【高二数学】高二数学上册知识点总结
高二上数学知识点总结
高二上数学知识点总结一、函数与方程1、函数的定义、性质及表示(定义域、值域、定义域、值域的关系)函数是一种特殊的数量关系,函数的表示形式有多种,解析函数是最常用的表示形式,它由定义域和值域确定,定义域决定了它在哪些x值得上有意义,值域决定了它在哪些y值上有意义。
2、函数的图像函数的图像是由曲线给出的,主要有直线、圆、抛物线、双曲线、椭圆、指数函数等形状。
3、一元函数的极值函数y=f(x)在定义域内的极值分为极大值和极小值,取决于f(x)的增减性。
通常可以通过寻找极大值、极小值的判别式,来判断函数的极值情况。
4、方程的类型可以根据方程的阶数,将其分为一元方程、二元方程、立方方程、高阶方程等,根据两边式子数量的多少,将其分为不等式、等式;根据解的个数,又可以将其分为可解和不可解方程。
5、方程的求解常见的一元方程求解方法有开根号法、完全平方因式法、因式分解法、分段函数法、解析法、组合法等。
二、圆与椭圆1、圆的定义及性质圆是由直径向内部定位的平行于直径的弧线组成的平面图形,它具有特殊的几何性质,如圆心角等边三角形,圆周等分等。
2、圆的学习表示法圆可以用既知直径法和标准方程表示,既知直径法表示为用两个直径的中点和圆的半径表示,标准方程表示为用圆的圆心和半径表示。
3、椭圆椭圆是一种形状为椭圆的曲线,它具有自己特定的方程表示,一般情况下,椭圆的内切线是直径,外切线是椭圆的短轴,一般椭圆的最大值由长轴,最小值由短轴决定。
4、椭圆的中心坐标表示法椭圆可以用中心坐标表示,即把图形移动到椭圆的中心坐标,再把椭圆沿着y轴对称,再旋转一个特定的角度。
三、三角形三角形是一种由三条线段组成的平面图形,线段之间不会发生重叠,每条边都与另外边相连接。
三角形的内角和总是180度,每两个内角的和是360度的两倍,三角形的边长全部大于0,两边和必须大于第三边;三角形的以边中点为圆心的内切圆连接三角形的顶角,两个顶角之间的内接圆相同。
3、三角形内角度数三角形的内角可以有相等的三角形,等腰三角形,等边三角形,普通三角形,它们的内角的度数的和都是180度,而且相等三角形的内角全部是相等的,等腰三角形的两个角是相等的,等边三角形的三个角全部是一样的。
最全面高二上册数学知识点归纳总结
最全面高二上册数学知识点归纳总结高二上册数学知识点归纳总结一、函数的基本知识1. 概念:函数可以理解为一种变量间关系,在数学上,常用符号表示为y=f(x),y是自变量x的函数。
2. 函数的定义域:指函数中自变量的取值范围。
3. 函数的值域:指函数值的取值范围。
4. 奇偶性:奇函数指f(-x)=-f(x),偶函数指f(-x)=f(x),若函数同时满足这两个限制,则称其为周期为2的函数。
5. 函数图象:表示函数在坐标系中的图形。
6. 函数的单调性:函数的单调性可以分为单调递增和单调递减,指的是函数在定义域上单调的增加或者减少。
7. 函数的极值:指函数在定义域上取到的最大值或最小值,可以分为极大值和极小值。
二、三角函数1. 正弦函数sina和余弦函数cosa:定义在坐标平面上以x轴为横轴为一周期的函数。
2. 正切函数tana和余切函数cota:正切函数定义为y=tanx=sinx/cosx,余切函数定义为y=cotx=cosx/sinx。
3. 三角函数的诱导公式:即sin(a±b)=sinacosb±cosasinb,cos(a±b)=cosacosb∓sinasinb,tan(a±b)=(tana±tanb)/(1∓tana*tanb)。
4. 三角函数的基本关系:根据定义,sin^2x+cos^2x=1,1+tan^2x=sec^2x,1+cot^2x=csc^2x。
三、解方程1. 一元一次方程:即形如ax+b=0的方程,通过变形可解得x=-b/a。
2. 一元二次方程:即形如ax^2+bx+c=0的方程,通过配方法、求根公式或者绝对值法可解。
3. 不等式:可以通过加缀、化解绝对值、移项变形、整体乘除等方法进行求解。
4. 二元一次方程组:即形如ax+by=c,dx+ey=f的两个方程,通过消元法(加减、代入、变形)可以求解方程组。
四、图像的性质1. 轨迹:指定一条件,在坐标系中任取一点,不断执行该条件操作,所得的点形成的图形。
高二上册数学知识点有哪些
高二上册数学知识点有哪些高二上册数学知识点不等式的证明(1)不等式证明的依据(2)不等式的性质(3)重要不等式:①|a|≥0;a2≥0;(a-b)2≥0(a、b∈R)②a2+b2≥2ab(a、b∈R,当且仅当a=b时取“=”号)不等式的证明方法(1)比较法:要证明a>b(a0(a-b<0),这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.高二数学上册备考知识点整理1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、高中数学必修二知识点总结:直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线:k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程一定两解(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用:判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1:公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言:公理2的作用:它是判定两个平面相交的方法.它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线公共点.它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用:它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行数学学习计划复习内容:1、掌握数的顺序和大小,掌握9以内各数的组成。
高二上册数学知识点归纳非常实用
高二上册数学知识点归纳非常实用高二上册数学知识点一、集合、简易逻辑(14课时,8个)1.集合;2.子集;3.补集;4.交集;5.并集;6.逻辑连结词;7.四种命题;8.充要条件二、函数(30课时,12个)1.映射;2.函数;3.函数的单调性;4.反函数;5.互为反函数的函数图象间的关系;6.指数概念的扩充;7.有理指数幂的运算;8.指数函数;9.对数;10.对数的运算性质;11.对数函数.12.函数的应用举例三、数列(12课时,5个)1.数列;2.等差数列及其通项公式;3.等差数列前n项和公式;4.等比数列及其通顶公式;5.等比数列前n项和公式四、三角函数(46课时17个)1.角的概念的推广;2.弧度制;3.任意角的三角函数;4,单位圆中的三角函数线;5.同角三角函数的基本关系式;6.正弦、余弦的诱导公式’7.两角和与差的正弦、余弦、正切;8.二倍角的正弦、余弦、正切;9.正弦函数、余弦函数的图象和性质;10.周期函数;11.函数的奇偶性;12.函数的图象;13.正切函数的图象和性质;14.已知三角函数值求角;15.正弦定理;16余弦定理;17斜三角形解法举例五、平面向量(12课时,8个)1.向量2.向量的加法与减法3.实数与向量的积;4.平面向量的坐标表示;5.线段的定比分点;6.平面向量的数量积;7.平面两点间的距离;8.平移六、不等式(22课时,5个)1.不等式;2.不等式的基本性质;3.不等式的证明;4.不等式的解法;5.含绝对值的不等式七、直线和圆的方程(22课时,12个)1.直线的倾斜角和斜率;2.直线方程的点斜式和两点式;3.直线方程的一般式;4.两条直线平行与垂直的条件;5.两条直线的交角;6.点到直线的距离;7.用二元不等式表示平面区域;8.简单线性规划问题.9.曲线与方程的概念;10.由已知条件列出曲线方程;11.圆的标准方程和一般方程;12.圆的参数方程八、圆锥曲线(18课时,7个)1椭圆及其标准方程;2.椭圆的简单几何性质;3.椭圆的参数方程;4.双曲线及其标准方程;5.双曲线的简单几何性质;6.抛物线及其标准方程;7.抛物线的简单几何性质九、(B)直线、平面、简单何体(36课时,28个)1.平面及基本性质;2.平面图形直观图的画法;3.平面直线;4.直线和平面平行的判定与性质;5,直线和平面垂直的判与性质;6.三垂线定理及其逆定理;7.两个平面的位置关系;8.空间向量及其加法、减法与数乘;9.空间向量的坐标表示;10.空间向量的数量积;11.直线的方向向量;12.异面直线所成的角;13.异面直线的公垂线;14异面直线的`距离;15.直线和平面垂直的性质;16.平面的法向量;17.点到平面的距离;18.直线和平面所成的角;19.向量在平面内的射影;20.平面与平面平行的性质;21.平行平面间的距离;22.二面角及其平面角;23.两个平面垂直的判定和性质;24.多面体;25.棱柱;26.棱锥;27.正多面体;28.球.十、排列、组合、二项式定理(18课时,8个)1.分类计数原理与分步计数原理.2.排列;3.排列数公式’4.组合;5.组合数公式;6.组合数的两个性质;7.二项式定理;8.二项展开式的性质十一、概率(12课时,5个)1.随机事件的概率;2.等可能事件的概率;3.互斥事件有一个发生的概率;4.相互独立事件同时发生的概率;5.独立重复试验.选修Ⅱ(24个)十二、概率与统计(14课时,6个)1.离散型随机变量的分布列;2.离散型随机变量的期望值和方差;3.抽样方法;4.总体分布的估计;5.正态分布;6.线性回归十三、极限(12课时,6个)1.数学归纳法;2.数学归纳法应用举例;3.数列的极限;4.函数的极限;5.极限的四则运算;6.函数的连续性.十四、导数(18课时,8个)1.导数的概念;2.导数的几何意义;3.几种常见函数的导数;4.两个函数的和、差、积、商的导数;5.复合函数的导数;6.基本导数公式;7.利用导数研究函数的单调性和极值;8函数的最大值和最小值十五、复数(4课时,4个)1.复数的概念;2.复数的加法和减法;3.复数的乘法和除法提高数学成绩的方法一、课内重视听讲,课后及时复习接受一种新的知识,主要实在课堂上进行的,所以要重视课堂上的学习效率,找到适合自己的学习方法,上课时要跟住老师的思路,积极思考。
高二数学上册知识点大全
高二数学上册知识点大全一、平面直角坐标系平面直角坐标系由x轴、y轴和原点O组成。
其中,x轴和y 轴互相垂直,原点O是它们的交点。
二、平面向量1. 平面向量的定义:平面向量是具有大小和方向的量。
2. 平面向量的表示:平面向量可以用有向线段来表示,线段的长度表示向量的大小,箭头的方向表示向量的方向。
3. 平面向量的运算:平面向量的加法和数乘运算。
三、直线与圆的方程1. 直线的方程:直线可以用一般式方程、斜截式方程和点斜式方程来表示。
2. 圆的方程:圆可以用标准方程、一般方程和参数方程来表示。
四、函数与映射1. 函数的定义:函数是自变量与因变量之间的一种依赖关系。
2. 函数的图像:函数的图像是由全部点(x, f(x))构成的集合。
3. 函数的性质:奇函数、偶函数、周期函数等。
五、数列与数列极限1. 数列的定义:数列是按照一定规律排列的一串数。
2. 等差数列与等比数列:等差数列的通项公式和部分和公式,等比数列的通项公式和部分和公式。
3. 数列极限的定义:数列极限是指当数列的项趋于无穷大时,数列的极限存在且唯一。
六、三角函数1. 三角比的定义:正弦、余弦和正切等概念。
2. 三角函数的性质:周期性、奇偶性、可导性等。
3. 三角函数的图像:正弦函数、余弦函数和正切函数的图像。
七、导数与微分1. 导数的定义:导数表示函数在某一点处的变化率。
2. 导数的计算:基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的导数等。
3. 微分的定义:微分表示函数在某一点处的局部线性近似。
八、不定积分1. 不定积分的定义:不定积分表示函数的原函数。
2. 不定积分的性质:线性性质、分部积分、换元积分法等。
九、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的定义:二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数,其中a、b、c是常数且a≠0。
2. 二次函数的图像:抛物线的开口方向、顶点坐标等。
3. 一元二次方程的解法:配方法、因式分解法、求根公式等。
高二上册数学知识点归纳大全
高二上册数学知识点归纳大全1. 函数与方程1.1 一次函数1.1.1 函数的定义与性质1.1.2 一次函数的图像与性质1.1.3 斜率与函数图像的关系1.2 二次函数1.2.1 函数的定义与性质1.2.2 二次函数的图像与性质1.2.3 利用一些特殊点确定二次函数的图像1.3 指数函数与对数函数1.3.1 函数的定义与性质1.3.2 指数函数与对数函数的图像与性质1.3.3 指数函数与对数函数的运算法则1.3.4 应用:经验增长模型、指数衰减模型等1.4 三角函数1.4.1 三角函数的定义与性质 1.4.2 三角函数的图像与性质 1.4.3 三角函数的运算法则 1.4.4 弧度与角度的互相转换2. 几何与向量2.1 图形的性质与判定2.1.1 三角形的性质与判定 2.1.2 四边形的性质与判定 2.1.3 圆的性质与判定2.2 平面向量2.2.1 向量的定义与性质2.2.2 向量的运算法则2.2.3 向量的共线与垂直判定 2.2.4 平面向量与几何应用3. 三角函数与解析几何3.1 三角函数的图像与性质3.1.1 正弦函数与余弦函数的图像与性质 3.1.2 正切函数与余切函数的图像与性质 3.2 三角函数的基本关系式3.2.1 和差化积公式3.2.2 二倍角公式3.2.3 半角公式3.2.4 诱导公式3.3 三角函数的方程与不等式3.3.1 解三角方程的基本方法3.3.2 三角不等式3.4 解析几何3.4.1 点、直线、平面的方程3.4.2 二次曲线的方程3.4.3 点与曲线的关系4. 概率与统计4.1 随机事件与概率4.1.1 随机事件的基本概念4.1.2 概率的定义与性质4.1.3 随机事件的运算法则4.2 条件概率与独立事件4.2.1 条件概率的定义与性质4.2.2 独立事件的定义与性质4.3 排列与组合4.3.1 排列与排列数4.3.2 组合与组合数4.4 统计与抽样4.4.1 统计的基本概念与性质4.4.2 数据的整理与分析4.4.3 抽样与样本调查以上是高二上册数学的知识点归纳大全,详细介绍了每个章节的内容和要点。
数学高二上册知识点归纳
数学高二上册知识点归纳数学高二上册知识点归纳一:总体和样本①在统计学中,把研究对象的全体叫做总体。
②把每个研究对象叫做个体。
③把总体中个体的总数叫做总体容量。
④为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:x1,x2,....,研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。
简单随机抽样也叫纯随机抽样。
就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随。
机地抽取调查单位。
特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。
简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础,高三。
通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。
数学高二上册知识点归纳二:简单随机抽样常用的方法①抽签法②随机数表法③计算机模拟法④使用统计软件直接抽取。
在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。
抽签法①给调查对象群体中的每一个对象编号;②准备抽签的工具,实施抽签;③对样本中的每一个个体进行测量或调查。
数学高二上册知识点归纳三:函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数,0在其定义域内,则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式:f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;数学高二上册知识点归纳四:立体几何初步(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
高二上学期数学知识点归纳总结大全
高二上学期数学知识点归纳总结大全1500字高二上学期数学知识点归纳总结大全一、函数与方程1.函数与方程的概念和性质2.一次函数及其图像、性质与应用3.二次函数及其图像、性质与应用4.含有两个未知数的方程与一次方程组5.高次函数及其特性与应用6.绝对值函数及其图像与性质7.二次函数的图像与性质8.组合函数及其性质与应用二、数列与数列的应用1.数列的概念与性质2.数列的通项公式与求和公式3.等差数列4.等比数列5.等差数列与等比数列的联系与应用6.递推数列三、几何1.平面几何基本概念和性质2.平面内直线和角的概念及其性质3.平行线、垂线与角4.平面内的等腰三角形、等边三角形、直角三角形和等腰直角三角形的性质5.圆的基本概念和性质6.圆内角、弧及弧度制7.扇形和扇形的面积8.圆锥曲线的基本概念和性质9.空间直线的位置关系与正交投影10.空间中的平面及其性质四、三角函数与三角方程1.角的概念与角度制2.三角函数的概念、性质与图像3.合角与二倍角公式4.诱导公式和旁选公式5.三角函数的图像与性质6.三角恒等变换与三角方程解题方法7.三角函数的应用五、平面解析几何1.平面直角坐标系2.平面解析几何的基本思想和基本定理3.平面直角坐标系中的直线方程4.平面直角坐标系中的圆方程5.曲线的方程六、统计与概率1.统计量的概念和计算方法2.频率分布、累计频率和频率直方图3.正态分布的概念和性质4.离散型随机变量的概念和性质5.随机事件、概率的概念和计算方法6.条件概率与事件间的独立性7.排列与组合的概念与计算方法8.概率统计中的应用问题以上是高二上学期数学知识点归纳总结的大致内容,包括了函数与方程、数列与数列的应用、几何、三角函数与三角方程、平面解析几何、统计与概率等知识点。
希望能对你的学习有所帮助!。
高二上册数学知识点大全
高二上册数学知识点大全在高二上册的数学学习中,我们将会涉及到许多重要的知识点。
下面将为大家整理一个高二上册数学知识点的大全,以供参考。
一、集合与函数1. 集合的概念和表示方法2. 集合的运算:并集、交集、差集、补集3. 常用数集:自然数集、整数集、有理数集、实数集4. 函数的概念与性质5. 基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数二、二次函数与一元二次方程1. 二次函数的概念与性质2. 二次函数图像的性质与变换3. 解一元二次方程的方法:配方法、因式分解、求根公式4. 二次函数与一元二次方程的应用:最值问题、图像问题、实际问题三、立体几何1. 空间几何体的概念与性质:点、直线、平面、多面体、棱柱、棱锥、棱台、圆锥、圆柱、球等2. 空间几何体的展开图与表达3. 空间几何体的体积与表面积计算四、概率与统计1. 随机事件与样本空间2. 概率的基本性质与计算方法3. 条件概率与乘法定理4. 排列与组合的计算方法5. 古典概型、几何概型与统计概型6. 统计数据的收集与整理:频数表、频率表、频率分布直方图等五、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义、性质与基本关系式2. 三角函数的图像与变换3. 三角函数的计算:特殊角的正弦、余弦、正切值、任意角的正弦、余弦、正切值4. 解三角形的基本思路与方法:正弦定理、余弦定理、正切定理5. 三角函数与解三角形的应用六、导数与函数的应用1. 函数的极限与连续性2. 函数的导数与导数的性质3. 常用函数的导数计算方法与性质:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、复合函数等4. 函数的最值与单调性5. 函数图像的性质与变换6. 函数的应用:切线与法线、函数的最值问题、函数的模型建立七、数列与级数1. 数列的概念与性质2. 等差数列与等比数列的计算方法与性质3. 数列的求和公式与应用4. 级数的概念与性质5. 等差级数与等比级数的求和公式与应用以上是高二上册数学知识点的一个大致整理。
高二数学上册知识点概括
高二数学上册知识点概括高二数学上册是学习数学的重要阶段,通过学习该册数学知识,可以夯实基础、拓展思维、为高考做好准备。
下面将对高二数学上册的知识点进行概括。
一、函数与方程1. 函数的定义与性质:包括函数的定义域、值域、图像、奇偶性以及单调性等。
2. 一次函数与二次函数:熟悉一次函数和二次函数的图像、性质以及应用。
3. 一元二次方程与一元二次不等式:学习一元二次方程与一元二次不等式的求解方法,并能灵活运用于实际问题。
二、数列与数学归纳法1. 数列的概念:了解数列的基本概念,包括通项公式、前n项和、等差数列和等。
2. 等差数列与等比数列:熟悉等差数列和等比数列的性质,能够根据题目条件求解数列中的项数或项值。
3. 数学归纳法:掌握数学归纳法的基本原理和应用,能够通过归纳法证明一些数学命题。
三、三角函数1. 弧度与角度:了解弧度制与角度制的转换关系,能够通过实例运用角度制与弧度制进行计算。
2. 三角函数的定义与性质:学习正弦、余弦、正切和余切函数的定义及其基本性质,能灵活运用于解决相关问题。
3. 三角函数的图像与性质:了解三角函数图像的特点,掌握相应的性质和变换。
四、空间几何与向量1. 空间点、线、面:熟悉空间几何中点、线、面的定义及其性质。
2. 空间几何中的方程:学习平面与直线的方程及其应用,能够根据题目条件建立相应的方程。
3. 向量的基本概念与性质:了解向量的定义、加法、减法以及数量积与向量积的计算方法和性质。
五、概率统计1. 随机事件与概率:了解随机事件的概念、基本性质以及概率计算方法,能够根据题目条件计算事件的概率。
2. 排列与组合:学习排列组合的定义和应用,能够解决与排列组合相关的问题。
3. 统计与抽样:了解统计学中的基本概念、统计图表、抽样方法等,能够根据题目条件进行数据的统计和分析。
通过对高二数学上册的概括,我们可以清晰地了解到该册内容包括了函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、空间几何与向量以及概率统计等关键知识点。
高二上册数学重点知识点
高二上册数学重点知识点在高二上学期的数学学习中,有一些重要的知识点需要我们掌握。
下面将对这些知识点进行详细的介绍。
一、集合与函数1. 集合的表示与运算集合是由一些确定的对象组成的总体,可以用罗列法、描述法或图形法表示。
常见的集合运算有并、交、差等。
2. 关系与函数关系是集合间的对应关系,函数是一种特殊的关系。
函数由定义域、值域和一个将定义域中的每个元素映射到值域中唯一元素的规则组成。
3. 函数的基本性质函数的性质有:定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
我们需要掌握函数的性质,以便能够进行函数图像的分析与绘制。
二、数列与数项1. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
我们需要掌握等差数列的通项公式以及常见的性质和应用。
2. 等比数列等比数列是指数列中相邻两项之比恒定的数列。
我们需要掌握等比数列的通项公式以及常见的性质和应用。
3. 递推数列递推数列是指数列中的每一项都是前一项通过某种递推关系得到的数列。
我们需要掌握递推数列的递推公式以及常见的性质和应用。
三、三角函数1. 弧度与角度弧度是衡量角度大小的单位,与角度之间存在一定的换算关系。
我们需要熟练掌握这两者之间的转换方法。
2. 三角函数的定义三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等,它们的定义涉及到直角三角形中的边长比例。
我们需要掌握三角函数的定义以及它们的性质和图像。
3. 三角函数的基本关系式三角函数之间存在一系列基本的关系式,如正弦定理、余弦定理、正切定理等。
我们需要熟练运用这些关系式解决三角函数相关的问题。
四、平面几何1. 直线与圆的性质直线与圆的性质是平面几何中的基础内容。
我们需要掌握直线与圆的位置关系、相交关系以及相切关系等。
2. 三角形的性质三角形是平面几何中的重要图形,它具有一系列基本的性质,如角度和为180°、三角形的中位线、高线、角平分线等。
我们需要掌握这些性质以及它们的应用。
3. 向量的运算向量是平面几何中的重要概念,它有加法、减法、数乘等运算。
高二数学上册知识点大汇总
高二数学上册知识点大汇总1. 函数与方程1.1 一次函数一次函数的定义及性质函数图像与斜率的关系函数的应用1.2 二次函数二次函数的定义及性质函数图像的特点二次函数的最值问题二次函数的应用1.3 指数函数与对数函数指数函数的性质与图像对数函数的性质与图像指数方程与对数方程的解法指数函数与对数函数的应用2. 三角函数2.1 三角函数的定义正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质三角函数的周期性及相关公式2.2 三角函数的应用三角函数在直角三角形中的应用三角函数在解三角形中的应用三角函数在周期性现象中的应用3. 解析几何3.1 平面直角坐标系与图形的性质点、直线、圆的方程图形的对称性3.2 直线与圆的位置关系直线与圆的交点问题直线与圆的切线问题3.3 向量与坐标向量的定义及运算向量在几何中的应用坐标系与向量方程的转化4. 平面向量4.1 平面向量的定义及性质向量的加法、减法及数量积向量的线性相关性与线性无关性 4.2 平面向量的应用向量与几何平移、旋转的关系向量在力学中的应用5. 概率论与统计5.1 随机事件与概率随机事件的概率定义与性质事件的组合与概率计算5.2 随机变量与概率分布随机变量的概念与性质离散型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布5.3 统计与抽样样本与总体的关系抽样调查与样本估计统计量与抽样分布总结:高二数学上册内容涵盖了函数与方程、三角函数、解析几何、平面向量以及概率论与统计等知识点。
通过掌握这些知识,学生可以建立起数学思维能力和解决实际问题的能力。
在学习过程中,要注重理论与实践的结合,灵活运用所学知识,加强与其他学科的联系,提高数学应用能力。
同时,通过刷题和做练习来巩固所学知识,提高解题能力。
相信只要用心学习,每个学生在高二数学上册中都能有所收获。
高二上学期数学重要知识点总结
高二上学期数学重要知识点总结高二上学期数学重要知识点基本概念公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。
公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。
推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。
公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。
高二年级数学知识点空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面按是否共面可分为两类:(1)共面:平行、相交(2)异面:异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角:范围为(0°,90°)esp。
空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp。
空间向量法若从有无公共点的角度看可分为两类:(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系:直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直。
高中高二上册数学知识点
高中高二上册数学知识点
一、集合与函数
1. 集合的定义与表示
2. 集合的运算与性质
3. 集合的应用
二、数列与数列的极限
1. 数列的概念与表示
2. 数列的性质与分类
3. 数列的极限及其计算
三、三角函数
1. 弧度制与角度制
2. 基本三角函数的定义与性质
3. 三角函数的图像与性质
四、平面向量
1. 向量的概念与表示
2. 向量的运算与性质
3. 向量的坐标与平移
五、解析几何
1. 平面与直线的方程
2. 圆与抛物线的方程
3. 解析几何中的应用问题
六、数学推理与证明
1. 数学语言与符号的运用
2. 命题与命题的逻辑运算
3. 数学证明方法与证明思路
七、立体几何
1. 空间中的点、线、面
2. 立体图形的性质与分类
3. 空间几何中的应用问题
八、概率与统计
1. 随机事件与概率
2. 概率的计算方法与性质
3. 统计与统计图表的应用
以上列举了高中高二上册数学的一些重要知识点。
希望这些知
识点能够帮助你更好地学习与掌握数学。
在学习过程中,要结合
教材上的具体例题进行练习,同时多进行思考与思维训练,灵活
应用所学知识解决实际问题。
数学需要坚实的基础与不断的练习,相信只要你用心去学,一定能够取得优异的成绩!。
高二第一学期数学知识点
高二第一学期数学知识点高二数学是学生在高中数学中的一个重要阶段,本学期包括了多个重要的数学知识点。
在本文中,我们将总结和介绍高二第一学期数学的主要知识点。
一、函数与方程1. 一次函数:函数的定义、函数图像、求解一次方程等。
2. 二次函数:函数的定义、函数图像、求解二次方程等。
3. 指数函数与对数函数:指数函数的定义、性质、图像及应用;对数函数的定义、性质、图像及应用等。
二、三角函数与解三角形1. 三角函数的定义与性质:正弦函数、余弦函数、正切函数等。
2. 角的变化与三角函数的图像:角度制与弧度制的转化,三角函数的周期与图像变化等。
3. 解三角形:根据已知条件,利用三角函数的关系来求解三角形的各个要素。
三、平面几何1. 向量与坐标:平面向量的定义与性质,向量的坐标表示,向量的数量积与向量的夹角等。
2. 二次曲线与圆:抛物线、椭圆、双曲线及圆的定义与性质。
3. 平面向量与几何应用:平面向量的共线、垂直、平行等关系的判定与应用,三角形重心、垂心、外心、内心的坐标等。
四、概率论与数理统计1. 随机事件与概率:随机事件的概念、基本性质、计算概率的方法等。
2. 第一、第二类试验与概率:基于组合数的概率计算方法。
3. 随机变量与概率分布:离散型随机变量、连续型随机变量的定义与性质。
4. 统计与抽样:总体、样本与统计量的概念,抽样方法与抽样分布的基本性质。
五、解析几何1. 平面解析几何:直线的方程、与直线的位置关系等。
2. 空间解析几何:平面方程、直线方程、直线与平面的位置关系等。
以上是高二第一学期数学的主要知识点。
学生们应该通过理论学习、教师讲解、练习题与应用题的反复训练来掌握这些知识。
在学习过程中,要注重理论与实际的结合,灵活运用数学知识解决实际问题。
同时,要注意培养数学思维和逻辑推理能力,提高解题的思维能力和创新能力。
通过对高二第一学期数学知识点的学习和掌握,可以为学生的数学素养的提高奠定基础,也为以后的学习打下坚实的数学基础。
数学高二上学期知识点总结
数学高二上学期知识点总结高二上学期数学知识点总结
一、函数与导数
1. 函数概念与表示方法
2. 函数的性质和运算
3. 导数的概念和定义
4. 导数的基本运算法则
5. 高阶导数和导数的应用
二、三角函数
1. 弧度制和角度制的转换
2. 基本三角函数的性质和图像
3. 三角函数的图像变换
4. 三角函数的复合与反函数
5. 三角函数的应用
三、数列与数学归纳法
1. 数列的概念和表示方法
2. 数列的性质和运算
3. 等差数列与等比数列
4. 数学归纳法的基本原理和应用
5. 数列的极限与无穷数列
四、平面向量与解析几何
1. 向量的概念和表示方法
2. 向量的性质和运算
3. 向量的数量积和向量积
4. 点、直线和平面的向量方程
5. 平面向量的应用
五、概率与统计
1. 随机事件与概率的概念
2. 事件的运算与概率的性质
3. 条件概率和独立性
4. 随机变量与概率分布
5. 统计与抽样调查
六、数学证明与推理
1. 数学证明的基本要素与方法
2. 直接证明与间接证明
3. 数学推理的基本规律与方法
4. 数学证明中常用的逻辑关系
5. 数学证明的应用示例
以上是高二上学期数学知识点的一个总结,希望对你有所帮助。
请根据自己的需要在各个知识点上进一步展开学习和总结。
祝你
学业有成!。
高二上册基本数学知识点总结
高二上册基本数学知识点总结以下是高二上册基本数学知识点的总结:
1. 代数知识:
- 同底数幂的乘法和除法
- 基本初等函数的性质
- 一次函数及其图像
- 二次函数及其图像
- 数列的概念和常用数列(等差数列、等比数列、斐波那契数列等)- 幂函数、指数函数和对数函数的概念与性质
- 不等式的性质和解法
2. 图形与几何知识:
- 平面几何基本概念(点、线、面等)
- 角度的概念和性质
- 同位角、对顶角、内错角、同旁内角等角度关系
- 相交线和平行线的性质
- 相似三角形和全等三角形的性质
- 圆的概念和性质
- 圆的周长和面积的计算
- 角度与弧度的换算
- 弧长与扇形面积的计算
3. 解析几何与向量:
- 直线的方程和性质
- 二次曲线(圆、椭圆、抛物线、双曲线)的方程和性质
- 向量的概念和运算
- 向量的线性运算和数量积、向量积的计算
- 向量与直线、平面的关系
4. 概率与统计:
- 样本空间、随机事件和概率的概念
- 概率的计算方法和性质
- 事件的独立性、互斥性和对立性
- 用概率求解实际问题
- 统计的基本概念(频数、频率、样本、总体等)
- 统计的数据处理方法和图表的制作
5. 推理与证明:
- 命题、谓词、命题的逻辑结构等基础概念
- 命题的真值表和逻辑联结词的运算规则
- 推理方法和证明方法(直接证明、间接证明、反证法等)
- 各种常用的数学定理和定律的证明(如幂函数的导数公式、圆周角定理等)
以上总结了高二上册基本数学知识点的一部分,希望能对你有所帮助。
如果你对某个具体知识点有疑问,可以再提问。
高二上数学知识点及公式
高二上数学知识点及公式在高二上学期的数学学习中,我们将进一步巩固和扩展中学阶段所学的数学知识。
本文将为您总结高二上数学的知识点及相关公式,帮助您更好地理解和掌握这些内容。
1. 复数与复数运算- 复数定义:复数由实部和虚部组成,通常表示为a + bi,其中a为实部,b为虚部,i为虚数单位。
- 复数运算:复数的加减法,乘法和除法。
- 共轭复数:将虚部的符号取反得到的复数。
- 模长和辐角:复数的绝对值叫做模长,表示复数到原点的距离;复数的辐角表示与实轴的夹角。
2. 平面向量- 向量定义:向量是具有大小和方向的量。
- 向量的表示:以有向线段表示向量,有起点和终点。
- 向量的运算:向量的加减法,数量乘法,内积和外积。
- 向量的模长和方向角:向量的长度叫做模长,方向的角度叫做方向角。
3. 三角函数- 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。
- 三角函数的图像和周期性。
- 三角函数的基本关系式和恒等式。
4. 函数与导数- 函数定义:函数是自变量与因变量之间的依赖关系。
- 函数的性质:奇偶性,周期性,单调性和有界性。
- 导数的定义和几何意义:导数衡量函数在某一点的变化率或斜率。
- 导数运算法则:常数规则、求和规则、乘法规则和链式法则。
5. 三角函数的导数- 正弦函数、余弦函数和正切函数的导数公式。
- 三角函数的导数与函数图像的关系。
- 利用三角函数的导数求解相关问题。
6. 幂函数与指数函数- 幂函数的定义:y = x^a,其中a为实数。
- 指数函数的定义:y = a^x,其中a大于0且不等于1。
- 幂函数与指数函数的性质和图像特点。
7. 对数函数- 对数函数的定义:y = loga(x),其中a大于0且不等于1。
- 对数函数的性质和图像特点。
- 对数函数与指数函数的关系。
8. 二次函数- 二次函数的定义:y = ax^2 + bx + c,其中a不等于0。
- 二次函数的图像特点:顶点、对称轴、开口方向等。
- 二次函数与一元二次方程的关系。
高二年级上学期数学知识点总结
高二年级上学期数学知识点总结(实用版)编制人:__________________审核人:__________________审批人:__________________编制单位:__________________编制时间:____年____月____日序言下载提示:该文档是本店铺精心编制而成的,希望大家下载后,能够帮助大家解决实际问题。
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高二数学上学期知识点
高二数学上学期知识点 第一部分:三角恒等变换 1.两角和与差正弦、余弦、正切公式:=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ±=±)cos(βαβαβαsin sin cos cos =±)(βαtg βαβαtg tg tg tg ⋅± 1 注意正用、逆用、变形用.例如:tanA+tanB=tan<A+B><1-tanAtanB>2.二倍角公式:sin2α=ααcos sin 2⋅,cos2α=αα22sin cos -=1cos 22-α=α2sin 21-tan 2α=αα2tan 1tan 2-.3.升幂公式是:2cos 2cos 12αα=+2sin2cos 12αα=-.4.降幂公式是:22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=.5.万能公式:sin α=2tan 12tan22αα+cos α=2tan 12tan 122αα+-tan α=2tan 12tan22αα-6.三角函数恒等变形的基本策略:〔1〕常值代换:特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项:sin2x+2cos2x=<sin2x+cos2x>+cos2x=1+cos2x ;配凑角:α=〔α+β〕-β,β=2βα+-2βα-等.〔3〕降次与升次.2sin2cos 12αα=-,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,sin α ,cos α可凑倍角公式;22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等.〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asin θ+bcos θ=22b a +sin<θ+ϕ>,ϕ所在象限由a 、b 的符号确定,ϕ角的值由tan ϕ=a b确定.7.注意点:三角函数式化简的目标:项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值. 第二部分:解三角形1.边角关系的转化:〔ⅰ〕正弦定理:A a sin =B b sin =C csin =2R<R 为外接圆的半径>;注:〔1〕a=2RsinA;b=2RsinB;c=2RsinC;〔2〕a:b:c=sinA:sinB:sinC;<3>三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB;〔ⅱ〕余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos ,bc a c b A 2cos 222-+=2.应用:〔1〕判断三角形解的个数;〔2〕判断三角形的形状;<3>求三角形中的边或角;〔4〕求三角形面积S ;注:三角形中 ①a>b ⇔A>B ⇔sinA>sinB ;②内角和为180︒;③两边之和大于第三边;④在△ABC 中有-tanC B)+tan(A -cosC B)+cos(A sinC=B)+sin(A ==,2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+在解三角形中的应用.3.解斜三角形的常规思维方法是:〔1〕已知两角和一边〔如A 、B 、c 〕,由A+B+C = π求C,由正弦定理求a 、b .〔2〕已知两边和夹角〔如a 、b 、C 〕,应用余弦定理求c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C= π,求另一角.〔3〕已知两边和其中一边的对角〔如a 、b 、A 〕,应用正弦定理求B,由A+B+C = π求C,再由正弦定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况.〔4〕已知三边a 、b 、c,应用余弦定理求A 、B,再由A+B+C = π,求角C .〔5〕术语:坡度、仰角、俯角、方位角〔以特定基准方向为起点〔一般为北方〕,依顺时针方式旋转至指示方向所在位置,其间所夹的角度称之.方位角α的取值X 围是:0°≤α<360. 第三部分:数列 证明数列{}n a 是等差〔比〕数列〔1〕等差数列:①定义法:对于数列{}n a ,若da a nn =-+1<常数>,则数列{}n a 是等差数列. ②等差中项法:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列.注:后两种方法仅适用于选择、填空:③n a pn q =+〔形如一次函数〕④2n S An Bn=+〔常数项为0的二次〕〔2〕等比数列:①定义法:对于数列{}n a ,若)0(1≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列.②等比中项法:对于数列{}n a ,若212++=n n n a a a )0(≠n a ,则数列{}n a 是等比数列2.求数列通项公式na 方法 <1>公式法:等差数列中an=a1+<n-1>d 等比数列中an= a1qn-1; (0)q ≠<2>⎩⎨⎧≥-==→-)2(,)1(,11n S S n a a S n n n n 〔 注意 :验证a1是否包含在an 的公式中〕 〔3〕递推式为1n a +=n a +f<n> <采用累加法>;1n a +=n a ×f<n> <采用累积法>;例已知数列{}n a 满足11a =,n n a a n n ++=--111(2)n ≥,则n a =________〔答:1n a =〕〔4〕构造法;形如n n a pa q =+,1nn n a ka b -=+〔,k b p,q 为常数且p ≠q 〕的递推数列,可构造等比数列{}na x +,例 ①已知111,32n n a a a -==+,求na 〔答:1231n n a -=-〕; 〔5〕涉与递推公式的问题,常借助于"迭代法〞解决:an =〔an -an-1〕+<an-1-an-2>+……+〔a2-a1〕+a1 ; an =1122n 1n 1n n a a a a a a a ---⋅〔6〕倒数法形如11n n n a a ka b --=+的递推数列如①已知1111,31n n n a a a a --==+,求n a 〔答:132n a n =-〕;3.求数列前n 项和n S .常见方法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.〔1〕公式法:等差数列中Sn=dn n na 2)1(1-+=2)(1n a a n + ;等比数列中 当q=1,Sn=na1 当q≠1,Sn=q q a n --1)1(1=q q a a n --11〔注:讨论q 是否等于1〕. 〔2〕分组法求数列的和:如an=2n+3n ; 〔3〕错位相减法:nn n c b a ⋅=,{}{}成等比数列成等差数列,n n c b ,如an=<2n-1>2n ;〔注1q ≠〕〔4〕倒序相加法求和:如①在等差数列{}n a 中,前4项的和为40,最后4项的和为80,所有各项的和为720,则这个数列的项数n=______;<答:48>;②已知22()1x f x x =+,则111(1)(2)(3)(4)((()234f f f f f f f ++++++=___〔答:72〕〔5〕裂项法求和:)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=,如求和:1111122334(1)n n ++++⨯⨯⨯+=_________〔答: 1n n +〕〔6〕在求含绝对值的数列前n 项和nS 问题时,注意分类讨论与转化思想的应用,总结时写成分段数列.4.nS 的最值问题方法〔1〕在等差数列{}n a 中,有关Sn 的最值问题——从项的角度求解:①当01>a ,d<0时,满足⎩⎨⎧≤≥+001m m a a 的项数m 使得取最大值.②当01>a ,d>0时,满足⎩⎨⎧≥≤+001m m a a 的项数m 使得取最小值.〔2〕转化成二次函数配方求最值〔注:n 是正整数,若n 不是正整数,可观察其两侧的两个整数是否满足要求〕.如①等差数列{}n a 中,125a =,917S S =,问此数列前多少项和最大?并求此最大值.〔答:前13项和最大,最大值为169〕;②若{}n a 是等差数列,首项10,a >200320040a a +>,200320040a a ⋅<,则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是___ 〔答:4006〕5.求数列{an}的最大、最小项的方法〔函数思想〕:①an+1-an=……⎪⎩⎪⎨⎧<=>000如an= -2n2+29n-3②⎪⎩⎪⎨⎧<=>=+1111 n n a a <an>0> ,如an=n n n 10)1(9+③ an=f<n> 研究函数f<n>的增减性 如an=1562+n n6.常用性质:〔1〕等差数列的性质:对于等差数列{}n a ①.dm n a a m n)(-+=〔n m ≤〕②.若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+.③.若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,kk S S 23-成等差数列.④.设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和,则有如下性质:<i>奇数项da a a 2,,,531成等差数列,公差为⋯<ii>偶数项da a a 2,,,642成等差数列,公差为⋯⑤.若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为21n T -,则2121n n n n a S b T --=.〔应用于选择、填空,要会推导,正用、逆用〕 〔2〕等比数列性质:在等比数列{}n a 中①.mn m n q a a -=〔n m ≤〕;②.若m+n=p+q,则aman=apaq ;如〔1〕在等比数列{}n a 中,3847124,512a a a a +==-,公比q 是整数,则10a =___〔答:512〕;〔2〕各项均为正数的等比数列{}n a 中,若569a a ⋅=,则3132310log log log a a a +++=〔答:10〕.③.若数列{}n a 是等比数列且q≠-1,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列.如:公比为-1时,4S 、8S -4S 、12S -8S、…不成等比数列7.常见结论:〔1〕三个数成等差的设法:a-d,a,a+d ;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d ;〔2〕三个数成等比的设法:a/q,a,aq ; 〔3〕若{an}、{bn}成等差,则{kan+tbn}成等差;〔4〕若{an}、{bn}成等比,则{kan}<k≠0>、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1、{anbn}、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ba 成等比;〔5〕{an}成等差,则 <{}na c c>0>成等比. 〔6〕{bn}<bn>0>成等比,则{logcbn}<c>0且c ≠1>成等差.第四部分 不等式1.两个实数a 与b 之间的大小关系—作差法或作商法2.不等式的证明方法〔1〕比较法〔2〕综合法.〔3〕分析法注:一般地常用分析法探索证题途径,然后用综合法3. 解不等式〔1〕一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解法①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0〔2〕一元二次不等式)0(,02>>++a c bx ax 的解法〔三个二次关系〕 判别式ac b 42-=∆0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2的图象一元二次方程 相异实根相等实根没有实根21x x <a b x x 221-==02=++c bx ax 的根02>++c bx ax 解集{}12x x x x x <>或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 02<++c bx ax 解集{}21x x x x <<φφ注:)(02≥>++c bx ax 解集为R,〔02>++c bx ax 对R x ∈恒成立〕 则〔Ⅰ〕⎪⎩⎪⎨⎧≤∆<∆>)0(00a 〔Ⅱ〕若二次函数系数含参数且未指明不为零时,需验证0=a若02<++c bx ax 解集为R 呢?如:关于x 的不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立,则a 的取值X 围.略解〔Ⅰ〕成立时,042<-=a 〔Ⅱ〕 ⎩⎨⎧<=∆<-002a 〔3〕绝对值不等式 如果a >0,那么|x|a x a a x a 22<<-<<;⇔⇔ 〔4〕分式不等式若系数含参数时,须判断或讨论系数00<=>,化负为正,写出解集.主要应用:1.解一元二次不等式;2.解分式不等式;3.解含参的一元二次不等式〔先因式分解,分类讨论,比较两根的大小〕;4恒成立问题〔注:①讨论二次项系数是否为0;②开口方向与判别式〕;5.已知12x y -≤-≤,3235x y ≤-≤,求45x y -的取值X 围;〔①换元法;②线性规划法〕.4.简单的线性规划问题应用:〔1〕会画可行域,求目标函数的最值与取得最值时的最优解〔注:可行域边界的虚实〕;〔2〕求可行域内整数点的个数;〔3〕求可行域的面积;〔4〕根据目标函数取得最值时最优解〔个数〕求参数的值〔参数可在线性约束条件中,也可在目标函数中〕;〔5〕实际问题中注意调整最优解〔反代法〕.原命题若p 则q 逆命题若q 则p互逆互否5.常用的基本不等式和重要的不等式〔1〕ab b a R b a 2,,22≥+∈则〔2〕+∈R b a ,,则ab b a 2≥+;注:几何平均数算术平均数,----+ab ba 2〔3〕),()2(222R b a b a b a ∈+≥+〔4〕),(22222+∈+≤+≤≤+R b a b a b a ab b a ab ;6.均值不等式的应用——求最值〔可能出现在实际应用题〕设,0x y >,则2x y xy +≥〔1〕若积P y x P xy 2(有最小值定值),则和+=〔2〕若和22()有最大值(定值),则积S xy S y x =+即:积定和最小,和定积最大. 注:运用均值定理求最值的三要素:"一正、二定、三相等〞技巧:①凑项,例122y x x =+-〔x>2〕②凑系数 ,例 当时,求的最大值;〔答:8〕③添负号,例12(2)2(2)y x x x =-+>-;④拆项,例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值〔答:9 〕⑤构造法,例 求22()(0)1xf x x x =>+21x x =+的最大值〔答:1〕.⑥"1〞的灵活代换,若0,0x y >>且191x y +=,则x y +的最小值是________<答:16>〔3〕若用均值不等式求最值,等号取不到时,需用定义法先证明单调性,后根据单调性求最值,例 求2211y x x =++.第五部分 简易逻辑逻辑联结词,命题的形式:p 或q<记作"p ∨q 〞 >;p 且q<记作"p ∧q 〞 >;非p<记作"┑q 〞 > . 2、"或〞、 "且〞、 "非〞的真值判断〔1〕"非p 〞形式复合命题的真假与F 的真假相反;〔2〕"p 且q 〞形式复合命题当P 与q 同为真时为真,其他情况时为假;〔3〕"p 或q 〞形式复合命题当p 与q 同为假时为假,其他情况时为真.4常见结论的否定形式原结论 否定词 原结论 否定词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于不大于至少有n 个至多有〔1n -〕个小于不小于至多有n 个至少有〔1n +〕个对所有x ,成立存在某x ,不成立p 或q p ⌝且q ⌝ 对任何x ,不成立 存在某x ,成立p 且qp ⌝或q ⌝5、四种命题:原命题:若P 则q ; 逆命题:若q 则p ;否命题:若┑P 则┑q ;逆否命题:若┑q 则┑p.6、四种命题之间的相互关系:一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下关系:<原命题⇔逆否命题> ①、原命题为真,它的逆命题不一定为真.②、原命题为真,它的否命题不一定为真.③、原命题为真,它的逆否命题一定为真.7、如果已知p ⇒q 那么我们说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 若p ⇒q 且q ⇒p,则称p 是q 的充要条件,记为p ⇔q. 8.命题的否定只否定结论;否命题是条件和结论都否定.9、反证法:从命题结论的反面出发〔假设〕,引出<与已知、公理、定理…>矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.第六部分 圆锥曲线定义、标准方程与性质 〔一〕椭圆 1.定义:若F1,F2是两定点,P 为动点,且21212F F a PF PF >=+ 〔a 为常数〕则P 点的轨迹是椭圆.注:〔1〕若2a 小于|1F 2F |,则这样的点不存在;〔2〕若2a 等于|1F 2F |,则动点的轨迹是线段1F 2F .<3>21F PF ∆中经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段1PF 、2PF 、2c,有关角21PF F ∠结合起来,建立1PF +2PF 、1PF •2PF 等关系求出1PF 、2PF 的值.注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上.2.椭圆的标准方程:12222=+b y a x 〔a >b >0〕,12222=+b x a y 〔a >b >0〕<注:222a b c =+>.〔1〕.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果2x 项的分母大于2y 项的分母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 轴上.〔2〕.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 定位——正确判断焦点的位置;⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a 、b.3.椭圆的几何性质:线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b,a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点.离心率:椭圆的焦距与长轴长的比a ce =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e <1.e 越接近于1时,椭圆越扁;反之,e 越接近于0时,椭圆就越接近于圆.4.点与椭圆的位置关系〔1〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. 〔2〕点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b ⇔+>〔二〕双曲线 1.定义:若F1,F2是两定点,21212F F a PF PF <=-〔a 为非零常数〕,则动点P 的轨迹是双曲线.注:〔1〕若2a=|1F 2F |,则动点的轨迹是两条射线;〔2〕若2a >|1F 2F |,则无轨迹.〔3〕若去掉绝对值号,动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支.2.双曲线的标准方程:12222=-b y a x 和12222=-b x a y 〔a >0,b >0〕注:〔1〕222c a b =+〔与椭圆比较〕〔2〕双曲线的标准方程判别方法是:如果2x 项的系数是正数,则焦点在x 轴上;如果2y 项的系数是正数,则焦点在y 轴上.对于双曲线,a不一定大于b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.〔3〕求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 定位——正确判断焦点的位置;⑵ 定量——设出标准方程后,运用待定系数法求解a,b.3.双曲线的简单几何性质双曲线12222=-b y a x 为例 实轴长为2a,虚轴长为2b,离心率a c e =>1,离心率e 越大,双曲线的开口越大.双曲线的方程与渐近线方程的关系〔1〕若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程:⇒=-02222b y a x x a b y ±= 〔2〕若渐近线方程为x a by ±=⇒0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠〕〔3〕若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-2222b y a x 〔0λ≠,若0>λ,焦点在x 轴上,若0<λ,焦点在y轴上〕.特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直,分别为y=x ±,此时双曲线为等轴双曲线,可设为λ=-22y x 〔0λ≠〕.〔4〕方程221x y m n -=(0,0)m n ≠≠表示双曲线的充要条件是0mn >.〔5〕注意21F PF ∆中结合定义aPF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠,将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来.〔三〕抛物线 1.定义:到定点F 与定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线.定点F 叫抛物线的焦点,定直线l 叫抛物线的准线.注:〔1〕点F 在直线l 外,〔2〕点F 在直线l 上,其轨迹是过点F 且与l 垂直的直线,而不是抛物线.2.抛物线的标准方程有四种类型:px y 22=、px y 22-=、py x 22=、py x 22-=.注:〔1〕方程中的一次项变元决定对称轴和焦点位置;〔2〕一次项前面的正负号决定曲线的开口方向;3.抛物线的几何性质,以标准方程22y px =(0)p >为例:p :焦准距〔焦点到准线的距离〕;焦点: )0,2(p 准线: 2p x -=通径p AB 2= 焦半径:,2px CF += 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122 y1y2=-p2,x1x2=42p ;注:只适合求过焦点的弦长,对于其它的弦,只能用"弦长公式〞来求.4.直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x 2+bx+c=0,当△≠0时,两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果直线和抛物线只有一个公共点,除相切外,还有直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行,此时,不能仅考虑△=0. 注意:>抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y p y 或或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中5.求轨迹的常用方法:〔1〕直接法:直接通过建立x 、y 之间的关系,构成F<x,y>=0,是求轨迹的最基本的方法;〔2〕待定系数法:所求曲线是所学过的曲线:如直线,圆锥曲线等,可先根据条件列出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可;〔3〕代入法〔相关点法或转移法〕:若动点P<x,y>依赖于另一动点Q<x1,y1>的变化而变化,并且Q<x1,y1>又在某已知曲线上,则可先用x 、y 的代数式表示x1、y1,再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程;〔4〕定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程; 〔5〕点差法,处理圆锥曲线弦中点问题常用代点相减法,主要用于求斜率.〔注意:验证判别式大于零.〕〔6〕参数法:当动点P 〔x,y 〕坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x 、y 均用一中间变量〔参数〕表示,得参数方程,再消去参数得普通方程.注:①轨迹方程与轨迹的区别,②限制X 围,③根据曲线方程研究曲线类型时注意椭圆与圆的区别,注意次数和符号,④.涉与圆锥曲线的问题勿忘用定义解题. 〔四〕解析几何中的基本公式1.两点间距离:若)y ,x (B ),y ,x (A 2211,则212212)()(y y x x AB -+-=特别地:x //AB 轴, 则=AB |x2-x1| . y //AB 轴, 则=AB |y2-y1| .2.平行线间距离:若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++则:2221B A C C d +-=注意点:①x,y 对应项系数应相等,②方程化成一般式.3.点到直线的距离:0C By Ax :l ),y ,x (P =++ 则P 到l 的距离为:22B A CBy Ax d +++=4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式:⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消y :02=++c bx ax 〔务必注意0∆>,k 为直线的斜率.〕.若l 与曲线交于A ),(),,(2211y xB y x 则:2122))(1(x x k AB -+==或AB12||y y =-="设而不求〞的解题思想;〕特殊的直线方程: ①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a,y 轴的方程是x=0.②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b,x 轴的方程是y=0.注:判断直线与圆锥曲线的位置关系时,优先讨论二次项系数是否为零,然后再考虑判别式与韦达定理. 第七部分 能力要求能力主要指运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力,以与应用意识和创新意识. 1.运算求解能力:能够根据法则和公式进行正确运算、变形;能够根据问题的条件,寻找并设计合理、简捷的运算方法;能够根据要求对数据进行估计和近似计算.2.数据处理能力:能够收集、整理、分析数据,能抽取对研究问题有用的信息,并作出正确判断;能够根据所学知识对数据进行进一步的整理和分析,解决所给问题.3.空间想象能力:能够根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能够准确地理解和解释图形中的基本元素与其相互关系;能够对图形进行分解、组合;能够运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和规律.4.抽象概括能力:能从具体、生动的实例中,发现研究对象的本质;能从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断.5.推理论证能力:能够根据已知的事实和已获得的正确数学命题,论证某一数学命题的真实性.6.应用意识:能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题;能应用相关的数学思想和方法解决问题,并能用数学语言正确地表述和解释.7.创新意识:能够独立思考,灵活和综合地运用所学的数学知识、思想和方法,创造性地提出问题、分析问题和解决问题.。
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不等式单元知识总结一、不等式的性质1.两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b ->>;-;-<<.⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、,则>>;;<<. a b R (4)a b 1a b (5)a b=1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2.不等式的性质(1)a b b a()><对称性⇔(2)a b b c a c()>>>传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()>+>+加法单调性⇔a b c 0 ac bc >>>⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性)a b c 0 ac bc ><<⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()+>>-移项法则⇒(6)a b c d a c b d()>>+>+同向不等式可加⎫⎬⎭⇒(7)a b c d a c b d()><->-异向不等式可减⎫⎬⎭⇒(8)a b 0c d 0ac bd()>>>>>同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒(9)a b 00c d b d ()>><<>异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c(10)a b 0n N a b ()n n >>>正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒(11)a b 0n N a ()n >>>正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()>><正数不等式两边取倒数⇒1b 3.绝对值不等式的性质(1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥;≥,-<.⎧⎨⎩(2)如果a >0,那么|x|a x a a x a 22<<-<<;⇔⇔|x|a x a x a x a 22>>>或<-.⇔⇔(3)|a ·b|=|a|·|b|.(4)|a b | (b 0)=≠.||||a b(5)|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|.(6)|a 1+a 2+……+a n |≤|a 1|+|a 2|+……+|a n |.二、不等式的证明1.不等式证明的依据(1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b实数的性质:、同号>;、异号<->>;-<<;-⇔⇔⇔⇔⇔(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式:①|a|≥0;a 2≥0;(a -b)2≥0(a 、b ∈R)②a 2+b 2≥2ab(a 、b ∈R ,当且仅当a=b 时取“=”号) ③≥、,当且仅当时取“”号a b +∈+2ab(a b R a =b =)2.不等式的证明方法(1)比较法:要证明a >b(a <b),只要证明a -b >0(a -b <0),这种证明不等式的方法叫做比较法.用比较法证明不等式的步骤是:作差——变形——判断符号.(2)综合法:从已知条件出发,依据不等式的性质和已证明过的不等式,推导出所要证明的不等式成立,这种证明不等式的方法叫做综合法.(3)分析法:从欲证的不等式出发,逐步分析使这不等式成立的充分条件,直到所需条件已判断为正确时,从而断定原不等式成立,这种证明不等式的方法叫做分析法.证明不等式除以上三种基本方法外,还有反证法、数学归纳法等.三、解不等式1.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式.(2)解一元二次不等式.(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式.①解一元高次不等式;②解分式不等式;③解无理不等式;④解指数不等式;⑤解对数不等式;⑥解带绝对值的不等式;⑦解不等式组.2.解不等式时应特别注意下列几点:(1)正确应用不等式的基本性质.(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性.(3)注意代数式中未知数的取值范围.3.不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·>与>>或<<同解.⎧⎨⎩⎧⎨⎩(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·<与><或<>同解.⎧⎨⎩⎧⎨⎩(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)>与>>或<<同解.≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)<与><或<>同解.≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|<g(x)与-g(x)<f(x)<g(x)同解.(g(x)>0)(6)|f(x)|>g(x)①与f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)(其中g(x)≥0)同解;②与g(x)<0同解.(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)] f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02>与>≥≥或≥<同解.⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02<与<≥同解.⎧⎨⎩(9)当a >1时,a f(x)>a g(x)与f(x)>g(x)同解,当0<a <1时,a f(x)>a g(x)与f(x)<g(x)同解.(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当>时,>与>>同解.⎧⎨⎩当<<时,>与<>>同解.0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪单元知识总结一、坐标法1.点和坐标建立了平面直角坐标系后,坐标平面上的点和一对有序实数(x ,y)建立了一一对应的关系.2.两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则两点间的距离|P P |=12()()x x y y 212212-+-特殊位置的两点间的距离,可用坐标差的绝对值表示:(1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴),则|P 1P 2|=|y 2-y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴),则|P 1P 2|=|x 2-x 1|3.线段的定比分点(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义:设点把有向线段分成和两部分,那么有向线段和的数量的比,就是点分所成的比,通常用λ表示,即λ,点叫做分线段为定比λ的定比分点.P PP 2当点内分时,λ>;当点外分时,λ<.P P P 0P P P 01212(2)公式:分P 1(x 1,y 2)和P 2(x 2,y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况,当是的中点时,λ,得线段的中点坐标P P P =1P P 1212公式x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222二、直线1.直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时,把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角,叫做这条直线的倾斜角.当直线和x 轴平行线重合时,规定直线的倾斜角为0.所以直线的倾斜角α∈[0,π).(2)倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,直线的斜率常用表示,即αα≠π.k k =tan ()2∴当k ≥0时,α=arctank .(锐角)当k <0时,α=π-arctank .(钝角)(3)斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的斜率为k =y (x x )212--y x x 121≠2.直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0,y 0),斜率为k ,则其方程为:y -y 0=k(x -x 0)(2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ,斜率为k ,则其方程为:y=kx +b(3)两点式 已知直线过两点(x 1,y 1)和(x 2,y 2),则其方程为:y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠(4)截距式 已知直线在x ,y 轴上截距分别为a 、b ,则其方程为:x a y b +=1(5)参数式 已知直线过点P(x 0,y 0),它的一个方向向量是(a ,b),则其参数式方程为为参数,特别地,当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )v(cos α,sin α)(α为倾斜角)时,则其参数式方程为x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时,的几何意义是,→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一般式 Ax +By +C=0 (A 、B 不同时为0).(7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ,y 轴的方程是x=0.②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ,x 轴的方程是y=0.3.两条直线的位置关系(1)平行:当直线l 1和l 2有斜截式方程时,k 1=k 2且b 1≠b 2.当和是一般式方程时,≠l l 12A A B B C C 121212=(2)重合:当l 1和l 2有斜截式方程时,k 1=k 2且b 1=b 2,当l 1和l 2是一般方程时,A A B B C C 121212==(3)相交:当l 1,l 2是斜截式方程时,k 1≠k 2当,是一般式方程时,≠l l 12A A B B 2212①斜交交点:的解到角:到的角θ≠夹角公式:和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时,-当和是一般式方程时,+l l l l 1212121212k k =1A A B B =0⎧⎨⎩4.点P(x 0,y 0)与直线l :Ax +By +C=0的位置关系:Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000++在直线上点的坐标满足直线方程++≠在直线外.⇔⇔l l点,到直线的距离为:P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+ 5.两条平行直线l 1∶Ax +By +C 1=0,l 2∶Ax +By +C 2=0间的距离为:.d =|C C |12-+A B 226.直线系方程 具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系,它的方程的特点是除含坐标变量x ,y 以外,还含有特定的系数(也称参变量).确定一条直线需要两个独立的条件,在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程,然后再根据另一个条件来确定其中的参变量.(1)共点直线系方程:经过两直线l 1∶A 1x +B 1y +C 1=0,l 2∶A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为:A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,其中λ是待定的系数.在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x +B 2y +C 2=0,因此它不表示l 2.当λ=0时,即得A 1x +B 1y +C 1=0,此时表示l 1.(2)平行直线系方程:直线y=kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C=0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠C),λ是参变量.(3)垂直直线系方程:与直线Ax +By +C=0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是:Bx -Ay +λ=0.如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,可选用直线系方程来求解.7.简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax +By +C >0(或<0)表示直线Ax +By +C=0某一侧所有点组成的平面区域.二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,即各个不等式所表示的平面区域的公共部分.(2)线性规划:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,称为线性规划问题,例如,z=ax +by ,其中x ,y 满足下列条件:A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222n n n ++≥或≤++≥或≤……++≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)求z 的最大值和最小值,这就是线性规划问题,不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件,z=ax +by 叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解(x ,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域,使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解.三、曲线和方程1.定义在选定的直角坐标系下,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ,y)=0的实数解建立了如下关系:(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ,y)=0的解(一点不杂);(2)以方程f(x ,y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏).这时称方程f(x ,y)=0为曲线C 的方程;曲线C 为方程f(x ,y)=0的曲线(图形). 设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点},Q={(x ,y)|f(x ,y)=0},若设点M 的坐标为(x 0,y 0),则用集合的观点,上述定义中的两条可以表述为:(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈,∈,即;,∈∈,即.⇒⊆⇒⊆以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题):(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000,;,.∉⇒∉∉⇒∉显然,当且仅当且,即时,才能称方程,P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆ 为曲线C 的方程;曲线C 为方程f(x ,y)=0的曲线(图形).2.曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤:①建系,设点:建立适当的坐标系,用变数对(x ,y)表示曲线上任意一点M 的坐标; ②立式:写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)};③代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x ,y)=0;④化简:化方程f(x ,y)=0为最简形式;⑤证明:以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.上述方法简称“五步法”,在步骤④中若化简过程是同解变形过程;或最简方程的解集与原始方程的解集相同,则步骤⑤可省略不写,因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程.(2)由方程画曲线(图形)的步骤:①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点);②求截距:方程组,的解是曲线与轴交点的坐标;f x y y ()==⎧⎨⎩00x方程组,的解是曲线与轴交点的坐标;f x y x ()==⎧⎨⎩00y③讨论曲线的范围;④列表、描点、画线.3.交点求两曲线的交点,就是解这两条曲线方程组成的方程组.4.曲线系方程过两曲线f 1(x ,y)=0和f 2(x ,y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ,y)+λf 2(x ,y)=0(λ∈R).四、圆1.圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆.2.圆的方程(1)标准方程(x -a)2+(y -b)2=r 2.(a ,b)为圆心,r 为半径. 特别地:当圆心为(0,0)时,方程为x 2+y 2=r 2(2)一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F=0配方()()x D y E D E F +++=+-22442222当+->时,方程表示以-,-为圆心,以为半径的圆;D E 4F 0()22D E D E F 2212422+-当+-时,方程表示点-,-D E 4F =0()22D E 22 当D 2+E 2-4F <0时,方程无实数解,无轨迹.(3)参数方程 以(a ,b)为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为 x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()特别地,以(0,0)为圆心,以r 为半径的圆的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()3.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ,圆的半径为r .(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外>;点在圆上;点在圆内<.⇔⇔⇔4.直线与圆的位置关系设直线l :Ax +By +C=0和圆C :(x -a)2+(y -b)2=r 2,则d Aa Bb C A B=+++||22.(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解,△>或<;相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解,△或;相离直线与圆的方程组成的方程组无解,△<或>.⇔⇔⇔5.求圆的切线方法(1)已知圆x 2+y 2+Dx +Ey +F=0.①若已知切点(x 0,y 0)在圆上,则切线只有一条,其方程是x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()().当,在圆外时,++++表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22 过两个切点的切点弦方程.②若已知切线过圆外一点(x 0,y 0),则设切线方程为y -y 0=k(x -x 0),再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线.③若已知切线斜率为k ,则设切线方程为y=kx +b ,再利用相切条件求b ,这时必有两条切线.(2)已知圆x 2+y 2=r 2.①若已知切点P 0(x 0,y 0)在圆上,则该圆过P 0点的切线方程为x 0x +y 0y=r 2.②已知圆的切线的斜率为,圆的切线方程为±.k y =kx r k 2+16.圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2,半径分别为r 1、r 2,则(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切+;两圆内切-;两圆相交-<<+.⇔⇔⇔单元知识总结一、圆锥曲线 1.椭圆(1)定义定义1:平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|),这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点).定义2:点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数=<<时,这个点的轨迹是椭圆.e (0e 1)ca(2)图形和标准方程图-的标准方程为:+=>>图-的标准方程为:+=>>811(a b 0)821(a b 0)x a y b x b y a 22222222(3)几何性质2.双曲线(1)定义定义1:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点).定义2:动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e>1)时,这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点).(2)图形和标准方程图8-3的标准方程为:x ayb2222-=>,>1(a0b0)图8-4的标准方程为:y axb2222-=>,>1(a0b0)(3)几何性质3.抛物线(1)定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.(2)抛物线的标准方程,类型及几何性质,见下表:①抛物线的标准方程有以下特点:都以原点为顶点,以一条坐标轴为对称轴;方程不同,开口方向不同;焦点在对称轴上,顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离.②p 的几何意义:焦点F 到准线l 的距离.③弦长公式:设直线为=+抛物线为=,=y kx b y 2px |AB|212+k|x x ||y y |2121-=-112+k焦点弦长公式:|AB|=p +x 1+x 24.圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线,定点叫做焦点,定直线叫做准线、常数叫做离心率,用e 表示,当0<e <1时,是椭圆,当e >1时,是双曲线,当e =1时,是抛物线. 二、利用平移化简二元二次方程 1.定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0(A 、C 不同时为0)※,通过配方和平移,化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程,称为利用平移化简二元二次方程.A =C 是方程※为圆的方程的必要条件. A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件. A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件. A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件.2.对于缺xy 项的二元二次方程:Ax 2+Cy 2+Dx +Ey +F =0(A ,C 不同时为0)利用平移变换,可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程,其方法有:①待定系数法;②配方法.椭圆:+=或+=()()()()x h a y k b x h b y k a ----2222222211中心O ′(h ,k)双曲线:-=或-=()()()()x h a y k b y k a x h b ----2222222211中心O ′(h ,k)抛物线:对称轴平行于x 轴的抛物线方程为 (y -k)2=2p(x -h)或(y -k)2=-2p(x -h), 顶点O ′(h ,k).对称轴平行于y 轴的抛物线方程为:(x -h)2=2p(y -k)或(x -h)2=-2p(y -k) 顶点O ′(h ,k).以上方程对应的曲线按向量a =(-h ,-k)平移,就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式.高中数学联赛几何定理梅涅劳斯定理一直线截△ABC 的三边BC,CA,AB 或其延长线于D,E,F 则1BDCDEC AE FA BF =∙∙。