结构力学第2章体系的几何组成分析(f)

§2-3 几何不变体系的基本组成规则
三铰拱，左右两半拱视为刚片1,2，地基视为 刚片3，该体系由三个刚片用不在同一直线上 的三个单铰A、B、C两两相连，为几何不变 体系，而且没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
2.二元体规则
二元体：两根不在一直线上的链杆连接成一个新结点的构
造称为二元体。
§2-2 平面体系的计算自由度
W<0：表明体系在联系数目上还有多余，体系具有多余联系。 但体系是否几何不变要看联系布置是否得当。
体系计算自由度W≤0，是体系几何不变的必要条件，还 不是充分条件。一个体系尽管联系数目足够甚至还有多 余，不一定就是几何不变的。 为了判别体系是否几何不变，必须进一步研究体系几何 不变的充分条件，即几何不变体系的组成规则。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
两刚片用三根链杆相联
如图所示，刚片I和刚片II可 以绕O点转动；O点成为刚片I和 II的相对转动瞬心。
虚铰：连接两个刚片的两根连杆的作用相当于其交点 处的一个单铰，而这个铰的位置随着链杆的转 动而改变，称其为虚铰。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
分析图示体系： 把链杆AB、CD看作是其交点O 处的一个铰，刚片I和II相当于用 铰O和链杆EF相连，故为几何不 变体系，没有多余联系。
或：从结点10开始拆除二元体，依次拆除结点9，8， 7…，最后剩下铰结三角形123，它是几何不变的，故原体 系为几何不变体系，没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
3.两刚片规则 两个刚片用一个铰和一根不通过此铰的链杆相连，组成
的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。
图示体系也是按三刚 片规则组成的。将链杆看 作一个刚片，组成的体系 是几何不变的，且没有多 余联系。
二元体规则
在一个体系上增加或拆除二元体，不会改变原有体系的
几何构造性质。 与三刚片规则类似。
铰结点
链杆
链杆
体系
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
分析图示铰结体系 （桁架）
以铰结三角形123为基础，增加一个二元体得结点4， 1234为几何不变体系；如此依次增加二元体，最后的体系 为几何不变体系，没有多余联系。
例1 1,.3
2.,3 .1,2
例2
.
无多余约束的几何不变体系
例3 .1,2
.
1,3
. 2,3
几何瞬变体系
几何瞬变体系
2,3 1,3
1,2
分析实例 1
F
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
D
E
C
A
B
F
D
E
C
A
B
分析实例 2
A
B C D E F 按平面刚片体系计算自由度
W 3m 2h b
I
J
L
m＝9 h＝12 b＝０
分析无法进行下去
§2-5 机动分析示例
另选刚片
地基作为刚片III， 杆件DF和三角形BCE 作为刚片I、II（图c）。
刚片I和II用链杆BD、EF相连，虚铰O在两杆延长线的无
穷远处；
刚片I和III用链杆AD、FG相连，虚铰在F点； 刚片II和III用链杆AB、CH相连，虚铰在C点。
三铰在一条直线上，体系为瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行且等长时，两刚片 的相对平动一直持续下去。体系 为可（常）变体系。
§2-5 机动分析示例
利用组成规律可以两种方式构造一般的结构： （1）从基础出发构造
（2）从内部刚片出发构造
§2-5 机动分析示例
例2-1 试分析图所示多跨静定梁的几何构造。
解：地基与AB段梁看作一个刚片（两刚片规则）； 上述刚片与BC段梁扩大成一个刚片（两刚片规则）； 上述大刚片与CD段梁又扩大成一个刚片（两刚片规则）； DE段梁同样分析（两刚片规则）； 体系为几何不变，且无多余联系。
瞬变体系的位移只是理论上为无穷小，实际上在很小的 荷载作用下也会产生很大的位移。
瞬变体系也是一种几何可变体系。
工程结构中不能采用瞬变体系，而且接近于瞬变的体系 也应避免。
§2-4 瞬变体系
其他瞬变体系：
分析图示体系： 两刚片用三根交于同一点的链杆 相连，可绕交点O作相对转动， 但发生微小转动后，三根杆就不 再交于同一点，运动也就不再继 续发生。体系为瞬变体系。
§2-2 平面体系的计算自由度
一个铰A将两个刚片联结。 单铰：联结两个刚片的铰。
刚片1的位置由A的3个坐标确定， 刚片2只能绕A点转动，其位置 只需一个参数倾角即可确定，减 少了两个自由片总的自由度由6减少 为4。
§2-2 平面体系的计算自由度
三个刚片共用一个铰A相连。
§2-2 平面体系的计算自由度
图示体系（P12） 刚片数：m=8 单铰数：h=10 支座链杆数：r=4
体系的计算自由度为
D结点：折算单铰数为2
W=3m-（2h+r） =3×8-（2×10+4）=0
固定支座A：3个联系相当于3根链杆
§2-2 平面体系的计算自由度
图示铰结链杆体系（桁架） 刚片数：m=9 单铰数：h=12 支座链杆数：r=3
工程中能否用瞬变体系？
0 瞬变体系
若F 0，则FN
分析图示体系的内力： 由平衡条件AC杆BC杆的轴力为：
F
FN 2sin
若F 0，则FN为不定值。
§2-4 瞬变体系
由于材料变形，瞬变体系一经受力即偏离原有位置而内力 不会为无穷大，但也很大，甚至可能导致体系的破坏。
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： 三根链杆平行不等长时，交于无穷 远处的同一点，两刚片可相对平动， 发生微小相对移动后，三杆不再全 平行。体系为瞬变体系。
分析图示体系： 三根链杆平行且等长从异侧 连出时。体系为瞬变体系。
§2-4 瞬变体系
二、常变体系 经微小位移后仍能继续发生刚体运动的几何可变体系称为 常变体系。 几何可变体系包括常变和瞬变两种。
分析图示体系： 把BCE部分作为一个刚片，基础 作为一个刚片，折线AB的作用 与虚线相同，故为几何不变体系， 没有多余联系。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
以上几何不变的平面体系的三个基本组成规则，实质上 是三刚片规则。
凡是按照规则组成的几何不变体系，都是没有多余联系， 其计算自由度均为0，因此不必再进行W的计算。
G
H
K
W 39 212 3
§2-4 瞬变体系
分析图示体系： AC、BC两链杆都是水平的，对 限制C点的水平位移来说具有多 余联系，而在限制C点的竖向位 移上则缺少联系，故C点仍可沿 竖直方向移动。
一旦发生微小位移后，三铰就不再共线，运动也就不 再继续发生。
原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体 系，称为瞬变体系。
§2-4 瞬变体系
W=2j-（b+r）
W =2×6-（9+3）=0
§2-2 平面体系的计算自由度
体系计算自由度的计算结果 （1）W>0：表示体系缺少足够的联系，是几何可变的；
（2）W=0：表示体系具有成为几何不变所需的最少联系 数目，而布置不当会成为几何可变；
图示体系计算自由度W=0， 但布置不当，上部有多余联系， 下部缺少联系，是几何可变的。
几何不变体系， 且无多余联系(三刚片规则) 刚片I和II用铰C相连， 刚片I和III相当于用虚铰O相连，
刚片II和III相当于用虚铰O’相连，
§2-5 机动分析示例
例2-4 试对图（a）所示体系进行机动分析。
解：地基作为刚片III， 三角形ABD和BCE作为 刚片I、II（图b）。
刚片I和II用铰B相连， 刚片I和III用铰A相连， 刚片II和III？
复铰：连接两个以上刚片的 铰称为复铰。
连接n个刚片的复铰 相当于
（n-1）个单铰
若刚片1的位置已确定，则刚片2、 3都只能绕A点转动，从而各减少 了两个自由度（一个单铰能减少 两个自由度）。
联结三个刚片的复铰相当于两个 单铰的作用。
§2-2 平面体系的计算自由度
一个链杆为 一个联系
一个单铰为 两个联系
连接n个刚片的复铰 相当于
（n-1）个单铰
§2-2 平面体系的计算自由度
多余联系：在体系中若加入一个联系，而并不能减少 体系的自由度，该联系称之。
分清必要约束和非必要约束。
§2-2 平面体系的计算自由度
三、平面体系的计算自由度
体系=刚片+铰+支座链杆
m ：刚片数 h ： 单铰数 r ：支座链杆数
若体系除了符合上述组成规则之外，还有另外的联系， 便是具有多余联系的几何不变体系，此时，多余联系的 数目等于这些另外的联系数目。
§2-4 瞬变体系
为什么三刚片规则中，要规定三个铰不在同一直 线上？
一、瞬变体系
分析图示体系： 假设刚片3不动，刚片1、2分别 绕铰A、B转动时，在C点处两圆 弧有一公切线，故此瞬间，铰C 可沿此公切线方向移动，因而是 几何可变的。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
1.三刚片规则 三个刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相连，组成
的体系是几何不变的，且没有多余联系。如图。
此体系本身的计算自由度W=3，具
有几何不变所必需的最少数目的联系， 若几何不变，将没有多余联系。
现分析它是否几何不变。
§2-3 几何不变体系的基本组成规则
各刚片都是自由时，所具有的自由度总 数为3m，联系总数为（2h+r）。
体系的自由度W为 W=3m-（2h+r）
实际上：每一个联系不一定减少一个自由度，与体系中是否具 有多余约束有关。W不一定能反映体系真实的自由度，但在分 析体系是否几何不变时，还是可以根据W首先判断联系的数目 是否足够。所以 W称为体系的计算自由度。