离散数学10图的基本概念分解
离散数学 图
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欧拉是这样解决这个问题的：将四块陆
地表示成四个点，桥看成是对应结点之间的 连线。则哥尼斯堡七桥问题就变成了：从A， B ， C ， D 任一点出发，通过每边一次且仅一 次返回原出发点的路线（回路）是否存在？ 欧拉证明这样的回路是不存在的。
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第二阶段是从 19 世纪中叶到 1936 年。
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图论的产生和发展经历了二百多年的历
史，大体上可分为三个阶段： 第一阶段是从 1736 年到 19 世纪中叶。 当时的图论问题是盛行的迷宫问题和游戏问 题。最有代表性的工作是著名数学家欧拉于 1736年解决的哥尼斯堡七桥问题。
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东普鲁士的哥尼斯堡城（今俄罗斯的加里宁格
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例10.1.1 图10-1的两个图分别为无向图和
有向图。在（ a ）中， e7 是环， e1 、 e2 与 e3
是邻接边。在（ b ）中， v2v1 与 v2v3 是邻接
边，但v2v3和v3v2不是邻接边，v5为孤立结
点。
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定义 10.1.2 （ 1 ）含有平行边（或弧）的图 称为多重图（ Multigraph ）。不含平行边 （ 或 弧 ） 和 环 的 图 称 为 简 单 图 （ Simple Graph）。
论应用于电网络研究。1857年英国的凯莱也
独立地提出了树的概念，并应用于有机化合 物分子结构即CnH2n+2的同分异构物数目的研 究中。 1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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离散数学 图
10.7 树及其应用 教学内容：树，树叶，分支点，生成树，
最小生成树，Kruskal算法， Prim算法，根树，有序树， 二叉树，树的遍历， 最优二叉树， Haffman算法
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10.9 最短路径 教学内容：最短路径，Dijks位于普雷格尔（Pregel）河的两岸，河中有
一个岛，于是城市被这条河、它的分支和岛分成了
四个部分，各部分通过7座桥彼此相通。该城的居
民喜欢在周日绕城散步。于是就产生了这样一个问
题：能不能设计一条散步的路线，使得一个人从家
里（或从四部分陆地任一块）出发，经过每座桥恰
好一次再回到家里？这就是有名的哥尼斯堡七桥问
题。
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哥尼斯堡七桥问题看起来并不复杂，因
此立刻吸引许多人的注意，但是实际上很难
解决。
瑞士数学家欧拉注意到了这个问题，并
在1736年写的有关“哥尼斯堡七桥问题”
的论文中解决了这个问题。这篇论文被公认
为是图论历史上的第一篇论文，欧拉也因此
被誉为图论之父。
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简单（回）路，基本（回）路， 连通图，连通分支，点（边）割集， 割（边），强（单向，弱）连通图， 强（单向，弱）分图
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10.4 欧拉图与哈密顿图 教学内容：欧拉（回）路，欧拉图，
哈密顿（回）路，哈密顿图
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10.6 平面图 教学内容：平面图，面，边界，欧拉公式
1936年匈牙利的数学家哥尼格写出了第 一本图论专著《有限图与无限图的理论》， 标志着图论成为一门独立学科。
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第三阶段是1936年以后。由于生产管 理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等 方面的大量问题的出现，大大促进了图论的 发展。特别是计算机的大量应用，使大规模 问题的求解成为可能。
离散数学图论整理
离散数学图论整理总结第⼋章图论8.1 图的基本概念8.1.1 图定义8.1―1 ⼀个图G 是⼀个三重组〈V (G ),E (G ),ΦG 〉,其中V (G )是⼀个⾮空的结点(或叫顶点)集合,E (G )是边的集合,ΦG 是从边集E 到结点偶对集合上的函数。
⼀个图可以⽤⼀个图形表⽰。
定义中的结点偶对可以是有序的,也可以是⽆序的。
若边e 所对应的偶对〈a ,b 〉是有序的,则称e 是有向边。
有向边简称弧,a 叫弧e 的始点,b 叫弧e 的终点,统称为e 的端点。
称e 是关联于结点a 和b 的,结点a 和结点b 是邻接的。
若边e 所对应的偶对(a ,b )是⽆序的,则称e 是⽆向边。
⽆向边简称棱,除⽆始点和终点的术语外,其它术语与有向边相同每⼀条边都是有向边的图称为有向图。
每⼀条边都是⽆向边的图称为⽆向图。
有向图和⽆向图也可互相转化。
例如,把⽆向图中每⼀条边都看作两条⽅向不同的有向边,这时⽆向图就成为有向图。
⼜如,把有向图中每条有向边都看作⽆向边,就得到⽆向图。
这个⽆向图习惯上叫做该有向图的底图。
在图中,不与任何结点邻接的结点称为弧⽴结点。
全由孤⽴结点构成的图称为零图。
关联于同⼀结点的⼀条边称为⾃回路。
在有向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若同始点和同终点的边多于⼀条,则这⼏条边称为平⾏边。
在⽆向图中,两结点间(包括结点⾃⾝间)若多于⼀条边,则称这⼏条边为平⾏边。
两结点a 、b 间互相平⾏的边的条数称为边［a ,b ］的重数。
仅有⼀条时重数为1,⽆边时重数为0。
定义8.1―2 含有平⾏边的图称为多重图。
⾮多重图称为线图。
⽆⾃回路的线图称为简单图。
仅有⼀个结点的简单图称为平凡图。
定义 8.1―3 赋权图G 是⼀个三重组〈V ,E ,g 〉或四重组〈V ,E ,f ,g 〉,其中V 是结点集合, E 是边的集合,f 是定义在V 上的函数,g 是定义在E 上的函数。
8.1.2 结点的次数定义 8.1―4 在有向图中,对于任何结点v ,以v 为始点的边的条数称为结点v 的引出次数(或出度),记为deg +(v );以v 为终点的边的条数称为结点v 的引⼊次数(或⼊度),记为deg -(v );结点v 的引出次数和引⼊次数之和称为结点v 的次数(或度数),记作deg (v )。
离散数学图的基本概论
简单通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路且边e1 e2… ek 互不相同，又称之为迹，可简用v0 v1 … vk 来表示。 简单回路 (v0 = vk)又称为闭迹。
初级通路或基本通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路 且顶点v0 v1… vk 互不相同。 基本回路： v0 = vk。 初级通路一定是简单通路，但简单通路
不一定是一条初级通路。
例8.6 就下面两图列举长度为5的通路，简 单通路，回路，简单回路，再列举长 度为3的基本通路和回路。
e3 v5
e7 v4
v1
e2
e1 v2
e6 e4
e5 v3
e1 v5 e8 e4
v4
v1
e3
e2 v2
e6 e5
e7 v3
(1)
(2)
解：试对照定义，自己做一做！如：
(1)中 v1e1v2e2v5e3v1e1v2e4v3 为v1到v3的通路；
021?01ijn11iiij??????mmjm从而?12im1jijvdm?????mmvvddmm??????i?????1i?niinmijij11从而有从而有1?im1jijvdm??????由mij的定义知?11jmvdm????????i???1i??n1inm1jij1通路数与回路数的矩阵算法
平行边：无向图中，关联一对结点的无向边 多于一条，平行边的条数为重数； 有向图中，关联一对顶点的无向边 多于一条，且始、终点相同。
多重图：包含平行边的图。
简单图：既不包含平行边又不包含环的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV) 关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
《离散数学》图基本概念
17
无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
离散数学——图论
2021/10/10
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哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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离散数学中的图论代表知识点介绍
离散数学中的图论代表知识点介绍离散数学是数学的一个分支，它主要研究离散对象以及其离散性质和离散结构。
图论作为离散数学的重要组成部分，以图为研究对象，研究了图的基本概念、图的表示方法以及图的性质和应用。
本文将介绍离散数学中的图论代表知识点。
1. 图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的离散结构，用V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图中的边是有方向的，而无向图中的边是无方向的。
图中的顶点可以表示为V={v1, v2, v3, ...}，边可以表示为E={(vi, vj)}。
在图中，两个顶点之间有边相连时，称这两个顶点是相邻的。
2. 图的表示方法图可以用多种方式来表示。
常见的表示方法有邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
邻接表则是通过链表的方式来表示图的结构，每个顶点都对应一个链表，链表中存储着与该顶点相邻的顶点。
3. 图的性质图论研究了图的许多性质和特性。
其中一些重要的性质包括连通性、路径、回路、度数、树和连通分量等。
连通性是指图中任意两个顶点之间是否存在路径。
如果图中任意两个顶点都存在路径相连，则图被称为连通图。
反之，如果存在无法通过路径相连的顶点对，则图为非连通图。
连通图中的任意两个顶点之间至少存在一条路径。
路径是指从一个顶点到另一个顶点的顶点序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径是指两个顶点之间边的数量最少的路径。
回路是指路径起点和终点相同的路径。
如果回路中除起点和终点以外的顶点不重复出现，则称为简单回路。
度数是指图中顶点的边的数量。
对于有向图来说，度数分为入度和出度，分别表示指向该顶点的边和从该顶点指出的边的数量。
树是一种无回路的连通图，它具有n个顶点和n-1条边。
树是图论中一个重要的概念，它有广泛的应用。
连通分量是指图中的极大连通子图，即在该子图中的任意两个顶点都是连通的，且该子图不能再加入其他顶点使其连通。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学第七章图的基本概念知识点总结
图论部分第七章、图的基本概念7.1 无向图及有向图无向图与有向图多重集合: 元素可以重复出现的集合无序积: A&B={(x,y) | x∈A∧y∈B}定义无向图G=<V,E>, 其中(1) 顶点集V≠∅，元素称为顶点(2) 边集E为V&V的多重子集，其元素称为无向边，简称边.例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5}, E={(v1,v1), (v1,v2),(v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ,定义有向图D=<V,E>, 其中(1) V同无向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) 边集E为V⨯V的多重子集，其元素称为有向边，简称边.用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图，右图是有向图，试写出它的V和E注意：图的数学定义与图形表示,在同构(待叙)的意义下是一一对应的通常用G表示无向图, D表示有向图, 也常用G泛指无向图和有向图, 用e k表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=∅平凡图: 1 阶零图空图: V=∅顶点和边的关联与相邻：定义设e k=(v i,v j)是无向图G=<V,E>的一条边, 称v i ,vj为e k的端点, e k与v i (v j)关联. 若v i ≠v j, 则称e k与v i (v j)的关联次数为1;若v i = v j, 则称e k为环, 此时称e k与v i 的关联次数为2; 若v i不是e k端点,则称e k与v i 的关联次数为0. 无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E>, v i,v j∈V, e k,e l∈E,若(v i,v j) ∈E, 则称v i,v j相邻; 若e k,e l至少有一个公共端点, 则称e k,e l相邻.对有向图有类似定义. 设e k=〈v i,v j〉是有向图的一条边,又称v i是e k的始点, v j 是e k的终点, v i邻接到v j, v j邻接于v i.邻域和关联集顶点的度数设G=<V,E>为无向图, v∈V,v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边G的最大度∆(G)=max{d(v)| v∈V}G的最小度δ(G)=min{d(v)| v∈V}例如d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,∆(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e是环1设D=<V,E>为有向图, v∈V,v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和v的入度d-(v): v作为边的终点次数之和v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和d(v)= d+(v)+ d-(v)D的最大出度∆+(D), 最小出度δ+(D)最大入度∆-(D), 最小入度δ-(D)最大度∆(D), 最小度δ(D)例如d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5,d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,∆+(D)=4, δ+(D)=0, ∆-(D)=3,δ-(D)=1,∆(D)=5, δ(D)=3.握手定理定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度. 有向图的每条边提供一个入度和一个出度, 故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.图的度数列设无向图G的顶点集V={v1, v2, …, v n}G的度数列: d(v), d(v2), …, d(v n)1如右图度数列:4,4,2,1,3设有向图D的顶点集V={v1, v2, …, v n}D的度数列: d(v), d(v2), …, d(v n)1D的出度列: d+(v), d+(v2), …, d+(v n)1D的入度列: d-(v), d-(v2), …, d-(v n)1如右图度数列:5,3,3,3出度列:4,0,2,1入度列:1,3,1,2例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗?解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2, 问G 至少有多少个顶点?解设G有n个顶点. 由握手定理,4⨯3+2⨯(n-4)≥2⨯10解得n≥8例3 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.证用反证法. 假设存在这样的多面体,作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},E={(u,v) | u,v∈V∧u与v有公共的棱∧u≠v}.根据假设, |V|为奇数且∀v∈V, d(v)为奇数. 这与握手定理的推论矛盾. 多重图与简单图定义 (1) 在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点, 则称这些边为平行边, 平行边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平行边, 简称平行边, 平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念图的同构定义设G1=<V1,E1>, G2=<V2,E2>为两个无向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的v,v j∈V1,i(v i,v j)∈E1（<v i,v j>∈E1）当且仅当(f(v i),f(v j))∈E2（<f(v i),f(v j)>∈E2），并且, (v i,v j)（<v i,v j>）与 (f(v i),f(v j))（<f(v i),f(v j)>）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:① 边数相同，顶点数相同② 度数列相同(不计度数的顺序)③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法完全图：n阶无向完全图K n: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ∆=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ∆=δ=2(n-1),∆+=δ+=∆-=δ-=n-1子图：定义设G=<V,E>, G '=<V ',E '>是两个图(1) 若V '⊆V且E '⊆E,则称G '为G的子图, G为G '的母图, 记作G '⊆G(2) 若G '⊆G 且V '=V，则称G '为G的生成子图(3) 若V '⊂V 或E '⊂E，称G '为G的真子图(4) 设V '⊆V 且V '≠∅, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的子图称作V '的导出子图，记作G[V '](5) 设E '⊆E且E '≠∅, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E '的导出子图, 记作G[E ']补图：定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图K n的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作 .若G≅ , 则称G是自补图.例对上一页K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对子图, 并指出哪些是自补图.7.2 通路、回路、图的连通性简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路定义给定图G=<V,E>（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…e l v l，(1) 若∀i(1≤i≤l), v i-1, v i是e i的端点(对于有向图, 要求v i-1是始点, v i是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, v l是通路的终点, l为通路的长度. 又若v=v l，则称Γ为回路.(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=v l)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路).说明:表示方法① 用顶点和边的交替序列(定义), 如Γ=v0e1v1e2…e l v l② 用边的序列, 如Γ=e1e2…e l③ 简单图中, 用顶点的序列, 如Γ=v0v1…v l④ 非简单图中,可用混合表示法,如Γ=v0v1e2v2e5v3v4v5环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度为2的圈.在无向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2.在两种意义下计算的圈个数① 定义意义下在无向图中, 一个长度为l(l≥3)的圈看作2l个不同的圈. 如v0v1v2v0 ,v 1v2vv1, v2v0v1v2, v0v2v1v0 , v1v0v2v1 , v2v1v0v2看作6个不同的圈. 在有向图中, 一个长度为l(l≥3)的圈看作l个不同的圈.② 同构意义下所有长度相同的圈都是同构的, 因而是1个圈.定理在n阶图G中，若从顶点v i到v j（v i≠v j）存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n-1的通路.推论在n阶图G中，若从顶点v i到v j（v i≠v j）存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n-1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在v i到自身的回路，则一定存在v i到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在v i到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v∈V且u~v}是V上的等价关系连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图.连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图设V/R={V1,V2,…,V k}, G[V1], G[V2], …,G[V k]是G的连通分支, 其个数记作p(G)=k.G是连通图⇔p(G)=1短程线与距离u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ⇔u=vd(u,v)=d(v,u)d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w)点割集与割点记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V ': 从G中删除V '中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设无向图G=<V,E>, V '⊂V, 若p(G-V ')>p(G)且∀V ''⊂V ', p(G-V '')=p(G), 则称V '为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.边割集与割边(桥)定义设无向图G=<V,E>, E '⊆E, 若p(G-E ')>p(G)且∀E ''⊂E ',p(G-E '')=p(G), 则称E '为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？8几点说明：K无点割集nn阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E '为边割集，则p(G-E ')=2若G连通，V '为点割集，则p(G-V ')≥2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通(连通): 基图为无向连通图D单向连通: ∀u,v∈V，u可达v或v可达uD强连通: ∀u,v∈V，u与v相互可达强连通⇒单向连通⇒弱连通定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v)u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.性质：d<u,v>≥0, 且d<u,v>=0 ⇔u=vd<u,v>+d<v,w> ≥d<u,w>注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表示无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, v n}, E={e1, e2, …, e m},令m ij为v i 与e j的关联次数，称(m ij)n⨯m为G的关联矩阵，记为M(G).性质(1) 每一列恰好有两个1或一个2有向图的关联矩阵定义设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, v n},E={e, e2, …, e m}, 令1性质(1) 每一列恰好有一个1和一个-1(2) 第i行1 的个数等于d+(v i), -1 的个数等于d-(v i)(3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m(4) 平行边对应的列相同有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵7.4 最短路径及关键路径带权图G=<V,E,w>, 其中w:E→R.∀e∈E, w(e)称作e的权. e=(v i,v j), 记w(e)=w ij . 若v i,v j不相邻, 记w ij =∞.设L是G中的一条路径, L的所有边的权之和称作L的权, 记作w(L).u和v之间的最短路径: u和v之间权最小的通路.标号法(E.W.Dijkstra, 1959)PERT图与关键路径PERT图(计划评审技术图)设有向图G=<V,E>, v∈Vv的后继元集Γ+(v)={x|x∈V∧<v,x>∈E}v的先驱元集Γ-(v)={x|x∈V∧<x,v>∈E}PERT图:满足下述条件的n阶有向带权图D=<V,E,w>,(1) D是简单图,(2) D中无回路,(3) 有一个入度为0的顶点, 称作始点; 有一个出度为0的顶点, 称作终点.通常边的权表示时间, 始点记作v1, 终点记作v n关键路径关键路径: PETR图中从始点到终点的最长路径v的最早完成时间TE(v i): 从始点v1沿最长路径到v ii所需的时间TE(v)=01TE(v)=max{TE(v j)+w ji|v j∈Γ-(v i)}, i=2,3,⋯,niv的最晚完成时间TL(v i): 在保证终点v n的最早完成i时间不增加的条件下, 从始点v1最迟到达v i的时间TL(v)=TE(v n)nTL(v)=min{TL(v j)-w ij|v j∈Γ+(v i)}, i=n-1,n-2,⋯,1iv的缓冲时间TS(v i)=TL(v i)-TE(v i), i=1,2,⋯,niv在关键路径上⇔TS(v i)=0i最晚完成时间TL(v)=128TL(v)=min{12-6}=67TL(v)=min{12-1}=116TL(v)=min{11-1}=105TL(v)=min{10-4}=64TL(v)=min{6-2,11-4,6-4}=23TL(v)=min{2-0,10-3,6-4}=22TL(v)=min{2-1,2-2,6-3}=01缓冲时间TS(v)=0-0=01TS(v)=2-1=12TS(v)=2-2=03TS(v)=6-4=24TS(v=10-8=25TS(v)=11-9=26TS(v)=6-6=07TS(v)=12-12=08关键路径: v1v3v7v8。
图论—基本概念离散数学
离 散 数 学
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定理5.1.1
• 设图G是具有n个顶点、m条边的无向图， 其中点集V={v1,v2,· · · ,vn}，则
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de g (v ) de g (v ) m
i 1 i i 1 i
n
n
• 证明：因为每一条有向边提供一个出度 和入度， • 而所有各顶点出度之和及入度之和均由 m条有向边所提供， • 所以定理得证。
40
35
80
70
37
10
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图的邻接矩阵
• 设图G=(V,E)，V={v1,v2,· · · ,vn}， 令
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1 (vi , v j ) E (G ) aij { 0 (vi , v j ) E (G )
• 则称矩阵A=(aij)n×n为图G的邻接 矩阵。
e4
e2
v4
e5 e3
e4
v3
v3
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图的操作-删点
v1 e1 v2 v2
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e2
v4
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e4 v4
e5 e3
e4
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图-基本概念6
• 如果把一个有向图D的每条有向边的方 向去掉，由此而得到无向图G，称为D的 底图 • 把一个有向图D的每一条有向边反向， 由此而得到的图称为D的逆图，记为~D。 • ~(~D)=D
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离散数学ch2 (10)
i
1
i
证明：由定理14.1，必要性显然 充分性：由已知条件可知，d中有2k个奇数，不妨设它们为 d1, d2, …, dk , dk+1 ， dk+2 …, d2k，构造以d为度数列的n阶无 向图G=<V,E>,如下： V={v1, v2, …, vn}，在顶点vr和vr+k之 间连边，r=1,2，…, k，若di为偶数，令di’= di ，若di为奇数， 则令di’= di -1，得到d’=(d1’, d2’, …, dn’),则di’均为偶数， 再在vi处画di’/2条环，i= 1,2，…, n, 这就证明了d是可图 化的 易知：(2, 4, 6, 8, 10)，(1, 3, 3, 3, 4) 是可图化的，而(1, 2, 3, 4, 5)，(3, 3, 3, 4) 不是可图化的
第五部分 图论
本部分主要内容 图的基本概念 欧拉图、哈密顿图 树 平面图 支配集、覆盖集、独立集、匹配与着色
1
图论的研究可以追溯到1736 年, 图论中几个重要的结论也 是在19 世纪得到的，但图论引起人们兴趣是20 世纪20 年代。 应用：计算机科学、化学、运筹学、经济学、语言学等。 内容：图的基本概念包括路径和环，欧拉回路，哈密尔顿 回路/货郎担问题，图同构、平面图等。
9
相关概念
7. 设D=<V,E>为有向图， ek =<vi,vj>E ，称vi,vj为ek的端点， vi为ek的始点，vj为ek的终点， ek与vi（vj）关联，若vi =vj， 则称ek为D中的环 8. 若两个顶点之间有一条有向边，则称这两个顶点相邻， 若两条边中一条边的终点是另一条边的始点则称这两条 边相邻 图（无向的或有向的）中没有边关联的顶点称作孤立点
(离散数学)图的基本概念
一、基本图类与相关概念（续）
无向图：无向图G是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(G)， V中元素称为顶点或结点； (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现)，称为边集E(G)，
E中元素称为无向边，简称边。
2014-5-3 离散数学 5
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离散数学
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一、基本图类与相关概念（续）
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若<a, b>E，
则在顶点a与b之间画一条有向边，其箭头从a指向b。
如：D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
6
3
v1
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e1
v2
5
e
4
v3
6
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一、基本图类与相关概念（续）
2、有向图
有向图：有向图D是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(D)； (2) E是笛卡尔积V V的多重子集，称为边集 E(D)，E中元素称为有向边，也简称边。
一、基本图类与相关概念（续）
实际上，图是画出来的。画法：用小圆圈表示V中
顶点，若(a, b)E，则在顶点a与b之间连线段。
如：G = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }， E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }
离散数学中的图论与组合数学
离散数学中的图论与组合数学离散数学是数学的一个分支领域，研究离散化的结构和对象，而图论和组合数学则是离散数学中的两个重要分支。
本文将探讨图论和组合数学的基本概念和应用。
一、图论图论是研究图及其性质和应用的数学分支。
图是由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
具体来说，图由顶点的集合和边的集合构成，顶点间的边表示了它们之间的关系。
1.1 图的基本概念在图论中，我们经常会遇到以下几个基本概念：顶点：图中的一个节点或一个元素，用于表示一个实体或一个抽象的对象。
边：连接顶点的线段，表示顶点之间的关系。
路径：由边连续连接的顶点序列。
回路：起点和终点相同的路径。
距离：两个顶点间的路径长度。
连通性：图中任意两个顶点之间存在路径。
1.2 图的应用图论在现实生活和计算机科学中都有广泛的应用，其中一些重要的应用包括：网络分析：图论可用于分析社交网络、互联网和公共交通网络等复杂的网络结构。
电路设计：图论可以帮助设计电路和优化电路的布局。
路线规划：图论可应用于解决最短路径和旅行商问题等。
二、组合数学组合数学是一门研究离散结构的数学分支，主要研究离散对象的计数、排列、组合和选择等问题。
它涉及到排列组合、图论、图表以及递归等数学技术。
2.1 排列与组合排列是从给定对象中选取若干个并按照特定顺序排列的方式，而组合则是从给定对象中选取若干个但不考虑顺序的方式。
排列与组合的计数问题在实际应用中经常出现，比如：从n个数中选取m个不同的数，有多少种选择方式？从n个人中选取m个人组成一个团队，有多少种不同的团队组合方式？2.2 图论与组合数学的联系图论和组合数学有着紧密的联系，它们互相补充和借鉴。
图的着色问题是图论和组合数学中的一个重要问题。
着色问题可以简单地理解为如何用有限数量的颜色为图中的每个顶点染色，使得相邻的顶点颜色不同。
另一个联系是组合数学中的波利亚定理，它可以用于计算图的数量。
波利亚定理告诉我们，一个n个顶点的图中存在多少个不同的子图。
离散数学第10章 图的概念与表示_OK
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• 定义10.2.5 若图G只有一个连通分图，则称G是连通图；否则，称图G为 非连通图或分离图。
• 在图的研究中，常常需要考虑删去与增加结点、结点集、边和边集（或 弧集）的问题。所谓从图G=<V,E>中删去结点集S，是指作V-S以及从E 中 删 去 与 S 中 的 全 部 结 点 相 联 结 的 边 而 得 到 的 子 图 ， 记 作 G-S ； 特 别 当 S=|v|时，简记为G-v；所谓从图G=<V,E>中删去边集（或弧集）T，是 指作E-T，且T中的全部边所关联的结点仍在V中而得到的子图，记为G-T； 特别当T={e}时，简记作G-e。
• 显然，G与
互为补图。
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• 在图的定义中，强调的是结点集、边集以及边与结点的关联关系，既没 有涉及到联结两个结点的边的长度、形状和位置，也没有给出结点的位 置或者规定任何次序。因此，对于给定的两个图，在它们的图形表示中， 即在用小圆圈表示结点和用直线或曲线表示联结两个结点的边的图解中， 看起来很不一样，但实际上却是表示同一个图。因而，引入两图的同构 概念便是十分必要的了。
例如图例如图1011410114中中aa与与bb202182423图图1011310113返回返回202182424返回返回图图11141114202182425102在无向图或有向图的研究中常常考虑从一个结点出发沿着一些边或弧连续移动而达到另一个指定结点这种依次由结点和边或弧组成的序列便形成了链或路的概念
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• 定义10.1.6 在有向图G=<V，E>中，对任意结点v∈V，以v为始结点的弧 的条数，称为结点v的出度，记为d+(v)；以v为终结点的弧的条条数，称 为v的入度，记作d-(v)；结点v的出度与入度之和，称为结点的度数，记 为d(v)，显然d(v)=d+(v)+d-(v)。
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。
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10.2 图与图模型 例10.2 某学校共有10名教师，他们分别参加7个班级的讨论 课，每个班级可能同时需要多位教师参加，有的教师可能需 要参加多个班级的讨论，每个班级必须单独开展讨论课，则 如何安排才使得所有班级在最短时间段内完成讨论课？讨论 课的情况如下（Vi为班级编号，数字1-10为教师编号）： V1={1，2，3}， V2={1，3，4，5}，
图是人们日常生活中常见的一种信息载
体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾
名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，
但这里的图不是平面坐标系中的函数，而是 由一些点和连接这些点的线组成的结构。图 论是有许多应用的古老学科，也一直以来都 是一个热门学科，它已经被广泛应用于计算
机科学、化学、运筹学、心理学等很多领域。
V1
V7
V2
V3={2，5，6，7}，
V4={2，6，7}， V5={4，7，8，9}， V6={8，9，10}， V7={1，3，9，10}。
V6 V3 V4
V5
10.2 图与图模型
V2
V1 V7
V6 V3 V4
V5
顶点集V={V1, V2, V3, V4, V5, V6, V7 } 边集E={ <V1,V2>,<V1,V3>,<V1,V4>,<V1,V7>,<V2,V3>,<V2,V4>,<V2,V7>,
研究主题
旅行商问题：TSP问题 中国邮路问题
地图着色问题：四色定理
最短路径问题 网络流 匹配 组合计数
主要内容
1) 图的基本术语；
2) 结点的度，子图，完全图；
3) 图的连通性；
4) 图的运算，图的矩阵表示及其性质；
5) 图的同构；
6) 欧拉图与哈密尔顿图的性质及其应用。
10.1 图论概述
的图都是无向图(Undirected Graph)。有向图中边
uv与vu是两条不同的边，对于边uv，称u为始点，v 为终点。
有向图中，结点v的度分为入度，即与该结点相
关联并以该结点为终点的边的数目，以及出度,即与 该结点相关联并以该结点为始点的边的数目,分别记 作deg+(v)，deg-(v)。
图G的所有结点度数的最小度数称为G的最小度，记作(G)，
而所有结点度数的最大者称为G的最大度，记作(G)。 各结点的度均相同的图称为正则图（Regular Graph）。各结点 度均为k的正则图称为k-正则图。
10.2 图与图模型 定义10.3 如果图的每条边是二结点构成的有序对， 则该图称为有向图(Directed Graph)，上文所定义
10.2 图与图模型
节点集合V(G)的基数n表示图G的阶，边集合E(G)的 基数m表示图G的规模，有时也将图G记作(n,m)。
在图G中，若边集E(G)=Ф ,则称G为零图，此时，又 若G为n阶图，则称G为n阶零图，记作Nn，特别地， 称N1为平凡图（Trivial graph）。 N7
V1 V7 V2 V6 V3 V4
e1
v2 e2
v1
分离边
悬挂边
悬挂点
孤立点 (G)=0
v3
平行边/重边 多重图
v3结点度为3, deg(v3)=3
10.2 图与图模型
如果图中存在某两条边的端点都相
同，则称该图为多重图(Multigraph)，
该两条边称为平行边。如果一条边关联
的两个结点是相同的结点，则称该边为
圈或自环(Loop)。不存在平行边与圈的
<V3,V4>,<V3,V5>,<V4,V5>,<V5,V6>,<V5,V7>,<V6,V7> }
图G=(V,E)的阶为7， 图的规模为13
10.2 图与图模型 定义10.1 图G=(V,E)包括两个集合： 结点集V(G) ：非空的对象的集合,V={v1,v2,…,vn} ； 边集E(G) ：有限的两个对象构成的V的无序对构成的 集合。E={e1,e2,…,em}; 其中，每一条边都是集合V的二元子集，如边ei={u，v}， 常常简记为uv或vu，其中u、v称为边uv的端点。
V5
10.2 图与图模型
结点集为空集的图为空图（Empty Graph），并将空图记为。 阶为有限的图称为有限图(Finite Graph)， 否则称为无限图(Infinite Graph)。
10.2 图与图模型:无向图
边e2关联结点v1、v2
环loop-->非简单图 deg(v2)=4
结点 (G)=4
10.2 图与图模型
设 V ={v1，v2，v3，v4，v5}, E = {v1 , v2}, {v1 , v3}, {v2 , v3}, {v 2 , v 4}, {v3 , v4},{v 3 , v 5 }, {v 4 , v 5 } 则 G=（V，E）是一个图。 图(a).(b)分别给出了图G的图解方法。
第10章 图的基本概念
如何找到物流运输的最优路径？ 如何找到最优的网络通信线路？ 如果你想周游全国所有城市，如何设计旅游线路？ 化学化合物分析：结构是否相同？
程序结构度量：程序是否结构相似？
如何为考试分配教室，使得资源利用率最优？
如何安排工作流程而达到最高效率？
如何设计为众多的电视台频道分配最优方案？ 如何设计通信编码以提高信息传输效率？ 操作系统中,如何调度进程而使得系统效率最优？
图即称为简单图(Simple Graຫໍສະໝຸດ h)。10.2 图与图模型
定义10.2
如果uv是图G的边，记为e，即uvE(G),则称结点u和v邻接 (Adjacent),
否则称结点u与v非邻接。
与同一个结点关联的两条边称为邻接边。 与结点v关联的边数称为结点v的度，记作deg(v)。与结点v关联 的环对v的度数的贡献要计算两次。 如果结点v的度为0，则称之为孤立点(Isolated Vertex)。 一度的结点称为悬挂点（Pendant Vertex）。
如何设计集成电路线路布局而达到最优效率？
如何设计计算机鼓轮？ 七枚同重量硬币与一枚较轻的伪币，使用天平秤多 少次就能找出伪币？ 如何设计下棋程序？
n-皇后问题
最少用几种颜色就能将世界地图都着色？ 如何使箱子尽可能装满物体？ 一个船夫要把一只狼，一只羊和一棵白菜运过河。 问题是当人不在场时，狼要吃羊，羊要吃白菜，而 他的船每趟只能运其中的一个。那么他怎样才能把 三者都运过河呢？