第二章 几何组成分析
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结构力学《第二章几何组成分析》龙奴球
第二章 结构的几何构造分析
瞬变体系（
×）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（ ）
×
第二章 结构的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 结构的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉 基础，只分析上部。
第二章 结构的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
1、2、3、4是链杆， 折线型链杆、曲线型 链杆可用直线型链杆 代替。
3 6 4
Ⅰ
1 5
5、6不是链杆。
第二章 结构的几何构造分析
单铰：联结两个刚片的铰称为单铰
一个单铰相当于几个约束呢？ 在平面内两个刚片自由 度等于6 加入一个单铰后自由度 等于4，减少了2个自由 度
A
C B
规则4 三刚片以不在一条直线 上的三铰 两两相连，组成无多余 约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 结构的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1 C II
I A
2
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
(3) 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线。
(4) 各有限远点都不在∞线上。
第二章 结构的几何构造分析
§2-2 几何不变体系的组成规则
基本规律：三角形规律
几何组成分析
3
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
1 2
3
A
A
1
B
2
C
3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
几何常变体系
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2.基本原则二： 三刚片组成原则 三刚片由三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束几 何不变体系。
1.基本原则一： 二刚片组成原则
二刚片由三个不平行、不交于一点的链杆相连，组成无 多余约束几何不变体系。
虚铰
无多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系
两个链杆相当于一个铰,故二刚片组成原则可改写为: 二刚片由不共线的一个铰和一个链杆相连，组成无多余约 束几何不变体系。
几何常变体系
1 2
几何瞬变体系
4.有多余约束几何不变体系: 减少一个或多个约束(链杆)仍为几 何不变的体系。
无多余约束几何不变体系
有多余约束几何不变体系
无多余约束几何不变体系 二、约束
有多余约束几何不变体系
＝
一个链杆为一个约束 一个铰链相当于两个链杆,为两个约束
虚铰 交于无穷远
＝
固定端相当于三个链杆,为三个约束
二、无多余约束几何不变体系的组成原则
无多余约束几 何不变体系
无多余约束几 何不变体系
几何瞬变体系
3.二元片理论 一个铰连接两个不共线的链杆称为二元片。 在一个体系上增加或减少一个二元片，不改 变原体系的几何组成性质。 二元片
＝
无多余约束几何不变体系
＝
有一个多余约束几何不变体系
三、刚片的划分 1. 铰接三链杆的三角形为无多余约束几何不变体系，可作为一 个刚片。在此基础上增加若干个二元片，仍为无多余约束几何不 变体系，可视作该刚片的扩大。
第2章 平面体系的几何组成分析
瞬变体系
去支座后再分析
有
是什么 体系？
O是虚 O不是
铰吗？
O
无多不变
II
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。 方法2: 利用规则将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。 方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。 方法4: 去掉暴露在最外边的二元体.使结构简化。 例:对图示体系作几何组成分析
刚片Ⅲ
2.几何组成分析的目的
1）如何设计一个体系为几何不变体系，从而能承受荷载。 2）判断一个已知体系是否为几何不变体系，从而确定能否作 为结构。 3）区分静定与超静定结构，以便选择计算方法。
3.几何组成分析时的注意点
1）一个结构的几何属性只于结构的几何组成有关，而与所 受荷载无关。 2）由于不考虑材料的自身应变，因此可把一根梁、一根 杆、或体系中已经确定为几何不变的某个部分看作一个刚片。
5）定向支座（平行支链杆）：可以减少二个自由度。
3.多余约束
材力中多余约束的概念是从平衡方程的个数和未知力的个数的 比较找出多余约束的。从体系自由度的角度同样可以引出多余约束 的概念 。
在一个体系中增加或减少一个约束，体系的自由度并不因 此而减少或增加，则该约束称为多余约束。
4.体系的计算自由度
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
例：对图示体系作几何组成分析
解:该体系为瞬变体系.
方法3: 将只有两个铰与其它部分相连的刚片看成链杆。
方法1: 若基础与系统三杆相连,去掉基础只分析系统本身。
方法2: 利用规则3将小刚片变成大刚片.扩大刚片范围，减少刚片数。
第2章 平面体系的几何组成分析
[例] 试对图示体系进行几何组成分析
因三铰在一直线上， 故该体系为瞬变体系。
例 试分析图所示体系的几何组成。
解 (1) 用公式 (2-1) 计算体 系的自由度 m = 3， h = 2， r = 5 W = 3m－2h－r = 3 × 3－2 × 2－5 = 0
(2)几何组成分析 先把杆 AB 、 BC 及地基分别看作是刚片 I ，Ⅱ，Ⅲ， 相互用实铰 A(1 ， 3) 、实铰 B(1 ， 2) 及虚铰 (2 ， 3) 相连， （虚铰是在两平行支承链杆的交点处，即无限远处。） 三铰不在 — 直线上，此部分是几何不变的。然后再加上 一个二元体，亦是几何不变。 因此，整个体系是几何不变的。
2.平面链杆系的自由度
仅在杆的两端用铰连接的杆件称为链杆，它是刚 片的特殊形式，桁架是由这类杆件组成。 链杆系的自由度也可以用式W = 3m – 2h – r ，但 在链杆系中复铰较多，计算有所不便，因此另外从 节点出发推导两个方便计算的公式。
在链杆系中，假如各节点都是互不相连地独 立存在，则每一节点在平面内的自由度是2。
例2-4 计算图所示体系的自由度。
解： 用式(2-3)计算 W=2j–b–r 因为 j＝9，b＝15，r＝3 所以 W= 2×9 –15 – 3 = 0 即体系没有自由度。
例2-5 计算图所示体系的自由度。
解：图中 A ， B ， C 应算作 节点。其余与地基相连的 铰不算入节点数 j 内 (因为两 斜杆视作支承链杆)。 因为 j = 3，b = 2，r = 5 所以 W = 2 j－b－r = 2× 3－2－5＝－1 即体系不但没有自由度， 且多一个约束。
解： 该体系不与基础相连，r=0，故 用式(2-2) V = 3m – 2h – 3 因为 m=7，h=7+2=9
第2章几何组成分析
6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ Ⅱ Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
体系是无多余约束的几何不变体系
三、进一步举例
例题1
结论:
无多余约束的几何不变体系
A
A
相交在∞点
6 多余约束与必要约束 不减少体系自由度的约束称为多余约束。反之为必要约束。
▽注意：多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力与Байду номын сангаас形。
几何组成分析
二、 几何不变体系的基本组成规则
1、两个刚片之间的联结（规则一）： 两个刚片上用一个铰和一根不通过此铰的一根链杆相连结，形成无 多余约束的几何不变体系（或：两个刚片上用三根不交于一点、也不 全平行的三根链杆相连结 ，形成无多余约束的几何不变体系）。
几何组成分析
2.4 几何组成分析举例
一、思路 1可先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几 何可变，不必进行几何组成分析；若W<0，则应进行几何 组成分析（辅助）。 2若体系可视为两个或三个刚片时，则直接应用三规则 分析。 3若体系不能直接视为两个或三个刚片时，可先把其中 已分析出的几何不变部分视为一个刚片或撤去“二元体”， 使原体系简化。
一、几何可变体系 一般无静力解答。
实饺
虚饺
三饺共线 （瞬变）
几何组成分析 3、一个刚片与一个结点之间的联结（规则三）： 在刚片上用两根不在一条直线上的链杆联结出一个结点，形成 无多余约束的几何不变体系（或：在一个刚片上增加二元体）。
几何组成分析
FNAB =FNAC =FN 2FNsina=FP FN =FP /(2 sina )
例2-3-2 对下列图示体系作几何组成分析（说明 刚片和约束的恰当选择的影响）.
三、三个刚片穷远虚铰。
三个刚片由三个单铰两两相连，若三个铰都有交 点，容易由三个铰的位置得出体系几何组成的结论 。当三个单铰中有或者全部为无穷远虚铰时，可由 分析得出以下依据和结论：
点 的 自 由 度
刚 片 自 由 度
一个点：在平面内运动完全不受限制的一个点有２个自由度。 一个刚片：在平面内运动完全不受限制的一个刚片有３个自由度。
几何不变体系的自由度一定等于零 几何可变体系的自由度一定大于零 计算自由度
如图所示，平面内一根链杆ＡＢ，其一端Ａ和大地相连， 显然相对于大地来说这根链杆在平面内只有一种运动方式， 即作绕Ａ点转动，所以该体系只有一个自由度。同时又可 看到，如果用链杆ＡＢ与水平坐标的夹角作为表示该体系 运动方式的参变量，即表示该体系运动中任一时刻的位置， 表示体系位置的参变量数与体系的自由度数也是相等的。 所以，该体系的自由度数为１个。
例2-3-5 对图示各体系作几何组成分析。
§2-4几何组成分析举例
§2-5静定结构和超静定结构
• 静定结构 全部反力和内力都可由静力平衡条件求得 • 超静定结构 全部反力和内力不能仅由静力平衡条件求得
一、本章要求 １、了解几何不变体系、几何可变体系、瞬变体 系、刚片、体系的自由度、虚铰、约束及多余约束 的概念； ２、重点理解并掌握平面几何不变体系的简单组 成规则，并能灵活应用到对体系的分析中；
小
结
二、简单规则应用要点 简单规则中的四个要素：刚片个数、约束个数、 约束方式、结论。 应用简单规则对体系进行几何组成分析的要点是： 紧扣规则。即，将体系简化或分步取为两个或三个 刚片，由相应的规则进行分析；分析过程中，规则 中的四个要素均要明确表达，缺一不可。
结构力学第二章结构的几何组成分析
链杆法
链杆选取
选择适当的链杆，作为分析的基本单元。
约束条件分析
分析链杆的约束条件，确定结构的几何特性。
几何组成判定
根据链杆的几何特性和约束条件，判断结构 的几何组成。
混合法
1 2
方法选择
根据结构特点，选择刚片法或链杆法进行分析。
综合分析
综合运用刚片法和链杆法，对结构进行几何组成 分析。
3
结果判定
常变体系
在荷载作用下，体系的几何形状会发生变化，且这种变化是持续的。例如，一个由三个链杆连接的刚片，在荷载 作用下会持续发生变形。
03
几何组成分析方法
刚片法
刚片选取
选择适当的刚片，作为分析的基本单 元。
自由度计算
几何不变体系判定
根据约束条件，判断结构是否为几何 不变体系。
计算各刚片的自由度，确定约束条件。
结构力学第二章结构的几何组成分析
目录 Contents
• 几何组成分析基本概念 • 几何组成分析基本规则 • 几何组成分析方法 • 几何组成与结构性能关系 • 复杂结构几何组成分析示例 • 几何组成分析在工程应用中的意义
01
几何组成分析基本概念
几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状和位置都不会改变。
几何可变体系
在不考虑材料应变的前提下，体 系的形状或位置可以发生改变。
自由度与约束
自由度
描述体系运动状态的独立参数，即体系可以独立改变的坐标 数目。
约束
对体系运动状态的限制条件，即减少体系自由度的因素。
刚片与链杆
刚片
在力的作用下，形状和大小保持不变 的平面或空间图形。
第二章 几何组成分析
2. 正确区分静定结构与超静定结构。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
二、基本概念
1. 几何不变体系与几何可变体系
几何不变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状不会改变。
2
几何不变体系
几何可变体系—若不考虑材料的应变，体系 的位置和形状是可以改变的。 常变体系
几何可变体系
瞬变体系
常变体系 ——可以发生大位移的几何可变体系
叫作常变体系。 3
1）链杆 简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单链 杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一根 简单链杆相当于一个约束。yyx Nhomakorabeaφ
x
x,
链杆约束
3 2 x 1
y x
x, y,1,2,3
7
复杂链杆 连结三个或三个以上结点的杆件称 为复杂链杆，一根复杂链杆相当于（2n-3）根 简单链杆，其中n为一根链杆连结的结点数。
2. 在进行分折应时，宜先判别体系中有无二元体，如 有，则应先撤去，以使体系得到简化。
3. 如果体系仅通过三根既不完全平行，又不完全相交 的支座链杆与基础相联接的体系，则可直接分析体系内 部的几何组成。如果体系与基础相连的支座连杆数多于 三根，应把基础也看成刚片作整体分析。
4. 已知为几何不变的部分宜作为大刚片。 5. 两根链杆相当于其交点处的虚铰。 6. 运用三刚片规则时，如何选择三个刚片是关键，刚 片选择的原则是使得三者之间彼此的连接方式是铰结。
思考题： 18-3、18-4、18-7、18-8
习题：
18-24、18-26、18-27、 18-28、18-32、18-35
预习静定梁与静定刚架
36
若连结的刚片数为m，则该复杂铰相当于(m-1) 个简单铰，故其提供的约束数为2(m-1)个。
第2章体系的几何组成分析
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
一铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
两铰无穷远
几何不变体系
瞬变体系
可变体系
§2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况
无穷远元素的性质： 一组平行直线相交于同一个无穷远点； 三铰无穷远 方向不同的平行直线相交于不同的无穷远点； 平面上所有的无穷远点均在同一条直线上。
§2-5 机动分析示例
例2-3 试分析图所示桁架的几何构造。 解：ADCF和BECG都是几何 不变的部分，可作为刚片， 地基作为一个刚片。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
第二章 平面体系的机动分析
§2-1 概述 §2-2 平面体系的计算自由度 §2-3 几何不变体系的基本组成规则 §2-4 瞬变体系 §2-5 机动分析示例 §2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况 §2-7 几何构造与静定性的关系
§2-1 概述
一般结构必须是 几何不变体系
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。（图a） 几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。（图b）
分析图示体系的内力： 由平衡条件AC杆BC杆的轴力为：
F FN 2 sin
0 F
§2-4 瞬变体系
分析图示体系：
两刚片用三根交于同一点的链杆
相连，可绕交点O作相对转动， 但发生微小转动后，三根杆就不
再交于同一点，运动也就不再继
2 几何组成分析
n=2
刚 片
定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。
一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经 肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。
刚片Ⅱ
刚片Ⅰ
刚片Ⅲ
刚片形状可以任意替换
每个自由刚片有 多少个 自由度呢？
平面刚体——刚片
B
刚片 自由度数
x
A
y
n=3
几何不变体系的自由度一定等于零 S=0 几何可变体系的自由度一定大于零 S>0
W=3 ×10-(2×14+3)=-1<0 W=2 ×6-13=-1<0
◆在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是
刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果
遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多 余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束
总数时应当考虑进去。
无多余 约 束的刚片
W=2 ×6-11=1 W=3 ×8-(2×10+3)=1
例4：求下列图示体系的计算自由度
2 2
有 几 个 单 铰？
体系W 等于多少？
可变吗？
3 1
3
1
W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
W=3 ×9-(2×12+3)=0
W<0,体系 是否一定 几何不变呢？
例5：求图 示体系的计 算自由度
上部 具有多 余联系
W=2j-b-r
其中： j--结点数 b--链杆数 r-支座链杆
应用上述公式时注意：
（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：
（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。
第二章 平面体系的几何组成分析
(6) 复刚结点（P.15）
联结n个刚片间的刚结点相当于（n-1）个单刚结点 （P.16） (7) 复链杆
一般来说，联结n个点的复链杆相当于（2n-3） 个单链杆（P.16）
五、不同的装置对自由度的影响
1．一个支杆（或链杆）、可动铰支座→减少一个自由度。 2．两个相交的支杆、固定铰支座→ 减少两个自由度。 3．单铰（中间铰）：一个单铰减少两个自由度。 4．固定支座或刚结点：减少三个自由度。
几何不变体系的要求：杆件和支承数量要足够，组成方式 要合理。
可变
不变
可变
可变
可变
不变
二、二元体规则：一个点与一个刚片之间的连接方式。 1.约束：一个平面内的点有两个自由度，采用两个联系， 可使其几何不变。 2.规律I：一个刚片与一个点用不在同一直线上的两根 链杆相连，则组成没有多余约束的几何不变体系。
三、刚片与自由度
刚片：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。 一根梁、一个柱、一根链杆、地基基础、地球
或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作 一个平面刚片。
四、约束（联系）： 减少自由度的装置或连接。
常见的约束：
(1)链杆：两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。
y
O
x
进行几何组成分析时，应注意：
1）体系中的每根杆件和约束都不能遗漏，也不能 重复使用。 2）当分析无法进行下去时，一般是使用的刚片或 约束不恰当，应重新选择刚片或约束再试。 3）对于某一体系，可能有多种分析途径，但结论 是唯一的。
练习：分析图示体系的几何组成。
D
C
ED
C
E
D
C
E
A
B
A
B
第二章 结构力学平面体系的几何组成分析
(a)
(b)
(3)当三个链杆的一端铰接于一点时， (3)当三个链杆的一端铰接于一点时， 当三个链杆的一端铰接于一点时 是几何可变体系； 是几何可变体系； (4)当三个链杆的延长线（ (4)当三个链杆的延长线（或轴线搭 当三个链杆的延长线 交于一点时，是几何瞬变体系。 接）交于一点时，是几何瞬变体系。
(d)
(f)
分析图(d)： 分析图 ：
（e）
说明： 说明： 1、通过本题中的两例可知，当上 通过本题中的两例可知， 部体系和大地之间的联系符合两刚 片规则时， 片规则时，体系几何组成分析的结 论只与上部体系的几何组成有关。 论只与上部体系的几何组成有关。 因此，当符合此条件时， 因此，当符合此条件时，可仅分析 上部体系。 上部体系。
(a)
(b)
(c)
三个刚片的组成规则（ (2) 三个刚片的组成规则（三 刚片规则） 刚片规则） 三个刚片，用不全在一条直线上 三个刚片， 个单铰两两相连， 的3个单铰两两相连，组成无多 余约束的几何不变体系。 余约束的几何不变体系。
(a)
(b)
(c)
(3) 二元体规则 将二元体的两端铰B 将二元体的两端铰B、C与任意体 系相连，不改变原体系的自由度。 系相连，不改变原体系的自由度。 显然， 显然，从任意体系上拆除一个二 元体也不改变原体系的自由度。 元体也不改变原体系的自由度。 在任意体系上依次增加， 依次拆 在任意体系上依次增加，或依次拆 依次增加 除二元体，原体系的自由度数不变。 除二元体，原体系的自由度数不变。
（1 ）单 约束
连接两个刚片或两个点的装置 单约束。 叫单约束。 1根链杆（单链杆），或1个活 根链杆（单链杆），或 ）， 动铰支座，相当于1个约束。 动铰支座，相当于1个约束。
第2章体系几何组成分析
联结n个刚片的复铰相当于n-1 个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
10
4、刚性连接：刚结点、固定端支座
将两刚片联结成一个整体的结点 图示两刚片有六个自由度, 加刚性联结后有三个自由度
一个单刚结点可减少三个自由 度相当于三个约束。 刚结点将刚片连成整体（新刚片）。若是发散的，无多余 约束,若是闭合的，则每个无铰封闭框都有三个多余约束。
A
B
A
4、由一基本刚片开始，逐步增 加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个 刚片相连，再用规则判定。
E C A D
F
B
25
(2,3)
(1,3)
Ⅱ Ⅲ
(1,2)
Ⅰ
三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。26
5、当体系杆件数较多 时，将刚片选得分散些， 用链杆相连，而不用单 铰相连。
因此，静定结构的几何组成特征是几何不变且无多 余约束，超静定结构也为几何不变但有多余约束。通过 几何组成分析可以判定结构是静定的还是超静定的。
绝大部分的建筑结构都是超静定结构。
38
§2-5 静定结构和超静定结构
从受力特征看： 凡只需利用静力平衡条件就能确定全部支座反力和内 力的结构称为静定结构。 全部支座反力或内力不能只由静力平衡条件来确定的 结构称为超静定结构。
6、刚片的等效代换：在不改变刚片 与周围的连结方式的前提下，可以改变 它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
如：链杆即刚片，刚片可化为链杆， 折杆与直杆等效，实铰与虚铰等效， 几何不变体可看为刚片 Ⅰ Ⅱ
.
几何瞬变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系 29
结构力学第二章 平面体系的几何组成分析
A
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
2 3 固定一个结点的装配格式简单装配格式
B
I
C
A
A
II
II
固定一个刚片的装配格式
3
3
B
I
B C 12 I
C 联合装配格式
A
II
III
固定两个刚片的装配格式
B
I C 复合装配格式
29/73
2-2 平面几何不变体系的组成规律 四、体系的装配 多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成各 种各样的几何不变且无多余约束的体系。 装配的过程通常有两种： 1 从基础出发进行装配
x
一个链杆相当于1个约束
若用数学表达式，则应满足以下条件： xB xA 2 yB yA 2 l2
4个坐标参数必须受到上述条件的限制，故只有3个独立运动 几何参数。
14/73
2-1 几何构造分析的几个概念 五、多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此 而减少，这种约束称为多余约束。
二、刚片
在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具 体形状如何，凡本身为几何不变者，则均可把它看作为刚片。
6
4 2
5 3
1
5/73
2-1 几何构造分析的几个概念 三、自由度
y A'
A Dx
O
x
平面内一点有两种独立运动方式 (两个坐标x, y可以独立地改变)
一点在平面内有两个自由度
Dy Dy
A
II B
3
I
C
II
B 12
A
3
I
C
几何不变 无多余约束
几何不变 无多余约束
规律3 两个刚片用三个链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，并且没有多余约束。
第二章 几何组成分析
在两刚片之间至少应该加入3个约束，才可能将这 两个刚片组成一个几何不变的体系。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
下面讨论怎么布置这些约束才能达到上述目的。
一、两刚片法则
首先回顾一下铰结点的特点。
实铰
(a）
虚铰 O
刚片I
①
②
刚片II
(b）
图(b)中，刚片I和Ⅱ用两根不平行的链杆①、②联结。 若刚片I固定不动，那么刚片Ⅱ可绕两杆延长线的交点O转 动；反之，若设刚片Ⅱ固定不动，那么刚片I也可绕O点转 动。
三、二元体法则
二元体：由两根不共线的链杆联结一个新结点（特指 铰结点）的装置。
二元体
二元体法则：在一个体系上增加或者去掉一个二元体，不 会改变原体系的几何组成性质。即： 1）若原体系为几何可变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何可变体系； 2）若原体系为几何不变体系，则增加或者去掉一个二元体 后，体系仍为几何不变体系。
4、总结：静定结构、超静定结构的两种定义
• 用静力平衡条件叙述 全部反力和内力是否可以由静力平衡条件全部求得。
• 用几何组成规则叙述 静定结构：几何不变、无多余约束； 超静定结构：几何不变、有多余约束。
作业：书P.17 2-1、2-2、2-7、2-9、2-11、2-12
（a）
（b）
3、从几何组成上定义
1）静定结构：几何不变、无多余约束的体系。
凡是无多余约束的几何不变体系一定是静定结构； 反之，静定结构一定是几何不变且无多余约束的体系。
2）超静定结构：几何不变、有多余约束的体系。
凡是有多余约束的几何不变体系一定是超静定结构； 反之，超静定结构一定是几何不变且有多余约束的体系。
球或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看 作一个刚片。
结构力学第二章几何组成分析
结构力学第二章几何组成分W析=3×8-(2×10+4)=0
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
1①
2
②3
解: m 3, h 2, r 4
w 3m (2h r)
3 3 (2 2 4)
1
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
平面体系的计算自由度
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
单铰 β
II y
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念 约束
单铰
I θ II
平面内 2刚片=6自由度 单铰连接后 4自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
目录
第一章 绪论 第二章 几何组成分析 第三章 静定结构的内力分析 第四章 静定结构的位移计算 第五章 力法 第六章 位移法和力矩分配法 第七章 结构的计算简图和简化分析
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
知识要点 几何组成分析的目的和概念 几何不变体系的简单组成规则 几何组成分析示例 静定结构和超静定结构
§2-1 几何组成分析的目的和概念
约束
x α I
复铰
β γ II III y
一个连接n个刚片的复铰相当于(n-1)个 单铰，相当于2(n-1)个联系。
平面内 3刚片=9自由度
复铰连接后 5自由度
结构力学第二章几何组成分析
第二章 几何组成分析
§2-1 几何组成分析的目的和概念
结构力学第二章几何组成分析
所以：W≤0是体系几何不变的必要条件，而不是充分条件。 实际自由度=各刚片自由度总数-非多余联系数 由此可见：当体系上没有多余联系时，计算自由度就是体系的 实际自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
C
计算体系的自由度
m=7，n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
A
F
G B
=3×7－2×9－3
=0
D
E
计算图示体系的自由度
F
①
E ②
§2-1 概述
在忽略材料应变的前提下，体系可分为两类：
(1)几何不变体系：
体系受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的情况下， 若能保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何不变 体系。 如图2-1任意荷载作用下，都能维持几何形状和位置不变。
(2)几何可变系：
即使受到很小的外力，也能引起其几何形状或位置的改变，这 类体系称为几何可变体系。如图2-2在外力作用下，其形状或 位置会改变。
如刚片数m，单铰数n，支承链杆数r，则
应用时注意：
W=3m －（2n+r）（2—1）
（1）复铰要换算成单铰，如图2-5。
图2-5 （2）铰支座、定向支座相当于两个链杆， 固定端相当于三个链杆。 （3）对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系。计算体系自 由度的公式为：
W=2j－b－r
§2-1 体系的计算自由度
2.2.1 自由度： 体系的自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参 数的数目； 即确定体系位置所需要的独立坐标的数目。
在平面内确定一个自由点的位置需要两个独立坐标， 如图2-3（a），所以，平面内一个自由点有两个自由度。 在平面内确定一个自由刚片的位置需要三个独立坐标，如 图2-3（b）， 所以，平面内一个自由刚片有三个自由度。
结构力学 第2章 平面体系的几何组成分析
2.1 几何不变体系和几何可变体系
一、几何不变体系和几何可变体系
1、几何不变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑 材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
D
FP A A1 弹性变形 EI FP A
几何不变体系：刚体.swf
EI1=∞
B
B
一、几何不变体系和几何可变体系
2、几何可变体系——受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，其几何形状和位置仍可以发生改变的体系。
三、体系的几何组成性质与计算自由度之间的关系
a) W=1>0 由此可知：
b) W=0
c) W=-1<0
(1) 若W＞0，体系一定是几何可变的。 (2) 若W≤0，只表明具有几何不变的必要条件，但不 是充分条件。因为体系是否几何不变还取决于约束的 布置是否合理。
2.4 平面几何不变体系的基本组成规则
(4)刚片与地基之间的固定支座和铰支座不计入g和h， 而应等效代换为三根支杆或两根支杆计入r。
【例2-1】试求图示体系的计算自由度W。
m1 m4 m7 (3)h m2 m5 (1)h m6 (3)g
(1)h m3 (3)h
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
图a是内部没有多余约束的 刚片，而图b、c、d则是内 部分别有1、2、3个多余约 a) 束的刚片，它们可以看作 在图a的刚片内部分别附加 了一根链杆或一个铰结或 c) 一个刚结。
b)
d)
在应用公式时，应注意以下几点：
(3)刚片与刚片之间的刚结或铰结数目（复刚结或复 铰结应折算为单刚结或单铰结数目）计入g和h。
《结构力学》- 第2章 几何组成分析
Ⅰ
B
C
A
A
Ⅰ
B
C A
B
B
原为几何可变，但经过微小位移后转化为几何不变体系， 这种体系称为瞬变体系(常变体系)。
第 20 页，共 65 页
两个刚片用一个单铰和一个方向不通过单铰的链杆相联结,或用 不全交于一点也不全平行的三个链杆相联结,组成的体系几何不 变，且没有多余约束。
C
Ⅱ AⅠ
条件不满足时的五种情况
第 28 页，共 65 页
【例23】试对图示体系进行几何组成分析。
1
(a)
Байду номын сангаас
2
3
(b)
I
A
1
2
3
C
D
E
II
B
解：首先，依次取消二元体1，2，3；其次，将几何部分ACD和 BCE分别看作刚片I和刚片II，该二刚片用一铰（铰C）和一杆 （杆DE）相连，组成几何不变的一个新的大刚片ABC。当然， 也可将DE看作刚片III，则刚片I、II、III用三个铰（铰C、D、E） 两两相连，同样组成新的大刚片ABC；第三，该大刚片ABC与地 基刚片IV之间用一铰（铰A）和一杆（B处支杆）相连，组成几 何不变且无多余约束的体系。
1个单铰相当于2个约束。
o
复铰：连结2个以上刚片的
y
铰称为复铰。
连结n 个刚片的复铰相当于
(n－1)个单铰。
——用数学归纳法可证
o
xA
⌒
⌒
Ⅰj1
j2 Ⅱ
y
x
⌒
⌒⌒
x
A
Ⅲ j3
Ⅰj1
j2 yⅡ
x
第 8 页，共 65 页
(3)刚性连接：
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A
I
II
B III C
图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直 线上 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
四个规则可归结为一个三角形法则。
第二章 平面体系的几何构造分析
例: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
第二章 平面体系的几何构造分析
一元体：一个刚片与一个体系之间只用 三根不相交于一点也不平行的链杆联结，则 该刚片称为一元体。
二元体：两个刚片与一个体系之间用 三个不在一条直线上的铰两两相联，刚两 个刚片称为二元体。
刚片组成的无多余约束的几何不变体系
C
B
规则4 三刚片以不在一条直线
上的三铰 相连，组成无多余约束
的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
A
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
作业
2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b
第二章 平面体系的几何构造分析
瞬变体系（ ）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（）
第二章 平面体系的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉
5、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
基本要求：
理解几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系和刚片、约束、自由度、计算自 由度等概念。
掌握无多余约束的几何不变体系的几
何组成规则，及常见体系的几何组成分析。
了解结构的几何特性与静力特性的关
系。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
B
C
D
E
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、计算自由度
S a c W a d S W n
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
三边在两边之和大
于第三边时,能唯一
地组成一个三角
形——基本出发点.
C
B
第二章 平面体系的几何构造分析
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一
刚片与一点相连的几何不变体系。
B
A C
规则1 一点与一刚片用两 根不共线的链杆相连，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
A2
两根共线的链杆连一点 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一点
x
n=2
y
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一刚片
B
x
A
n=3
y
第二章 平面体系的几何构造分析
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
一根 链杆 为一 个约 束
平面内一点
n=1
第二章 平面体系的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
Ⅲ
第二章 平面体系的几何构造分析
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
第二章 平面体系的几何构造分析
m、j、g、h、b意义同前。
第二章 平面体系的几何构造分析
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
二、复链杆与复杂铰
1. 单链杆与复链杆
单链杆
复链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称
基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
W 33 (23 3) 9 9 0
第二章 平面体系的几何构造分析
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
解：
1
3
2
45
m 2 g 1 h 1 b 5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
单复刚结点
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
n-1个
第二章 平面体系的几何构造分析
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
6. 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种：
• （1）几何常变体系：受力后可发生有限位 移。 • （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位 移。
A
a
当杆通过铰 瞬变体系
B
虚 铰
第二章 平面体系的几何构造分析
规则3 两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三 根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式 的可变体系
瞬变体系
瞬变体系
常变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三
1.几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的应变）
几何可变体系
机构
在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生 改变的体系。（不考虑材料的应变）
第二章 平面体系的几何构造分析
体系组成分析的目的：
(1)判定并设法保证体系的几何不变性。 (2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选
（a）
（e）
（c）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
一点一刚片
两个
两刚片 三刚片
三个 六个
（b）
（d）
对约束的布置要求 两链杆不共线
链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点
三铰(单或虚)不共线
第二章 平面体系的几何构造分析
几何组成分析举例
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性 的分析。在分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系 ➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作 为刚片或刚片中的一部分。
A
B
C
两根不共线的链杆连结 一点称为二元体。
在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系 实铰
杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
C B
I
II
B III C
图示体系，形成瞬铰B、C的四根链杆相互平 行（不等长），故铰B、C在同一无穷远点，所 以三个铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为 瞬变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
三刚片以三对平行链杆相联无 穷远处所有点均在一无穷远直 线上 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
四个规则可归结为一个三角形法则。
第二章 平面体系的几何构造分析
例: 对图示体系作几何组成分析
解: 三刚片三铰相连,三铰不共线,所以该体系为无多余约束 的几何不变体系.
第二章 平面体系的几何构造分析
一元体：一个刚片与一个体系之间只用 三根不相交于一点也不平行的链杆联结，则 该刚片称为一元体。
二元体：两个刚片与一个体系之间用 三个不在一条直线上的铰两两相联，刚两 个刚片称为二元体。
刚片组成的无多余约束的几何不变体系
C
B
规则4 三刚片以不在一条直线
上的三铰 相连，组成无多余约束
的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系
三铰共线瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
关于无穷远瞬铰的情况
1
C
I
2 II
A
B
III
图示体系，一个瞬铰C在无穷远处，铰A、 B连线与形成瞬铰的链杆1、2不平行，故三个 铰不在同一直线上，该体系几何不变且无多 余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
①抛开基础,只分析上部。 ②在体系内确定三个刚片。 ③三刚片用三个不共线的
三铰相连。 ④该体系为无多余约束的
几何不变体系。
该体系是几何不变体系有四个多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
作业
2-1a 2-2 b 2-3 c d 2-8 a 2-9 c 2-10 b
第二章 平面体系的几何构造分析
瞬变体系（ ）
体系是由三个刚片用三个共线的铰 ABC相连，故为瞬变体系。（）
第二章 平面体系的几何构造分析
几种常用的分析途径
1、去掉二元体，将体系简单化，然 后再分析。
D
A
C
B
依次去掉二元体A、B、C、D后， 剩下大地。故该体系为无多余约 束的几何不变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析 2、如上部体系与基础用满足要求三个约束相联可去掉
5、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式 的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。
有一个多余约束的几何不变体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅲ
两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
进一步分析可得，体系是无多余约 束的几何不变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
基本要求：
理解几何不变体系、几何可变体系、
瞬变体系和刚片、约束、自由度、计算自 由度等概念。
掌握无多余约束的几何不变体系的几
何组成规则，及常见体系的几何组成分析。
了解结构的几何特性与静力特性的关
系。
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
A
B
C
D
E
第二章 平面体系的几何构造分析
第二章 平面体系的几何构造分析
体系的几何组成与静力特性的关系
体系的分类 几何组成特性
静力特性
几何 不
无多余约 束的几何 不变体系
约束数目正 好布置合理
静定结构：仅由平衡条件就 可求出全部反力和内力
第二章 平面体系的几何构造分析
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
一、计算自由度
S a c W a d S W n
1. 将体系看作刚片、铰、刚结以及链杆组成的
体系，其中刚片为被约束对象，铰、刚结、链杆 为约束。则计算自由度公式为：
W 3m (3g 2h b)
m—刚片数； g—简单刚结数； h—简单铰数；b—简单链杆数 在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。
三边在两边之和大
于第三边时,能唯一
地组成一个三角
形——基本出发点.
C
B
第二章 平面体系的几何构造分析
将BC杆视为刚片, 该体系就成为一
刚片与一点相连的几何不变体系。
B
A C
规则1 一点与一刚片用两 根不共线的链杆相连，组成无 多余约束的几何不变体系。
1
A2
两根共线的链杆连一点 瞬变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一点
x
n=2
y
第二章 平面体系的几何构造分析
平面内一刚片
B
x
A
n=3
y
第二章 平面体系的几何构造分析
4、 约束
约束（联系）--减少自由度的装置。
单链杆：仅在两处与其它物体用铰相连，不 论其形状和铰的位置如何
一根 链杆 为一 个约 束
平面内一点
n=1
第二章 平面体系的几何构造分析
用一链杆将一刚片与地面相联 两刚片用一链杆相联
O13 O23
O12
D
ⅠF
A
B
C
Ⅲ
第二章 平面体系的几何构造分析
4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。
三刚片用不共线 三铰相连，故原 体系为无多余约 束的几何不变体 系。
Ⅲ
(Ⅱ,Ⅲ)
(Ⅰ,Ⅲ)
Ⅱ (Ⅰ,Ⅱ) Ⅰ
第二章 平面体系的几何构造分析
m、j、g、h、b意义同前。
第二章 平面体系的几何构造分析
4. 一个体系若求得W >0，一定是几何可变体
系；若W0，则可能是几何不变体系，也可能
是几何可变体系，取决于具体的几何组成。
所以W 0是体系几何不变的必要条件，而非
充分条件。
二、复链杆与复杂铰
1. 单链杆与复链杆
单链杆
复链杆——连接三个或三个以上结点的链杆称
基础，只分析上部。
抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩 下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有 一个自由度的几何可变体系。
第二章 平面体系的几何构造分析
3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片 间用链杆形成的虚铰相连，而不用单铰相连。
如图示，三刚片用 三个不共线的铰相 连，故：该体系为 无多余约束的几何 不变体系。
W 33 (23 3) 9 9 0
第二章 平面体系的几何构造分析
例2-3-2 求图示体系的计算自由度。 I A II
解：
1
3
2
45
m 2 g 1 h 1 b 5
W 3 2 (31 21 5)
6 10 4
例2-3-3 求图示体系的计算自由度。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
单复刚结点
连接n个杆的
复刚结点等于多 少个单刚结点？
n-1个
第二章 平面体系的几何构造分析
5、多余约束和非多余约束
不能减少体系自由度的约束叫多余约束。 能够减少体系自由度的约束叫非多余约束。
第二章 平面体系的几何构造分析
6. 瞬变体系
几何可变体系又可分为两种：
• （1）几何常变体系：受力后可发生有限位 移。 • （2）几何瞬变体系：受力后可发生微量位 移。
A
a
当杆通过铰 瞬变体系
B
虚 铰
第二章 平面体系的几何构造分析
规则3 两刚片以不互相平行，也不相交于一点的三 根链杆相联，组成无多余约束的几何不变体系。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式 的可变体系
瞬变体系
瞬变体系
常变体系
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系
将杆AC,AB,BC均看成刚片，就成为三
1.几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系
结构
在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的应变）
几何可变体系
机构
在任意荷载作用下，几何形状及位置将发生 改变的体系。（不考虑材料的应变）
第二章 平面体系的几何构造分析
体系组成分析的目的：
(1)判定并设法保证体系的几何不变性。 (2)在结构计算时，可根据其几何组成情况，选
（a）
（e）
（c）
规则 一 二 三 四
连接对象 必要约束数
一点一刚片
两个
两刚片 三刚片
三个 六个
（b）
（d）
对约束的布置要求 两链杆不共线
链杆不过铰 三链杆不平行也不交于一点
三铰(单或虚)不共线
第二章 平面体系的几何构造分析
几何组成分析举例
利用基本组成规则，就可对体系进行几何不变性 的分析。在分析过程中应注意： ➢ 如果在分析过程中约束数目够，布置也合理，则 组成几何不变体系 ➢ 如果在分析过程中缺少必要的约束，或约束数目 够，布置不合理，则组成几何可变体系或瞬变体系。 ➢构件不能重复使用，如作为约束链杆，就不能再作 为刚片或刚片中的一部分。
A
B
C
两根不共线的链杆连结 一点称为二元体。
在一体系上增加（或 减去）二元体不改变原 体系的自由度，也不改 变原体系的机动性。
第二章 平面体系的几何构造分析
A
图示为一无多余约束的几何不变体系 实铰
杆AC、BC均看成刚片， 就成为两 刚片组成的无多余约束几何不变体系
C B