运筹学基础知识讲解
管理运筹学主要授课学习内容PPT讲解
运筹学简史
应用的意义，并呼吁年轻的经济学家要关注线性规划，其中阿罗、 萨谬尔斯、西蒙、多夫曼和胡尔威茨等都获得了诺贝尔奖，并在运 筹学的某些领域发挥过重要作用。值得一提的是，最早投入运筹学 领域工作的诺贝尔奖获得者、美国物理学家勃拉凯特（Blackett） 领导了第一个以运筹学命名的研究小组是一个由各个方面的专家组 成的交叉学科小组，虽被当时的人们戏称为勃拉凯特马戏团，但却 取得了丰硕的研究成果。
（3）《线性代数》. 王萼芳主编.北京大学 出版社，2000.
第一章 绪论
本章主要从六个方面讲述管理运筹学 的发展简史，使大家对本课程有一个大致
的了解，为进一步地学习创造条件。
知识结构
运筹学简史
运筹学的性质与特点
绪
运筹学的工作步骤
论
运筹学的模型
运筹学的应用 运筹学发展展望
第一节 运筹学的简史、性质和特点
为运筹学发展做出贡献的早期研究工作，可以追溯到 1914 年。 军事运筹学中兰彻斯特（Lanchester）战斗方程是 1914 年提出的， 丹麦工程师爱尔朗（Erlang）1917 年就提出了排队论的一些著名公 式，存贮论的最优批量公式是 20 世纪 20 年代提出的。在商业方面， 列温逊在 30 年代以运用运筹学的思想分析商业广告、顾客心理。
运筹学简史
各个领域内都有广泛应用。与此同时，运筹学有了飞快的发展，并 形成了运筹学的许多分支，如数学规划（线性规划、非线性规划、 整数规划、目标规划、动态规划、随机规划、模糊规划等）、图论与 网络、排队论（随机服务系统理论）、存贮论、对策论、决策论、维 修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理理论等。
第二节 运筹学的工作步骤、模型、 应用及发展展望
运筹学的工作步骤
1运筹学绪论讲解
英国舰队已占有优势。在全歼联合舰队后 部后，英国舰队两个主纵列还可以保留： （ 1064-529 ） 1/2 =5161/2=23 艘，再与小纵 列中舰队联合对联合舰队前部作战还占有 优势。即在最坏情况下，“纳尔森 （ Nelson ）秘诀”也可以使英国舰队获得 胜利。
运筹学
2018/10/23
运筹学
2018/10/23
用兰彻斯特N2定律可以对“纳尔森（Nelson）秘诀”进行分 析:[站在英国舰队的角度分析] 整体战斗实力。 设双方单个战斗单位的战斗力相同，则有： 英国舰队：402=1600 联合舰队：462=2116 此时联合舰队占优势，设想联合舰队全歼英国舰队后， 联合舰队还有5161/2=23艘。 • 将联合舰队拦腰切断， 23+23=46 ，是将联合舰队实力 减弱的最小分割法。此时，联合舰队的实力为： 232+232=1058 而英国舰队的实力为： （16+16）2+82=1088， 已略占有优势。 运筹学
运筹学的正式产生：第二次世界大 战
鲍德西（Bawdsey）雷达站的研究
1939年，以曼彻斯特大学物理学家、英国 战斗机司令部顾问、战后获得诺贝尔奖的 Blackett为首的一个研究小组（代号 “Blackett 马戏团”），研究如何改进英国 的空防系统，提高英国本土防空能力。 成员组成：心理学家3，数学家2，数学物理 学家2，天文物理学家1，普通物理学家1， 陆军军官1，测量员1。
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运筹学
军 事
特拉法加尔（Trafalgar）海战和纳尔森（Nelson）秘诀
19 世纪中叶，法国拿破伦统帅大军要与英国争夺海上霸 主地位，而实施这一战略的最主要的关键是消灭英国的舰队。 英国海军统帅、海军中将纳尔森亲自制定了周密的战术方案。
运筹学ppt课件
– 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标 函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说 明模型有错，忽略了一些必要的约束条件；
– 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约 束条件4x1+3x2≥1200，则可行域为空域，不存在 满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。
• 交叉学科 --涉及经济、管理、数学、工程和系统等 多学科
• 开放性 --不断产生新的问题和学科分支
• 多分支 --问题的复杂和多样性
2
运筹学的主要内容
线性规划
数 非线性规划
学
整数规划
规
动态规划
划
多目标规划
学
双层规划
最优计数问题
科
组 合
网络优化
内
优 排序问题 化 统筹图
容
对策论
随 排队论
机 优 化
13
组织 宝洁公司 法国国家铁路
应用
Interface 每年节支 期刊号 （美元）
重新设计北美生产和分销系统以 1-2/1997 2亿 降低成本并加快了市场进入速 度
制定最优铁路时刻表并调整铁路 1-2/1998 1500万更多
日运营量
年收入
Delta航空公司 IBM
进行上千个国内航线的飞机优化 配置来最大化利润
负。当某一个右端项系数为负时，如 bi<0，则把该 等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2… -ain xn = -bi。
30
例：将以下线性规划问题转化为标准形式
则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解，
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第4章 运输问题
第四章运输问题4.1 运输问题的数学模型4.1.1 运输问题的模型本章研究物资的运输调度问题，其典型情况是：设某种物品有m个产地，A1，A2，…，A m；各产地的产量分别是a1，a2，…，a m；有n个销地B1，B2，…，B n；各销地的销量分别是b1，b2，…，b n；假定从产地向销地运输单位物品的运价是c ij；问：怎样调运这些物品才能使总运费最小?设变量ij x为第i个产地运往第j个销地的产品数量。
为直观起见，可将产品产地、销地的产销量以及运输物品的单价为一个汇总表，如表4-1所示。
表4-11A2A1B2BmAnB"#11c12c1n c2ncmnc2mc1mc21c22c11x12x1n x21x22x2n x1mx2m x mn x1a2ama1b2b n b"#如果运输问题的总产量等于其总销量，即有∑∑===njjmiiba11(4-1)则称该运输问题为产销平衡运输问题；反之，称为产销不平衡运输问题。
产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：m nij iji1i1nij ij1mij ji1ijmin z c xx a,i1,2,,mx b,j1,2,,nx0,i1,2,,m,j1,2,,n=====⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩≥==∑∑∑∑""""目标函数约束条件决策变量(4-2)其中，约束条件右侧常数a i，和b j，满足总量平衡条件。
在模型(4-2)中，目标函数表示运输总费用极小化；约束条件前m个约束条件的意义是：由某一产地运往各个销地的物品数量之和等于该产地的产量；中间n个约束条件是指由各产地运往某一销地的物品数量之和等于该销地的销量；后m×n个约束条件为变量非负条件。
运输问题模型是线性规划问题特例。
因而可用单纯形法求解，但是，需要引进很多个人工变量，计算量大而复杂。
应该寻求更简便的、更好的解法。
例4.1某公司经销甲产品。
运筹学 单纯形法的迭代原理讲解
运筹学单纯形法的迭代原理讲解
单纯形法是一种用于解决线性规划问题的常用方法，其基本思想是通过迭代的方式逐步接近最优解。
下面是单纯形法的迭代原理的讲解：
1. 初始解的选择：首先需要选择一个初始解，通常选择的方法是构造一个基可行解，即使所有的约束条件都满足的解。
2. 判断最优性：在每一次迭代中，需要判断当前解是否为最优解。
首先，计算当前解对应的目标函数值。
然后，检查是否存在非基变量的系数大于等于0（对于最小化问题）或者小于等于0（对于最大化问题），如果存在这样的非基变量，则当前解不是最优解；如果不存在这样的非基变量，则当前解是最优解。
3. 生成新解：如果当前解不是最优解，则需要生成新的解。
首先，选择一个非基变量，使得目标函数的值可以通过增加（对于最小化问题）或减少（对于最大化问题）该变量的值来改善。
然后，需要计算这个非基变量能够增加或减少的最大量，称为变量的进步长度。
最后，通过调整基变量的值来生成新的解。
4. 更新目标函数和约束条件：在生成新解之后，需要更新目标函数和约束条件，以便于下一次迭代。
具体操作包括计算新解对应的目标函数值，计算新解对应的约束条件的值，调整目标函数和约束条件的系数。
5. 重复迭代：根据判断最优性的结果，进行下一次迭代。
如果当前解是最优解，
则算法结束；否则，继续进行下一次迭代。
通过不断重复这一迭代过程，直到找到最优解或者确定问题无解为止。
单纯形法的迭代过程一般会在有限次数内结束，并且能够得到最优解。
运筹学课件ppt下载
通过具体案例展示线性规划问题 的建模过程，如生产计划、资源 分配等问题。
单纯形法求解过程
单纯形法原理
介绍单纯形法的基本思想、算法步骤和求解 过程。
迭代过程
详细阐述单纯形法的迭代过程，包括入基、 出基、检验数计算等操作。
初始可行解
讲解如何找到一个初始可行解作为算法的起 点。
终止条件
说明单纯形法的终止条件及如何判断最优解 。
存储模型要素
需求、补充、成本、存储策略等。
常见存储模型
经典EOQ模型、动态规划模型、随机存储模 型等。
存储论求解方法及实例分析
求解方法
数学解析法、数值计算法、仿真模拟 法等。
实例分析
以某企业为例，运用存储论优化其库 存管理策略，降低库存成本。
排队论基本概念及模型构建
排队论定义
研究等待线（队列）的数学理论和方法，又称随机服务系统理论。
最短路径问题
通过实例分析最短路径问题 的动态规划解法，如
Dijkstra算法、Floyd算法等 。
1
背包问题
针对不同类型的背包问题， 探讨其动态规划解法及应用
场景。
资源分配问题
研究资源分配问题的动态规 划模型及求解方法，如多阶 段资源分配问题等。
生产与存储问题
分析生产与存储问题的动态 规划解法，讨论其在企业生 产管理中的应用。
整数约束
决策变量需满足整数约束条件，如人员数量、设备台 数等。
目标函数选择
根据问题类型，选择合适的目标函数，如成本最小化 、利润最大化等。
分支定界法求解过程
初始可行解
通过松弛整数约束，得到一个初始可 行解。
分支过程
根据初始可行解，将问题分解为若干 个子问题，分别求解。
第一章运筹学 PPT讲解
度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。
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运筹学的主要内容
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数学规划（线性规划、整数规划、目标规划、动态 规划等） 图论 存储论 排队论 对策论 排序与统筹方法 决策分析
本课程的特点和要求
Page 6
先修课：高等数学，基础概率、线性代数 特点：系统整体优化；多学科的配合；模型方法的应用 运筹学的研究的主要步骤：
n
max Z c x j
bi
i 1,2,, m
x j 0, j 1,2,, n
特点：
(1) 目标函数求最大值（最小也可以，但我们先统一到最大）
(2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
x2
max Z
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 - 1.9X2 = -3.8(≥)
蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值
X
0
其中： C (c1 c2 cn )
a11 a1n
A
am1 amn
x1
X
xn
b1
B
bm
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线性规划问题的数学模型
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3. 线性规划问题的标准形式
运筹学
名词解释运筹学
名词解释运筹学
运筹学是现代管理学的一门重要专业基础课，起源于20世纪30年代初。
其主要目的是在决策时为管理人员提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一。
该学科应用于数学和形式科学的跨领域研究，利用统计学、数学模型和算法等方法，去寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
运筹学经常用于解决现实生活中的复杂问题，特别是改善或优化现有系统的效率。
研究运筹学的基础知识包括实分析、矩阵论、随机过程、离散数学和算法基础等。
而在应用方面，多与仓储、物流、算法等领域相关。
因此运筹学与应用数学、工业工程、计算机科学、经济管理等专业相关。
以上内容仅供参考，建议查阅运筹学书籍获取更全面和准确的信息。
大学运筹学教案
课时：2课时教学目标：1. 了解运筹学的基本概念、研究对象和方法；2. 掌握线性规划的基本原理和求解方法；3. 能够运用线性规划解决实际问题。
教学重点：1. 线性规划的基本原理；2. 线性规划的求解方法。
教学难点：1. 线性规划问题的建模；2. 线性规划问题的求解。
教学过程：一、导入1. 介绍运筹学的基本概念和研究对象；2. 引入线性规划，说明其在实际生活中的应用。
二、基本概念1. 运筹学：是一门研究如何合理地使用人力、物力和财力等资源，以达到最佳效果的学科；2. 线性规划：是运筹学的一个重要分支，主要研究线性目标函数在一系列线性约束条件下的最优解。
三、线性规划的基本原理1. 目标函数：线性规划中的目标函数为线性函数，表示为f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1, c2, ..., cn为常数，x1, x2, ..., xn为决策变量；2. 约束条件：线性规划中的约束条件为线性不等式或等式，表示为Ax ≤ b或Ax = b，其中A为系数矩阵，x为决策变量，b为常数向量。
四、线性规划的求解方法1. 图解法：适用于二维线性规划问题；2. 单纯形法：适用于高维线性规划问题。
五、案例分析1. 引入一个实际案例，如生产问题、运输问题等；2. 对案例进行分析，建立线性规划模型；3. 运用线性规划求解方法求解案例，得出最优解。
六、总结与作业1. 总结本节课所学内容，强调线性规划的基本原理和求解方法；2. 布置作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
教学反思：1. 在讲解线性规划的基本原理和求解方法时，注意与实际生活相结合，提高学生的学习兴趣；2. 在案例分析环节，尽量选取具有代表性的案例，让学生更好地理解线性规划的应用；3. 在作业布置环节，注意难度适中，让学生在完成作业的过程中巩固所学知识。
运筹学基础知识讲解
j=1
j=1
矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0
约束方程的系数矩阵A的秩为m，且m<n。设 A=B+N ，B是A中mm阶非奇异子矩阵，则称 B是LP的一个基，即：B是A中m个线性无关向
量组。
OR1
32
基解的概念
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。令所有非 基变量等于零,则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T 称为基解 。
究——历史渊源
OR1
2
绪论
1.2 运筹学的历史 早期运筹思想：田忌赛马 丁渭修宫 沈括运粮 Erlang 1917 排队论 Harris 1920 存储论 Levinson 1930 零售贸易 康脱洛维奇 1939 LP
OR1
3
绪论
1.2运筹学的历史 军事运筹学阶段 德军空袭 防空系统 Blackett 运输船编队 空袭逃避 深水炸弹 轰炸机编队
OR1
4
绪论
1.2运筹学的历史 管理运筹学阶段 战后人员三分:军队、大学、企业 大学：课程、专业、硕士、博士 企业：美国钢铁联合公司 英国国家煤炭局 运筹学在中国：50年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
OR1
5
1.3学科性质
▪应用学科
▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控 制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学 方法。
从系数矩阵中找到一个可行基B，不妨设B由A 的前m列组成，即B=(P1,P2,……Pm)。进行等价 变换－－约束方程两端分别左乘B－1 得
《运筹学》全套课件(完整版)
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
《运筹学》教案.doc
《运筹学》教案（2014 年2 月）授课班级：2010级农林经济管理教材：《运筹学》，熊伟，机械工业出版社学分：4学分学时：64学时教学过程1.运筹学与线性规划基本概念（10分钟）2.应用模型举例（60分钟）生产计划问题、人员安排问题、合理用料问题、配料问题、投资问题教学过程3•线性规划的一般模型（10分钟）4.课堂练习（10分钟）5.课堂小结（5分钟）6.布置作业教学过程教学过程 1. 引例:（P41）两个模型的对应关系：（20分钟） 2. 线性规划的规范形式（10分钟） 3. 对偶模型（5分钟）4. 对称型对偶关系的一般形式（5分钟）5. 对称型对偶关系的一般形式（三个特点）（10分钟）非对称型对偶关系 对于非对称型且具有对偶关系的两个PL 问题，总结得出:定理：互为对偶的两个PL 问题，如果原问题中第k 个约束条件 是等式，则它的对偶规划中的第k 个变量无非负限制，反之亦然.线性规划的原始问题和对偶问题的对应关系可归纳为下表5. 6. 课堂小结，布置作业教学过程【性质1】（对称性）对偶问题的对偶是原问题。
（5分钟）【性质2】（弱对偶性）设F、r分别为LP（max）与DP （min）的可行解，则CX°<Y°b（10分钟）由性质2可得到下面几个推论：推论1：的任一可行解的目标值是（龙）的最优值下界；（龙）任一可行解的目标是（2乃的最优值的上界；推论2:在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解；推论3:若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。
【性质3］（最优性）设F与尸分别是（2P）与（莎）的可行解，则F、尸是JLP）与（矿）的最优解当且仅当C X0 =卩呢（10分钟）【性质4】（对偶性）若互为对偶的两个问题其中一个有优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。
（20分钟）教学过程由性质4还可推出另一结论：若（2P）与（矿）都有可行解，则两者都有最优解；若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。
通俗讲解运筹学
通俗讲解运筹学
运筹学是一门科学，它的目的是通过数学方法来解决实际问题。
这些问题可以是任何类型的，例如生产、运输、排队、决策等等。
运筹学所涉及的主要技术包括线性规划、整数规划、图论、随机模型、决策分析等等。
线性规划是一种用于优化问题的数学模型。
它的目标是最大化或最小化一个线性函数，同时满足一组线性不等式或等式的限制条件。
整数规划是线性规划的一个扩展，它要求最优解必须是整数。
这种类型的问题通常涉及到离散决策，如生产数量等。
图论是研究网络结构的数学分支。
它描述了一个由节点和边组成的图形，可以用来解决诸如路线规划、电信网络设计等问题。
随机模型则考虑了不确定性因素，例如随机变量的概率分布等。
决策分析则通过评估决策所带来的可能结果来帮助人们做出最佳决策。
总的来说，运筹学是一种强大的工具，可以帮助人们在不同领域做出最佳决策，提高效率和经济效益。
- 1 -。
《运筹学》考研考点讲义
《 运筹学》 考点精讲及复习思路
第一章 ㊀ 线性规划与单纯形法
一、 本章考情分析：
常考题型： 选择、 填空、 简答、 判断和计算 分值： 必考知识点， 分值占 ３ ０分以上 重要性： 作为前五章的基础铺垫， 非常重要！ 重要程度： ★★★★★
二、 本章基本内容：
１ ） 掌握线性规划的数学模型的标准型； ２ ） 掌握线性规划的图解法及几何意义； ３ ） 了解单纯形法原理； ４ ） 熟练掌握单纯形法的求解步骤； ５ ） 能运用大 Ｍ 法与两阶段法求解线性规划问题； ６ ） 熟练掌握线性规划几种解的性质及判定定理．
㊀ 目 ㊀㊀ 录 ㊀
第一章㊀线性规划与单纯形法 （ １ ） 第二章㊀对偶问题与灵敏度分析 （ ２ ４ ） 第三章㊀运输问题 （ ６ ２ ） 第四章㊀目标规划 （ ７ ９ ） 第五章㊀整数规划 （ ９ ０ ） 第六章㊀动态规划 （ １ ０ ８ ） 第七章㊀图与网络优化 （ １ ４ ０ ） 第八章㊀网络计划技术 （ １ ７ ４ ） 第九章㊀存储论 （ １ ９ ５ ） 第十章㊀排队论 （ ２ １ １ ） 第十一围和等值线移动方向上犯错； ·图解法的知识点通常出现在选择、 填空、 判断等小题型中！大致分值在 １ ０分以内． 思考题［ １－ １ ］ ㊀（ 留待以后课程讲解） 南京航空航天大学 ２ ０ ０ ４ ， 一、 多项选择 ２ 、 ３ ， 各 ５分 ２ ． 线性规划的最优解可在（ ㊀㊀） Ａ ． 可行集内 Ｃ ． 可行集顶点上 ３ ． 线性规划的可行集可以（ ㊀㊀） Ａ ． 不含有任何可行解 Ｃ ． 恰含有两个可行解 思考题［ １－ ２ ］ ㊀（ 留待以后课程讲解） 南京航空航天大学 ２ ０ ０ ６ ， 第二题， １ ０分 二、 （ １ ０分） 用图解法求解线性规划问题． ｍ ａ ｘ ｚ＝４ ０ ｘ ８ ０ ｘ １＋ ２ ２ ｘ ０ １＋ ２≤ ３ ｘ ｘ ２ ｘ ０ ３ １＋ ２≤ ６ ｓ ． ｔ ． ｘ ４ ２ ２≤ ２ ｘ， １ ｘ ２≥ ０ 要点 ３ ㊀单纯形法原理 ·解的概念与关系 ·单纯形法迭代原理 ［ １ ］ 解的概念与关系 线性规划的标准型为
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
报酬函数与策略
报酬函数
描述系统在某一状态下采取某一行动后所获得的报酬或收益，通常用$r(s, a)$表示。报酬函数可以是正值、负值或零 ，取决于具体的决策问题和目标。
策略
描述了在每个状态下选择行动的规则或方法，通常用$pi(a|s)$表示在状态$s$下选择行动$a$的概率。策略可以是确 定的或随机的，根据问题的性质和求解方法的不同而有所选择。
约束处理方法
处理约束的方法包括拉格朗日松弛、动态规划中的约束处理等。
应用场景
约束条件下的马尔可夫决策过程在资源分配、任务调度等问题中有 广泛应用。
连续时间马尔可夫决策过程
连续时间模型
与离散时间马尔可夫决策过程 不同，连续时间马尔可夫决策
过程的时间参数是连续的。
转移概率与决策策略
在连续时间模型中，转移概率 和决策策略需要适应连续时间
值函数
描述了从某一状态开始遵循某一策略所获得的期望总报酬，通常用$V^pi(s)$表示在状态$s$下遵循策略 $pi$的值函数。值函数是评估策略优劣的重要指标，也是求解马尔可夫决策过程的关键所在。
03 值函数与最优策略求解
值函数定义及性质
值函数定义
在马尔可夫决策过程中，值函数用于评估从 某一状态开始，遵循某种策略所能获得的期 望总回报。它分为状态值函数和动作值函数 两种。
强化学习
强化学习问题可以建模为MDP，通过 智能体与环境交互来学习最优策略。
02 马尔可夫决策过程模型
状态空间与行动空间
状态空间
描述系统所有可能的状态，通常用$S$表示。在马尔可夫决策过 程中，状态空间可以是离散的或连续的。
行动空间
描述在每个状态下可采取的所有行动，通常用$A$表示。行动空间 也可以是离散的或连续的。
运筹学单纯形法讲解
运筹学单纯形法讲解一、单纯形法基本概念在运筹学中，单纯形法是一种在给定点搜索可行解集合的一种技术。
设有m个点x、 y、 z分布在两点P、 Q，它们是相互独立的，这样的点组成了单纯形。
单纯形是可以用于求解最优化问题的一种简单的对象，因而又称为对象或对象群。
由单纯形求出的最优解就叫做单纯形的最优解。
在实际应用中，一般用来求最优解的都是单纯形。
二、单纯形法适用条件和范围在运筹学中，单纯形法常用于求解线性规划、非线性规划和整数规划等，还可以求解网络的流量、质量等。
但当运输问题用单纯形法求解时，解不存在，无最优解，也无单纯形。
非线性规划只能得到对象最优解。
三、单纯形法具体步骤和算法介绍1、明确问题的目标。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
四、单纯形法的误差和精度1、明确问题的目标。
一般在最优化问题中，用最小值对准目标是最理想的，但是在实际工程应用中，人们往往要求越多越好，甚至有时只要求几个较小的值。
但要注意所得结果的可靠性和正确性，也要尽可能减少计算过程中的误差。
2、计算出所有解，按确定的先后顺序排列。
首先，找出最优解，再在这个最优解附近寻找另外的比最优解更好的最优解，直到所有点都达到满意的精度。
这种方法称为“穷举法”。
穷举法通常用于没有更好的方法时，常用于工程实际中。
3、计算出各解在横坐标上的相对位置，即计算每个解在左右方向上的距离，再根据此距离大小，取其中的最小值作为该点的最优解。
4、单纯形法的误差：由于人们认识上的错误或操作不当造成的，如排除法的计算次数与数据采集次数之比，以及采样值的平均数与真值之比，与取值的个数有关，与取值的精度也有关，必须合理确定取值范围。
5、单纯形法的精度：根据问题的规模，计算数据量和计算次数，反复调整取值点，改进计算方法，从而得到尽可能高的精度。
单纯形法的精度可达0．01或0．05。
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2.1.2线性规划图解法
由中学知识可知：y=ax+b是一条直线，同 理：Z=70x1+120x2→x2=70/120x1-Z/120也 是一条直线，以Z为参数的一族等值线。
资源限量 360 200 300
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例题1建模
问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件：人力约束 9X1+4X2≤360
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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例题2——配方问题
养海狸鼠 饲料中营养要求：VA每天至少700克，VB每天 至少30克，VC每天刚好200克。现有五种饲料，搭配使 用，饲料成分如下表：
饲料
Va Vb
I
3
1
II
2
0.5
III
1
0.2
IV
6
2
V
18 0.5
营养要求 700 30
Vc 价格元/KG
0.5 2
1
7
0.2 4
2
究——历史渊源
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绪论
1.2 运筹学的历史 早期运筹思想：田忌赛马 丁渭修宫 沈括运粮 Erlang 1917 排队论 Harris 1920 存储论 Levinson 1930 零售贸易 康脱洛维奇 1939 LP
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3
绪论
1.2运筹学的历史 军事运筹学阶段 德军空袭 防空系统 Blackett 运输船编队 空袭逃避 深水炸弹 轰炸机编队
0.5x1+x2+0.2x3+2x4+0.8x5 =200 用量要求： x1 ≤50,x2 ≤60,x3 ≤50,x4 ≤70,x5 ≤40 非负性要求：x1 ≥0,x2 ≥0,x3 ≥0,x4 ≥0,x5 ≥0
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例题3：人员安排问题
医院护士24小时值班，每次值班8小时。 不同时段需要的护士人数不等。据统计：
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0.8 5
200
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例题2建模
设抓取饲料I x1kg;饲料II x2kg;饲料III x3kg……
目标函数：最省钱 minZ=2x1+7x2+4x3+9x4+5x5
约束条件：3x2+2x2+x3+6x4+18x5 ≥700 营养要求： x1+0.5x2+0.2x3+2x4+0.5x5 ≥30
▪Churchman定义：运筹学是应用科学的方法、技术 和工具，来处理一个系统运行中的问题，使系统控制 得到最优的解决方法。
▪中国定义：运筹学是应用分析、试验、量化的方法， 对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹 安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有 效的管理。
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1.4定性与定量
非负性约束：xj ≥0,j=1,2,…6
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归纳：线性规划的一般模式
目标函数：max(min)Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn 约束条件：a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn ≤(= ≥)b1
a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn ≤(= ≥)b2 … …… … am1x1+am2x2+am3x3+…+amnxn ≤(= ≥)bn 非负性约束：x1 ≥0,x2 ≥0,…,xn ≥0
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1.7运筹学的工作步骤
确定问题 搜集数据建立模型 检验模型 求解模型 结果分析 结果实施
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1.8运筹学与计算机
计算机为运筹学提供解题工具。 本书有现成的程序可以利用 要学会解题的思路与方法，建立模型很重
要。
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第二章 线性规划与单纯形法
2.1 LP(linear programming)的基本概念 LP是在有限资源的条件下，合理分配和 利用资源，以期取得最佳的经济效益的优 化方法。
序号
时段
最少人数 安排人数
1
06—10 60
X1
2
10—14 70
X2
3
14—18 60
X3
4
18—22 50
X4
5
22—02 20
X5
6
02—06 30
x6
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例题3建模
目标函数：min Z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 约束条件： x1+x2 ≥70
x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30
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绪论
1.2运筹学的历史 管理运筹学阶段 战后人员三分:军队、大学、企业 大学：课程、专业、硕士、博士 企业：美国钢铁联合公司 英国国家煤炭局 运筹学在中国：50年代中期引入 华罗庚推广 优选法、统筹法 中国邮递员问题、运输问题
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1.3学科性质
▪应用学科
▪Morse&Kimball定义：运筹学是为决策机构在对其控 制的业务活动进行决策时提供的数量化为基础的科学 方法。
LP有一组有待决策的变量， 个线性的目标函数，
一组线性的约束条件。
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2.1.1 LP的数学模型
例题1—生产计划问题
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知 各产品的利润、各资源的限量和各产品的 资源消耗系数如下表：
劳动力 设备 原材料 利润元/kg
产品A 9 4 3 70
产品B 4 5 10 120
模拟模型：建港口，模拟船只到达。学生 模拟企业管理系统运行。
数学模型：用符号或数学工具描述现实系 统。V=F（xi,yj,uk) G(xi,yj,uk)≥0
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1.6运筹学的学科体系
规划论：线性规划、非线性规划|、整数规 划、目标规划、动态规划
图论与网络 存储论 排队论 决策论 对策论 计算机仿真
OPERATIONS RESEARCH 运筹学Ⅰ
——怎样把事情做到最好
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第一章 绪论
1.1题解 Operations 汉语翻译
工作、操作、行动、手术、运算
Operations Research 日本——运用学 港台——作业研究 中国大陆——运筹学 Operational Research原来名称，意为军事行动研
例：店主进货
两者都是常用的决策方法
定性是基础，定量是工具，定量为定性服 务。
定性有主观性也有有效性，定量有科学性 也有局限性。管理科学的发展，定量越来 越多。但定量不可替代定性。
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1.5运筹学的模型
模型：真实事物的模仿，主要因素、相互 关系、系统结构。
形象模型：如地球仪、沙盘、风洞