《离散数学课件》1-2图基本概念
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件第一章:离散数学简介1.1 离散数学的定义与意义离散数学的定义离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的基本概念集合逻辑函数图论1.3 离散数学的研究方法形式化方法归纳法构造法第二章:集合与逻辑2.1 集合的基本概念与运算集合的定义与表示方法集合的运算(并、交、差、补)2.2 逻辑基本概念命题与联结词逻辑推理规则(蕴涵、逆否、德摩根定律)2.3 命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑的形式化表示与推理谓词逻辑的形式化表示与推理第三章:函数与图论3.1 函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性3.2 图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算(节点、边、路径、连通性)3.3 树的基本概念与应用树与图的关系树的结构性质与应用(二叉树、堆、平衡树)第四章:组合数学4.1 组合数学的基本概念排列组合的定义与公式组合数学的应用(计数原理、图论)4.2 组合数学的计算方法直接法、间接法、递推法、函数法4.3 组合数学在计算机科学中的应用算法设计与分析(动态规划、贪心算法)程序语言中的组合类型(类型系统、类型检查)第五章:数理逻辑与计算复杂性5.1 数理逻辑的基本概念命题逻辑的数学模型(布尔代数、逻辑函数)谓词逻辑的数学模型(一阶逻辑、描述逻辑)5.2 计算复杂性的基本概念与分类计算复杂性的定义与度量(时间复杂性、空间复杂性)计算复杂性的分类(P与NP问题、整数分解问题)5.3 离散数学在算法设计与分析中的应用算法设计与分析的基本原则离散数学在算法优化与分析中的作用第六章:关系与映射6.1 关系的基本概念关系的定义与性质关系的类型(对称性、传递性、反身性)6.2 关系的闭包与简化关系的闭包概念关系的简化与规范化6.3 函数与二元关系函数与关系的联系与区别二元组与二元关系的应用第七章:代数结构7.1 代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用7.2 群与群作用群的定义与运算群作用与群同态7.3 环与域环的定义与性质域的特殊性质与应用第八章:数理逻辑与计算理论8.1 数理逻辑的进一步应用命题逻辑与谓词逻辑的推理规则数理逻辑在计算机科学中的应用8.2 计算理论的基本概念计算模型的定义与分类计算复杂性的理论基础8.3 离散数学在计算理论中的应用计算理论中的逻辑与证明离散数学在算法设计与分析中的作用第九章:组合设计与计数原理9.1 组合设计的基本概念组合设计的定义与类型组合设计在编码理论中的应用9.2 计数原理的基本概念鸽巢原理、包含-排除原理函数的方法与应用9.3 图论与网络流图的遍历与路径问题网络流与最优化问题第十章:离散数学的综合应用10.1 离散数学在计算机科学中的应用算法设计与分析数据结构与程序语言设计10.2 离散数学在数学与应用数学中的作用组合数学在概率论与数论中的应用图论在网络科学与社会网络分析中的应用10.3 离散数学在未来科技发展中的展望量子计算与离散数学与逻辑推理重点和难点解析重点环节一:集合的基本概念与运算集合的表示方法(列举法、描述法)集合的运算(并、交、差、补)重点环节二:逻辑基本概念与推理命题与联结词(且、或、非)逻辑推理规则(蕴涵、逆否、德摩根定律)重点环节三:函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性重点环节四:图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算(节点、边、路径、连通性)重点环节五:组合数学的基本概念与计数原理排列组合的定义与公式组合数学的应用(计数原理、图论)重点环节六:关系与映射关系的定义与性质关系的类型(对称性、传递性、反身性)重点环节七:代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用重点环节八:数理逻辑与计算理论数理逻辑的推理规则计算理论的基本概念(计算模型、计算复杂性)重点环节九:组合设计与计数原理组合设计的定义与类型计数原理的应用(鸽巢原理、包含-排除原理)重点环节十:离散数学的综合应用离散数学在计算机科学中的应用(算法设计与分析、数据结构与程序语言设计)离散数学在数学与应用数学中的作用(组合数学在概率论与数论中的应用、图论在网络科学与社会网络分析中的应用)全文总结和概括:本《离散数学教案》课件涵盖了离散数学的基本概念、逻辑推理、函数与图论、组合数学、数理逻辑与计算理论、组合设计与计数原理等多个重要环节。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念, 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ,自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容,包括集合的交、并、差、补等基本运算,以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生,1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的,那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的,那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A,存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}, 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n),且E1∪E2∪...∪En=S,那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用,如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ,是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用,掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力,对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法,它是 一个二维矩阵,其中行和列对应于图中的节 点,如果两个节点之间存在一条边,则矩阵 中相应的元素为1,否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法,它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
《离散数学图论》课件
实现方法:使用 队列数据结构, 将起始节点入队, 然后依次处理队 列中的每个节点, 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法:用于 求解单源最短路径问 题,通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法:用于求解 最小生成树问题,通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义:邻接矩阵是一个n*n的矩阵,其 中n是图的顶点数,矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质:邻接矩阵中的元素只有0和1, 其中0表示两个顶点之间没有边相连, 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用:邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息,是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理:优化图像分割, 提高图像质量
物流配送:优化配送路径, 降低配送成本
社交网络:优化社交网络 结构,提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人:PPT
数学:用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学:用于量子力学、 统计力学等领域
生物学:用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学:用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义:由节点和边组成的数学结构,节点表示对象,边表示对象之间的关系
节点表示方法:用点或圆圈表示 边表示方法:用线或弧线表示 图的表示方法:可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点:图中的基本元素,表示一个对象或事件 边:连接两个顶点的线,表示两个对象或事件之间的关系 度:一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径:从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图:图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图:图中任意两个顶点之间都存在双向路径
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例2.1判断下面两个公式是否等值: (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值: (1)p(qr) 与 (pq)r (2) ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 : 设(A)是含公式A的命题公式, (B) 是用公式B置换了(A)中所有的A以后得到的命题公式, 若BA,则(B) (A)。
定义1.2 设p,q为两命题,复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式,记作“pq”。 pq为真当且仅当 p, q同 时为真。
定义1.3 设p,q为两命题,复合命题“p或q”称为p与q的 析取式,记作“pq”。 p q为假当且仅当 p, q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 (1)吴影既用功又聪明。 (2)吴影不仅用功而且聪明。 (3)吴影虽然聪明,但不用功。 (4)张辉与王丽都是三好学生。 (5)张辉与王丽是同学
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例1.8求下列公式的真值表,并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 (1)若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重 言式或永真式。 (2)若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛 盾式或永假式。 (3)若A不是矛盾式,则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程, 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学图论-图的基本概念
对有向图有相同的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间,如果存在着一一对应关系 f
这种对应关系又保持了结点间的邻接关系,
那么这两个图就是同构的
在有向图的情况下, f 不但应该保持结点间的邻接关系,还应
该保持边的方向。
结点数相同边数相同
结点的度相同
但是两个图
不同构
(1) V ≠ ø 称为顶点集,其元素称为顶点或结点.
(2)E为边集,它是笛卡儿积 VⅹV的有穷多重子集,其元
素称为有向边,简称边(弧).
有向图D=<V,E> 其中 V={v1,v2,v3 }
边集合E={<v1,v2>,<v2,v1>,
<v2,v1>,<v2,v3>,<v3,v3>
<v3,v3>}
(与前面的关系的图表示相当)
。
条件:奇度数的结点个数应该是偶数个
(2)序列的可图化:对一个整数序列d=(d1,d2,…dn),若存在以n个顶
点的n阶无向图G,有d(vi)=di ,称该序列是可图化的。
特别的,如果得到的是简单图,称该序列是可简单图化的。
(3)定理 设非负整数列d=(d1,d2,…,dn),则d是可图化的当且
仅当
1)完全图
定义 设G为n阶无向简单图,若G中每个顶点均与其余的n—1个顶点相
邻,则称G为n阶无向完全图,简称n阶完全图,记作Kn(n≥1).
设D为n阶有向简单图,若D中每个顶点都邻接到其余的n—1个顶
点,又邻接于其余的 n—1个顶点,则称D是 n 阶有向完全图.
可画图表示(无向图5阶、有向图3阶和4阶)
子图、生成子
《离散数学教案》课件
《离散数学教案》PPT课件第一章:离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。
离散数学与连续数学相对,主要研究对象是集合、图、逻辑等。
1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。
学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。
第二章:集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。
集合的表示方法:列举法、描述法、图示法等。
2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。
集合的幂集、子集、真子集等概念。
2.3 逻辑基本概念命题:可以判断真假的陈述句。
逻辑联结词:与、或、非等。
逻辑等价式与蕴含式。
第三章:图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。
图的表示方法:邻接矩阵、邻接表等。
3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。
图的遍历:深度优先搜索、广度优先搜索。
3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。
学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。
第四章:组合数学4.1 排列与组合排列:从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。
组合:从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。
4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。
函数:求排列组合问题的有效工具。
4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理:解决计数问题时,通过加减来排除某些情况。
第五章:命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。
命题逻辑的基本运算:联结词、逻辑等价式、蕴含式等。
5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广,引入量词和谓词。
谓词逻辑的基本结构:个体、谓词、量词、逻辑运算等。
5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。
学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。
第六章:组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素,构成满足特定条件的组合。
《离散数学之图论》课件
二分图
二分图是指一个图中的所有顶点可 以被分成两个不相交的集合,即两 个集合内的点之间没有边。
树
树是一种特殊的无向图,他是一个 无环连通图。
图的表示
1
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图的最直观的一种方法,它将图中的每个点与其他点之间的连接 关系用一个矩阵来表示。
2
邻接表
邻接表是图中比较常见的一种数据结构,用于存储有向图或无向图中顶点的邻接 关系。
Kruskal算法是一种贪心算
2 自反闭包
3 反对称闭包
在一个有向图中,如果由顶 点i到顶点j有路径,由顶点j 到顶点k有路径,则从i到k也 有路径。这种情况称为传递 闭包。
在一个有向图中,如果自己 只能到自己,则称之为自反 闭包。
在一个有向图中,如果存在 有向边从i到j,同时存在一 个从j到i的反向边,则称之 为反对称闭包。
3
关联矩阵
关联矩阵是一个图矩阵,它将图中的所有点和边都表示为元素,可以将和特定边 相关的点和总结点联系起来。
图的遍历
1 深度优先遍历
深度优先遍历是从图中的起始点开始,递归地访问所有可达的顶点。它通常用堆栈来实 现。
2 广度优先遍历
广度优先遍历是从图中的起始点开始访问每一层可达的顶点。它通常用队列来实现。
最短路径
Dijkstra算法
Dijkstra算法是一种用来求图中单个源点到其他所有点 的最短路径的平均算法。
Floyd算法
Floyd算法是一种用于发现非负权重图中所有点对之间 的最短路径的算法。
最小生成树
1
Prim算法
Prim算法用于寻找加权无向连通图的最小生
Kruskal算法
2
成树,该树包含了关键点并且保证了所有点 都连通。
图论—基本概念离散数学
离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
定理5.1.1
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图, 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn},则
离 散 数 学
de g (v ) de g (v ) m
i 1 i i 1 i
n
n
• 证明:因为每一条有向边提供一个出度 和入度, • 而所有各顶点出度之和及入度之和均由 m条有向边所提供, • 所以定理得证。
40
35
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北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
图的邻接矩阵
• 设图G=(V,E),V={v1,v2,· · · ,vn}, 令
离 散 数 学
1 (vi , v j ) E (G ) aij { 0 (vi , v j ) E (G )
• 则称矩阵A=(aij)n×n为图G的邻接 矩阵。
e4
e2
v4
e5 e3
e4
v3
v3
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图的操作-删点
v1 e1 v2 v2
离 散 数 学
e2
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离 散 数 学
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图-基本概念6
• 如果把一个有向图D的每条有向边的方 向去掉,由此而得到无向图G,称为D的 底图 • 把一个有向图D的每一条有向边反向, 由此而得到的图称为D的逆图,记为~D。 • ~(~D)=D
离 散 数 学
北 京 工 业 大 学 软 件 学 院 张 丽
离 散 数 学
《离散数学讲义》课件
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
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肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文,解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展,图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念,接着研 究了连通图性质和规律,给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
(本课程仅讨论无向图和有向图)
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中:V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G:G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即,deg(v)=deg-(v)+deg+(v),或简记为d(v)=d-(v)+d+(v)
4)最大出度:+(G) =max deg+(v) | vV
5)最小出度:+(G) = min deg+(v) | vV
6)最大入度: (G) =max deg-(v) | vV
7)最小入度: (G) = min deg-(v) | vV
解:G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下,图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此,图可以简单的表示为:
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无向图G=(V,E) : 边、自环、孤立点
v3 v4
{v,u} ∈E, 称{v,u}是G中一条
v1 v2
v5
边和点:关联 点和点:相邻 边和边:相邻
边。称V为顶点集, 称E为边 集。 设e={v,u} 是G中的一条边, v 和u称为边e 的二个端点,称边 e关联 v和u,也称v 邻接到u, 或 u邻接于v。 若 u=v ,称 {v,u} 为 G中的自环。 对于任意的u ∈ V ,若不存在 任何边关联 u,说顶点 u是孤立 点。
则称二元组G=(V,E)是一个无向图, 例1(p136) 图G=(V,E), V={v1, v2, v3, v4, v5}, E={ {v1,v2},{v2,v3}, v4 {v3,v3},{v3,v4}, {v2,v4},{v4,v5}, {v2,v5},{v2,v5} }
v3 v1 v2
v5
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则称图G1和ห้องสมุดไป่ตู้G2是同构的两个图,记为
G1≅G2, 并称f为图的同构映射,。
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完全图 Kn
一个简单图,若每一对不同的顶点之间都有一条边相 连,这样的图称为完全图。 一个有n(∈N)个顶点的完全图在同构的意义下是唯一 的,记为Kn。
.
K1 K2 K3 K4 K5
14/81
子图、真子图、生成子图
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有向图 G=(V,E)
定义1 设V是一个非空有限集合, E是V上的二元关系。 则称有序二元组G=(V,E)是一个有向图, 并称V 为顶点集, E为边集。 其中,边集E为有序二元组所构成的集合。
例 设V={2,3,4,5,6} ,E={(x, y)|x整除y}, 即 E={ (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4), (5,5), (6,6) } 画出有向图G=(V,E)
.
.
.
.
(0,人狗羊菜)
.
(人羊,狗菜)
(菜,人狗羊) (人羊菜,狗)
V={被允许出现的局面} E={顶点之间的关系|一次摆渡能够从一局面变为另一局面}
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9.1 图的基本概念
(一) 有向图 (二) 无向图 (三) 图的同构 (四) 完全图 (五) 握手定理
顶点集、边集 多重边、自环、孤立点 简单图/多重图 图的同构映射 子图、生成子图、补图 有向完全图 顶点的度数 入度、出度
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例 K4所有互不同构的生成子图有多少?
11个!
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补图
设G=(V,E)是一个图,它没有自环和多重边。
令 G=(V,E’),
其中 E’={ {u,v} │u≠v,u,v∊V,{u,v} ∉E} 称 G 为 G的补图。
例 下面两图互为补图:
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自互补图
一个无向简单图如果同构于它的补图,
2
6
4
3
5
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多重集
约定一个多重集是一些对象的总体,但这些对 象不必不同。如: {a, a, a, b, b, c}
{a, a, a}
{a, b, c}
一个元素的重数是它在该多重集里出现的次数
集合仅是多重集中重数仅为0和1的特殊情况
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无向图G=(V,E)
定义2 设V是一个非空有限集合, E是一个多重集合, E的元素是仅含V中两个元素的多重子集。
离散数学
数理逻辑
图论
代数
集
合
论
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一个人要把他带的一条狗,一只羊和一袋菜用一 条小船摆渡到河的对岸。每次摆渡这个人只能将 狗、羊和菜之一带过去。但是,不能把狗和羊, 也不能把羊和菜单独的留在河的同一岸。
(狗,人菜羊) (人羊狗,菜) (人狗羊菜, 0)
.
.
(人狗菜,羊)
.
.
.
(羊,人狗菜)
(狗菜,人羊)
定义4 设G=(V,E), H=(V’,E’)是两个图。 若V’ ⊆V且E’ ⊆E,则说 H是G的子图。 若V’ ⊂ V或E’ ⊂ ≠ E,则说 H是G的真子图。 ≠ 若H是G的子图且V’=V,说H是G的生成子图。
例: K4的真子图 K4的生成子图
K4
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例 K4的所有的生成子图有多少?
64个!
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多重图、简单图
• 一个图,有向图或无向图,其边集若是多重 集,称这样的图为多重图,也简称图。 • 若一个图,也就是多重图,其重数大于1的边 称为多重边,又称有这样边的图为有多重边 的图。 • 称一个没有多重边,没有自环,也没有孤立 点的图为简单图。 • 若不声明是简单图,就泛指图或多重图。
∑ d(v) = 2|E| v∊V
2
3
3
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推论 任何一个无向图,度数为奇数的顶点有偶数个。
证明:设 G=(V,E)是一个无向图。令 V1={ v∊V│d(v)是奇数}, V2={ v∊V│d(v)是偶数}, 显然{V1, V2} 是V的一个划分。
∵ ∑ d(v)=
v∊V v∊V1 v∊V
∑ d(v) ∑ d(v)
则称这个图为自互补图。
例 4个顶点的自互补图:
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例 试画出五个顶点的自互补图
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顶点的度数
设G=(V,E)是一个图,
对于每一个v∊V,
称关联顶点v的边数为顶点v的度数,记为d(v)。
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定理1 (握手定理)
设G=(V,E)是一个图,对于每一个v∊V, d(v)为顶 点v的度数。则:
+
v∊V2
∑ d(v)
∴ ∑ d(v)=
v∊V1
- ∑ d(v) v∊V2
容易说明,等式右端是偶数,而等式左端 是|V1|个奇数相加,故|V1|为偶数。
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例2 有9个人在一起打乒乓球,已知他们每人至少 和其中另外3个人各打过一场球,则一定有一 个人不止和3个人打过球。用图论语言解释这 件事。
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有向图G=(V,E): 边、孤立点、自环
若(a,b) ∊E,称(a,b)为图G中一条边。
设(a,b) ∊E,称边(a,b)关联于顶点a和b,顶点a称为该 边的始点,顶点b称为该边的终点,并称a和b相邻。
若一个顶点没有任何边关联于它,称该顶点为孤立点。
若一条边的始点和终点是同一顶点,称该边为自环。
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图的画法不同、实质相同
V4 U1 U2
V1 V2 V3 U4 U3
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图的画法不同、实质相同
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图的同构 G1≅G2
定义3 设G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2)是两个图, 若存在函数f:V1→V2,f是双射, 且若定义函数g:E1→E2, 对于任意的{v1,v1’} ∈E1, g({v1,v1’})={f(v1),f(v1’)}, g也是一个双射。