沪科版九年级数学上册：21.1.1二次函数
沪科版(2012)初中数学九年级上册 21.1 二 次 函 数(第一课时) 教案
21.1 二次函数(第一课时)一、教学目标：（1）经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
（2）知道实际问题中存在的二次函数关系中，对自变量的取值范围可能有不同的要求。
二、教材分析：（1）内容分析：本节从实际问题入手，结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念，以及二次函数的一般表达式y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)，并使学生从中体会函数的思想。
（2）教学重点：二次函数的概念。
（3）教学难点：具体地分析、确定实际问题中函数关系式。
三、教学过程：1、基础回顾，铺垫新知（教师）在八年级我们已经学习了函数的相关知识，那么哪位同学能帮助大家回忆一下函数的基本概念？（学生）在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函数。
x叫自变量， y叫应变量。
（教师）那么目前为止，我们已经学习了哪种函数类型？（学生）一次函数以及一次函数的特殊形式—正比例函数今天我们将学习一种新的函数【设计意图：本课时内容是九年级的第一节，先帮助学生回忆函数的基本概念以及已经学习过的一次函数，能让学生更好地接受新知识】2、设置情景，引入新知问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为y=6x2问题2：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。
要使围成的水面面积S最大，它的长应是多少米?解：设长为x m，则宽为（20-x）m由题意，得：S=x（20-x）= -x2 + 20x问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190个，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个。
问增加多少人可使每天装配总数最多？最多时是多少个？解：设增加x人，装配总数为y由题意，得：y=（190-10x）（15+x）= -10x2 + 40x + 2850【设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，通过问题的解决，为得出二次函数的定义做好铺垫，同时能让学生感受到身边的数学。
沪科版九年级上第21章21.1二次函数的概念典型例题及练习(无答案)
二次函数一、知识点复习1.二次函数的定义：形如c+y+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
axbx注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.2.二次函数的一般形式：任何一个二次函数的关系式都可以化成c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）y+bxax的形式，我们把c=2（c b a,,为常数，且0≠a）叫做二次函数的一般形式，+bxaxy+其中c,2分别是二次项、一次项、常数项，b a,分别是二次项系数和一次项系数。
ax,bx3.二次函数两个变量的值:（1）函数值：求函数的值就是求代数式的值。
当给定自变量x的一个值后，就有唯一的y的值与之对应，这时y的值就是函数值。
（2）自变量的值：已知函数值求自变量的值实质就是解关于自变量的一元二次方程。
当给定一个y的值，对应x的值有1个或2个或没有值与之对应。
3.列二次函数的表达式（1）列函数表达式:在实际问题中，表示两个变量的关系，需要找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，在按要求化成用含一个变量的代数式表示另一个变量的形式。
（2）实际问题列表达式的步骤：①确定自变量与因变量的实际意义①找到自变量与因变量之间的等量关系，根据等量关系列出方程或等式；①将方程或等式整理成二次函数的一般形式。
（3）自变量的取值范围：①一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数；②但实际问题中的自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
二．考点讲解知识点1.二次函数的定义：形如c+=2（c b a,,为常数，且0≠a）的函数叫做x的二次函数。
y+bxax注意事项：二次函数必须满足三个条件①函数表达式为整式；②函数表达式有唯一的自变量；③表达式自变量的最高次数是2且二次项系数不等于0.考点1：利用二次函数的定义识别二次函数例题1：下列函数哪些是二次函数？①25x y -=；①112-=x y ；①)31(2x x y -=；④22)1(x x y +-=；⑤p nx mx y ++=2（p n m ,,均为常数）变式练习（2019奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（ ）A.)1(2-=x yB.22)1(x x y --=C.2)1(-=x a yD.122-=x y考点2：二次函数的一般形式中的系数问题例题2：二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ）A.2B.-2C.-1D.-4变式练习 二次函数3)2(212--=x y 中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 。
沪科版数学九年级上册教学课件：21.1 二次函数(共27张PPT)
解：由题意可得 －10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
【解题归纳】解决此类问题的关键是要吃透题意， 确定变量，建立函数模型．
新课进行时
思考： 1.已知二次函数y＝－10x2＋180x＋400 ,自变量x的取 值范围是什么？ 2.在例3中，所得出y关于x的函数关系式y＝－10x2＋ 180x＋400，其自变量x的取值范围与1中相同吗？
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
新课进行时 核心知识点三 二次函数的值
例4 一个二次函数 y (k . 1)xk23k4 2x 1
（1）求k的值.
（2）当x=0.5时，y的值是多少？
解：（1）由题意，得
k
2
3k
4
2,函数Leabharlann 系；S 6a2 (a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；
y x2 (x 0)
4
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与 一对角线长x(cm)之间的函数关系．
S 1 x(26 x) 1 x2 13x(0 x 26)
2
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6
元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量
减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
21.1+二次函数++课件+2024-2025学年沪科版数学九年级上册
第 21 章 二次函数与反比例函数
第1节 二次函数
二次函数的定义：
一般地，表达式形如 的函数叫做 的二次函数（ 变量。
(a,b,c是常数，且 ） ），其中 是自
二次函数的三要素：
（1）自变量的最高次数必须是2；
（2）等号右边的
是关于自变量
（3）二次项系数
。
的整式；
二次函数的一般形式：
的一般形式。
(a,b,c是常数，且
）是二次函数
他猜们想都：是二次函数,，并且是二次函, 数
是二次函数吗的？特殊形式
特殊形式
二次项
一次项
无
无
常数项
0 0 c
自变量取值范围的确定：
二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数，但 是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题有意 义。
在问题1中矩形水面的一边长应大于零且小于 矩形的两边之和，所以自变量的取值范围是
Hale Waihona Puke 温故知新：问题导入：问题1 某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围 一块矩形的水面，投放鱼苗(如图)。要使围成的水面面积 最大，则它的边长应是多少米？
数量关系：围成的水面面积=矩形水面 的一边长×另一边长
设围成的矩形水面的一边长为x m，那
么矩形水面的另一边长应为
m。若
它的面积是S ㎡，则有
。
问题2 有一玩具厂，如果安排装配工15人，那么每人 每天可装配玩具190个；如果增加人数，那么每增加一人， 可使每人每天少装配玩具10个。问增加多少人才能使每天 装配玩具总数最多？玩具总数最多是多少？
辛苦了，抽个红包吧：
牛刀小试： 例1 下列函数为什么不是二次函数
（1）
不一定是，缺少 条件
九年级数学上册21.1二次函数课件新版沪科版
所以m2-m=2,
解得m1=2,m2=-1
但当m=-1时, m2-1=0 而m=2时, m2-1≠0
综上所述,m=2
驶向胜利 的彼岸
第十七页，共22页。
课堂 练习
1、下列各函数(há nshù )中，哪是正比例函数 (há nshù )?哪些一次函数(há nshù )?哪些二次 函数(há nshù )?
答： 其中(qízhōng)是正比例函数的②有⑧______(填题号)； 其中(qízhōng)是一次函数的②有④_⑧________(填题号)； 其中(qízhōng)是二次函数③的⑦有______(填题号).
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知识拓展：
温馨(wēn xīn)提示： 同桌交对，互相帮助！
已知二次函数(há nshù )y=ax2+bx。当x=1时，y=7；当x=2时，y=10,求a、b的值
• 正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y， 求y与x之间的函数关系.
• m是什么值时，函数y=(m-4)xm2-5m+6是关于x 的二次函数
• 已知二次函数y=ax2+c，当x=2时，y=4；当x=-1 时，y=-3。求a、c的值
• 设圆柱的高为6cm，底面半径为r cm ，底面周长 (zhōu chánɡ)为C cm ，圆柱的体积为Vcm3
思考：1.你认为判断二次函数(hánshù) 的关键是什么？
判断一个函数(hánshù)是否是二次函 数(hánshù)的关键是：未知数的最高 指数是否为2次
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驶向胜利的 彼岸
思考：2. 二次函数的一般式y ＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次 函数一般式y=kx+b（k≠0）在 形式(xíngshì)上有什么不同？
沪科版九年级数学上册21.1二次函数课件
探究新知
(3) n 支球队参加比赛，每
两队之间进行一场比赛，
则比赛的场次数 m 与球队
数 n 之间的关系式为
(−)
m＝
_____________.
例题与练习
例3 一直角三角形两直角边之和为 20，其中一条直角
边长为 x，写出它的面积 S 与直角边长 x 之间的函数解
____________．
4．某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每
月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x，则该厂
今年三月份新产品的研发资金 y (元)关于 x 的函数关系
2
y＝a(1＋x)
式为_____________．
随堂练习
5．矩形的周长为16 cm，它的一边长为 x (cm)，面积为
析式，并写出自变量 x 的取值范围．
解：根据题意，得
S＝ x (20－x)
自变量 x 的取值范围是0＜x＜20．
随堂练习
1．函数 y＝－2x2＋3x－1的二次项系数、一次项系数、
常数项依次是( B )
A．－2，3，1
B．－2，3，－1
C．2，3，1
D．2，3，－1
2．已知函数 y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则 m 的
(1)一个圆柱的高等于底面半径的2倍，则它的表面积 S 与
2
S＝6πr
底面半径 r 之间的关系式为_________．
(2)某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增
加产量，如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年
后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计
沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
通过学习，学生能运用二次函数解决一些实际问题，为高中阶段更深入地学习函数打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数有一定的认识。
但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更为复杂，需要学生具有一定的抽象思维能力。
同时，学生需要掌握一些数学解题技巧和方法，提高解决问题的能力。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和数学解题技巧。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特点。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的性质；通过案例分析，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.制作课件，展示二次函数的图象和性质。
3.准备练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如抛物线、卫星轨迹等，引导学生思考这些问题的数学模型是什么。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、性质及其图象。
通过课件展示，让学生直观地了解二次函数的特点。
同时，引导学生总结二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的实际问题，将其转化为二次函数模型。
每组选取一个问题，进行解答和分享。
教师在这个过程中给予指导，帮助学生掌握解题方法。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、填空题和解答题。
完成后，教师进行讲解和点评，确保学生掌握所学知识。
数学沪科版九年级(上册)21.1.1二次函数的概念
知识巩固
1.下列函数中，哪些是二次函数?
(1) y x2
是
1 (2) y x2
不是
(3) y x(1 x)
是
(4) y (x 1)2 x2 不是
先化简后判断
知识巩固
2. 把下列函数化成二次函数的一般式,并分别说出二次项系数,一次项系数, 常数项.
(1)y=(x-2)(x-3);
解：(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6; 1,-5,6
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2; (3)y=-2(x+3)2.
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6; -1,4,-6 (3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18. -2,-12,-18
例题分析
例1 关于x的函数 y (m 1)xm2m 是二次函数,求m的值.
九年级数学沪科版·上册
第21章 二次函数与反比例函数
21.1 二次函数
学习目标 1.知道什么叫函数，什么是二次函数，掌握二次函数的定义，理解二次函 数的条件. （重点）
2.会列式解决实际应用问题，并抽象出二次函数表达式.（难点）
复习导入
1. 什么是一次函数？正比例函数？ 一般地,形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数叫做一次函数.
（2）某商品每件成本40元,以单价55元试销,每天可售出100件。根据市场预 测,定价每减少1元,销售量可增加10件. 求每天销售该商品获利金额y(元)与定 价x(元)之间的函数关系.
课堂小结
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数, a≠0 )
当b=0 时,一次函数y=kx就叫做正比例函数. y=2x+3
沪科版初三数学上册《21.1 二次函数》课件
知1－讲
(2)与(5)是二次函数． 解： (2)y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系数和常 数项为0；
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，所以
y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，一次项系 数为－21，常数项为30.
（来自《点拨》）
知1－讲
总 结
判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数的解析 式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个条件： (1)所表示的函数的解析式为整式； (2)函数的解析式有唯一自变量；
(3)解析式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.
（来自《点拨》）
知1－练
1 设圆的半径为r，请填空： (1)这个圆的周长C＝______，它是r的_______函数； (2)这个圆的面积S＝______，它是r的_______函数．
（来自教材）
知1－练
2 在下列表达式中，哪些是二次函数？ (1)正常情况下，一个人在运动时每分所能承受的 最高心跳次数b与这个人的年龄a之间的关系可 表示为b＝0.8(220－a)； (2)圆锥的高为h，它的体积V与底面半径r之间的 关系可表示为 V 1 r 2 h (h为定值)；
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
判断一个函数是否是二次函数，要紧扣定义并将 导引： 其化简再判断．(1)是一次函数；(2)是二次函数，
二次项系数为－5，一次项系数和常数项为0；(3)
中自变量的最高次数是3，所以不是二次函数； (4)中x－2不是整式，所以不是二次函数；把(5)整 理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数，二次项系 数为3，一次项系数为－21，常数项为30；(6)中, 1 因为 2 是个分式，所以不是二次函数． x
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s= -X²+20X . y= =-5x²+40x+100 .
定义：一般地,形如y=ax²+bx+c 的函数叫做x的二次函数.
(a,b,c是常数,a≠ 0)
提示:
有何特 点？
(1)关于自变量的代数式一定是二次整式
,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一
次项和常数项,但不能没有二次项.
问题在：一种商品售价为每件10元，一周 可卖出50件。市场调查表表明：这种商品 每件涨1元，每周要少卖5件。每件降价1元 每周多卖5件。已知该商品进价每件8元，
问每件涨价多少才能使每周得到的利润最 多？
解: 设每件商品涨价x元, 每周获利为y元，则
y=（10+x)(50-5x)-8(50-5x) =-5x²+40x+100.
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1)
y=3(x-1)²+1（是）
(2) y =
x+
1
（Hale Waihona Puke ）x(3) s=3-2t²
（是）
(4) y =
1 x2 - x
（否）
(5)y=(x+3)²-x²（否） (6)v=10πr²（是）
(7) y=x²+x³+25 （否） (8)y=2²+2x （否）
小试牛刀
圆的半径是1cm,假设半径增加 xcm时,圆的面积增加ycm².
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数 是二次,自变量x的取值范围是全体实数.但在实际问 题中，自变量的取值范围应使实际问题有意义。
知识的升华
已知函数 y (k 2 k)x2 kx 2 k
(1) k为何值时，y是x的一次函数？ (2) k为何值时，y是x的二次函数？
解（1）根据题意得
k2 k k 0
0
∴k=1时,y是x的一次函数。
(2) 当k2 - k ≠0,即k ≠0且k ≠1时
y是x的二次函数
小结 拓展
回味无穷 定义中应该注意的几个问题:
21.1二次函数
函数
一次函数
y=kx+b (k≠0) 正比例函数
y=kx(k≠0)
一条直线
二次函数
喷泉(1)
源于生活的数学
问题1：某水产养殖户用40米的围网， 在水库中围一块矩形的水面，投放鱼苗。 要使围成的水面面积最大，它的长应是 多少米？
设围成的矩形水面的长是x米，那 么水面的宽为（20-x）米，它的面积 是S平方米，则S=x（20-x)
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
（1）写出y与x之间的函数关系表 达式；
（2）当圆的半径分别增加1cm, ,2cm时,圆的面积增加多少？
敢于创新
x 如果函数y= k2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是__0_,_3__
如果函数y=(k-3)xk2 - 3k+ 2 +kx+1是二次函
数,则k的值一定是___0___