离散数学10图的基本概念分解
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第10章 图的基本概念
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？
程序结构度量：程序是否结构相似？
如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？
如何安排工作流程而达到最高效率？
如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
10.2 图与图模型 例10.2 某学校共有10名教师，他们分别参加7个班级的讨论 课，每个班级可能同时需要多位教师参加，有的教师可能需 要参加多个班级的讨论，每个班级必须单独开展讨论课，则 如何安排才使得所有班级在最短时间段内完成讨论课？讨论 课的情况如下（Vi为班级编号，数字1-10为教师编号）： V1={1，2，3}， V2={1，3，4，5}，
图即称为简单图(Simple Graph)。
10.2 图与图模型
定义10.2
如果uv是图G的边，记为e，即uvE(G),则称结点u和v邻接 (Adjacent),
否则称结点u与v非邻接。
与同一个结点关联的两条边称为邻接边。 与结点v关联的边数称为结点v的度，记作deg(v)。与结点v关联 的环对v的度数的贡献要计算两次。 如果结点v的度为0，则称之为孤立点(Isolated Vertex)。 一度的结点称为悬挂点（Pendant Vertex）。
e1
v2 e2
v1
分离边
悬挂边
悬挂点
孤立点 (G)=0
v3
平行边/重边 多重图
v3结点度为3, deg(v3)=3
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相
同，则称该图为多重图(Multigraph)，
该两条边称为平行边。如果一条边关联
的两个结点是相同的结点，则称该边为
圈或自环(Loop)。不存在平行边与圈的
10.2 图与图模型
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5}, E = {v1 , v2}, {v1 , v3}, {v2 , v3}, {v 2 , v 4}, {v3 , v4},{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。 图(a).(b)分别给出了图G的图解方法。
V1
V7
V2
V3={2，5，6，7}，
V4={2，6，7}， V5={4，7，8，9}， V6={8，9，10}， V7={1，3，9，10}。
V6 V3 V4
V5
10.2 图与图模型
V2
V1 V7
V6 V3 V4
V5
顶点集V={V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 } 边集E={ <V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V1,V7>,<V2,V3>,<V2,V4>,<V2,V7>,
研究主题
旅行商问题：TSP问题 中国邮路问题
地图着色问题：四色定理
最短路径问题 网络流 匹配 组合计数
主要内容
1) 图的基本术语；
2) 结点的度，子图，完全图；
3) 图的连通性；
4) 图的运算，图的矩阵表示及其性质；
5) 图的同构；
6) 欧拉图与哈密尔顿图的性质及其应用。
Hale Waihona Puke Baidu
10.1 图论概述
图G的所有结点度数的最小度数称为G的最小度，记作(G)，
而所有结点度数的最大者称为G的最大度，记作(G)。 各结点的度均相同的图称为正则图（Regular Graph）。各结点 度均为k的正则图称为k-正则图。
10.2 图与图模型 定义10.3 如果图的每条边是二结点构成的有序对， 则该图称为有向图(Directed Graph)，上文所定义
V5
10.2 图与图模型
结点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图记为。 阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)， 否则称为无限图(Infinite Graph)。
10.2 图与图模型:无向图
边e2关联结点v1、v2
环loop-->非简单图 deg(v2)=4
结点 (G)=4
的图都是无向图(Undirected Graph)。有向图中边
uv与vu是两条不同的边，对于边uv，称u为始点，v 为终点。
有向图中，结点v的度分为入度，即与该结点相
关联并以该结点为终点的边的数目，以及出度,即与 该结点相关联并以该结点为始点的边的数目,分别记 作deg+(v)，deg-(v)。
<V3,V4>,<V3,V5>,<V4,V5>,<V5,V6>,<V5,V7>,<V6,V7> }
图G=(V,E)的阶为7， 图的规模为13
10.2 图与图模型 定义10.1 图G=(V,E)包括两个集合： 结点集V(G) ：非空的对象的集合,V={v1,v2,…,vn} ； 边集E(G) ：有限的两个对象构成的V的无序对构成的 集合。E={e1,e2,…,em}; 其中，每一条边都是集合V的二元子集，如边ei={u，v}， 常常简记为uv或vu，其中u、v称为边uv的端点。
图是人们日常生活中常见的一种信息载
体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾
名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，
但这里的图不是平面坐标系中的函数，而是 由一些点和连接这些点的线组成的结构。图 论是有许多应用的古老学科，也一直以来都 是一个热门学科，它已经被广泛应用于计算
机科学、化学、运筹学、心理学等很多领域。
10.2 图与图模型
节点集合V(G)的基数n表示图G的阶，边集合E(G)的 基数m表示图G的规模，有时也将图G记作(n,m)。
在图G中，若边集E(G)=Ф ,则称G为零图，此时，又 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地， 称N1为平凡图（Trivial graph）。 N7
V1 V7 V2 V6 V3 V4
如何设计集成电路线路布局而达到最优效率？
如何设计计算机鼓轮？ 七枚同重量硬币与一枚较轻的伪币，使用天平秤多 少次就能找出伪币？ 如何设计下棋程序？
n-皇后问题
最少用几种颜色就能将世界地图都着色？ 如何使箱子尽可能装满物体？ 一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。 问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而 他的船每趟只能运其中的一个。那么他怎样才能把 三者都运过河呢？
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？
程序结构度量：程序是否结构相似？
如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？
如何安排工作流程而达到最高效率？
如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
10.2 图与图模型 例10.2 某学校共有10名教师，他们分别参加7个班级的讨论 课，每个班级可能同时需要多位教师参加，有的教师可能需 要参加多个班级的讨论，每个班级必须单独开展讨论课，则 如何安排才使得所有班级在最短时间段内完成讨论课？讨论 课的情况如下（Vi为班级编号，数字1-10为教师编号）： V1={1，2，3}， V2={1，3，4，5}，
图即称为简单图(Simple Graph)。
10.2 图与图模型
定义10.2
如果uv是图G的边，记为e，即uvE(G),则称结点u和v邻接 (Adjacent),
否则称结点u与v非邻接。
与同一个结点关联的两条边称为邻接边。 与结点v关联的边数称为结点v的度，记作deg(v)。与结点v关联 的环对v的度数的贡献要计算两次。 如果结点v的度为0，则称之为孤立点(Isolated Vertex)。 一度的结点称为悬挂点（Pendant Vertex）。
e1
v2 e2
v1
分离边
悬挂边
悬挂点
孤立点 (G)=0
v3
平行边/重边 多重图
v3结点度为3, deg(v3)=3
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相
同，则称该图为多重图(Multigraph)，
该两条边称为平行边。如果一条边关联
的两个结点是相同的结点，则称该边为
圈或自环(Loop)。不存在平行边与圈的
10.2 图与图模型
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5}, E = {v1 , v2}, {v1 , v3}, {v2 , v3}, {v 2 , v 4}, {v3 , v4},{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。 图(a).(b)分别给出了图G的图解方法。
V1
V7
V2
V3={2，5，6，7}，
V4={2，6，7}， V5={4，7，8，9}， V6={8，9，10}， V7={1，3，9，10}。
V6 V3 V4
V5
10.2 图与图模型
V2
V1 V7
V6 V3 V4
V5
顶点集V={V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 } 边集E={ <V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V1,V7>,<V2,V3>,<V2,V4>,<V2,V7>,
研究主题
旅行商问题：TSP问题 中国邮路问题
地图着色问题：四色定理
最短路径问题 网络流 匹配 组合计数
主要内容
1) 图的基本术语；
2) 结点的度，子图，完全图；
3) 图的连通性；
4) 图的运算，图的矩阵表示及其性质；
5) 图的同构；
6) 欧拉图与哈密尔顿图的性质及其应用。
Hale Waihona Puke Baidu
10.1 图论概述
图G的所有结点度数的最小度数称为G的最小度，记作(G)，
而所有结点度数的最大者称为G的最大度，记作(G)。 各结点的度均相同的图称为正则图（Regular Graph）。各结点 度均为k的正则图称为k-正则图。
10.2 图与图模型 定义10.3 如果图的每条边是二结点构成的有序对， 则该图称为有向图(Directed Graph)，上文所定义
V5
10.2 图与图模型
结点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图记为。 阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)， 否则称为无限图(Infinite Graph)。
10.2 图与图模型:无向图
边e2关联结点v1、v2
环loop-->非简单图 deg(v2)=4
结点 (G)=4
的图都是无向图(Undirected Graph)。有向图中边
uv与vu是两条不同的边，对于边uv，称u为始点，v 为终点。
有向图中，结点v的度分为入度，即与该结点相
关联并以该结点为终点的边的数目，以及出度,即与 该结点相关联并以该结点为始点的边的数目,分别记 作deg+(v)，deg-(v)。
<V3,V4>,<V3,V5>,<V4,V5>,<V5,V6>,<V5,V7>,<V6,V7> }
图G=(V,E)的阶为7， 图的规模为13
10.2 图与图模型 定义10.1 图G=(V,E)包括两个集合： 结点集V(G) ：非空的对象的集合,V={v1,v2,…,vn} ； 边集E(G) ：有限的两个对象构成的V的无序对构成的 集合。E={e1,e2,…,em}; 其中，每一条边都是集合V的二元子集，如边ei={u，v}， 常常简记为uv或vu，其中u、v称为边uv的端点。
图是人们日常生活中常见的一种信息载
体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾
名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，
但这里的图不是平面坐标系中的函数，而是 由一些点和连接这些点的线组成的结构。图 论是有许多应用的古老学科，也一直以来都 是一个热门学科，它已经被广泛应用于计算
机科学、化学、运筹学、心理学等很多领域。
10.2 图与图模型
节点集合V(G)的基数n表示图G的阶，边集合E(G)的 基数m表示图G的规模，有时也将图G记作(n,m)。
在图G中，若边集E(G)=Ф ,则称G为零图，此时，又 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地， 称N1为平凡图（Trivial graph）。 N7
V1 V7 V2 V6 V3 V4
如何设计集成电路线路布局而达到最优效率？
如何设计计算机鼓轮？ 七枚同重量硬币与一枚较轻的伪币，使用天平秤多 少次就能找出伪币？ 如何设计下棋程序？
n-皇后问题
最少用几种颜色就能将世界地图都着色？ 如何使箱子尽可能装满物体？ 一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。 问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而 他的船每趟只能运其中的一个。那么他怎样才能把 三者都运过河呢？