成都2016级高三二诊数学题(理科)答案

(Ⅱ )由(Ⅰ ),得 a２ ＋b２ ＝１,
a３ b３ a４ ＋b４ (a２ ＋b２ ) ２ －２a２b２ １
＋ ＝
＝
＝ －２
ab．
b a
ab
ab
ab
∵a２ ＋b２ ＝１≥２
ab,当且仅当 a＝b 时等号成立,
∴０＜ab≤
１
．
２
１
１
令 h(
t)＝ －２
t,
０＜t≤ ．
t
２
１
１
则 h(
t)在(
０, ]上单调递减 ．∴h(
１
４ 分
３
n－１
７ 分
８ 分
＋n×２ ．
n
∴２Tn ＝１×２２ ＋２×２３ ＋３×２４ ＋ ＋ (
n－１)×２n ＋n×２n＋１ ．
９ 分
∴－Tn ＝２＋２２ ＋２３ ＋２４ ＋ ＋２n －n×２n＋１
１０ 分
２(
１－２n )
＝
－n×２n＋１ ＝ (
１－n)
２n＋１ －２．
x－１(
x≥０)．则 h′ (
x)＝ex －２x－ (
e－２)．
令 u(
x)＝ex －２x－ (
e－２)．则 u′ (
x)＝ex －２．
当 x∈ [
０,
l
n２)时,
u(
x)＜０,
u(
x)单调递减;
′
当 x∈ [
l
n２,＋ ¥)时,
u′ (
x)＞０,
u(
x)单调递增 ．
′
即h (
x)在(
０,
l
n２)上单调递减,在(
二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分)
２
１３．－１; １４．
３π; １５．[ ,
１]; １６．
６．
２
三 ．解答题:(共 ７０ 分)
１７．解:(Ⅰ )由题意,得 ２(
a２ ＋１)＝a１ ＋a３ ．又 S３ ＝a１ ＋a２ ＋a３ ＝１４,
∴２(
a２ ＋１)＝１４－a２ ,∴a２ ＝４,
EF ⊥CF ．
,
∵DF ∩CF ＝F ∴EF ⊥ 平面 DCF ．
又 MC ⊂ 平面 DCF ,故 EF ⊥MC ．
１ 分
２ 分
４ 分
５ 分
(Ⅱ )∵ 平面 BEFC ⊥ 平面 AEFD ,平面 BEFC ∩ 平面 AEFD ＝EF ,且 DF ⊥EF ,
∴DF ⊥ 平面 BEFC ,∴DF ⊥CF ,∴DF ,
nx＋x２ ＋ (
e－２)
x,
x
只需证当 x＞０ 时,
ex －x２ － (
e－２)
x－１≥０．
７ 分
由 u′ (
x)＝０,得 x＝l
n２．
８ 分
１
(Ⅱ )由(Ⅰ ),可知当 a＝１ 时,
x)≥０,即l
nx≥１－ 在x∈ (
０,＋ ¥)恒成立 ．
f(
x
令 h(
x)＝ex －x２ － (
e－２)
积分
方案甲
方案乙
２
２４００
３０００
３
３１００
３０００
６
５２００
５６００
７
５９００
５６００
７
５９００
５６００
１１
８７００
９０００
１２
９４００
９０００
５ 分
１２
９４００
９０００
８ 分
由表可知,“
A 类员工”有 ５ 名 ．
设从这 ８ 名员工中随机抽取 ４ 名进行面谈,恰好抽到 ３ 名“
A 类员工”的概率为 P ．
数学(理科)“二诊”考试题参考答案 第
１ 页(共 ４ 页)
１
C３
５C３
则P ＝ ４
C８
１０ 分
＝
１２ 分
３
．
７
１９．解:(Ⅰ )由题意,可知在等腰梯形 ABCD 中,
AB ∥CD ,
∵E ,
F 分别为 AB ,
CD 的中点,∴EF ⊥AB ,
EF ⊥CD ．
∴ 折叠后,
EF ⊥DF ,
,
由 ①② ,解得 y１ ＝ ２
．y２ ＝ ２８m Nhomakorabea９８m ＋９
∵y１ ＞０,∴m ＞０．
１２８m (－１１２m ) －６４
６
∴y１y２ ＝
＝ ２
．∴m ＝ ．
２
(
１２
８m２ ＋９)
８m ＋９
６
∴ 直线 F１M 的方程为x＝ y－１,即 ２ ６x－y＋２ ６＝０．
１２
１ a x－a
２１．解:(Ⅰ )由已知,有 f′ (
x)＝ － ２ ＝ ２ ．
x x
x
１
当 a≤０ 时,
n２＋a＜０,与条件 f(
x)≥０ 矛盾;
f( )＝－l
２
当 a＞０ 时,若 x∈ (
０,
a),则 f′ (
x)＜０,
x)单调递减;
f(
若 x∈ (
a,＋ ¥),则 f′ (
x)＞０,则 f(
x)单调递增 ．
１
∴f(
x)在(
０,＋ ¥)上有最小值 f(
１－２
∴Tn ＝ (
n－１)
２n＋１ ＋２．
１１ 分
１２ 分
１８．解:(Ⅰ )根据列联表可以求得 K 的观测值:
２
８０ (２５×３０－１０×１５) ２ ８０
k＝
＝ ≈１１．
４２９．
３５×４５×４０×４０
７
∵１１．
４２９＞６．
６３５,
３ 分
∴ 有 ９９％ 的把握认为满意程度与年龄有关 ．
(Ⅱ )据题意,该 ８ 名员工的贡献积分及按甲,乙两种方案所获补贴情况为:
h(
x)单调递增;当 x∈ (
x０ ,
１)时,
h(
x)＜０,
h(
x)单调
递减;当 x∈ (
１,＋ ¥)时,
h′ (
x)＞０,
h(
x)单调递增 ．
又 h(
０)＝１－１＝０,
h(
１)＝e－１－ (
e－２)－１＝０,
∴ 对 ∀x＞０,
h(
x)≥０ 恒成立,即 ex －x２ － (
e－２)
x－１≥０．
１
综上所述,
４ ２
６
而ρ２ ＋２２ ＝４２ ,∴ρ＝２ ３．
π
∴ 点 P 的极坐标为(
２ ３, )．
６
２３．解:(Ⅰ )∵m ＞０,
x≥m
ìï－３m ,
ï
(
)
∴f x ＝ x－m － x＋２m ＝ í－２x－m ,－２m ＜x＜m ．
ïï
x≤－２m
î３m ,
∴ 当 x≤－２m 时,
x)取得最大值 ３m ．
f(
∴m ＝１．
l
n２,＋ ¥)上单调递增 ．
而h (
０)＝１－ (
e－２)＝３－e＞０,
h(
l
n２)＜h (
１)＝０,
′
′
′
数学(理科)“二诊”考试题参考答案 第
３ 页(共 ４ 页)
９ 分
１０ 分
∴∃x０ ∈ (
０,
l
n２),使得 h′ (
x０)＝０．
′
′
当 x∈ (
０,
x０)时,
h(
x)＞０,
２ 分
４
１
∵S３ ＝ ＋４＋４
q＝１４,∴q＝２ 或q＝ ,
２
q
,
∵q＞１ ∴q＝２．
∴an ＝a２q
n－２
＝４２
n－２
＝２ ．
∴Tn ＝１×２ ＋２×２ ＋３×２ ＋ ＋ (
n－１)×２
２
５ 分
６ 分
n
(Ⅱ )由(Ⅰ ),知 an ＝２n ．∴bn ＝an l
og２an ＝２n n．
１,
１,
０)．
由
→
－x２ ＋２
z２ ＝０
DA n＝０
,得
．
→
－x２ ＋y２ ＝０
AB n＝０
{
９ 分
{
取 x２ ＝２,则 n＝ (
２,
２,
１)．
m n
２＋２ ２ ２
,
∵c
o
s＜m ,
n＞＝
＝
＝
|m||n| ２×３ ３
２２
∴ 二面角 M －AB －D 的余弦值为
．
３
c １
２０．解:(Ⅰ )由题意,得 ２
５ 分
∵F１M ∥F２N ,根据对称性,得 N ( －x２ ,－y２ ) ．
６ 分
记直线 F１M 与椭圆的另一交点为 M′ ．设 M (x１ ,
M′ (x２ ,
y１ ) (
y１ ＞０),
y２ ) ．
数学(理科)“二诊”考试题参考答案 第
２ 页(共 ４ 页)
联立
８x２ ＋９y２ ＝７２
成都市 ２０１６ 级高中毕业班第二次诊断性检测
数学 (理科 )参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷 (选择题,共 ６０ 分)
一、选择题:(每小题 ５ 分,共 ６０ 分)
１．
A; ２．
D; ３．
A; ４．
A; ５．
C; ６．
B; ７．
C; ８．
C; ９．
B; １０．
B; １１．
C; １２．
D．
第 Ⅱ 卷 (非选择题,共 ９０ 分)
t)≥h( )＝１．
２
２
∴ 当 ０＜ab≤
１
１
时, －２
ab≥１．
２ ab
a３ b３
∴ ＋ ≥１．
b a
数学(理科)“二诊”考试题参考答案 第
４ 页(共 ４ 页)
１１ 分
１２ 分
２ 分
３ 分
４ 分
５ 分
６ 分
８ 分
９ 分
１０ 分
３ 分
４ 分
５ 分
a)＝l
n
a＋a( －１)＝l
n
a＋１－a．
a
由题意 f(
x)≥０,∴l
n
a＋１－a≥０．
７ 分
８ 分
１０ 分
１１ 分
１２ 分
１ 分
２ 分
３ 分
４ 分
１
１－x
令 g(
x)＝l
nx－x＋１．∴g′ (
x)＝ －１＝
．
x
x
′
′
当 x∈(
０,
１)时,
x)＞０,
x)单调递增;当 x∈(
ex ＋ ≥２－l
nx＋x２ ＋ (
e－２)
x 成立 ．
x
x＝４＋２cos
β,得
(x－４) ２ ＋y２ ＝４．
i
n
y＝２s
β
∵β∈ [
０,
π],∴ 曲线 C 的普通方程为 (x－４) ２ ＋y２ ＝４(
y≥０)．
２２．解:(Ⅰ )由曲线 C 的参数方程
{
x＝tcos
α
(
t 为参数,
α 为倾斜角),
i
∴MA ＝ ０ ０ ２ AB ＝ －１ １ ０ DA ＝ －１ ０ ２ ．
８ 分
设平面 MAB ,平面 ABD 的法向量分别为
m ＝(
x１ ,
z１),
n＝ (
x２ ,
z２)．
y１ ,
y２ ,
由
→
２
z１ ＝０
MA m ＝０
,得
．
→
－x１ ＋y１ ＝０
AB m ＝０
{
{
取 x１ ＝１,则 m ＝ (
CF ,
EF 两两垂直 ．
以 F 为坐标原点,分别以 FD ,
FC ,
FE 所在直线为x 轴,
z 轴建立如图所示的空
y 轴,
６ 分
间直角坐标系 Fxyz．
∵DM ＝１,∴FM ＝１．
∴M (
１,
０,
０),
D(
２,
０,
０),
A(
１,
０,
２),
B(
０,
１,
２)．
→ ( , , ), → ( , , ), → ( , , )
,消去 x,得 (８m２ ＋９)y２ －１６my－６４＝０,其判别式 △＞０．
x＝my－１
{
１６m
６４
,
∴y１ ＋y２ ＝ ２
．①
y１y２ ＝－ ２
８m ＋９
８m ＋９
３y１
２y２
由３
k１ ＋２
k２ ＝０,得
＋
＝０,即 ５my１y２ ＋６y１ ＋４y２ ＝０．②
my１ ＋２ my２ ＋２
１２８m
－１１２m
n
α
y＝ts
∴ 直线l 的倾斜角为α,且过原点 O (极点)．
∵ 直线l 的参数方程为
{
∴ 直线l 的极坐标方程为θ＝α,
ρ∈R．
(Ⅱ )由(Ⅰ ),可知曲线 C 为半圆弧 ．
若直线l 与曲线C 恰有一个公共点 P ,则直线l 与半圆弧相切 ．
设 P (ρ,
θ) ．由题意,得 s
i
n
θ＝
２ １
π
＝ ．故θ＝ ．
７ 分
８ 分
９ 分
１０ 分
１,＋ ¥)时,
x)＜０,
x)单调递减 ．
g(
g(
g(
g(
∴g(
x)在(
０,＋ ¥)上有最大值 g(
１)＝０．∴g(
x)＝l
nx－x＋１≤０．
∴l
n
a－a＋１≤０．
∴l
n
a－a＋１＝０,∴a＝１,
５ 分
综上,当 f(
x)≥０ 时,实数 a 取值的集合为 {１} ．
６ 分
１
要证 ex ＋ ≥２－l
b＝４ ２, ＝ ．
a ３
又 a２ －c２ ＝b２ ,∴a＝３,
b＝２ ２,
c＝１．
x２ y２
∴ 椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝１．
９ ８
(Ⅱ )由(Ⅰ ),可知 A (－３,
０),
B(
３,
０),
F１(－１,
０)．
１０ 分
１１ 分
１２ 分
２ 分
３ 分
４ 分
由题意,设直线 F１M 的方程为x＝my－１．