第二章 几何组成分析

W 33 (23 3) 9 9 0
第二章 平面体系的几何构造分析
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
解：
1
3
2
45
m 2 g 1 h 1 b 5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
第二章 平面体系的几何构造分析
例: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
第二章 平面体系的几何构造分析
一元体：一个刚片与一个体系之间只用 三根不相交于一点也不平行的链杆联结，则 该刚片称为一元体。
二元体：两个刚片与一个体系之间用 三个不在一条直线上的铰两两相联，刚两 个刚片称为二元体。
A
a
当杆通过铰 瞬变体系
B
虚 铰
第二章 平面体系的几何构造分析
规则3 两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三 根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式 的可变体系
瞬变体系
ห้องสมุดไป่ตู้
瞬变体系
常变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三
择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找 简便的解题途径。
第二章 平面体系的几何构造分析
2、刚片——平面刚体。
由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链 杆或一个几个不变部分作为一个刚体，在几何构 造分析中称为刚片
形状可任意替换
第二章 平面体系的几何构造分析
3、自由度
自由度-- 确定物体位置所需要的独立坐标数目 体系运动时可独立改变的几何参数数目
基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
Ⅰ
1、2、3、4是链杆，折
线型链杆、曲线型链杆可
15
用直线型链杆代替。
3
4
6
5、6不是链杆。
第二章 平面体系的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰 一个单铰相当于几个约束呢？ 一个单铰可减少体系两个自由度
1个单铰 = 2个约束
联结两个刚片以上的铰称为复铰 一个复铰相当于几个约束呢？ 1连接n个刚片的复铰 = (n-1)个单铰
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
B
C
D
E
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
第二章 平面体系的几何构造分析
两平行链杆于两铰连线平 行, 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
BI
II C
III
图示体系，瞬铰B、C在两个不同方向的 无穷远处，它们对应于无穷线上两个不同的 点，铰A位于有限点。由于有限点不在无穷 线上，故三铰不共线，体系为几何不变且无 多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
单复刚结点
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
n-1个
第二章 平面体系的几何构造分析
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
6. 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种：
• （1）几何常变体系：受力后可发生有限位 移。 • （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位 移。
为复杂链杆。一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。
2. 单铰与复铰 单铰 复铰
第二章 平面体系的几何构造分析
3. 封闭刚架
每个无铰封闭框都有三次超静定
第二章 平面体系的几何构造分析
三、例题
例2-3-1 试求图示体系的计算自由度。
AI
II
C III
B1
2
3
解： m3 g0 h3 b3
本章内容
几何构造分析的几个概念 几何不变体系的组成规则 几何组成分析举例 体系的几何组成与静力特性的关系
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的几个概念
几何构造分析：对结构或体系的组成形式进 行分析。
基本假定：不考虑材料的应变
第二章 平面体系的几何构造分析
几何不变体系
几何可变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
m、j、g、h、b意义同前。
第二章 平面体系的几何构造分析
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
二、复链杆与复杂铰
1. 单链杆与复链杆
单链杆
复链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称
第二章 平面体系的几何构造分析
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
作业
2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b
1.几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的应变）
几何可变体系
机构
在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生 改变的体系。（不考虑材料的应变）
第二章 平面体系的几何构造分析
体系组成分析的目的：
(1)判定并设法保证体系的几何不变性。 (2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选
A
B
C
两根不共线的链杆连结 一点称为二元体。
在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系 实铰
杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
C B
规则2、两刚片以一铰及不 通过该铰的一根链杆相连组 成无多余约束的几何不变体 系。
三边在两边之和大
于第三边时,能唯一
地组成一个三角
形——基本出发点.
C
B
第二章 平面体系的几何构造分析
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一
刚片与一点相连的几何不变体系。
B
A C
规则1 一点与一刚片用两 根不共线的链杆相连，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
A2
两根共线的链杆连一点 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
F
F
F1
F2
F
F F1
Fy 0 :
F2 2F1 sin F =0
F
F1= 2sin
由于瞬变体系能产 生很大的内力（或不确 定）,这表明，瞬变体 系即使在很小的荷载作 用下也会产生巨大的内 力，从而可导致体系的 破坏。 故几何瞬变体 系不能作为建筑结构使 用。只有几何不变体系 才能作为建筑结构使用。
7.瞬铰(虚铰) O . . O’
A
B
C D
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
8.无穷远处瞬铰
在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时， 可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论： (1) 每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。 (2) 不同方向上有不同的∞点。 (3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。 (4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
基本要求：
理解几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系和刚片、约束、自由度、计算自 由度等概念。
掌握无多余约束的几何不变体系的几
何组成规则，及常见体系的几何组成分析。
了解结构的几何特性与静力特性的关
系。
第二章 平面体系的几何构造分析
解：
A1 B
j 5 b 10
2 34 5
W 2 5 10 0 8 C
E
9 6 D 7 10
第二章 平面体系的几何构造分析
m=7，h=9，b=3 W=3×m－2×h－b
=3×7－2×9－3 =0
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
A
刚片组成的无多余约束的几何不变体系
C
B
规则4 三刚片以不在一条直线
上的三铰 相连，组成无多余约束
的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
A
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
2. 将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中 结点为被约束对象，链杆为约束。则计算自由度 公式为：
W 2jb
j—结点数； b—简单链杆数。
3. 混合公式——约束对象为刚片和结点，约束 为铰、刚结和链杆。则计算自由度公式为：
W (3m 2 j) (3g 2h b)
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
Ⅲ
第二章 平面体系的几何构造分析
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
第二章 平面体系的几何构造分析
（a）
（e）
（c）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
一点一刚片
两个
两刚片 三刚片
三个 六个
（b）
（d）
对约束的布置要求 两链杆不共线
链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点
三铰(单或虚)不共线
第二章 平面体系的几何构造分析
几何组成分析举例
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性 的分析。在分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系 ➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作 为刚片或刚片中的一部分。
平面内一点
x
n=2
y
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一刚片
B
x
A
n=3
y
第二章 平面体系的几何构造分析
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
一根 链杆 为一 个约 束
平面内一点
n=1
第二章 平面体系的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
5、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
瞬变体系（ ）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（）
第二章 平面体系的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉
A
I
II
B III C
图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直 线上 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
四个规则可归结为一个三角形法则。
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、计算自由度
S a c W a d S W n
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。