绝对值知识点及练习

绝对值知识点及练习

1、定义：（1）几何定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作｜a｜,读作“绝对值a”。

（2）代数定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.实数a的绝对值是：|a|

①a为正数时，|a|=a(不变)

②a为0时，|a|=0

③a为负数时，|a|= -a(为a的绝对值)

任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。

2、实数的绝对值具有以下性质：

(1)|a|大于等于0(实数的绝对值是非负实数);

(2)|-a|=|a|(互为相反数的两实数绝对值相等);

(3)-|a|小于等于a小于等于|a|;

(4)|a|>b可以推出a<-b或a>b，a<-b或a>b可以推出|a|>b;

(5)|a·b|=|a|·|b|;

(6)|a|/|b|=|a/b|(b≠0);

(7)|a+b|小于等于|a|+|b|，当且仅当a、b同号时，等式成立;

(8)|a-b|大于等于||a|-|b||，当且仅当a、b同号时，等式成立;

(9)a属于R时，|a|的平方等于|a|的平方。

特别提醒：（1）绝对值具有非负性，即|a|≥0；

（2）绝对值相等的两个数，它们相等或互为相反数；

（3）0是绝对值最小的有理数。

3、利用绝对值比较大小

(1)利用绝对值比较两个负数的大小

两个负数比较大小，绝对值大的反而小．

比较的具体步骤：

①先求两个负数的绝对值；

②比较绝对值的大小；

③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出判断．

(2)几个有理数的大小比较

①同号两数，可以根据它们的绝对值来比较：a.两个正数，绝对值大的数较大；b.两个负数，绝对值大的反而小．

②多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较．

4、利用绝对值解决实际问题

绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：

(1)判断物体或产品质量的好坏

可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好．方法：

①求每个数的绝对值；

②比较所求绝对值的大小；

③根据“绝对值越小，越接近标准”作出判断．

(2)利用绝对值求距离

路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和．

方法：

①求每个数的绝对值；

②求所有数的绝对值的和；

③写出答案．

5、去绝对值符号的几种常用方法：

（1）利用定义法去掉绝对值符号

根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥⎧⎨-<⎩，有|x |⎧⇔⎨∅≤⎩；

|x |>c (0)0(0)

(0)x c x c c x c x R c <->>⎧⎪⇔≠=⎨⎪∈<⎩或

（2）利用不等式的性质去掉绝对值符号

利用不等式的性质转化|x |c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +|

对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解，也可利用结论“a ≤|x |≤b ⇔a ≤x ≤b 或－b ≤x ≤－a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。

（3）利用平方法去掉绝对值符号

对于两边都含有“单项”绝对值的不等式，利用|x |2=2x 可在两边脱去绝对值符号来解，这样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷，解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要进行分类讨论，只有不等式两边均为非负数(式)时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式时更必须注意这一点。

(4)利用零点分段法去掉绝对值符号

所谓零点分段法，是指：若数

1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

(5)利用数形结合去掉绝对值符号

解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义画出数轴，将绝对值转化为数

轴上两点间的距离求解。数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用

于||||

x a x b m

-+->或||||

x a x b m

-+-<(m为正常数)类型不等式。对

||||

ax b cx d m

+++>(或

1、对于形如︱a︱的一类问题

只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。

当a>0时，︱a︱=a (性质1，正数的绝对值是它本身) ；

当a=0 时︱a︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；

当a<0 时；︱a︱=–a (性质3，负数的绝对值是它的相反数) 。

2、对于形如︱a+b︱的一类问题

我们只要把a+b看作是一个整体，判断出a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号，正确进行化简。

当a+b>0时，︱a+b︱=a +b(性质1，正数的绝对值是它本身) ；

当a+b=0 时，︱a+b︱=0 (性质2，0的绝对值是0) ；

当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3，负数的绝对值是它的相反数)

3、对于形如︱a-b︱的一类问题

同样，按上面的方法，我们仍然把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号。

但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b.请记住口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。

4、对于数轴型的一类问题，

根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边，便可得到︱a-b︱=a-b,︱b-a︱=a-b。

5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算

万变不离其宗，还是把绝对值号里的式子看成一个整体，把它与0比较，大于0直接去绝对值号，小于0的整体前面加负号。

练习

一、选择

1、绝对值为4的有理数是（）A. ±4 B. 4 C. -4 D. 2

2、两个数的绝对值相等，那么（）A.这两个数一定是互为相反数；B.这两个数一定相等；

C.这两个数一定是互为相反数或相等；

D.这两个数没有一定的关系

3、绝对值小于4的整数有（）A.3个 B.5个 C.7个 D.8个

4、绝对值与相反数都是它的本身（）A.1个 B.2个 C.3个 D.不存在

5、若m为有理数，且那么m是（） A.非整数 B.非负数 C.负数 D.不为零的数

6、下列说法中，错误的是（）

A、一个数的绝对值一定是正数

B、互为相反数的两个数的绝对值相等

C、绝对值最小的数是0

D、绝对值等于它本身的数是非负数

7、下列结论中，正确的有（）

①符号相反且绝对值相等的数互为相反数；②一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；③两个负数，绝对值大的它本身反而小；④正数大于一切负数；⑤在数轴上，右边的数总大于左边的数.

A、2个

B、3个

C、4个

D、5个