物体平衡中的特殊问题

物体平衡中的特殊问题

徐国华

一、知识要点

1、临界状态

临界状态是一种物理现象转变为另一种物理现象，或从一个物理过程转入到另一个物理过程的转折状态。临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要变化的状态。涉及临界状态的问题称为临界问题。解决这类问题关键是要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。

2、极值问题

极值是指研究平衡问题中某物理量变化情况时出现的最大值或最小值。中学物理的极值问题可分为简单极值问题和条件极值问题，区分的依据就是是否受附加条件限制。若受附加条件限制，则为条件极值。

例1、如右图所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子

与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳

子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变

化情况是()

A．增大 B．先减小，后增大

C．减小D．先增大，后减小

【解析】方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时

采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如右图所示．由

图可看出，FBC先减小后增大．

方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零

求解时采用解析法．如右图所示，将F AB、F BC分别沿水平方向和竖直方向

分解，由两方向合力为零分别列出：F AB cos 60°＝F BC sinθ，

F AB sin 60°＋F BC cosθ＝F B，联立解得F BC sin(30°＋θ)＝F B/2，显

然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．

故选B.

例2、完全相同的直角三角形滑块A 、B ，按如图所示叠放，设A 、B 接触的斜面光滑，A 于桌面的动摩擦因数为μ，现在B 上作用一水平推力F ，恰好使A 、B 一起在桌面上匀速运动，且A 、B 保持相对静止。则A 与桌面的动摩擦因数μ跟斜面倾角θ的关系为（ B ）

A ．μ=tanθ

B ．μ=tanθ/2

C ．μ=2tanθ

D ．μ与θ无关

解析：根据题意有：对B 分析得tan F mg θ,=

整体分析得2F mg μ=。即可求得。

二、 思维拓展

1、研究平衡物体的临界问题的基本思维方法

一般采用假设推理法，即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。

2、研究平衡问题的极值问题的两种方法

（1）解析法：根据物体的平衡条件列方程，在解方程时运用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数、均分定理、讨论分式、三角函数以及几何法求极值等。

（2）图解法：即根据物体的平衡条件作出力的矢量图，如只受三个力，则这三个力构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。此法简便、直观。

3、研究中学物理极值问题和临界问题的基本观点

（1）物理分析：通过对物理过程分析，抓住临界条件（或极值条件）进行求解。

（2）数学讨论：通过对物理问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系，用数学方法求解极值。但一定要依据物理理论对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。

4、几何极值原理

三角形中一条边a 的大小和方向都确定，另一条边b 只能确定其方

向（即a 、b 间的夹角θ确定），欲求第三边c 的最小值，则必有c 垂直于b ，

且c=asin θ，如图所示。

例3、一轻杆BO ，其O 端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO 上，B 端挂一

重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A 处的光滑小滑轮，用力F 拉住，如

图所示，现将细绳缓慢往左拉，使杆BO 与杆AO 间的夹角θ逐渐减小，

则在此过程中，拉力F 及杆BO 所受压力F N 的大小变化情况是( )

A ．F N 先减小，后增大

B ．F N 始终不变

C ．F 先减小，后增大

D ．F 始终不变

【解析】 取BO 杆的B 端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F )、BO 杆的支持力F N 和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G )的作用，将F N 与G 合成，其合力与F 等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此力的三角

形与几何三角形OBA 相似，可利用相似三角形对应边成比例来

解．

如图所示，力的三角形与几何三角形OBA 相似，设AO 高

为H ，BO 长为L ，绳长AB 为l ，则由对应边成比例可得：

,,N N F G F L l F G F G H L l H H

== = = 式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小．

【答案】 B

例4、如图所示，用AO 、BO 两细线悬挂一重物。若保持AO 线与水平方向间夹角α不变，当BO 线从水平位置缓缓转向接近竖直位置的过程中，AO 、BO 两线中的拉力F1、F2变化情况（ D ）

A ．都变大

B ．都变小

C ．F1减小，F2增大

D ．F1减小，F2先减小，后增大

解析：以物体为研究对象，它受到三个力作用：重力G 、绳AO 、BO 的拉力F1、F2.设某位置时BO 与水平方向夹角为β，则物体的受力情况如图所示。

当BO 线缓缓转动时，每一瞬间物体都可以看成处于平衡状态。作用在物体上的三个力一定可以构成一个封闭三角形，如图所示。由图可知，当转动BO 线、β增大至90o 的过程中，AO 线中的拉力F1不断减小，BO 线中的拉力F2先减小，至β=90o －α时达最小值，然后再增大。

所以答案为D 。

例5、如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻细绳AB 和AC 的一端连接

于竖直墙

上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=60o 的

拉力F ，若要使绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。

解析：设AB 的张力为F1，AC 的张力为F2，对A 受力分析如图所示。根据力的平衡条件得 1212sin 60sin 30sin 30,cos60cos30cos30o o o o o o F F mg F F F F +=+ =+ . ①

②

当F 较小时，绳AC 张力F2=0. ③

F 和F1的合力与重力mg 平衡。

联立①②③解得：

F = 当F 较大时，绳AB 张力F1=0. ④

F 和F2的合力与重力mg

平衡。联立①②④解得：F =

故拉力F

的范围为N F ≤≤。

例题6．如图所示，重G 的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板

之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板

对小球的弹力的大小F 1、F 2各如何变化？

解析：由于挡板是缓慢转动的，

可以认为每个时刻小球都处于静止状