如波动方程、电磁场问题以及量子力学中的一些问题。
合流超几何方程具有一些重要的特征。
首先，当c为非负整数时，这个方程在0附近有正则奇点。
其次，当方程的解具有收敛的幂级数表示时，它们是合流超几何函数的解，这些函数在数学和物理领域都有广泛应用。
接下来，我们来介绍薛定谔方程。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，描述微观粒子的行为。
薛定谔方程的一般形式为：iħ∂ψ/∂t = -ħ²/2m∇²ψ + Vψ其中，ψ是波函数，表示粒子的状态，ħ是约化普朗克常数，t是时间，m是粒子的质量，∇²是拉普拉斯算子，V是势能。
薛定谔方程在量子力学中扮演着至关重要的角色。
它能够描述粒子的波粒二象性，解决能级问题，以及预测粒子在空间中的概率分布。
薛定谔方程是量子力学体系中最基本的方程之一，为解决和理解微观世界的现象提供了重要的数学工具。
合流超几何方程和薛定谔方程在数学和物理领域有广泛的应用。
合流超几何方程的解可以用于求解各种微分方程和积分问题，也可以应用于概率论、统计学和组合学中。
薛定谔方程被广泛用于解决量子力学问题，比如原子和分子的结构、粒子的散射和束缚态问题。
总结起来，合流超几何方程和薛定谔方程都是重要的数学和物理方程。
合流超几何方程可以用于解决各类微分方程、积分问题以及在概率论、统计学和组合学中的应用。
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薛定谔方程在一维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为；(1)其中，是质量，是位置，是相依于时间的波函数，是约化普朗克常数，是位势。
类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势中的含时薛定谔方程为。
(2)假若，系统内有个粒子，则波函数是定义于-位形空间，所有可能的粒子位置空间。
用方程表达，。
其中，波函数的第个参数是第个粒子的位置。
所以，第个粒子的位置是。
不含时薛定谔方程不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。
顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。
应用分离变量法，猜想的函数形式为；其中，是分离常数，是对应于的函数．稍回儿，我们会察觉就是能量．代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：。
类似地，方程 (2) 变为。
历史背景与发展爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。
他建议光子的能量与频率成正比。
在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。
1924年，路易·德布罗意提出一个惊人的假设，每一种粒子都具有波粒二象性。
电子也有这种性质。
电子是一种波动，是电子波。
电子的能量与动量决定了它的物质波的频率与波数。
1927年，克林顿·戴维孙和雷斯特·革末将缓慢移动的电子射击于镍晶体标靶。
然后，测量反射的强度，侦测结果与X射线根据布拉格定律 (Bragg's law) 计算的衍射图案相同。
戴维森-革末实验彻底的证明了德布罗意假说。
薛定谔夜以继日地思考这些先进理论，既然粒子具有波粒二象性，应该会有一个反应这特性的波动方程，能够正确地描述粒子的量子行为。
于是，薛定谔试着寻找一个波动方程。
哈密顿先前的研究引导著薛定谔的思路，在牛顿力学与光学之间，有一种类比，隐蔽地暗藏于一个察觉里。
这察觉就是，在零波长极限，实际光学系统趋向几何光学系统；也就是说，光射线的轨道会变成明确的路径，遵守最小作用量原理。
哈密顿相信，在零波长极限，波传播会变为明确的运动。
可是，他并没有设计出一个方程来描述这波行为。
这也是薛定谔所成就的。
他很清楚，经典力学的哈密顿原理，广为学术界所知地，对应于光学的费马原理。
借着哈密顿-雅可比方程，他成功地创建了薛定谔方程。
薛定谔用自己设计的方程来计算氢原子的谱线，得到了与用玻尔模型计算出的能级相同的答案。
但是，薛定谔对这结果并不满足，因为，索末菲似乎已经正确地计算出氢原子光谱线精细结构常数的相对论性的修正。
薛定谔试着用相对论的能量动量关系式，来寻找一个相对论性方程（现今称为克莱因-高登方程），可以描述电子在库仑位势内的量子行为。
薛定谔计算出这方程的定态波函数。
可是，相对论性的修正与索末菲的公式有分歧。
虽然如此，他认为先前非相对论性的部分，仍旧含有足够的新结果。
因此，决定暂时不发表相对论性的修正，只把他的波动方程与氢原子光谱分析结果，写为一篇论文。
1926年，正式发表于物理学界[2]。
从此，给予了量子力学一个新的发展平台。
薛定谔方程漂亮地解释了的行为，但并没有解释的意义。
薛定谔曾尝试解释代表电荷的密度，但却失败了。
1926年，就在薛定谔第四篇的论文发表之后几天，马克斯·玻恩提出概率幅的概念，成功地解释了的物理意义[3]。
可是，薛定谔本人一直不承认这种统计或概率的表示方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。
就像爱因斯坦的认为量子力学是基本为确定性理论的统计近似，薛定谔永远无法接受哥本哈根诠释。
在他有生最后一年，他写给马克斯·玻恩的一封信内，薛定谔清楚地表明了这看法。
含时薛定谔方程导引启发式导引含时薛定谔方程的启发式导引，建立于几个假设：假设(1) 一个粒子的总能量可以经典地表达为动能与势能的和：；其中，是动量，是质量。
特别注意，能量与动量也出现于以下两个关系方程。
(2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：其中，是普朗克常数，是角频率。
(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数来表达。
粒子的动量与伴随的波函数的波长有关：；其中，是波数。
用矢量表达，。
波函数以复值平面波来表达波函数1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：。
他想到，因此。
并且相同地由于，因此得到。
再由经典力学的公式，一个粒子的总能为，质量为，在势能处移动：。
薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：。
薛定谔的导引思考一个粒子，运动于一个保守的位势。
我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程；其中，是哈密顿主函数。
由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：；其中，不相依于时间的函数是哈密顿特征函数，是能量。
将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到；哈密顿主函数随时间的全导数是。
思考哈密顿主函数的一个常数的等值曲面。
这常数的等值曲面在空间移动的方程为。
所以，在设定等值曲面的正负面后，朝着法线方向移动的速度是。
这速度是相速度，而不是粒子的移动速度：。
我们可以想像为一个相位曲面。
既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与成比例的波函数：；其中，是常数，是相依于位置的系数函数。
将哈密顿主函数的公式代入波函数，成为。
注意到的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论；其中，是约化普朗克常数，是角频率。
设定，粒子的波函数变为；其中，。
的波动方程为。
将波函数代入波动方程，经过一番运算，得到。
注意到。
稍加编排，可以导引出薛定谔方程：。
特性线性方程态叠加原理薛定谔方程是一个线性方程。
满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。
假若与是某薛定谔方程的解。
设定，其中，与是任何常数。
则也是一个解。
证明根据不含时薛定谔方程 (1) ，，。
线性组合这两个方程的解，。
所以，也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。
类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。
实值的本征态不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。
但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。
假若两个波函数与都是某不含时薛定谔方程的，能量为的解答，则这两个不同的波函数解答为简并的。
任何线性组合也是能量为的解答。
对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数是某薛定谔方程的解答，则其共轭函数也是这薛定谔方程的解答。
所以，的实值部分或虚值部分，都分别是解答。
我们只需要专注实值的波函数解答。
这限制并不会影响到整个不含时问题。
转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。
给予某含时薛定谔方程的解答。
其替代波函数是另外一个解答：。
这解答是复共轭对称性的延伸。
称复共轭对称性为时间反转。
幺正性在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的概率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。
薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
用波函数表达，。
(3)为了满足这特性，必须将波函数归一化。
假若，某一个薛定谔方程的波函数尚未归一化。
由于薛定谔方程为线性方程，与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程的波函数。
设定；其中，是归一常数，使得。
这样，新波函数还是这个薛定谔方程的解答，而且，已经被归一化了。
在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数相依于时间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。
在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。
薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。
这样，量子系统永远地满足幺正性。
所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。
证明总概率随时间的微分表达为。
(4) 思考含时薛定谔方程，。
其复共轭是。
所以，代入方程 (4) ，在无穷远的极限，符合物理实际的波函数必须等于 0 。
所以，。
薛定谔方程的波函数的归一化不会随时间而改变。
完备基底能量本征函数形成了一个完备基底。
任何一个波函数可以表达为离散的能量本征函数的线性组合，或连续的能量本征函数的积分。
这就是数学的谱定理 (spectral theorem) 。
在一个有限态空间，这表明了厄米算符的本征函数的完备性。
相对论性薛定谔方程薛定谔方程并没有将相对论效应纳入考虑范围内。
对于伽利略变换，薛定谔方程是个不变式；可是对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。
为了要包含相对论效应，必须将薛定谔方程做极大的改变。
试想能量质量关系式，；其中，是光速，是静止质量。
直接地用这关系式来推广薛定谔方程：。
或者，稍加编排，；其中，，是达朗贝尔算符。
这方程，称为克莱因-高登方程，是洛伦兹不变式。
但是，它是一个时间的二阶方程。
所以，不能成为波函数的方程。
并且，这方程的解答拥有正频率和负频率。
一个平面波函数解答遵守；其中，是角频率，可以是正值或负值。
对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端限制能量的最低值。
虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地计算出相对论性的，自旋为零的粒子的波函数。
保罗·狄拉克发明的狄拉克方程，是时间的一阶微分方程，一个专门描述自旋-½粒子量子态的波函数方程：，其中，是自旋-½粒子的质量，与分别是空间和时间的坐标。
狄拉克方程方程仍旧存在负能量的解答。
为了要除去这麻烦的瑕疵，必须用到多粒子图案，把波动方程当作一个量子场的方程，而不是一个波函数的方程。
因为，相对论与单粒子图案互不相容。
一个相对论性粒子不能被局限于一个小区域，除非粒子的数量变为无穷多。
假若，一个粒子被局限于一个长度为的一维盒子里，根据不确定性原理，动量的不确定性。
假若，因为粒子的动量足够的大，质量可以被忽略，则能量的不确定性大约为。
当盒子的长度等于康普顿波长时，能量的不确定性等于粒子的质能。
当盒子的长度小于康普顿波长时，我们无法确定盒子内只有一个粒子。
因为，能量的不确定性，足够从真空制造更多的粒子。
我们用来测量盒子内粒子位置的机制，也可以从真空制造更多的粒子。
解析方法自由粒子主条目：自由粒子当位势为 0 时，薛定谔方程为。
解答是一个平面波：，其中，是波矢，是角频率。
代入薛定谔方程，这两个变量必须遵守以下关系：。
由于粒子存在的概率必须等于 1 ，波函数必须先归一化，然后才能够表达出正确的物理意义。
对于一般的自由粒子而言，这不是一个问题。
因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。
在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。
自由粒子的波函数可以表示为一个波包的函数。
：；其中，积分的区域是所有的-空间。
为了简化计算，只思考一维空间，；其中，因子是由傅里叶变换的常规而设定，振幅是线性叠加的系数函数。