工程电磁场实验报告(仿真)

采用的收敛因子为:
1 迭代次数为：
22 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
采用的收敛因子为:
1.2000 迭代次数为：
ϕ − ϕ (k +l)
(k)
i, j
i, j
< ε 为止。
（2）超松弛迭代法
α (k +1)
(k)
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = + 4 [ + + + − Fh − 4 ] i, j
i, j
(k +1)
(k +1)
(k )
(k)
2
(k )
i−1, j
i, j−1
i+1, j
i, j+1
i, j
(1-15)
1.8000 迭代次数为：
70 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
ϕ =0 图 1-6 接地金属槽的网格剖
2、设计编程语言解决下面的问题
按对称场差分格式求解电位的分布 给定边值：如图1-7示
给定初值 ϕi. j
=
ϕ2
−ϕ1 p
(
j
− 1)
=
100 40
(
j
− 1)
误差范围: ε = 10−5
计算：1）迭代次数 N ，ϕi, j ，将计算结果保存到文件中；
图1-7 接地金属槽内半场域的网
(
∂ϕ ∂n
)0
≈
ϕ1 − ϕ0 h
=
f2
, ϕ0 = ϕ1 − f2h
(1-12)
(4)介质分界面衔接条件 的差分格式
ϕ0
=
1( 2 4 1+ K
ϕ1
+ϕ2
+
2K 1+ K
ϕ3
+ ϕ4 )
其中
K = εa εb
1.3 差分方程组的求解方法
(1) 高斯——赛德尔迭代法
(1-13)
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 1 (k+1) = 4 [ + + + − Fh ] i, j
≈பைடு நூலகம்
ϕ1 − ϕ3 2h
（1-6） （1-7） （1-8）
∂ 2ϕ ( ∂y 2 ) y= y0
≈
ϕ1 − 2ϕ0 h2
+ ϕ3
（1-9）
将式(1-7)、（1-9）代入式（1-1），得到泊松方程的五点差分格式
ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − 4ϕ0 = Fh2
⇒
ϕ0
=
1 4
(ϕ1
+ ϕ2
+ ϕ3
v1(hy,:)=ones(1,hx)*0;
%下行的边界条件值
v1(1,:)=ones(1,hx)*100;
%上行的边界条件值
for i=1:hy
%左右两边的边界条件值
v1(i,1)=0;
v1(i,hx)=0;
end
mid=v1;
%计算超松弛迭代因子
w=2/(1+sin(pi/m));
ww=[w 1.0 1.7 1.8 1.83 1.85 1.87 1.9];
采用的收敛因子为:
1.3000 迭代次数为：
14 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
——————————————————————————————————————— 采用的收敛因子为:
式中：α 是加速收敛因子 (1 < α < 2) ，迭代收敛的速度与α 有明显关系
表 1.1 迭代收敛的速度与α 的关系 收敛因子（α） 1.0 1.7 1.8 迭代次数（N） >1000 269 174
1.83 1.85 1.87 1.90 2.0 143 122 133 171 发散
最佳收敛因子的经验公式：
采用的收敛因子为:
1.6000 迭代次数为：
32 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
for i1=1:8
v1=mid;
v2=v1;
%构造一个矩阵 V2，用来存放中间值
maxt=1;
%每次迭代完成，前后矩阵中的最大差值
t=0;
k=0;
%迭代次数
while (maxt>1e-5) %由 V1 开始迭代，算出 V2，迭代精度为 e-5
k=k+1;
maxt=0;
for i=2:hy-1 %从 2 行到 hy-1 行进行循环
一．实验原理——有限差分法介绍
有限差分法（Finite Differential Method）是基于差分原理的一种数值计算法。其 基本思想：将场域离散为许多小网格，应用差分原理，将求解连续函数 的泊松方程的问
题转换为求解网格节点上 的差分方程组的问题。
1．1 二维泊松方程的差分格式
图1-1 有限差分的网格分割
(ϕ1
+ϕ2) +
1 h2 2
(ϕ2
+
ϕ4
)
−
(
1 h12
+
1 h2 2
)2ϕ0
=
F
（1）第一类边界条件:给边界离散节点直接赋已知电位值
（2）对称边界条件:合理减小计算场域，差分格式为：
ϕ0
=
1 4
(2ϕ1
+ϕ2
+ϕ4
− h2F)
(1-10) (1-11)
图1-3 边界条件的离散化处理 （3）第二类边界条件:边界线与网格线相重合的差分格式：
采用的收敛因子为:
1.7000 迭代次数为：
45 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
——————————————————————————————————————— 采用的收敛因子为:
∑ ( ) ϕχ
=
ϕ n ( K ) K =0 K!
(χ
− χ 0 )K
+ο
(χ
− χ 0 )n
将 χ = χ1 和 χ3 分别代入式（1－3）,得
ϕ1
=
ϕ0
+
h( ∂ϕ ∂x
)0
+
1 h2 ( ∂ 2ϕ 2! ∂x 2
)0
+
1
h3
∂ 3ϕ (
3! ∂x3
)0
+
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
（1-3）
（1-4）
ϕ3
= ϕ0
2）按电位差 Δϕ = 10 画出槽中等位线分布图。
三．实验求解过程
1. 试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布
采用 MATLAB 所编写的程序如下：
%用超松弛迭代法求解矩形槽内电位分布
hx=5;hy=5;
%设置网格节点数
v1=ones(hx,hy);
%设置行列二维数组
m=4;n=4;
%横纵向网格数
+ϕ4
−
Fh2 )
当场域中 ρ = 0, 得到拉普拉斯方程的五点差分格式
ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 − 4ϕ0 = 0 1.2 边界条件的离散化处理
⇒
ϕ0
=
1 4
(ϕ1
+ϕ2
+ ϕ3
+ ϕ4 )
1• 2
若场域离散为矩形网格(如图 1-2 示)，差分格式为： 图 1-2 边界条件的离散化处
1 h12
for j=2:hx-1 %从 2 行到 hx-1 行进行循环
v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*ww(i1)/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j)); if(t>maxt)maxt=t; end
采用的收敛因子为:
1.8300 迭代次数为：
85 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
二、实验内容
1、设计编程语言解决下面的问题
试用超松弛迭代法求解接地金属槽内电位的分布
已知： a = 4cm，h = a = 10mm 4
给定边值 如图1－6示
给定初值
ϕ (0) i. j
=0
误差范围 ε = 10−5
选取
α =?
计算：迭代次数 N=? ϕi, j 分布。
ϕ =100 V
ϕ =0
ϕ =0
采用的收敛因子为:
1.8500 迭代次数为：
98 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
α0
=
1+
2 sin( π
)
（正方形场域、正方形网格）
p
P指在正方形场区域中网格数。
α0 = 2 −π
2
1 + 1 （矩形场域、正方形网格） p2 q2
• 迭代收敛的速度与电位初始值的给定及网格剖分精细有关
• 迭代收敛的速度与工程精度要求有关
ϕ − ϕ ( N +l)
(N)
i, j
i, j
<ε
借助计算机进行计算时，其程序框图 1－5 所示
采用的收敛因子为:
1.5000 迭代次数为：
24 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
二维静电场边值问题：
∂ 2ϕ ∂x 2
+
∂ 2ϕ ∂y 2
=
−ρ ε
=
F
(1-1)
ϕ = f (s) L
(1-2)
通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h ,节点 0,1,2,3,4 上的电位
分别用ϕ0 ,ϕ1,ϕ2 ,ϕ3 和ϕ4 表示。
设函数ϕ 在 x0 处可微，则沿 x 方向在 x0 处的泰勒公式展开为
11 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
1.4000 迭代次数为：
18 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
−
∂ϕ h( ∂x )0
+
1 2!
h
2
(
∂ 2ϕ ∂x 2
)
0
−
1 3!
h
3
(
∂ 3ϕ ∂x 3
)
0
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅
由（1-4）-（1-5）得
（1-5）
(1-4)+(1-5)得 同理
∂ϕ ( ∂x ) x=x0
≈ ϕ1 −ϕ3 2h
∂ 2ϕ ( ∂x2 )x=x0
≈
ϕ1
−
2ϕ0 h2
+ϕ3
∂ϕ ( ∂y ) y= y0
end v1=v2; end end disp('采用的收敛因子为:') disp(ww(i1)) disp('迭代次数为：') disp(k) disp('所求的各点电位值为：') disp(v1) end
———————————————————————————————————————
输出的结果如下： ——————————————————————————————————————— 采用的收敛因子为:
1.1716 迭代次数为：
12 所求的各点电位值为：
0 100.0000 100.0000 100.0000
0
0 42.8571 52.6786 42.8571
0
0 18.7500 25.0000 18.7500
0
0 7.1429 9.8214 7.1429
0
0
0
0
0
0
———————————————————————————————————————
(k +1)
(k +1)
(k)
(k)
2
i−1, j
i, j−1
i+1, j
i, j+1
图1-4 高斯——赛德尔迭代法
式中： i, j = 1, 2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅，k = 0, 1, 2,⋅⋅⋅⋅⋅⋅
• 迭代顺序可按先行后列，或先列后行进行。 • 迭代过程遇到边界节点时，代入边界值或边界差分格式，直到所有节点电位满足