线性代数习题集含答案
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行列式 =_________
答案：（1） ；（2） ；
（3）-8
【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式 ，则A的逆矩阵是
（A）A-E；（B）E-A；（C） ； （D） 。
（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
A、 ；B、
C、 ；D、
（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为
（ 0；i=1，2， n）
答案： .
【12】解下列线性方程组：
（1） ；（2） 。
答案：（1） ；
(2) .
【13】计算n阶行列式
于是
【14】证明
由归纳假设，得
【15】计算五阶行列式
可以得到
【16】证明
证明：略
【17】.证明
答案与提示：
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。
【9】计算下列n阶行列式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
答案：（1）1+ ；（2）1；（3）n！
（4）2n+1；（5） 。
【10】计算下列行列式：
（1） ；（2） （n阶）；
（3） ；
（4） 。
答案：（1）n=2时，行列式等于 ；n≥3，行列式为0；
（2） ；（3） ；
（4）
【11】计算n+1阶行列式：
A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E
（4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是
A、 ；B、 ；C、AB;D、 。
（5）设A，B，A+B， 均为n阶可逆矩阵，则（ ）等于
A、 ；B、A+B；C、 ；D、 。
（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C
【2】选择题
（1）若行列式 =0，则x=（）。
A-3；B-2；C2；D3。
（2）若行列式 ，则x=（）。
A-1， ；B0， ；C1， ；D2， 。
（3）三阶行列式 =（）。
A-70；B-63；C70；D82。
（4）行列式 =()。
A ；B ；C ；D 。
（5）n阶行列式 =（）。
A0；Bn！；C（-1）·n！；D 。
（1）若矩阵A的行列式 =0，则A=0；
（2）若 =0，则A=E；
（3）若A，B为两个n阶矩阵，则 ；
（4）若矩阵A 0，B 0，则AB 0.
【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
（1） ；
（2） ；
【5】计算AB和AB-BA。已知
（1） ，
（2） ， 。
答案：（1） ， ；
（2） ，
【17】求下列矩阵的秩
（1） ；（3）
（4） 。
答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2；
【18】求下列矩阵的标准形
（1） ；（2） 。
答案：（1） ；（2） 。
【21】
【22】
.
第二章
【1】填空题设A是三阶方阵， 是A的伴随矩阵，A的行列式 = ，则行列式 ___________。
【2】假设A=（ ）是一个n阶非零矩阵，且A的元素 （i，j=1，2， ，n）均为实数。已知每一个元素 都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n 3时 =1或-1。
【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
；
【6】计算下列矩阵乘积：
（1） ；（2）（x，y，1） 。
答案：（1） ；（2） 。
【7】计算 ，并利用所得结果求 。
答案：提示：用数学归纳法可证 。当 时， 。
故
【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明
（2） （217986354）=18，此排列为偶排列。
（3） （987654321）=36，此排列为偶排列。
【5】计算下列的逆序数：
（1）135 （2n-1）246 （2n）；（2）246 （2n）135 （2n-1）。
答案：（1） n（n-1）；（2） n（n+1）
【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
（1） ， 都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。
【10】求矩阵X，已知：
（1） ；
（2）
答案：（1） ；（2）
【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵 ;
(1) ,其中ad-bc=1；（2） ；
（3） ；
答案：（1） ；（2） ；
（3）
【12】在下列矩阵方程中求矩阵X：
（1） ；
【18】.计算n阶行列式：
（1） ；
（2） 。
答案与提示：
（1）
（2）
【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：
（2） ；
（3） ；
（4）
答案与提示：
（2） ；（3）
（4）
【20】.证明下列等式：
（1） ；
（2） 。
答案与提示：
（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：用归纳法证。
答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。
【3】证明
答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：
（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1） （134782695）=10，此排列为偶排列。
（1） ；（2） ；（3）
答案：（1）正号；（2）负号。
【7】根据定义计算下列各行列式：
（1） ；(2) ；（3） ；
（4）
答案：（1）5！=120；（2） ；
（3） ；（4） 。
【8】计算下列行列式：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 。
答案：（1）-136；（2）48；（3）12；
（4）（b-a）（来自百度文库-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）
（2） ；
答案：（1） ；（2）
【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程 ，证明A可逆，并求 。
答案：提示：由 。
【15】填空题
（1）设矩阵A= ，则 =_________
（2）设A是3阶数量矩阵，且 =-27，则 =_________
（3）设A是4阶方阵，且 =-2，则A的伴随矩阵 的
《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【1】填空题
（1）二阶行列式 =___________。
（2）二阶行列式 =___________。
（3）二阶行列式 =___________。
（4）三阶行列式 =___________。
（5）三阶行列式 =___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3. ；4. ；5.4abc。
答案：（1） ；（2） ；
（3）-8
【16】选择题
（1）设A是n阶方阵，且满足等式 ，则A的逆矩阵是
（A）A-E；（B）E-A；（C） ； （D） 。
（2）设A，B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是
A、 ；B、
C、 ；D、
（3）设A，B，C为n阶方阵，且ABC=E，则必成立的等式为
（ 0；i=1，2， n）
答案： .
【12】解下列线性方程组：
（1） ；（2） 。
答案：（1） ；
(2) .
【13】计算n阶行列式
于是
【14】证明
由归纳假设，得
【15】计算五阶行列式
可以得到
【16】证明
证明：略
【17】.证明
答案与提示：
提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。
【9】计算下列n阶行列式：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ；
（5） 。
答案：（1）1+ ；（2）1；（3）n！
（4）2n+1；（5） 。
【10】计算下列行列式：
（1） ；（2） （n阶）；
（3） ；
（4） 。
答案：（1）n=2时，行列式等于 ；n≥3，行列式为0；
（2） ；（3） ；
（4）
【11】计算n+1阶行列式：
A、ACB=E;B、CBA=E;C、BAC=E;D、BCA=E
（4）设A，B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是
A、 ；B、 ；C、AB;D、 。
（5）设A，B，A+B， 均为n阶可逆矩阵，则（ ）等于
A、 ；B、A+B；C、 ；D、 。
（1）C；（2）B；（3）D；（4）A；（5）C
【2】选择题
（1）若行列式 =0，则x=（）。
A-3；B-2；C2；D3。
（2）若行列式 ，则x=（）。
A-1， ；B0， ；C1， ；D2， 。
（3）三阶行列式 =（）。
A-70；B-63；C70；D82。
（4）行列式 =()。
A ；B ；C ；D 。
（5）n阶行列式 =（）。
A0；Bn！；C（-1）·n！；D 。
（1）若矩阵A的行列式 =0，则A=0；
（2）若 =0，则A=E；
（3）若A，B为两个n阶矩阵，则 ；
（4）若矩阵A 0，B 0，则AB 0.
【4】设A，B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立？
（1） ；
（2） ；
【5】计算AB和AB-BA。已知
（1） ，
（2） ， 。
答案：（1） ， ；
（2） ，
【17】求下列矩阵的秩
（1） ；（3）
（4） 。
答案：（1）r（A）=2；（2）r（A）=2；（3）r（A）=3；（4）r（A）=2；
【18】求下列矩阵的标准形
（1） ；（2） 。
答案：（1） ；（2） 。
【21】
【22】
.
第二章
【1】填空题设A是三阶方阵， 是A的伴随矩阵，A的行列式 = ，则行列式 ___________。
【2】假设A=（ ）是一个n阶非零矩阵，且A的元素 （i，j=1，2， ，n）均为实数。已知每一个元素 都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n 3时 =1或-1。
【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。
；
【6】计算下列矩阵乘积：
（1） ；（2）（x，y，1） 。
答案：（1） ；（2） 。
【7】计算 ，并利用所得结果求 。
答案：提示：用数学归纳法可证 。当 时， 。
故
【8】已知A，B是n阶对称矩阵，证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。
【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明
（2） （217986354）=18，此排列为偶排列。
（3） （987654321）=36，此排列为偶排列。
【5】计算下列的逆序数：
（1）135 （2n-1）246 （2n）；（2）246 （2n）135 （2n-1）。
答案：（1） n（n-1）；（2） n（n+1）
【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
（1） ， 都是对称矩阵；（2）AB-BA是对称矩阵；（3）AB+BA是反对称矩阵。
【10】求矩阵X，已知：
（1） ；
（2）
答案：（1） ；（2）
【11】已知矩阵A，求A的逆矩阵 ;
(1) ,其中ad-bc=1；（2） ；
（3） ；
答案：（1） ；（2） ；
（3）
【12】在下列矩阵方程中求矩阵X：
（1） ；
【18】.计算n阶行列式：
（1） ；
（2） 。
答案与提示：
（1）
（2）
【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：
（2） ；
（3） ；
（4）
答案与提示：
（2） ；（3）
（4）
【20】.证明下列等式：
（1） ；
（2） 。
答案与提示：
（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。
（2）提示：用归纳法证。
答案：1.D；2.C；3.A；4.B；5.D。
【3】证明
答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性：
（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。
答案：（1） （134782695）=10，此排列为偶排列。
（1） ；（2） ；（3）
答案：（1）正号；（2）负号。
【7】根据定义计算下列各行列式：
（1） ；(2) ；（3） ；
（4）
答案：（1）5！=120；（2） ；
（3） ；（4） 。
【8】计算下列行列式：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） 。
答案：（1）-136；（2）48；（3）12；
（4）（b-a）（来自百度文库-a）（d-a）（c-b）（d-b）（d-c）
（2） ；
答案：（1） ；（2）
【13】证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。
【14】假设方阵A满足矩阵方程 ，证明A可逆，并求 。
答案：提示：由 。
【15】填空题
（1）设矩阵A= ，则 =_________
（2）设A是3阶数量矩阵，且 =-27，则 =_________
（3）设A是4阶方阵，且 =-2，则A的伴随矩阵 的
《线性代数》习题集（含答案）
第一章
【1】填空题
（1）二阶行列式 =___________。
（2）二阶行列式 =___________。
（3）二阶行列式 =___________。
（4）三阶行列式 =___________。
（5）三阶行列式 =___________。
答案：1.ab(a-b)；2.1；3. ；4. ；5.4abc。