《二次函数的应用(一)》教学设计
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《二次函数的应用(一)》教学设计
《二次函数的应用(一)》教学设计
一、学生知识状况分析
通过前面的学习,学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。学生已经经历了由实际问题转化为数学问题的过程,对解决这类问题有了一定处理经验。
二、教学目标
知识目标:
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
能力目标:
1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次
函数关系,培养学生的分析判断能力.
2.通过运用二次函数的知识解决实际问题,培养学生的数学应用能力.
情感态度与价值观:
1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
2.能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格.
3.进一步体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学习的信心,具有初步的创新精神和实践能力.
三、教学重点
1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.
2.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.
四、教学难点
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运用二次函数的有关知识解决最大面积的问题.
五、教学过程
一、创设情境,引入新课
探究一:
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB 和AD分别在两直角边上,AN=40m,AM=30m,
(1)如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示?
(2)设矩形的面积ym2,当x取何值时,y的最大?最大值是多少?
《二次函数的应用(一)》教学设计
设计目的:对于这个问题,教师将其作为例题,不论是对问题本身的分析,还是具体的解法过程,都将作出细致、规范的讲解和示范。具体的过程如下:
分析:(1)要求AD边的长度,即求BC边的长度,而BC是△EBC中的一边,因此可以用三角形相似求出BC.由△EBC∽△EAF,得《二次函数的应用(一)》教学设计即《二次函数的应用(一)》教学设计.所以AD=BC=《二次函数的应用(一)》教学设计(40-x).
(2)要求面积y的最大值,即求函数y=AB·AD=x·《二次函数的应用(一)》教学设计(40-x)的最大值,就转化为数学问题了.
y=-《二次函数的应用(一)》教学设计(x-20)2+300.
当x=20时,y最大=300.
即当x取20m时,y的值最大,最大值是300m2.
探究二:
如果把矩形改为如下图所示的位置,其顶点A和顶点D分
别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少?
《二次函数的应用(一)》教学设计
设计目的:通过两种情况的分析,训练学生的发散思维能力,关键是教会学生方法,也是这类问题的难点所在,即怎样设未知数,怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究,进而总结此类题型,得出解决问题的一般方法.
二、例题讲解
某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m2)
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分析:x为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x与半圆面积和矩形面积都有关系.要求透过窗户的光线最多,也就
是求矩形和半圆的面积之和最大。
解:∵7x+4y+πx=15,
∴y=《二次函数的应用(一)》教学设计.
设窗户的面积是S(m2),则
S=《二次函数的应用(一)》教学设计πx2+2xy
=《二次函数的应用(一)》教学设计πx2+2x·《二次函数的应用(一)》教学设计
=-3.5x2+7.5x
=-3.5(x2-《二次函数的应用(一)》教学设计x)
=-3.5(x-《二次函数的应用(一)》教学设计)2+《二次函数的应用(一)》教学设计.
∴当x=《二次函数的应用(一)》教学设计≈1.07时,S最大=《二次函数的应用(一)》教学设计≈4.02.
因此,当x约为1.07m时,窗户通过的光线最多。此时,窗
户的面积约为4.02m2.
三、归纳总结
“二次函数应用”的思路:
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解;
5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.
四、巩固练习
习题2.8 第1题
《二次函数的应用(一)》教学设计1.一根铝合金型材长为6m,用它制作一个“日”字型的窗框,如果恰好用完整条铝合金型材,那么窗架的长、宽各为多少米时,窗架的面积最大?
五、谈谈本节课你的收获。
六、布置作业:
习题2.8 2
六、教学反思
在课堂教学过程中,注重以学生的自主探究为主,从提出问题到解决问题,说明知识来源于生活,而又服务于生活,体现了理论联系实际的教学原则。通过本节学习,学生不但从实际问题中理解数学知识,体会数学的乐趣,而且从能力上、思想上都达到一个新的境界。
通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题,在这方面要注意培养学生的准确计算能力,同时还看到学生的潜力很大,作为教师要充分发挥学生的主观能动性,为学生的发展提供足够的时间和空间。