第六章向量代数与空间解析几何(二)

方程都是平面方程.
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Ax By Cz D 0 平面的一般方程
平面一般方程的几种特殊情况
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
(2) A 0,
D 0,
D
0,
平面通过 x轴；(由法向量可知) 平面平行于 x轴；
类似地可讨论 B 0, C 0
y轴 z 轴
缺谁//谁
(3) A B 0,平面平行于xOy 坐标面；
----直线的两点式方程
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2. 直线的一般方程化为对称式方程 (重要) 怎样将直线的一般方程化为对称式方程
有两种方法
(1) 用代数的消元法化为比例式; (2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,
即写出对称式方程.
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3. 直线的参数方程
结论:两平行平面
1 : Ax By Cz D1 0, 2 : Ax By Cz D2 0
之间的距离:
d | D1 D2 | A2 B2 C 2
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第5节 直线的方程
一、空间直线的一般式方程
定义 空间直线可看成两平面的交线.
1 : A1 x B1 y C1z D1 0 z
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x x0 y y0 z z0
m
n
p
一般, 如直线过两点 M1( x1, y1, z1 ), M2( x2 , y2 , z2 )
则直线的一个方向向量为:
M1M2 { x2 x1 , y2 y1, z2 z1 }
于是对称式方程可写成:
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
P0到平面 的距离
(是P1Pd0与 | P1的P0法| | 向cos量n| 之夹角),即
P1
d
由于
d P1 P0
| P1 P0 || n || cos |n|
n Ax0 By0
| Cz0
P1 P0 n |n|
( Ax1
By1
D Cz1 ),
P1
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d P1 P0 n
|n|
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
L
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
L
O
空间直线的一般方程
x
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例; (2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
1
y
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二、空间直线的点向式方程与参数方程
1.点向式方程 一条直线可以有许多方向向量.
类似地可讨论A C 0, B C 0
xOz面 yOz面
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x y z 1 平面的截距式方程 a bc
x轴上截距 y轴上截距 z 轴上截距
今后,由截距式方程作平面的图形特别方便! 将3x 4 y 2z 12 0 化为截距式方程, 并作图. 当平面不与任何坐标面平行,且不过原点
时,才有截距式方程.
cos n1 n2
| n1 | | n2 |
n1 {A1, B1,C1}
n2 {A2, B2,C2}
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
A12 B12 C12 A22 B22 C22
两平面夹角余弦公式
两平面位置特征：两平面垂直、平行的充要条件
(1) 1 2 A1 A2 B1B2 C1C2 0
因为 M0M {x x0, y y0, z z0}
故
M0 M //
s
x x0 y y0 z z0 直线的对称式方程
m
n
p (点向式、标准式）
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
故
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线方程的几种形式可以互相转换.
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三、两平面的夹角
定义 两平面法向量的夹角称为 两平面的夹角.
（通常取锐角）
n2
n1
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
1
n1 {A1, B1, C1}
n2 {A2 , B2 , C2}
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取锐角
按照两向量 夹角余弦公式有
n ( A, B,C )
P1 P0 n Ax0 By0 Cz0 D
点P0( x0 , y0 , z0 )到平面 : Ax By Cz D 0
的距离公式为
d | Ax0 By0 Cz0 D | A2 B2 C 2
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d | Ax0 By0 Cz0 D | A2 B2 C 2 点到平面距离公式
(2)
ห้องสมุดไป่ตู้
1
// 2
A1 A2
B1 B2
C1 C2
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四、点到平面的距离 点到平面的垂直距离
设P0( x0 , y0 , z0 )是平面 : Ax By Cz D 0
外一点,求P0到平面的距离.
n ( A, B,C )
P1( x1, y1, z1 ) , 并作向量 P1P0 .
n P0
2
一般地,过不在同一直线上的三点
M1 x1, y1, z1, M2 x2, y2, z2 ,M3 x3, y3, z3
的平面方程为:
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 x3 x1 y3 y1 z3 z1
----称为平面的三点式方程
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二、平面的一般式方程
平面的点法式方程 熟记平面的几种特殊位置
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
AAx By Cz D 0 平面的一般方程 法向量 n {A, B,C}
任意一个形如上式的x、y、z的三元一次
第六章 向量代数与空间解 析几何(二)
主要内容 典型例题 堂上练习题
小结
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一、主要内容
第4节 平面的方程
关键确定平面的法向量
一、平面的点法式方程
经过点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 法向量为 n {A, B, C} 的平面的点法式方程为:
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
方向向量的定义
s
如果一非零向量平行于
一条已知直线, 这个向量称 为这条直线的 方向向量.
z
L
s M
求 此
M0
直
已s知 M(直{xm,线,yn,,上zp)}点, LMs, 的M0( 三 x0M0,个y/0/坐,sz0标) m、x n、 O p称为
线 y的
方 程
直线L的方向数.
向量 s 的方向余弦称为直线的方向余弦. 13