西南交大《高等数学IIB》主观题
西南交通大学 高数下期末复习参考资料
2018-2019第2学期高等数学下册复习参考资料目录第一章、向量代数与空间解析几何 (1)第一节向量及其运算 (1)第二节空间的平面和直线 (2)第三节空间曲面与空间曲线 (4)习题 (5)第二章、多元函数微分法及其应用 (5)第一节偏导数 (5)第二节全微分 (6)第三节方向导数和梯度 (8)第四节多元函数的极值以求法 (9)习题 (10)第三章、重积分 (10)第一节二重积分的概念和性质（几何意义） (10)第二节二重积分的计算法 (12)第三节三重积分的概念 (13)第四节三重积分的计算 (13)第五节重积分的应用 (15)习题 (16)第四章、曲线积分与曲面积分 (16)第一节对弧长的曲线积分 (16)第二节对坐标的曲线积分 (18)第三节格林公式 (18)第四节对面积的曲面积分 (20)第五节对坐标的曲面积分 (20)习题 (22)第五章、无穷级数 (22)第一节常数项级数的概念和性质 (22)第二节常数项级数的审敛法 (23)第三节幂级数 (24)第四节傅里叶级数 (25)习题 (26)期末模拟卷 (26)参考答案 (28)第一章、向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算1.向量的数量积（点积）向量a⃗=(a1,a2,a3)与向量b⃗⃗=(b1,b2,b3)的数量积是一个数，其值为|a⃗||b⃗⃗|cosθ，其中θ为向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角，记作a⃗⋅b⃗⃗，若其中有一个为零向量时，则定义其值为0，数量积的坐标表达式为a⃗⋅b⃗⃗=a1b1+a2b2+a3b3，两个向量相互垂直则称它们正交，记作a⃗⊥b⃗⃗，特别的，规定零向量与任意向量垂直。
数量积有以下基本性质：（1）a⃗⋅b⃗⃗=b⃗⃗⋅a⃗（2）(λa⃗)⋅b⃗⃗=λ(a⃗⋅b⃗⃗)（3）(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⃗⋅c⃗（4）a⃗⊥b⃗⃗的充要条件为a⃗⋅b⃗⃗=02.向量的向量积（叉积）向量积，顾名思义，就是两个向量a⃗和b⃗⃗的经过特殊的法则所合成的向量，通常该向量垂直于向量a⃗与向量b⃗⃗所在的平面，记此向量为c⃗，c⃗=a⃗×b⃗⃗，通常，向量a⃗与向量b⃗⃗交换位置后要再添加一个负号才能使其值还是c⃗，c⃗的模等于|a⃗||b⃗⃗|sinθ，θ为两个向量的夹角，应注意这里的θ范围。
西南交《高等数学IIB》离线作业.
西南交《高等数学IIB》离线作业
1、求下列微分方程的通解：
（1）；（2）；（3）
2、求下列二阶微分方程的通解：
（1）；（2）；（3）；
(4
3、求下列各函数的定义域:
（1）；（2）
4、设而, 求
5、求函数的极值。
6、计算下列二重积分:
（1）其中D是由两坐标轴及直线所围成的闭区域；
（2），其中D是矩形闭区域：；
（3），其中D是顶点分别为和的三角形闭区域.
7、用比值审敛法判别下列级数的收敛性：
（1）；（2）；（3）
8、计算下列对弧长的曲线积分:
(1 ，其中L为圆周；
(2其中L为连接(1,0,(0,1两点的直线段；
9、判别下列级数的收敛性：
（1）
（2）
（3）
10、判别下列级数是否收敛? 如果是收敛的, 是绝对收敛还是条件收敛? （1）；（2）；。
西南交通大学高等数学考试试卷
一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ．2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x Y C e C e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。
2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。
3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。
4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。
西南交大高数自测题答案第六章
第六章1.计算由下列曲线所围成的平面图形的面积。
（1）)20(22322≤≤⎩⎨⎧-=-=t tt y t t x ； （2）)cos 1(ϕ+=a r 2.在第一象限内求曲线12+-=x y 上一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成图形面积为最小，并求此最小面积。
解：x=t 对应点处得切线方程为,12),(2122++-=--=-+t tx y t x t t y 即 令y=0,得tt x 212+=，抛物线在第一象限内与X 轴的交点为（1,0）。
则 )332(92,32,31,31,0)(.324124)12()]1(12[)(min ,3211221022-===-++=++-+-+++-=⎰⎰+s t t s t t t dx t tx dx x t tx t s t t ）该点为（解得令 3.设Oxy 平面上有正方形D={}10,10),(≤≤≤≤y x y x ，及直线)0(:≥=+t t y x l 。
若S(t)表示正方形D 位于直线左下方部分的面积，试求⎰≥xx dt t s 0)0()(。
解：.1)()()(,1)(2;122)()()()]1(1[211)(21;6)(2)(102020201012302-=+==>-+-=+=---=≤<==≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x dt t s dt t s dt t s t s x t t dt t s dt t s dt t s t t s x x dt t s t t s x x x x x x 时，时，，时，4.求下列旋转体的体积。
（1）过点p(0,1)作抛物线2-=x y 的切线，该切线与抛物线及x 轴所围成的平面图形绕1解：过点p 的抛物线的切线与抛物线交于点（2,-x x ），则 .6/)2()1(41).1(21.3,22112232231πππ=---=-==-=--⎰⎰dx x dx x V x y x x x x 切线方程为解得 （2）曲线132--=x y 与x 轴所围成的封闭图形绕直线y=3旋转一周；（3）曲线y=(x-1)(x-2)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周； 解：抛物线顶点为（3/2,-1/4）,x=,4123y +± 2)4123()4123(20412041πππ=+--++=⎰⎰--dy y dy y V （4）由x y y x ≥≤+与222所确定的平面图形绕直线x=2旋转一周； 5.设抛物线c bx ax y ++=2过原点，且当010≥≤≤y x 时时，又已知该抛物线与x 轴及直线x=1所围成图形的面积为31，试确定a,b,c 的值，使此图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积V 最小。
西南交大高等数学第学期期中考试试卷高等数学II解答
0
0
0
0
y 1 x
由
x y
r r
cos sin
知
y
1
x
的极坐标方程为 r
1 cos sin
故
D
:
0
0
r
2
cos
1 sin
，从而
1
f (x, y)d 2 d cossin f (r cos, r sin )rdr
0
0
D
二、填空题（每小题 4 分，共计 24 分）
y
1、设 z (xy) x ，则 dz
过切点的法向量为：
n
(4x0, 6 y0, 2z0 ) //(2, 3, 2)
4x0 2
6 y0 3
2z0 2
t
，
得
x0
1 t, 2
y0
1 t, 2
z0
t
，代入
2 x0 2
3y02
z02
9 ，得 t
2 ，
切点为 (1, 1, 2) 或 (1,1, 2) ， n (2, 3, 2) ，
故切平面方程为：
高等数学（下）期中考试试题
教学班号
学号
姓名
成绩：
一、选择题（每小题 3 分，共计 15 分）
xy
1、函数
f
x,
y
x2
y2
0
x2 y2 0 在 0,0 点 B
x2 y2 0
( A )．连续，偏导数都存在；
( B )．不连续，偏导数都存在；
( C )．不连续，偏导数都不存在；
( D )．连续，偏导数都不存在。
最小值。
在区域上无不可导点，有驻点
高等数学B(二)B期末考卷及解答 海大
高等数学B（二）试卷B一、解答下列各题(本大题共13小题，总计59分)1、(本小题2分),。
=ln()2，求z zz xyx y2、(本小题2分)设z x y x,。
=+()arctan，求z zx y3、(本小题4分)设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、(本小题5分)过z 轴及点M (,,)447-，作一平面，求它的方程。
5、(本小题5分)计算二重积分6、(本小题5分)求曲面e e e xz yz +=-22在点(,,)--112处的切平面和法线方程 。
7、(本小题5分)求函数z x y xy y=-+++2322的极值。
8、(本小题5分)计算二重积分其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。
9、(本小题6分)设a=2,b=3，求a b a b⨯+⋅22()。
10、(本小题6分)求微分方程满足初始条件的解：''-'-=='=⎧⎨⎩y y y y y 200105(),()二、解答下列各题(本大题共2小题，总计10分) 1、(本小题5分)曲线上任意一点的矢径长等于夹在曲线和ox 轴之间的法线长，求此曲线.2、(本小题5分)证明：l x y z y z 1010:++=++=⎧⎨⎩与l x z x y 21010:++=++=⎧⎨⎩垂直。
三、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、(本小题5分)判别∑∞=+132)1(3cosn n n n π的敛散性。
2、(本小题5分)横截面为半圆形的圆柱形的张口容器，其表面积等于S ，当容器的断面半径与长度各为多大时，容器具有最大容积？3、(本小题5分)判别∑∞=+-1)2ln(1)1(n nn 的敛散性，若收敛，说明是条件收敛，还是绝对收敛？四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计12分)1、(本小题6分)nn n nn x4)1(1⋅-∑∞=2、(本小题6分) 设()xe xf =，试求函数关于()1+x 的幂级数。
2016西南交大《高等数学IB》离线作业
2016西南交大《高等数学IB》离线作业西南交《高等数学IB 》离线作业1、求下列极限：（1）22121lim 1x x x x =lim(x →1) (x －1）2/（x-1)(x+1) =lim(x →0)（x-1）/（x+1）=0；（2）220()lim h x h x h=lim(h →0)h(2x+h)/h=lim(h →0)2x+h=2x ；（3）221lim 21x xx x =lim(n →∞) (x+1)(x-1)/(2x+1)(x-1) =lim(n →∞) (x+1)/(2x+1) =1/2；（4）242lim 31x x x x x =lim(x →∞) (x2+x ）/(x 2-1)2-x 2=（x 2+x ）/-(2x 2-1) 对x 求导得=（2x+1）/-4x=－1/2（5）22468lim 54x x x x x =lim(x →4) （x-2）（x-4）/(x-1)(x-4) =lim(x →4) (x-2)/(x-1) =2/3（6）2123(1)lim n n n=lim(n →∞) (n-1+1)(n-1) / 2n 2 =1/2（7）3(1)(2)(3)lim 5n n nn n =lim(n →∞) (n 3+6n 2+11n+6) / 5n 3=1/5；（8）3113lim()11x x x =lim(x →0)(x+1) /(1+x+x 2)=2/32、计算下列极限：（1）0sin lim x x x =lim(x →0)w ×sinwx / wx =w ；（2）0tan 3lim x x x =lim(x →0) 3 .tan3x / 3x =3；（3）0sin 2lim sin 5x x x =lim(x →0)[(s in2x)/(2x)]/[(sin5x)/(5x)]×(2/5) =2/5；（4）0lim cot x x x =lim(x →0)xcosx/sinx=lim(x →0)xcosx/sinx ×1=1（5）01cos 2lim sin x x x x=lim(x →0)2sin2x / xsinx =lim(x →0)2sinx / x =2；（6）2lim (1)x x x x = lim(x →∞) x[√(x2+1) -x] [√(x2+1) +x] / [√(x2+1) +x]=lim(x →∞) x/[√(x2+1) +x]=lim(x →∞) 1/ [√(1+1/x) +1]1/ [√(1+1/x) +1]3、证明方程531x x 至少有一个根介于1和2之间。
08-09(2)高等数学II解答(A卷)
题目一二三四五总分91011121314151617得分西南交通大学2008－2009学年第(2)学期考试试卷班 级 学 号 姓 名密封装订线 密封装订线 密封装订线课程代码 6011320 课程名称 高等数学II （A卷）考试时间 120分钟阅卷教师签字：1、 单项选择题（每小题4分，共16分）．1． 对于微分方程，其特解设法正确的是（ B ）． （A）； （B） ； （C）； （D）2． 设空间区域，，则 ( c ) ． （A）； （B） ；（C）； （D）3． 设，且收敛，，则级数（ B ）．（A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性与有关。
4． 设二元函数满足，则（ D ）． （A）在点连续； （B）；（C），其中为的方向余弦；（D）在点沿x轴负方向的方向导数为．2、 填空题（每小题4分，共16分）．5. 设函数，则= 1 ．6. 曲面被柱面所割下部分的面积为 ．7. 设，而，其中则 ， 0 ．8. 幂级数的收敛域为 [1，3] ．3、 解答下列各题（每小题7分，共28分）．9. 设是由方程确定的隐函数，可微,计算．解： ，10. 在曲面上求一点，使该点处的法线垂直于平面．解：令，则在点的法向量为，平面的法向量为。
，得，又得，故满足题意的点为（-3，-1，3）11. 将函数展开为的幂级数．解：12. 计算，是由曲面及所围成的闭区域．解：=4、 解答下列各题（每小题10分，共30分）13. （10分）设具有二阶连续导数，，曲线积分与路径无关．求．解： ，的通解为设特解，代入得的通解为。
由，得。
14. （10分）计算积分，其中为圆周（按逆时针方向）．解（1）故当时，在所围的区域内有连续偏导，满足格林公式条件。
（2）故当时，构造曲线（取得足够小保证含在所围区域）方向为逆时针，即。
则曲线围成复连通区域且为的正向边界。
故在复连通区域满足格林公式条件，故即15. （10分）计算，其中为锥面被 所截部分的外侧．解5、 综合题（每小题5分，共10分）16. 在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大，并求出最大值．解：问题变为求在下的最大值点。
西南交通大学期末真题及答案19-20高等数学II半期考试试卷参考解答
西南交通大学2019－2020学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！考试诚信承诺书。
我郑重承诺：我愿意服从学校本次考试的安排，承认考试成绩的有效性，并已经认真阅读、了解了《西南交通大学考试考场管理办法》和《西南交通大学本科生考试违规处理办法》，我愿意在本次考试过程中严格服从监考教师的相关指令安排，诚信考试。
如果在考试过程中违反相关规定，我愿意接受《西南交通大学本科生考试违规处理办法》的规定处理。
您是否同意：A. 同意B. 不同意选择B 选项，本次考试无效。
一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂z x。