2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛及详解
2019年高中数学联合竞赛(A卷)参考答案及评分标准
2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档; 其他各题的评阅, 请严格按照本评分标准的评分档次给分, 不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第9小题4分为一个档次, 第10、11小题5分为一个档次, 不得增加其他中间档次.一、填空题: 本大题共8小题, 每小题8分, 满分64分.1. 已知正实数a 满足()89aaa a =, 则()log 3a a 的值为 .答案:916.解: 等式两边同时开8a 次方根, 有189a a =. 这样9163a a ==, 所以()9log 316a a =. 2. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和, 则x 的值为 .答案: 32-. 解: 假设0x ≥, 则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x , 而所有元素之和大于{}max 3,x , 不符合条件. 故0x <, 即x 为最小元素. 于是36x x -=+, 解得32x =-. 3. 在平面直角坐标系中, e 是单位向量, 向量a 满足2a e ⋅= , 且25a a te ≤+对任意实数t 成立, 则a的取值范围是 .答案: .解: 不妨设()1,0e = . 由于2a e ⋅= , 可设()2,a s =. 又因为对任意实数t , 有2245s a a te +=≤+=这等价于245s s +≤, 解得[]1,4s ∈, 即[]21,16s ∈. 于是a = .4. 设,A B 为椭圆Γ的长轴顶点, ,E F 为Γ的两个焦点, 4,2AB AF ==+, P 为Γ上一点, 满足2PE PF ⋅=, 则PEF ∆的面积为 .答案: 1.解: 不妨设平面直角坐标系中Γ的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. 根据条件, 得24,2a AB a AF ==±==+.可知2,1a b ==, 且EF ==.由椭圆的第一定义知24PE PF a +==, 结合2PE PF ⋅=得到()2222212PE PF PE PFPE PF EF +=+-⋅==.所以EPF ∠为直角, 进而112122PEF S PE PF ∆=⋅=⨯=. 5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a , 在1,2,3,,10---- 中随机选出一个数b , 则2a b +被3整除的概率为 .答案:37100. 解: 数组(),a b 共有210100=种等概率的选法.考虑其中使得2a b +被3整除的选法数N . 若a 被3整除, 则b 也被3整除. 此时,a b 各有3种选法, 这样的(),a b 有239=组. 若a 不被3整除, 则()21mod 3a ≡, 从而()1mod 3b ≡-. 此时a有7种选法, b 有4种选法, 这样的(),a b 有7428⨯=组.因此92837N =+=, 于是所求概率为37100. 6. 对任意闭区间I , 用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值. 若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =,则a 的值为 .答案:56π或1312π. 解: 假如02a π<≤, 则由正弦函数图像性质得[][]0,,20sin a a a M a M <=≤, 与条件不符. 因此2a π>, 此时[]0,1a M =, 故[],212a a M =. 于是, 存在非负整数k , 使得51322266k a a k ππππ+≤<≤+,且该不等式中“≤”至少有一处取到等号.当0k =时, 得56a π=或1326a π=. 经检验513,612a ππ=均满足条件. 当1k ≥时, 由于13522266k k ππππ⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭, 故不存在满足上述不等式的a . 综上, a 的值为56π或1312π. 7. 如图, 正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K , 且将正方体分成体积比为3:1的两部分, 则EKKF的值为 .答案:解: 记α为截面所在的平面. 延长,AK BF 交于点P , 则P 在α上, 故直线CP 是α与平面BCGF 的交线. 设CP 与FG 交于点L , 则四边形AKLC 为截面.因平面ABC 平行于平面KFL , 且,,AK BF CL 共点P , 故ABC KFL -为棱台. 不妨设正方体棱长为1, 则正方体的体积为1, 结合条件知, 棱台ABC KFL -的体积为14V =. 设PF h =, 则1KF FL PF hAB BC PB h ===+. 注意到,PB PF 分别是凌锥P ABC -与凌锥P KFL -的高, 于是14P ABC P KFL V V V --==-1166AB BC PB KF FL PF =⋅⋅-⋅⋅ ()()3221331116161h h h h h h ⎛⎫++⎛⎫=+-= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭. 化简得231h =,故h =从而1EK AE KF PF h ===8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排列成一行, 拼成一个8位数(首位不为0), 则产生的不同的8位数的个数为 .答案: 498.解: 将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A , 易知55!600A =⨯=(这里及以下,X 表示有限集X 的元素个数.)将A 中2的后一项是0, 且1的后一项是9的排列的全体记为B ; A 中2的后一项是0, 但1的后一项不是9的排列的全体记为C ; A 中1的后一项是9, 但2的后一项不是0的排列的全体记为D .将1和9, 2和0按顺序捆绑产生的元素19, 20分别看作两个新的元素,a b . 它们与之前的两个元素19,20产生的元构成B 的全体, 故4!B =; 将2和0按顺序捆绑产生的元素与之前的四个元素产生的元构成B C 的全体, 故5!B C +=; 将1和9按顺序捆绑产生的元素与之前的四个元素产生的首位不为0的元素构成B D 的全体, 故44!B D +=⨯. 从而24,96,72B C D ===.由B 中排列产生的每个8位数, 恰对应B 中的224⨯=个排列(这样的排列中, 20可与“2,0”互换, 19可与“1,9”互换). 类似地, 由C 或D 中排列产生的每个8位数, 恰对应C 或D 中的2个排列. 因此满足条件的8位数的个数为()3\60018483649842422B C D B C DA B C D A +++=---=---= .二、解答题: 本大题共3小题, 满分56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (本题满分16分) 在ABC ∆中, ,,BC a CA b AB c ===. 若b 是a 与c 的等比中项, 且sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项, 求cos B 的值.解: 因b 是a 与c 的等比中项, 故存在0q >, 满足2,b qa c q a ==. ①因sin A 是()sin B A -与sin C 的等差中项, 故()()()2sin sin sin sin sin 2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=.………………… (4分)结合正、余弦定理, 得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===, 即2222b c a ac +-=. ………………… (8分)将①代入并化简, 可知24212q q q +-=, 即421q q =+. 所以212q +=. ………………… (12分) 进而2224222111cos 222a cb q q B ac q q +-+--====. ………………… (16分) 10. (本题满分20分) 在平面直角坐标系xOy 中, 圆Ω与抛物线2:4y x Γ=恰有一个公共点, 且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F . 求圆Ω的半径.解: 显然Γ的焦点F 的坐标为()1,0. 设圆Ω的半径为()0r r >. 由对称性, 不妨设Ω在x 轴上方与x 轴相切于F , 故Ω的方程为()()2221x y r r -+-=. ①将24yx =代入①并化简, 得2221204y y ry ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. 显然0y >, 故 ()222224112432y y r y y y ⎛⎫+⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ② ………………… (5分)根据条件, ②恰有一个正数解y , 该y 值对应Ω与Γ的唯一公共点.考虑()()224,032y f y y y+=>的最小值.由平均值不等式,知224444333y y +=+++≥从而 ()1329f y y ≥⋅=, 当且仅当243y =,即3y =时, ()f y取到最小值9. ………………… (15分)由②有解可知9r ≥.假设9r >, 因()f y 随y 连续变化, 且0y +→及y →+∞时()f y 均可任意大,故②在0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭及,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上均有解, 与解的唯一性矛盾. 综上,仅有9r =满足条件(此时1,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭是Ω与Γ的唯一公共点).………………… (20分) 11. (本题满分20分) 称一个复数数列{}n z 为“有趣的”, 若11z =, 且对任意正整数n , 均有2211420n n n n z z z z ++++=. 求最大的常数C , 使得对一切有趣的复数数列{}n z 及任意正整数m , 均有12m z z z C +++≥ .解: 考虑有趣的复数数列{}n z . 由归纳法可知*0,N n z n ≠∈. 由条件得2*114210,N n n n n z z n z z ++⎛⎫⎛⎫++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解得*11,N 4n n z n z +-±=∈.因此1112n n n nz z z z ++===, 故 1*1111,N 22n n n z z n --⎛⎫=⋅=∈ ⎪⎝⎭. ① ………………… (5分)进而, 有*11111,N 22n n n n n n nz z z z n z ++-+=⋅+==∈. ② 记*12,N m m T z z z m =+++∈ . 当*2,N m s s =∈时,利用②可得12212212212222223sm k kk k k k k k T z z z z z z ∞∞---===≥+-+>-+=-=∑∑∑. ………………… (10分)当*21,N m s s =+∈时,利用①、②可知2121222121211111111212222442s k k s s s s k k k s k s k s z z z ∞∞∞+----=+=+=+==⋅<====+∑∑∑,故12212212122223sm k k s k k k k T z z z z z z z ∞-+-==≥+-+->-+=∑∑.当1m =时, 1113T z ==>.以上表明3C =满足要求. ………………… (15分) 另一方面,当*1221221111,,,N 22k k k k z z z n ++-+--===∈时, 可验证{}n z 为有趣的复数数列. 此时()2112211131lim lim lim 11233sss k k s s s k k T z z z ++→∞→∞→∞==-=++=+=+⋅=∑, 这表明C不能大于3. 综上, 所求的C为3. ………………… (20分)2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时, 请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、步骤正确, 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 10分为一个档次, 不得增加其他中间档次.一、(本题满分40分) 如图, 在锐角ABC ∆中, M 是BC 边的中点. 点P 在ABC ∆内, 使得AP 平分BAC ∠. 直线MP 与,ABP ACP ∆∆的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E . 证明: 若DE MP =, 则2BC BP =.(答题时请将图画在答卷纸上)解: 延长PM 到点F , 使得MF ME =. 连接,,BF BD CE .由条件可知, BDP BAP CAP CEP CEM ∠=∠=∠=∠=∠. ………………… (10分)因为BM CM =且EM FM =, 所以BF CE =且//BF CE .于是F CEM BDP ∠=∠=∠, 进而BD BF =.………………… (20分)又DE MP =, 所以DP DE EP MP PE EM =+=+=,故DP FM =.于是, 在等腰BDF ∆中, 由对称性得BP BM =. 从而22BC BM BP ==. ………………… (40分)二、(本题满分40分) 设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =≤≤≤= . 记()()2222123201913243520172019f a a a a a a a a a a a a =++++-++++ ,求f 的最小值0f , 并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数.解: 由条件知()2017222221220182019212i i i f a a aaa a +==++++-∑. ①由于12,a a 及2,1,2,,2016i i a a i +-= 均为非负整数, 故有221122,a a a a ≥≥, 且()222,1,2,,2016i i i i a a a a i ++-≥-= .于是()()201620162221221222017201811i i i i i i a a aa a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑. ②………………… (10分)由①、②得()2222017201820192017201820192f a a a a a a ≥++-++,结合201999a =及201820170a a ≥>, 可知 ()()()2222201720172017201712999949740074002f a a a a ≥+-++=-+≥. ③ ………………… (20分)另一方面, 令()1219201920211920220191,1,2,,49,99k k a a a a a k k a +-+======== ,此时可验证上述所有不等式均取到等号, 从而f 的最小值07400f =. ………………… (30分)以下考虑③的取等条件. 此时2017201849a a ==, 且②中的不等式均取等号, 即{}1221,0,1,1,2,,2016i i a a a a i +==-∈= .因此122018149a a a =≤≤≤= , 且对每个()149k k ≤≤, 122018,,,a a a 中至少有两项等于k . 易验证这也是③取等的充分条件.对每个()149k k ≤≤, 设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +, 则k n 为正整数, 且()()()124911119202492018n n n ++++++=+⨯= ,即12491969n n n +++= .该方程组的正整数解()1249,,,n n n 的组数为49148196911968C C --=, 且每组解唯一对应一个使③取等号的数组()122019,,,a a a , 故使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 有481968C 个.………………… (40分)三、(本题满分50分) 设m 为整数, 2m ≥. 整数数列123,,a a a 满足: 12,a a 不全为零, 且对任意正整数n , 均有21n n n a a ma ++=-.证明: 若存在整数(),2r s r s >≥使得1r s a a a ==, 则r s m -≥. 证明: 不妨设12,a a 互素, 否则, 若()12,1a a d =>, 则1a d 与2a d 互素, 并且用312,,,a a a d d d代替123,,,a a a , 条件和结论均不改变.由数列的递推关系知()()()2123mod ,1,2,3,mod ,3,4,5,mod ,4,5,6,n n k s a a m n a a m k a a m s ++⎧≡=⎪≡=⎪⎨≡=⎪⎪⎩①以下证明: 对任意整数3n ≥, 有()()()22123mod n a a a n a m m≡-+-. ②………………… (10分)事实上, 当3n =时②显然成立. 假设n k =时②成立(其中k 为某个大于2的整数), 注意到①,有()212mod k ma ma m-≡. 结合归纳假设, 有()()()()21121223mod k k k a a ma a a k a m ma m +-=-≡-+--()()()()22122mod a a k a m m ≡-+-,即1n k =+时②也成立. 因此②对任意整数3n ≥均成立. ………………… (20分)注意, 当12a a =时, ②对2n =也成立.设整数(),2r s r s >≥, 满足1r s a a a ==. 若12a a =, 由②对2n ≥均成立, 可知()()()()()()222122123mod 3mod r s a a r a m m a a a a s a m m -+-≡=≡-+-,即()()()121233mod a r a a s a m +-≡+-, 亦即()()20mod r s a m -≡. ③若12a a =/, 则12r s a a a a ===/, 故3r s >≥. 此时由于②对3n ≥均成立, 故类似可知③仍成立. ………………… (30分)我们证明2,a m 互素.事实上, 假设2a 与m 存在一个公共素因子p , 则由①知, p 为234,,,a a a 的公因子, 而12,a a 互素, 故1|p a /, 这与1r s a a a ==矛盾.因此, 由③得()0mod r s m -≡. 又r s >, 所以r s m -≥. ………………… (50分) 四、(本题满分50分) 设V 是空间中2019个点构成的集合, 其中任意四点不共面. 某些点之间连有线段, 记E 为这些线段构成的集合. 试求最小的正整数n , 满足条件: 若E 至少有n 个元素, 则E 一定含有908个二元子集, 其中每个二元子集中的两条线段有公共端点, 且任意两个二元子集的交为空集.解: 为了叙述方便, 称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”.先证明一个引理: 设(),G V E =是一个简单图, 且G 是连通的, 则G 含有2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角(这里[]α表示实数α的整数部分).引理的证明: 对E 的元素个数E 归纳证明. 当0,1,2,3E =时, 结论显然成立. 下面假设4E ≥, 并且结论在E 较小时均成立. 只需证明, 在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角, 在G 中删去,a b 这两条边后, 剩下的图含有一个连通分支包含2E -条边. 对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立.考虑G 中的最长路12:k P v v v , 其中12,,,k v v v 是互不相同的顶点. 因为G 连通, 故3k ≥.情形1: ()1deg 2v ≥. 由于P 是最长路, 1v 的邻点均在2,,k v v 中, 设1i v v E ∈, 其中3i k ≤≤, 则{}121,i v v v v 是一个角, 在E 中删去这两条边. 若1v 处还有第三条边, 则剩下的图是连通的; 若1v 处仅有被删去的两条边, 则1v 成为孤立点, 其余顶点仍互相连通. 总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边.情形2: ()()12deg 1,deg 2v v ==. 则{}1223,v v v v 是一个角, 在G 中删去这两条边后, 12,v v 都成为孤立点, 其余的点互相连通, 因此有一个连通分支含有2E -条边.情形3: ()()12deg 1,deg 3v v =≥, 且2v 与4,,k v v 中某个点相邻. 则{}1223,v v v v 是一个角, 在G 中删去这两条边后, 1v 成为孤立点, 其余点互相连通, 因此有一个连通分支含有2E -条边.情形4: ()()12deg 1,deg 3v v =≥, 且2v 与某个{}13,,,k u v v v ∉ 相邻. 由于P 是最长路, 故u 的邻点均在2,,k v v 之中. 因{}122,v v v u 是一个角, 在G 中删去这两条边, 则1v 是孤立点. 若u 处仅有边2uv , 则删去所述边后u 也是孤立点, 而其余点互相连通. 若u 处还有其他边,3i uv i k ≤≤, 则删去所述边后, 除1v 外其余点互相连通. 总之, 剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边.引理获证. ………………… (20分) 回到原题, 题中的V 和E 可看作一个图(),G V E =. 首先证明2795n ≥.设{}122019,,,V v v v = . 在1261,,,v v v 中, 首先两两连边. 再删去其中15条边 (例如1213,v v v v ,116,v v ), 共连了261151815C -=条边, 则这61个点构成的图是连通图. 再将剩余的201961-=1958个点配成979对, 每对两点之间连一条边, 则图G 中一共连了181********+=条线段. 由上述构造可见, G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边, 因此至多有18159072⎡⎤=⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角. 故满足要求的n 不小于2795. ………………… (30分)另一方面, 若2795E ≥, 可任意删去若干条边, 只考虑2795E =的情形.设G 有k 个连通分支, 分别有1,,k m m 个点, 及1,,k e e 条边. 下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数.反证法, 假设1,,k e e 中有至少980个奇数, 由于12795k e e ++= 是奇数, 故1,,k e e 中至少有981个奇数, 故981k ≥. 不防设12981,,,e e e 都是奇数, 显然12981,,,2m m m ≥ .令9812k m m m =++≥ , 则有()229811980,i m i m k C e i C e e ≥≤≤≥++ , 故98022112795ik imm i i e C C===≤+∑∑. ①利用组合数的凸性, 即对3x y ≥≥, 有222211x y x y C C C C +-+≤+, 可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时, 980221imm i C C =+∑取得最大值. 于是 9802222592198026912795imm i C C C C =+≤+=<∑, 这与①矛盾, 从而1,,k e e 中至多有979个奇数. ………………… (40分)对每个连通分支应用定理, 可知G 中含有N 个两两无公共边的角, 其中()11119792795979908222kki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑.综上, 所求最小的n 是2795. ………………… (50分)。
2019年全国高中数学联赛试题及答案
说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC D 中，M 是BC 边的中点．点P 在ABC D 内，使得AP 平分BAC ．直线MP 与,ABP ACP D D 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点,D E ．证明：若DE MP =，则2BC BP =．证明：延长PM 到点F ，使得MF ME =．连接,,BF BD CE ．由条件可知BDP BAPCEP CEM === = ． ………………10分 因为BM CM =且EM FM =，所以BF CE =且//BF CE ．于是F CEM = = ，进而BD BF =． ………………20分 又DE MP =，故DP EM FM ==．于是在等腰BDF D 中，由对称性得BP BM =．从而22BC BM BP ==． ………………40分二、（本题满分40分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =£££=．记22212201913243520172019()()f a a a a a a a a a a a =+++-++++．求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组122019(,,,)a a a 的个数． 解：由条件知2017222221220182019212()i i i f a a aaa a +==++++-å．①由于12,a a 及2(1,2,,2016)i i a a i +-=均为非负整数，故有221122,a a a a ³³，且222()(1,2,,2016)i i i i a a a a i ++-³-=．于是201620162221221222017201811()()i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-³++-=+åå．②………………10分参考答案及评分标准 2019年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）由①、②得2222017201820192017201820192()f a a a a a a ³++-++， 结合201999a =及201820170a a ³>，可知()22220172017201712(99)992f a a a ³+-++22017(49)74007400a =-+³．③………………20分另一方面，令1219201920211920220191,(1,2,,49),99k k a a a a a k k a +-+========， 此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30分以下考虑③的取等条件．此时2017201849a a ==，且②中的不等式均取等，即121a a ==，2{0,1}(1,2,,2016)i i a a i +-Î=．因此122018149a a a =£££=，且对每个(149)k k ££122018,,,a a a 中至少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件对每个(149)k k ££，设122018,,,a a a 中等于k 1k n +，则k n 为正整数，且1249(1)(1)(1)2018n n n ++++++=124n n n +++=该方程的正整数解1249(,,,)n n n 的组数为1968，且每组解唯一对应一个使④取等的数组122019(,,,)a a a ，故使0f f =立的数组122019(,,,)a a a 有481968C 个．………………40分三、（本题满分50分）设m 为整数，2m ||³．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s (2)r s >³使得1r s a a a ==，则r s m ||-³．证明：不妨设12,a a 互素（否则，若12(,)1a a d =>，则1a d 与2ad互素，并且用123,,,a a a d d d代替123,,,a a a ，条件与结论均不改变）． 由数列递推关系知234(mod )a a a m || ººº．① 以下证明：对任意整数3n ³，有2212((3))(mod )n a a a n a m m º-+-．②………………10分事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有212(mod )k ma ma m -º，结合归纳假设知112122((3))k k k a a ma a a k a m ma +-=-º-+--2212((2))(mod )a a k a m º-+-，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ³均成立． ………………20分注意，当12a a =时，②对2n =也成立．设整数,(2)r s r s >³，满足1r s a a a ==． 若12a a =，由②对2n ³均成立，可知2212212((3))((3))(mod )r s a a r a m a a a a s a m m -+-º=º-+-，即1212(3)(3)(mod )a r a a s a m ||+-º+-，即2()0(mod )r s a m ||-º．③若12a a ¹，则12r s a a a a ==¹，故3r s >³．此时由于②对3n ³均成立，故类似可知③仍成立． ………………30分我们证明2,a m 互素．事实上，假如2a 与m 存在一个公共素因子p ，则由①得p 为234,,,a a a 的公因子，而12,a a 互素，故p 1a ，这与1r s a a a ==矛盾．因此，由③得0(mod )r s m ||-º．又r s >，所以r s m ||-³．………………50分四、（本题满分50分）设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面．某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合．试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集．解：为了叙述方便，称一个图中的两条相邻的边构成一个“角”．先证明一个引理：设(,)G V E =是一个简单图，且G 是连通的，则G 含有||2E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个两两无公共边的角（这里[]a 表示实数a 的整数部分）． 引理的证明：对E 的元素个数E 归纳证明．当0,1,2,3E =时，结论显然成立．下面假设4E ≥，并且结论在E 较小时均成立．只需证明，在G 中可以选取两条边,a b 构成一个角，在G 中删去,a b 这两条边后，剩下的图含有一个连通分支包含||2E -条边．对这个连通分支应用归纳假设即得结论成立．考虑G 中的最长路12:k P v v v ，其中21,,,k v v v 是互不相同的顶点．因为G 连通，故3k ≥．情形1：1deg()2v ≥．由于P 是最长路，1v 的邻点均在2,,k v v 中，设1i v v E ∈，其中3i k ≤≤．则121{,}i v v v v 是一个角，在E 中删去这两条边．若1v 处还有第三条边，则剩下的图是连通的；若1v 处仅有被删去的两条边，则1v 成为孤立点，其余顶点仍互相连通．总之在剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．情形2：1deg()1v =，2deg()2v =．则1223{,}v v v v 是一个角，在G 中删去这两条边后，12,v v 都成为孤立点，其余的点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形3：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与4,,k v v 中某个点相邻．则1223{,}v v v v是一个角，在G 中删去这两条边后，1v 成为孤立点，其余点互相连通，因此有一个连通分支含有2E -条边．情形4：1deg()1v =，2deg()3v ≥，且2v 与某个13{,,,}k u v v v ∈/ 相邻．由于P 是最长路，故u 的邻点均在2,,k v v 之中．因122{,}v v v u 是一个角，在G 中删去这两条边，则1v 是孤立点．若u 处仅有边2uv ，则删去所述边后u 也是孤立点，而其余点互相连通．若u 处还有其他边i uv ，3i k ≤≤，则删去所述边后，除1v 外其余点互相连通．总之，剩下的图中有一个连通分支含有2E -条边．引理获证． ………………20分 回到原题，题中的V 和E 可看作一个图(,)G V E =．首先证明2795n ≥．设122019{,,,}V v v v = ．在1261,,,v v v 中，首先两两连边，再删去其中15条边（例如1311216,,,v v v v v v ），共连了26115C 1815-=条边，则这61个点构成的图是连通图．再将剩余的2019611958-=个点配成979对，每对两点之间连一条边，则图G 中一共连了181********+=条线段．由上述构造可见，G 中的任何一个角必须使用1261,,,v v v 相连的边，因此至多有18159072⎡⎤⎢=⎥⎣⎦个两两无公共边的角．故满足要求的n 不小于2795． ………………30分另一方面，若2795E ≥，可任意删去若干条边，只考虑2795E =的情形．设G 有k 个连通分支，分别有1,,k m m 个点，及1,,k e e 条边．下面证明1,,k e e 中至多有979个奇数．反证法，假设1,,k e e 中有至少980个奇数，由于12795k e e ++= 是奇数，故1,,k e e 中至少有981个奇数，故981k ≥．不妨设12981,,,e e e 都是奇数，显然12981,,,2m m m ≥ ．令9812k m m m =++≥ ，则有2C 1980)(i m i e i ≥≤≤，2981C m k e e ≥++ ，故98022112795C C imk i i i m e ===≤+∑∑． ① 利用组合数的凸性，即对3x y ≥≥，有222211C C C C x y x y +-+≤+，可知当1980,,,m m m 由980个2以及一个59构成时，980221C C imm i =+∑取得最大值．于是 98022225921C C C 980C 26912795imm i =≤=<++∑， 这与①矛盾．从而1,,k e e 中至多有979个奇数． ………………40分对每个连通分支应用引理，可知G 中含有N 个两两无公共边的角，其中1111979(2795979)908222kki i i i e N e ==⎛⎫⎡⎤=≥-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑∑．综上，所求最小的n 是2795． ………………50分2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为 ．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 之和，则x 的值为 ．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是 ．答案：．解：不妨设(1,0)e ．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为 ． 答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为 ．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件． 当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ． 综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为 ．答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø． 化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）． 将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===． 由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===， 即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分 进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24y x =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=． 当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î． 当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分 当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å． 当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=， 这表明C不能大于3． 综上，所求的C为3． …………………20分。
2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)
全国高中数学联赛江苏赛区预赛试卷及详解一、填空题（本题共10小题，每小题7分，共70分）1.已知向量()()1,3,3,1AP PB ==-，则向量AP 与AB 的夹角等于 ．解一：由题设(1,3)(3,1)0AP PB ⋅=⋅-=，且||||AP PB =，故APB ∆为等腰直角三角形，从而向量AP 与AB 的夹角等于4π. 解二：因为(13,31)AB AP PB =+=-+，所以2cos ,2AB AP <>=，所以向量AP 与AB 的夹角等于4π. 2.已知集合()(){}|10A x ax a x =-->，且,3a A A ∈∉，则实数a 的取值范围是 ．解：有题设，知(21)(2)0(31)(3)0a a a a -->⎧⎨--≤⎩所以：122133a a a ⎧><⎪⎨⎪≤≤⎩或所以1132a ≤<或23a <≤3.已知复数2cossin33z i ππ2=+，其中i 是虚数单位，则32z z += ． 解：有题设32664413cosisin cos isin i 333322z z ππππ+=+++=-4.在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，P 是双曲线右支上一点，M 是2PF 的中点，且212,34OM PF PF PF ⊥=，则双曲线的离心率为．答案：5．5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -．若函数2log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,2，则区间[],a b 的长度的最大值与最小值的差为 ．答案：3.6.若关于x 的二次方程()()221200mx m x m m +--+=>的两个互异的根都小于1，则实数m 的取值范围是 ．答案：37,.4⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭7.若3tan 43x =，则sin 4sin 2sin sin cos8cos4cos4cos2cos2cos cos x x x xx x x x x x x+++= ．答案： 3.8.棱长为2的正方体ABCD -1111A B C D 在空间坐标系O -xyz 中运动，其中顶点A 保持在z 轴上，顶点1B 保持在平面xOy 上，则OC 长度的最小值是 ．答案：6 2.- 9.设数列12321,,,,a a a a 满足：()111,2,3,,20n n a a n +-==，1721,,a a a 成等比数列．若1211,9a a ==，则满足条件的不同的数列的个数为 ．答案：15099．10.对于某些正整数n ，分数2237n n ++不是既约分数，则n 的最小值是 ．答案：17. 二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分） 11.设数列{}n a 满足：①11a =，②0n a >，③2*11,.1n n n na a n N na ++=∈+ 求证：（1）数列{}n a 是递增数列；（2）对如图任意正整数n ，111.nn k a k=<+∑证明：（1）因为2111111,11n n n n n n n na a a a a na na ++++++-=-=++且0n a >， 所以10n n a a +->．所以*1,.n n a a n N +>∈ 所以数列{}n a 是递增数列．（2）因为111111,1n n n n n n a a a a na na n+++++-=<=+所以当2n ≥时，()()()112211111111122111.n n n n n nk a a a a a a a a n n k ---==-+-++-+<+++++--<+∑又1111,a =<+所以对任意正整数n ，111.nn ka k=<+∑12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，直线:30.l x y a +-=若椭圆E ，原点O 到直线l 的距离为 （1）求椭圆E 与直线l 的方程；（2）若椭圆E 上三点()(),0,,,0P A b B a 到直线l 的距离分别为123,,d d d ， 求证：123,,d d d 可以是某三角形三条边的边长． 解：（1）由题设条件得222,ca b c a =⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎩，从而2,1.ab =⎧⎨=⎩故所求的椭圆22:14x E y +=．直线:60.l x y +-=（2）设()2cos ,sin P θθ，则16d -+==其中tan 2.ϕ=1d ≤≤又23d d === 故21.d d >因为231,d d d +=+>≥ 131.d d d ++=>= 所以123,,d d d 可以是某个三角形的三条边的边长．13.如图，圆O 是四边形ABCD 的内切圆，切点分别为,,,,P Q R S OA 与PS 交于点1,A OB 与PQ 交于点1B ，OC 与QR 交于点1C ，OD 与SR 交于点1D ． 求证：四边形1111A B C D 是平行四边形．OD 1C 1B 1A 1SRQPDCBA证明：连接,.PR QSBA因为圆O 是四边形ABCD 的内切圆，所以OA 是SAP ∠的平分线，且.AP AS = 在△ASP 中，由三线合一，点1A 是线段PS 的中点． 同理点1B 是线段PQ 的中点，所以11//A B SQ ．同理1111//A D B C ．所以四边形1111A B C D 是平行四边形． 14.求满足373x x y y -=-的所有素数x 和.y 解：满足题设条件的素数只有5, 2.x y == 假设5,y ≥则()736365365436543265206706152015611.y y y y y y y y y y y y y y y y y y -≥-≥+-≥++->++++++=+ 所以，()633731,x x x y y y >-=->+即()21.x y >+又因为()()()37332|111x x x y y y y y y -=-=-++，且x 为素数， 而()221111,y y y y y x -<<+<+<+<从而()()()32\|111,x y y y y -++ 这与73|x y y -矛盾．所以 5.y <因为y 是素数，所以2,y =或 3.y =当2y =时，3120x x -=，即()()255240,x x x -++=所以 5.x = 当3y =时，343216023 5.x x -==⋅⋅ 所以2,x =或3x =，或 5.x =经检验，2x =，或3x =，或5x =时，34323 5.x x -≠⋅⋅ 所以满足条件的素数只有5, 2.x y ==。
2019全国高中数学联赛试题(含答案)4
一一、填空题（本题共 10 小小题，每小小题 7 分，共 70 分．要求直接将答案写在横线上．）
1．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{ x| x－a≥1}，且 A∩ B＝{x|x≥3}，则实数
a 的值是
．
答案：2．
解：A＝{x|x≥2 或 x≤1}，B＝{ x| x≥a＋1}．又又 A∩ B＝{x|x≥3}，故 a＋1＝3，
．
673
答案：1512．
解：由 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，得
f(n＋12)－f(n)≤f(n＋12)－f(n＋8)＋f(n＋8)－f(n＋4)＋f(n＋4)－f(n)
≤2[(n＋9)＋(n＋5)＋(n＋1)]＝6(n＋5)．
又又 f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，
所以 f(n＋12)－f(n)＝6(n＋5)，故 f(n＋4)－f(n)＝2(n＋1)．
A1 B1
E
D1
C1
所以体积
＝
．
又又 A1E＝2ED1，DF＝2FC，所以 CG＝1ED1＝1， 39
所以
＝
＝1×1×10×1×1＝ 5 ．
32 9
27
D A
F
B
CG
7．设 f(x)是定义在 Z 上的函数，且对于任意的整数 n，满足足 f(n＋4)－f(n)≤2(n＋1)，
f(n＋12)－f(n)≥6(n＋5)，f(－1)＝－504，则 f(2019) 的值是
8
8
10．设 f(x)＝2x3＋8x2＋5x＋9，g(x)＝2x2＋8x＋1．当 n∈ N*时，则 f(n) 与 g(n) 的最大大公因数
2019年全国高中数学联赛A卷及解析
2019年全国高中数学联赛A 卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题1.已知正实数满足8(9)a a a =，则log (3)a a 的值为_____________.2.若实数集合{1，2，3，x }的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为______ .3.平面直角坐标系中，e 已是单位向量，向量a 满足2a e ⋅=，且2||a 5||a te +对任意实数t 成立，则||a 的取值范围是______ .4.设A 、B 为椭圆Γ的长轴顶点，E 、F 为Γ的两个焦点，||4AB =，||2AF =P 为上一点，满足||||2PE PF ⋅=，则△PEF 的面积为______ .5.在1，2，3，…，10中随机选出一个数a 在－1，－2，－3，…，－10中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为______ .6.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值.若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为______ .7.如图，正方体ABCD －EFGH 的一个截面经过顶点A 、C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3：1的两部分，则EKKF的值为______ .8.将6个数2、0、1、9、20、19按任意次序排成一行，拼成一个8位数(首位不为0)，则产生的不同的8位数的个数为______ .二、解答题CA =b ，AB =c .若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin(B －A )与sin C的等差中项，求cos B 的值.10.在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线2:4y x Γ=恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.11.称一个复数数列{z n }为“有趣的”，若|z 1|=1，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=.求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{z n }及任意正整数m ，均有12mz z z C +++.12.如图，在锐角△ABC 中，M 是BC 边的中点点P 在△ABC 内，使得AP 平分∠BAC .直线MP 与△ABP 、△ACP 的外接圆分别相交于不同于点P 的两点D 、E .证明：若DE =MP ，则BC =2BP .13.设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a ==.记()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =+++-++++.求f 的最小值f 0.并确定使f =f 0成立的数组()122019,,,a a a 的个数. 14.设m 为整数，||2m .整数数列12,,a a 满足：12,a a 不全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-.证明：若存在整数r 、s (r >s ≥2)使得1r s a a a ==，则r s m -. 15.设V 是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面某些点之间连有线段，记E 为这些线段构成的集合.试求最小的正整数n ，满足条件：若E 至少有n 个元素，则E 一定含有908个二元子集，其中每个二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为空集.参考答案1.916【解析】1.将已知等式8(9)aaa a =，两边同取以e 为底的对数，求出ln a ，利用换底公式，即可求解.8(9)a a a a =，8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==，160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-， ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 2.32-【解析】2.不妨设0x ≥，可得最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，得到0x <，列出方程，即可求解.不妨设0x ≥，可得最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件，所以0x <，即x 为最小元素， 于是3123x x -=+++，解得32x =-.3.【解析】3.不妨设(1,0)e =，根据2a e ⋅=，可设(2,)a y =，由题意得出24y +≤恒成立，进而得到245||y y +≤，解得||[1,4]y ∈，即可求解。
2019年全国高中数学联赛A卷一试(含附加)参考答案与评分标准
为 0），则产生的不同的 8 位数的个数为
．
答案： 498 ．
解：将 2, 0, 1, 9, 20, 19 的首位不为 0 的排列的全体记为 A ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分．
1. 已知正实数 a 满足 aa = (9a)8a ，则 loga (3a) 的值为
．
答案： 9 ． 16
1
解：由条件知 9a = a8 ，故 3a =
9a ⋅a
=
9
a 16
，所以 loga (3a)
=
9 16
．
2. 若实数集合{1, 2, 3, x} 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素
所以 EPF
为直角，进而 SDPEF
=
1⋅ 2
PE
⋅
PF
=1．
5. 在1, 2, 3, , 10 中随机选出一个数 a ，在-1, - 2, -3, , -10 中随机选出一
个数 b ，则 a2 + b 被 3 整除的概率为
．
答案：
37 100
．
解：数组 (a, b) 共有102 =100 种等概率的选法．
台．不妨设正方体棱长为 1，则正方体体积为 1，结合条件知棱台 ABC - KFL 的
体积V = 1 ．
4
P
设
PF
=
h
，则
KF AB
=
FL BC
=
PF PB
=
h
h +1
．注意到
PB,
PF
E
H K
G L
分别是棱锥 P - ABC 与棱锥 P - KFL 的高，于是
2019年全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案) 精品
各省数学竞赛汇集高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为__18___.2、在ABC ∆中，已知12,4,AC BC AC BA ⋅=⋅=-则AC =___4____.3、从集合{}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为_____310_______. 4、已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ∆的面积为，则直线的斜率为___12____.6、已知a 是正实数，lg a ka =的取值范围是___[1,)+∞_____.7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的体积为____________.8、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___.（*n N ∈）9、将27,37,47,48,557175，，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种.10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为__24___.二、解答题（本题80分，每题20分）11、在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，证明： （1）cos cos b C c B a +=（2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12、已知,a b为实数，2a >，函数()|ln |(0)af x x b x x=-+>.若(1)1,(2)ln 212ef e f =+=-+. （1）求实数,a b ； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数,c d 满足,1c d cd >=，求证：()()f c f d <13、如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM上有一动点B ,1,1AB OB =>.线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点.求线段CD 长的取值范围.14、设是,,,a b c d 正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根.证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形.2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题Word版含答案
2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.若数列{}n a 满足*+∈+==N n a a a a n n n ,232,2111，则2017a 的值为 ． 2.若函数()()()b ax x x x f ++-=221对于任意R x ∈都满足()()x f x f -=4，则()x f 的最小值是 ．3.在正三棱柱111C B A ABC -中，E D ,分别是侧棱11,CC BB 上的点，BD BC EC 2==，则截面ADE 与底面ABC 所成的二面角的大小是 ．4.若13cos 2cos cos 3sin 2sin sin =+x x x x x x ，则=x ．5. 设y x ,是实数，则9422244+++y x y x 的最大值是 ． 6. 设 ,3,2,1,,,2121=+++=∈+++=*m a a a S N n n a m m n ,则201721,,,S S S 中能被2整除但不能被4整除的数的个数是 ．7. 在直角平面坐标系xOy 中，21,F F 分别是双曲线()01222>=-b b y x 的左、右焦点，过点1F 作圆122=+y x 的切线，与双曲线左、右两支分别交于点B A ,，若AB B F =2，则b 的值是 ．8. 从正1680边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形，其中正多边形的个数为 ．二、解答题9.已知R y x ∈,，且y x y x ≠=+,222，求()()2211y x y x -++的最小值. 10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆13:22=+y x C 的上顶点为A ，不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于Q P ,两点，且.0=⋅（1）直线l 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.（2）过Q P ,两点分别作椭圆的切线，两条切线交于点B ，求BPQ ∆面积的取值范围.11.设函数().!1!2112n n x n x x x f ++++= （1）求证：当()*∈+∞∈N n x ,,0时，()x f e n x >；（2）设*∈>N n x ,0，若存在R y ∈使得()()y n n x e x n x f e 1!11+++=，求证：.0x y <<2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题参考答案与评分标准加试1. 已知圆O 的内接五边形ABCDE 中AD 与BE 相交于点CF F ,的延长线交圆O 于点P ，且.ED BC CD AB ⋅=⋅求证：.AE OP ⊥2.设y x ,是非负实数，22,+++=+=y x b y x a ，若b a ,是两个不相邻的整数，求b a ,的值，3.平面上n 2个点()N n n ∈>,1，无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意12+n 条线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有n 个.4.设n 为正整数，nn b a n =++++131211 ， 其中n n b a ,为互素的正整数，对素数p ，令集合{}n p a p N n n S ,*∈=， 证明：对每一个素数5≥p ，集合p S 中至少有三个元素.2019年全国高中数学联赛江苏赛区复赛试题答案 1.30261 2. 16- 3. 045 4.Z k k ∈,π 5.146.2527.1 二、解答题9.解：因为222=+y x ，所以()()422=-++y x y x ， 所以()()()()()()()222222114111y x y x y x y x y x y x -++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-++ ().111412=+≥ 当0,2==y x 时，()().11122=-++y x y x 所以()()2211y x y x -++的最小值为.1 10.解：（1） 因为0=⋅，所以.⊥直线AQ AP ,与x 轴平行时，P 或Q 与A 重合，不合题意.设1:+=kx y PA ，则.11:+-=x k y QA 将1+=kx y 代入3322=+y x ，得().063122=++kx x k 所以2262, 1.1313P P k x y k k =-=-++ 同理.361,3622+-=+=k y k k x Q Q所以，直线:P P Q P Q P y y x x l y y x x --=--,即()()()()()()k x k k x k y k y k l Q Q 63163121312131:2222++++=-++-++， 化简得.2141:2--=x k k y l 直线l 纵截距是常数21-，故直线l 过定点.21,0⎪⎭⎫ ⎝⎛- （2）由 （1） ，223116k k k AP ++=，同理，.31622++=k k AQ 所以 ()()()()()()()()222222222222222223313131363131136+++++⋅+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++⋅+=k k k k k k k k k k PQ()()().3103115151362242462++++++=k k k k k k 不妨设0>k ，令k k t 1+=，则2≥t ，可化得()()22222431236++=t t t PQ ， 即 .4312622++=t t t PQ 设()00,y x B ，则切点弦PQ 的方程是3300=+y y x x ，又Q P ,在2141:2--=x k k y l 上，所以20-=y ， 从而().21320kk x -= 所以B 到PQ 的距离.122316121213222222+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t k k k k d 因此的面积().43294312612232121232222+=++⨯+⨯=⨯⨯=t t t t t t t PQ d S 令t u 1=，则210≤<u ，化得().34293u u S +=当210≤<u 时，u u 343+递增， 所以23403≤+<u u ，即49≥S ，当且仅当21=u ，即1,2==k t 时，等号成立， 故BPQ ∆的面积S 的取值范围是.,49⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞ 11.解： （1） 用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1=n 时，令()()11--=-=x e x f e x f x x ，则()()+∞∈>-=',0,01x e x f x 恒成立， 所以()x f 在区间()+∞,0为增函数，又因为()00=f ，所以()0>x f ，即().1x f e x >（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，()x f e k x >，则1+=k n 时，令()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++-=-=++121!11!1!211k k x k x x k x k x x e x f e x g ， 则()()0!1!2112>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-='x f e x k x x e x g k x k x ，所以()x g 在区间()+∞,0为增函数， 又因为()00=g ，所以()()+∞∈>,0,0x x g 恒成立，即()()+∞∈>+,0,1x x f e k x ，所以1+=k n 时，命题成立.由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设可知，*∈∀N n ，当()+∞∈,0x 时，().x f e n x > （2）由（1）可知()x f e n x 1+>，即()()()()11!11!11++++>++n n y n n x n x f e x n x f ， 所以1>y e ，即0>y ，下证：.x y < 下面先用数学归纳法证明：当().,!1!11!211,012*-∈+-++++<>N n e x n x n x x e x x n n x （ⅰ）当1=n 时，令()xx e xe x F -+=1，则()()+∞∈>=',0,0x xe x F x ， 所以()x F 在区间()+∞,0单调增，又()00=F ，故()0>x F ，即.1x x xe e +<（ⅱ）假设k n =时，命题成立，即当()+∞∈,0x 时，().!1!11!21112k k k x e x k x k x x e +-++++<- 则当1+=k n 时，令()()x x k k e e x k x k x x x G -++++++=+12!11!1!211 ， ()()()0!11!11!1!211112>+>-++++++='++x k x x k x k e x k e e x k e x k x x x G ， 所以()x G 在区间()+∞,0上为增函数，又()00=G ，故()0>x G ，即()()+∞∈++++++<+,0,!11!1!21112x e x k x k x x e x k k x . 由（ⅰ）（ⅱ）及归纳假设，可知当()+∞∈,0x 时，(),!11!1!21112x n n x e x n x n x x e +++++++< 对*∈N n 成立， 所以()()x n n y n n x e x n x n x x e x n x n x x e 1212!11!1!211!11!1!211++++++++<++++++= ， 从而x y e e <即x y <，证毕.复赛加试答案1.证明：连接.,PE PA因为五边形ABCDE 内接于圆O ，所以EDF ABF DEF BAF ∠=∠∠=∠,,所以EDF ABF ∆∆~, 所以.FDFB ED AB = ① 同理，BFPF BC PE =, ② .PFDF PA DC = ③ 由①⨯②⨯③得.1=⋅⋅PADC BC PE ED AB 因为ED BC CD AB ⋅=⋅,所以.1=⋅ED DC BC AB 所以PA PE =，即点P 是弧AE 的中点，所以.AE OP ⊥2.解：因为b a ,是不相邻的整数， 所以()()()y y x x y x y x a b -++-+=+-+++=-≤22222 .32222222222<=+≤+++++=y y x x 由于a b -是整数，所以.2=-a b设Z n n b n a ∈+=-=,1,1，即122,1+=+++-=+n y x n y x ， 则122,1+=+-+--=--n y x y x n y x y x ， 则122,1+-=+-+--=-n y x y x n y x y x ， 于是1122,112+-++=+--+-=n y x n x n y x n x ， 从而()()()()()()y x n x n y x n x n -++=++-+-=-221212,112， 故()().2121++=+-x n n x n 又因为()().2222=-+x x ① 令x t =，得()1212++-=+n n t n x ，代入①得 ()()01212222=-----n n t n n nt ， 于是()()()()()()n n n n n n n n n n n n n n t x 221141281412222-+±-=--+-±-==， ()()()nn n n n n x n y 22111-+±-=--=， 因此，2≥n ，并且()()()211-+≥-n n n n n ，即0122≤--n n ，解之得2121+≤≤-n ，从而212+≤≤n ，且Z n ∈，故.2=n所以.3,1==b a3. 证明：首先证明一定存在红色三角形（三边均为红色的三角形为红色三角形，下同）. 设从顶点A 出发的红色线段最多，由A 引出的红色线段为k AB AB AB ,,,21 ，则.1+≥n k若k B B B ,,21 中存在两点，不妨设为21,B B 使线段21B B 为红色线段，则21B AB ∆为红色三角形，若k B B B ,,,21 相互之间没有红色线段相连，则从()k i B i ,,2,1 =出发的红色线段最多有k n -2条，所以这n 2个点红色线段最多有()()[]()().142212221222+<=-+≤-=--+-+n n k n k k n k k n k n k k 与题设矛盾，所以存在以A 为顶点的红色三角形，下面用数学归纳法证明，（1）当2=n 时，平面上有四个点D C B A ,,,中两两连线共有6条，其中有5条为红色，只有一条非红色，设为,AB则ACD ∆与BCD 均为红色三角形，命题成立，（2）假设k n =时，命题成立，即至少存在k 个红色三角形，当1+=k n 时，有22+k 个点，且有()112++k 条红色线段， 一定存在一个红色三角形，设为.ABC ∆考察从C B A ,,引出的红色线段分别记为()()()C d B d A d ,,条，不妨设()()().C d B d A d ≤≤ 若()()22+≤+k B d A d ，则除去点B A ,余下的k 2个点之间至少有()()11211222+=+-++k k k ,由归纳假设可知存在至少k 个红色三角形，再加上ABC ∆至少有1+k 个红色三角形，若()()32+≥+k B d A d ，则()()()53+≥++k C d B d A d ,故从C B A ,,出发向其它12-k 个点引出红色线段至少有13-k 条，因为()().1213k k k =---这()13-k 线段至少有k 对线段有公共点（不包括C B A ,,）故至少存在k 个红色三角形，再加上ABC ∆，则至少有1+k 个红色三角形，所以1+=k n 时命题也成立，由（1）（2）可知，当N n n ∈>,1时，n 2点之间的12+n 条红色线段至少可组成n 个红色三角形.4.证明：引理：设5≥p 为素数，k 为非负整数，令k k s t p kp kp kp =-++++++112111 ， 其中k k s t ,为互素的正整数，那么.2k t p引理的证明： 因为()()()∑∑∑-=-=-=-++⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+=111111*********p i p i p i k k i p kp i kp p k i p kp i kp i kp S t , 令()()∑-=-++=111p i i p kp i kp A , 因为素数5≥p ，由Fermat 小定理，以及()()p p k k k mod 0121≡-+++ ,其中 21-≤≤p k ，有()()()()A p kp kp kp p 1121--+++ ()()()()()()()∑∑-=---=--≡-++-+++=1122111121p i p p p i p i p i i p kp i kp p kp kp kp ().mod 01131142p i ip i p p i p ≡-≡-≡∑∑-=--=- 所以()()()()().1211*-∈=-+++N M pM A p kp kp kp p 即()()()()().12121212--++++=p k k p kp kp kp M p k S t 因为()()()()()11212,1=-+++-p p kp kp kp p ， 所以k t p 2，引理证毕， 由引理得，12-p a p ，所以1-p a p ， 从而()p S p p ∈-1，又∑∑∑∑∑-=---=-=-=-=--+⋅=++==1011101111112121111112p k k k p p p k p i p i p i p p s t b a p i kp i p i b a ， 因为k p t p a p 212,-，所以12-p a p从而.12p S p ∈-因为()1112-<-<-p p p p ，所以集合p S 中元素至少有3个.。
2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛市选试题及参考答案
2019年年全国⾼高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则⼀一、填空题（本题共10⼩小题，每⼩小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{x |x －a ≥1}，且A ∩B ＝{x |x ≥3}，则实数a 的值是．答案：2．解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{x |x ≥a ＋1}．⼜又A ∩B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，解得a ＝2．2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为．答案：3．解：由题意知，这三条直线中恰有两条平⾏行行时符合题意，故a ＝1或2，从⽽而实数a 的值的和为3．3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不不同的数，并从⼩小到⼤大排成⼀一数列列，此数列列为等⽐比数列列的概率为．答案：121．解：满⾜足条件的等⽐比数列列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．故所求概率P ＝4C 39＝121．4．设a ，b ∈[1，2]，则a 2＋b 2ab的最⼤大值是．答案：52．解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )(a －2b )≤0，展开得a 2＋b 2≤52ab ，即a 2＋b 2ab ≤52．且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab的最⼤大值为52．5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂⾜足为E ，则(AD →·AE →)(CB →·CA →)的最⼤大值是．答案：427．解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ，AB则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，于是(AD →·AE →)(CB →·CA →)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ＝12sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2θ3)3＝427，等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝2时成⽴立，故最⼤大值为427．6．在棱⻓长为1的正⽅方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是．答案：527．解：如图，过F 作EC 1的平⾏行行线交BC 的延⻓长线于G ，则FG ∥平⾯面BEC 1．从⽽而G 与F 到平⾯面BEC 1的距离相等，所以体积＝．⼜又A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝19，所以＝＝13×12×109×1×1＝527．7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满⾜足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则f (2019)673的值是．答案：1512．解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．⼜又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，所以f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．因此f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504＝2020×504－504＝2019×504．所以f (2019)673＝1512．8．函数f (x )＝x 2＋xx 2－3的值域是．A 1C DAEBD 1B FC 1G答案：(32，＋∞)．解：原函数的定义域是(－∞，－3］∪［3，＋∞)．当x ∈［3，＋∞)时，函数f (x )＝x 2＋xx 2－3为增函数，所以f (x )≥3；当x ∈(－∞，－3］时，f (x )＝x 2＋x x 2－3＝x (x ＋x 2－3)＝3xx －x 2－3＝31+1－3x2，因为x ∈(－∞，－3］，所以1≤1＋1－3x 2＜2，32＜31+1－3x 2≤3．故原函数的值域是(32，＋∞)．9．已知△ABC 中，AC ＝8，BC ＝10，32cos(A －B )＝31，则△ABC 的⾯面积是．答案：157．解：由正弦定理理，得10sin A ＝8sin B ＝2sin A －sin B ＝18sin A +sin B，由32cos(A －B )＝31，可得tanA +B2＝9tan A －B 2＝9·1－cos(A －B )1＋cos(A －B )＝9·163＝37，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝2tanA ＋B 21＋tan 2A ＋B2＝378，即△ABC 的⾯面积S ＝157．另解：由题设知，∠BAC ＞∠B ，作∠BAD ＝∠B ，D 在线段BC 上．则∠CAD =∠A －∠B ．设AD ＝x ，则BD ＝x ，DC ＝10－x ，由余弦定理理，得(10－x )2＝x 2＋64－2×8x ×3132，解得x ＝8，则DC ＝10－x ＝2，由此可得cos C ＝18，sin C ＝378，则△ABC 的⾯面积S ＝157．10．设f (x )＝2x 3＋8x 2＋5x ＋9，g (x )＝2x 2＋8x ＋1．当n ∈N *时，则f (n )与g (n )的最⼤大公因数(f (n )，g (n ))的最⼤大值为．答案：55．ABC Dx解：(f (n )，g (n ))＝(2n 3＋8n 2＋5n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2＋8n ＋1)＝(4n ＋9，2n 2－17)＝(4n＋9，4n 2－34)＝(4n ＋9，－9n －34)＝(4n ＋9，－n －16)＝(55，n ＋16)≤55．当n ＝39时，(55，n ＋16)＝(55，55)＝55．因此(f (n )，g (n ))的最⼤大值为55．⼆二、解答题（本⼤大题共4⼩小题，每⼩小题20分，共80分）11．在平⾯面直⻆角坐标系xOy 中，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－9＝1(a ＞3)．（1）过椭圆C 的左焦点，且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若MN ＝9，求实数a 的值；（2）若直线l ：xa ＋y a －3＝1与椭圆C 交于A ，B 两点，求证：对任意⼤大于3的实数a ，以AB 为直径的圆过定点，并求定点坐标．解：（1）记椭圆C ：x 2a 2＋y 2a 2－9＝1的左焦点为F ，则点F 的横坐标为－3．因为过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，MN ＝9，所以M (－3，92)，N (－3，－92)，……………………5分从⽽而9a 2＋814(a 2－9)＝1．解得a 2＝36或a 2＝94．因为a ＞3，所有a ＝6．……………………10分（2＋y a －3＝1，＋y 2a 2－9＝1得A (a ，0)，B (－3，a 2－9a)．……………………15分从⽽而以AB 为直径的圆的⽅方程为(x －a )(x ＋3)＋y (y －a 2－9a )＝0，即(x ＋y ＋3)a 2－(x 2＋3x ＋y 2)a－9y ＝0．由＋y ＋3＝0，2＋3x ＋y 2＝0，9y ＝0，＝－3，＝0．故以AB 为直径的圆过定点(－3，0)．……………………20分12．在数列列{a n }中，已知a 1＝1p ，a n ＋1＝a n na n ＋1，p ＞0，n ∈N *．（1）若p ＝1，求数列列{a n }的通项公式；（2）记b n ＝na n ．若在数列列{b n }中，b n ≤b 8(n ∈N *)，求实数p 的取值范围．解：（1）因为a n ＋1＝a n na n ＋1，a 1＝1p ＞0，故a n ＞0，1a n ＋1＝1a n＋n ，因此1a n ＝(n －1)＋(n －2)＋…＋1＋p ＝n 2－n ＋2p 2，即a n ＝2n 2－n ＋2p ．因为p ＝1，所以a n ＝2n 2－n ＋2．……………………5分（2）b n ＝na n ＝2nn 2－n ＋2p ．……………………10分在数列列{b n }中，因为b n ≤b 8(n ∈N *)，所以b 7≤b 8，b 9≤b 8≤828＋p，≤828＋p ，解得28≤p ≤36．……………………15分⼜又b n ＝2nn 2－n ＋2p ＝2n ＋2p n －1，且7＜56≤2p ≤72＜9，所以b n 的最⼤大值只可能在n ＝7，8，9时取到．⼜又当28≤p ≤36时，b 7≤b 8，b 9≤b 8，所以b n ≤b 8．所以满⾜足条件的实数p 的取值范围是[28，36]．……………………20分13．如图，在凸五边形ABCDE 中，已知∠ABC ＝∠CDE ＝∠DEA ＝90°，F 是边CD 的中点，线段AD ，EF 相交于点G ，线段AC ，BG 相交于点M ．若AC ＝AD ，AB ＝DE ，求证：BM ＝MG ．证明：因为AC ＝AD ，F 是边CD 的中点，连AF ，则AF ⊥CD ．⼜又∠CDE ＝∠DEA ＝90°，故四边形AEDF 是矩形．……………………5分ABCDEF MG（第13题图）所以△ACF ≌△ADF ≌△EFD ．因此∠EFD ＝∠ACF ，从⽽而EF ∥AC ．……………………10分⼜又因为AB ＝DE ，所以△ACB ≌△EFD ，因此△ACB ≌△ACF ，故AB =AF ，CB =CF ．连BF ，BF 交AC 于N ，AC 垂直平分线段BF ，BN ＝NF ．………15分线段AC ，BG 相交于点M ，因为EF ∥AC ，由平⾏行行截割定理理，BM ＝MG ．……………………20分14．如图，P k (k ＝1，2，3，…，100)是边⻓长为1的正⽅方形ABCD 内部的点．E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，记d 1＝∑100k =1EP k ，d 2＝∑100k =1FP k ，d 3＝∑100k =1GP k ，d 4＝∑100k =1HP k ．证明：d 1，d 2，d 3，d 4中⾄至少有两个⼩小于81．证明：如图建⽴立坐标系，以点F ，H 为焦点作经过点A 的椭圆．由对称性，正⽅方形ABCD 为椭圆的内接正⽅方形．P k (k =1，2，3，…，100)在正⽅方形ABCD 内部，则也在椭圆内部．……………………5分椭圆⻓长轴⻓长2a ＝AH ＋AF ＝1+52＜1.62，延⻓长HP k 交椭圆于点Q k ，连FQ k ，则HP k ＋FP k ＜HP k ＋P k Q k ＋FQ k ＝HQ k ＋FQ k ＜1.62，其中k ＝1，2，3，…，100．………………15分所以d 2＋d 4＝∑100k =1HP k ＋∑100k =1FP k ＝∑100k =1(HP k ＋FP k )＜162，所以min{d 2，d 4}＜81．同理理min{d 1，d 3}＜81．所以d 1，d 2，d 3，d 4中⾄至少有两个⼩小于81．……………………20分BACDFHG E P 1P 100P k（第14题图）ABCDEF MG（第13题图）N。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(江苏卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sincossin sin 2cossin2222cos cos 2cos coscos cos 2sinsin2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n kn n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()xy x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x=-（3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A（B（C（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为（A）)33B π++ （B）)36B π++（C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016 （8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β； ③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80 （10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79（11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0 参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
2019年预赛试题及解答(全)
中南传媒湖南新教材杯二Ｏ一九年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷一、填空题（共10小题，每小题7分，满分70分。
请直接将答案写在题中的横线上） 1、已知2a ≥-，且{}2A x x a =-≤≤，{}23,B y y x x A ==+∈，{}2,C t t x x A ==∈，若C B ⊆，则a 的取值范围是 . 答案：1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：[]1,23B a =-+，要使C B ⊆，只需C 中的最大元素在B 当中，所以()22223,23a a a ⎧-≤+⎪⎨≤+⎪⎩，得132a ≤≤ 2、ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ,O 为ABC ∆的外心，已知22b 20bc -+=，BC AO ⋅uu u r uuu r的取值范围是 . 答案：124⎛⎫⎪⎝⎭-， 解析：延长AO 交ABC ∆的外接圆于D ,BC AO ⋅uu u r uuu r =1122AO AC AO AB AD AC AD AB ⋅-⋅=⋅-⋅uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uu u r ()221b 2c =-211=,24b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭又2220,(0,2),c b b b =-+>∴∈∴Q BC AO ⋅uu u r uuu r ∈124⎛⎫⎪⎝⎭-， 3、已知434log ,log 4,log 5,a e b c ===则a ，b ，c 的大小关系是 . 答案：a c b <<解析：1a <， 22244444443log 5log 5log 3log 15log 16log 5log 31log 4222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅<=<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a cb ∴<<4、若方程1a x=-有实数解，则实数a的取值范围是.答案：[0,2]=，把右边看作点(x到直线10x y-+=的距离，由于单位圆上半部分的点到该直线的距离的取值范围是，所以实数a的取值范围是[0,2].5、在数列}{na中，1a＝2，)(1*1Nnaann∈=++，设nS为数列}{na的前n项和，则2017201820192S S S-+的值为．答案：3解析：当n为偶数时，123411-+=+==+=Ln na a a a a a，故2nSn=当n奇数时，21=a，234511-+=+==+=Ln na a a a a a，故23212+=-+=nnSn故20172018201921010201810113S S S-+=-+=.6、在复平面内，复数123,,z z z的对应点分别为123,,Z Z Z,若1212z z OZ OZ==⋅=uuu r uuu r，1232z z z+-=，则3z的取值范围是.答案：[]0,4解析：由题意知，12,Z Z为半径的圆上，不妨设)(12,Z Z，则12z z+对应点坐标为Z，1232z z z+-=的几何意义为复平面内到点Z距离为2的点的集合，数形结合可知，3z的取值范围是[]0,4.7、已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x，x>1，12x＋12，x≤1，若m<n，且f(m)＝f(n)，则n－m的最小值是.答案：3－2ln 2解析：作出函数f(x)的图象如图所示，若m<n，且f(m)＝f(n)，则当ln x＝1时，得x＝e.因此1<n≤e，－1<m≤1.又ln n＝12m＋12，即m＝2ln n－1.所以n－m＝n－2ln n＋1.设h(n)＝n－2ln n＋1(1<n≤e)，则h′(n)＝1－2n.当h′(n)>0，得2<n≤e；当h′(n)<0，得1<n<2.故当n＝2时，函数h(n)取得最小值h(2)＝3－2ln 2.8、已知椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为F 1、F 2，过椭圆的右焦点作一条直线l 交椭圆于点P 、Q ，则△F 1PQ 内切圆面积的最大值是 ． 答案：916π 解析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F 1PQ 的周长是定值8，所以只需求出△F 1PQ 面积的最大值.设直线l 方程为1x my =+，与椭圆方程联立得()2234690m y my ++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634m y y m +=-+，122934y y m =-+， 于是1121212F PQS F F y y ∆=⋅-==.因为()2222222111111163491599611m m m m m m +==≤++++++++， 所以内切圆半径12384F PQS r ∆=≤，因此其面积最大值是916π. 9、已知1100121x y x y y >>+=++，且，则2x y +的最小值为.12解析：（待定系数法）设()()12221x y x y y t λλ+=++++，可解的12133,,222t λλ===-， 从而()()()()13313113122121222222122x y x y y x y y x y y ⎛⎫⎡⎤+=+++-=++++-≥ ⎪⎢⎥++⎣⎦⎝⎭，当且仅当1,233x y =+=时取等号. 另解：考虑直接使用柯西不等式的特殊形式，即权方和不等式：()222a b a b x y x y++≥+.(211312434233243x y x y y x y =+≥⇒++≥+++++122x y +≥，当且仅当12x y ==. 10、定义两点11(, )P x y ，22(, )Q x y 之间的“坐标距离”为：1212(,)||||d P Q x x y y =-+-．若(, )Cx y 到点(1, 3)A ，(6, 9)B 的“坐标距离”相等，其中实数x y 、满足010x ≤≤，010y ≤≤，则所有满足条件的点C 的轨迹的长之和为__________答案：1)解析：由条件得1369x y x y -+-=-+-；当1, 9x y ≤≥时，无解；当16, 9x y ≤≤≥时，无解；当6,9x y ≥≥时，无解；当1,39x y ≤≤≤时，8.5y =，线段长为1；当16,39x y ≤≤≤≤时，9.5x y +=，线段长为 当6,39x y ≥≤≤时 3.5y =，线段长为4；当1,3x y ≤≤时，无解；当16,3x y ≤≤≤时，无解；当6,3x y ≥≤时，无解．综上所述，点C 的轨迹构成的线段的长之和为：141)+=．二、解答题（共6小题，满分80分。
2019年全国高中数学联赛A+B卷(含答案)
2019年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1. 已知正实数a 满足8(9)a a a a =，则log (3)a a 的值为 ．答案：916．解：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以9log (3)16a a =．2. 若实数集合{1,2,3,}x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：32-．解：假如0x ³，则最大、最小元素之差不超过max{3,}x ，而所有元素之和大于max{3,}x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-．3. 平面直角坐标系中，e 是单位向量，向量a 满足2a e⋅=，且25a a te£+对任意实数t 成立，则a的取值范围是 ．答案：．解：不妨设(1,0)e =．由于2a e ⋅=，可设(2,)a s=，则对任意实数t ，有2245s a a te +=£+= 这等价于245s s +£，解得[1,4]s Î，即2[1,16]s Î．于是a=Î．4. 设,A B 为椭圆G 的长轴顶点，,E F 为G 的两个焦点，4,AB =2AF =P 为G 上一点，满足2PE PF ⋅=，则PEF D 的面积为 ． 答案：1．解：不妨设平面直角坐标系中G 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>．根据条件得24,2a AB a AF ====可知2,1a b ==，且EF ==由椭圆定义知24PE PF a +==，结合2PE PF ⋅=得()2222212PE PF PE PF PE PF EF +=+-⋅==，所以EPF 为直角，进而112PEF S PE PF D =⋅⋅=．5. 在1,2,3,,10 中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10 ----中随机选出一个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ．答案：37100．解：数组(,)a b 共有210100=种等概率的选法．考虑其中使2a b +被3整除的选法数N ．若a 被3整除，则b 也被3整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(,)a b 有239=组．若a 不被3整除，则21(mod3)a º，从而1(mod3)b º-．此时a 有7种选法，b 有4种选法，这样的(,)a b 有7428´=组．因此92837N =+=．于是所求概率为37100．6. 对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值．若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M =，则a 的值为 ．答案：56p 或1312p ．解：假如02a p<£，则由正弦函数图像性质得[0,][,2]0sin a a a M a M <=£，与条件不符．因此2a p >，此时[0,]1a M =，故[,2]12a a M =．于是存在非负整数k ，使得51322266k a a k p p p p +£<£+， ①且①中两处“£”至少有一处取到等号．当0k =时，得56a p =或1326a p =．经检验，513,612a p p =均满足条件． 当1k ³时，由于13522266k k p p p p æö÷ç+<+÷ç÷çèø，故不存在满足①的a ． 综上，a 的值为56p 或1312p ．7. 如图，正方体ABCD EFGH -的一个截面经过顶点,A C 及棱EF 上一点K ，且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则EKKF 的值为 ． 答案．解：记a 为截面所在平面．延长,AK BF 交于点P ，则P在a 上，故直线CP 是a 与平面BCGF 的交线．设CP 与FG 交于点L ，则四边形AKLC 为截面．因平面ABC 平行于平面KFL ，且,,AK BF CL 共点P ，故ABC KFL -为棱台．不妨设正方体棱长为1，则正方体体积为1，结合条件知棱台ABC KFL -的体积14V =．设PF h =，则1KF FL PF h AB BC PB h ===+．注意到,PB PF 分别是棱锥P ABC -与棱锥P KFL -的高，于是111466P ABC P KFL V V V AB BC PB KF FL PF --==-=⋅⋅-⋅⋅ 3221331(1)1616(1)h h h h h h æöæö++÷ç÷ç÷ç=+-=÷÷çç÷ç÷èø÷ç++èø． 化简得231h =，故h =1EK AE KF PF h ===． 8. 将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：498．解：将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A ．易知55!600A =´=（这里及以下，X 表示有限集X 的元素个数）． 将A 中2的后一项是0，且1的后一项是9的排列的全体记为B ；A 中2的后一项是0，但1的后一项不是9的排列的全体记为C ；A 中1的后一项是9，但2的后一项不是0的排列的全体记为D ．易知4!B =，5!B C +=，44!B D +=´，即24,96,72B C D ===． 由B 中排列产生的每个8位数，恰对应B 中的224´=个排列（这样的排列中，20可与“2,0”互换，19可与“1,9”互换）．类似地，由C 或D 中排列产生的每个8位数，恰对应C 或D 中的2个排列．因此满足条件的8位数的个数为\()42B C DA B C D +++3600184836498422B C DA =---=---=．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在ABC D 中，,,BC a CA b AB c ===．若b 是a 与c 的等比中项，且sin A 是sin()B A -与sin C 的等差中项，求cos B 的值．解：因b 是,a c 的等比中项，故存在0q >，满足2,b qa c q a ==． ①因sin A 是sin(),sin B A C -的等差中项，故2sin sin()sin sin()sin()2sin cos A B A C B A B A B A =-+=-++=．…………………4分结合正、余弦定理，得222sin cos sin 2a A b c a A b B bc+-===， 即2222b c a ac +-=． …………………8分αLD F B K将①代入并化简，可知24212q q q +-=，即421q q =+，所以212q =． …………………12分 进而2224222111cos 222c a b q q B ac q q +-+-====． …………………16分10. （本题满分20分） 在平面直角坐标系xOy 中，圆W 与抛物线2:4y x G =恰有一个公共点，且圆W 与x 轴相切于G 的焦点F ．求圆W 的半径．解：易知G 的焦点F 的坐标为(1,0)．设圆W 的半径为(0)r r >．由对称性，不妨设W 在x 轴上方与x 轴相切于F ，故W 的方程为222(1)()x y r r -+-=． ①将24yx =代入①并化简，得2221204y y ry æö÷ç÷-+-=ç÷÷çèø．显然0y >，故 222221(4)12432y y r y y y æöæö÷+ç÷ç÷ç÷=-+=÷çç÷÷ç÷ç÷èøçèø． ② …………………5分根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应W 与G 的唯一公共点．考虑22(4)()(0)32y f y y y+=>的最小值．由平均值不等式知2244444333y y +=+++³，从而1()329f y y ³⋅=． 当且仅当243y =，即3y =时，()f y取到最小值9． ………………15分由②有解可知9r ³．又假如9r >，因()f y 随y 连续变化，且0y +及y +¥时()f y 均可任意大，故②在0,3æççççèø及3æö÷ç÷+¥ç÷ç÷çèø上均有解，与解的唯一性矛盾．综上，仅有9r =满足条件（此时1,33æ÷ç÷ç÷ç÷çèø是W 与G 的唯一公共点）． …………………20分11. （本题满分20分）称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ，均有12m z z z C +++³．解：考虑有趣的复数数列{}n z ．归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n nz z n z z N ++æöæö÷÷çç÷÷++=Îçç÷÷ç÷÷çèøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î．因此1112n n n n z z z z ++===，故 *11111()22N n n n z z n --=⋅=Î．①…………………5分进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②记*12()N m m T z z z m =+++Î． 当*2()N m s s =Î时，利用②可得122122sm k k k T z z z z -=³+-+å21222k k k z z ¥-=>-+å212223k k ¥-==-=å．…………………10分 当*21()N m s s =+Î时，由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故12212212s m k k s k T z z z z z -+=æö÷ç³+-+-÷ç÷çèøå212223k k k z z ¥-=>-+=å． 当1m =时，1113T z ==>．以上表明3C =满足要求． …………………15分另一方面，当*1221221111,,()22N k k k k z z z k ++--===Î时，易验证知{}n z 为有趣的数列．此时2112211lim lim ()ss k k s s k T z z z ++ ¥¥==++å134lim 11833ss k ¥=-=+=+⋅=， 这表明C不能大于3． 综上，所求的C为3． …………………20分2019年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 已知实数集合{1,2,3,}x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．答案：3-．解：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0．显然0x <，从而120x ++=，得3x =-．2. 若平面向量(2,1)m a =-与1(21,2)m m b +=-垂直，其中m 为实数，则a 的模为 ．答案解：令2m t =，则0t >．条件等价于(1)(1)20t t t ⋅-+-⋅=，解得3t =．因此a=．3. 设,(0,)a b p Î，cos ,cos a b 是方程25310x x --=的两根，则sin sin a b 的值为 ．答案：5． 解：由条件知31cos cos ,cos cos 55a b a b +==-，从而222(sin sin )(1cos )(1cos )a b a b =--22221cos cos cos cos a b a b=--+2222437(1cos cos )(cos cos )5525a b a b æöæö÷çç=+-+=-=÷çç÷ççèøè．又由,(0,)a b p Î知sin sin 0a b >，从而sin sin 5a b =． 4. 设三棱锥P ABC -满足3,2PA PB AB BC CA =====，则该三棱锥的体积的最大值为 ．答案：3． 解：设三棱锥P ABC -的高为h ．取M 为棱AB 的中点，则h PM £==．当平面PAB 垂直于平面ABC 时，h 取到最大值．此时三棱锥P ABC -的体积取到最大值11333ABC S D ⋅==．5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数为 ．答案：95． 解：易知2,0,1,9,2019的所有不以0为开头的排列共有44!96´=个．其中，除了(2,0,1,9,2019)和(2019,2,0,1,9)这两种排列对应同一个数20192019，其余的数互不相等．因此满足条件的8位数的个数为96195-=．6. 设整数4n >，(1)n x +的展开式中4n x -与xy 两项的系数相等，则n 的值为 ．答案：51．解：注意到0(1)C 1)nnr n r r nr x x -=+=å．其中4n x -项仅出现在求和指标4r =时的展开式444C 1)n n x-中，其4n x -项系数为44(1)(2)(3)(1)C 24n n n n n ----=．而xy 项仅出现在求和指标1r n =-时的展开式11C 1)n n nx --⋅中，其xy 项系数为12331C C 4(1)(1)2(1)(2)n n n n n n n n ----⋅-=---． 因此有3(1)(2)(3)(1)2(1)(2)24n n n n n n n n ----=---．注意到4n >，化简得33(1)48n n --=-，故只能是n 为奇数且348n -=．解得51n =．7. 在平面直角坐标系中，若以(1,0)r +为圆心、r 为半径的圆上存在一点(,)a b 满足24b a ³，则r 的最小值为 ．答案：4．解：由条件知222(1)a r b r --+=，故22224(1)2(1)(1)a b r a r r a a £=---=---．即22(1)210a r a r --++£．上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式2(2(1))4(21)4(4)0r r r r --+=-³，解得4r ³．经检验，当4r =时，(,)(3,a b =满足条件．因此r 的最小值为4．8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=．这样的数列{}n a 的个数为 ．答案：5．解：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），则 112(1)a d a k d +=+-，即1(2)k d a -=，因此必有2k ¹，且12ad k =-．这样就有1111(1)2n n a a n d a a k -=+-=+-，而此时对任意正整数n ，12111(1)(1)(1)22n n n n n a a a a n d a n a d --+++=+=+-+ 1(1)(1)(2)2n n a n k d æö-÷ç=+--+÷ç÷çèø， 确实为{}n a 中的一项．因此，仅需考虑使12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到2019为两个素数3与673之积，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）在椭圆G 中，F 为一个焦点，,A B 为两个顶点．若3,2FA FB ==，求AB 的所有可能值．解：不妨设平面直角坐标系中椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，并记c =F 为G 的右焦点．易知F 到G 的左顶点的距离为a c +，到右顶点的距离为a c -，到上、下顶点的距离均为a ．分以下情况讨论：(1) ,A B 分别为左、右顶点．此时3,2a c a c +=-=，故25AB a ==（相应地，2()()6b a c a c =+-=，G 的方程为2241256x y +=）． …………………4分(2) A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点．此时3,2a c a +==，故1c =，进而2223b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22143x y +=）． …………………8分 (3) A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点．此时3,2a a c =-=，故1c =，进而2228b a c =-=，所以AB ==G 的方程为22198x y +=）．…………………12分 综上可知，AB的所有可能值为5,． …………………16分10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3,lg log 4.b a a c b c ì+=ïïíï+=ïî求lg lg a c ⋅的最大值．解：设lg ,lg ,lg a x b y c z ===，由,,1a b c >可知,,0x y z >．由条件及换底公式知3,4z zx y y x+=+=，即34xy z y x +==．…………………5分由此，令3,4(0)x t y t t ==>，则241212z x xy t t =-=-．其中由0z >可知(0,1)t Î． …………………10分因此，结合三元平均值不等式得2lg lg 312(1)18(22)a c xz t t t t t ==⋅-=⋅-33(22)2161818333t t t æöæö++-÷çç£⋅=⋅=÷çç÷ççèèø． 当22t t =-，即23t =（相应的,,a b c 分别为8833100,10,10）时，lg lg a c 取到最大值163． …………………20分11. （本题满分20分）设复数数列{}n z 满足：11z =，且对任意正整数n ，均有2211420n n n n z z z z ++++=．证明：对任意正整数m ，均有123m z z z +++<． 证明：归纳地可知*0()n z n N ¹Î．由条件得2*114210()n n n n z z n z z N ++æöæö÷çç÷++=Îçç÷çç÷èøèø，解得*11()4N n n z n z +-=Î． …………………5分因此1112n n nnz z z z ++===，故*11111()22N n n n z z n --=⋅=Î． ①进而有*11111()22N n n n n n n n z z z z n z ++-+=⋅+==Î． ②…………………10分当m 为偶数时，设*2()N m s s =Î．利用②可得122122122111123sm k k k k k k k k z z z z z z z ¥¥---===+++£+<+==ååå． …………………15分 当m 为奇数时，设21()N m s s =+Î．由①、②可知21212221211112322s k k s s k k s k s z z z ¥¥+---=+=+=<==+⋅åå， 故1221221212113s m k k s k k k k z z z z z z z z ¥-+-==æö÷ç+++£++<+=÷ç÷çèøåå． 综上，结论获证． …………………20分。