最大公约数与最小公倍数

第五讲 最大公约数与最小公倍数
【知识导引】
一、约数的概念与最大公约数
约数又叫因数(在正整数范围内）整数a 能被整数b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

最大公约数:如果一个数既是数a 的约数，又是数b 的约数，称为[a,b]的约数。

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

1. 求最大公约数的方法
①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=；
②短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘。

例如：21812
39632
，所以(12,18)236=⨯=；
③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)。

例如，求600和1515的最大公约数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公约数是15。

2. 最大公约数的性质
①几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；
②几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；
③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 。

3. 求一组分数的最大公约数
先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求
出各个分数的分子的最大公约数b ；b a
即为所求。

二、倍数的概念与最小公倍数
对于整数m ，能被n 整除（n/m ）,那么m 就是n 的倍数。

如15能够被3或5整除，我们就说15是3的倍数，也是5的倍数。

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

1. 求最小公倍数的方法
①分解质因数法求最小公倍数
例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=； ②短除法求最小公倍数 例如：21812
39632
，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③公式法：[,](,)
a b a b a b ⨯= 2. 最小公倍数的性质
①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积。

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数。

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤
先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母
的最大公约数b ；b a 即为所求。

例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数。

例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
三、最大公约数与最小公倍数的常用性质
1. 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：
①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；
②最大公约数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的约数。

2. 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积，即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯。

3. 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为：
①奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数，例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数。

②偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍，例如：⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168
÷=
678336
③几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大。

【例题解析】
【A组——基础夯实】
例1两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
解：由ab=[a，b]×（a，b）可得：另一个数为，252×4÷28=36
答：另一个数是36。

例2 求437与323最大公约数是多少？
解：运用辗转相除法：437÷323=1…114；323÷114=2…95；114÷95=1…19,95÷19=5，
那么（437,323）=19
答：437与323的最大公约数是19。

例3已知两个数的最大公约数是20，最小公倍数560，符合条件的两个数中差最小的两个数各是多少？
解：由题意可得：560÷20=28=1×28=4×7，显然4与7之间差最小，20×7=140,20×4=80
答：符合条件的两个数中差最小的数是80和140。

例4 有336个苹果，252个桔子，210个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，三样水果各多少？
解：最多可以分成(336,252,210)42
=（份）
每份中有苹果336÷42=8（个）
每份中有桔子252÷42=6（个）
每份中有梨210÷42=5（个）
答：最多可以分成42份，每份中有苹果8个，有桔子6个，有梨5个。

【B组——能力提升】
例1已知两个自然数的差为2，它们的最小公倍数与最大公约数之间差为142，求这两个自然数。

解：由题意可得：两个自然数的差为2的自然数的最大公约数只有两种可能：一个为1，一个为2
（1）当两个数互质时，1×（1+142）=1×143=11×13；
（2）当两个自然数最大公约数为2时，2×（142+2）=2×144=16×18，
所以这两个自然数是11和13或者16和18。

答：略。

例2 已知两个自然数的和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求这两个自然数。

[][]1212121212121212,,,,(,),,
()60,
,,(1)84,
608460,84123461212346()60a b a b a mq b mq q q a b mq q a b mq mq m q q a b a b m mq q m q q m m m m q q ===+=+=+==+=⨯+=+=解：设这两个数为若（）=m,则互质，则 由 （）+ 由此可知，为和的公约数，而（）=12，所以只能取、、、、、， 当取、、、、时均不满足1212121212(1)841212601251762312224,12336
m q q m m q q q q q q q q a b ⨯+==+=÷=+=∴====⨯==⨯=和，
所以取，当时，；，。

所以当，， 2436答：这两个自然数分别是和。

例3 把一张长1米3分米5厘米、宽1米5厘米的纸裁成同样大小的正方形纸块，而没有剩余，问：能裁成最大的正方形纸块的边长是多少？共可裁成几块？
解：要把一张长方形的纸裁成同样大小的正方形纸块，还不能有剩余，这个正方形纸块的边长应该是长方形的长和宽的公约数。

由于题目要求的是最大的正方形纸块，所以正方形纸块的边长是长方形的长和宽的最大公约数，1米3分米5厘米＝135厘米，1米5厘米＝105厘米，正方形的边长为(135105)15=，，长方形纸块的面积为
1351051417⨯= (平方厘米)，
正方形纸块的面积为1515225⨯= (平方厘米)，共可裁成正方形纸块1417522563÷= （块）。

答：正方形的边长是15厘米，一共可以裁成63块。

例4 两个自然数的和是50，它们的最大公约数是5，试求这两个数的差。

解：设这两个自然数为：5a b 、5，其中a 与b 互质，则有5550a b +=，10a b +=，所以a=9，b=1或a=7，b=3，所以这两个两个自然数为5×9=45，5×1=5或5×7=35，5×3=15。

它们的差分别是：45－5＝40，35－15＝20
答：所求这两个数的差是40或者20。

例 5 大雪后的一天，小明和爸爸同时步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和步行方向完全相同，小明每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后，雪地上留下60个脚印，求圆形花圃的周长。

解：两人从起点出发到第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，为[]54,72216=厘米，在216厘米里，两人留下的脚印数分别是：216544÷= (个)，216723÷= (个),由于两人有1个脚印重合，所以实际上只有4316+-= (个)脚印。

60610÷=，即走完全程共重合10次，因此，花圃周长为：216102160⨯= (厘米)
答：花圃周长是2160厘米。

【习题精选】
【A组——基础夯实】
1. ①用短除法求120、48和56的最小公倍数；
②用分解质因数法求35、98、112的最大公约数和最小公倍数。

2. 已知a=44，b=12，c=82，求（a，b，c）和[a，b，c]。

3. 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是504，如果其中一个数是42，那么另一个数是。

4. 8路车每隔8分钟发一次车，12路每隔6分钟发一次车，在某一时刻这两路车同时从一个车站发车，至少再过________分钟这两路车才又同时发车。

5.甲数是36，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是________。

6. 四个连续自然数的和等于54，那么这四个连续自然数的最小公倍数是。

7. 一个房间长450厘米，宽330厘米。

现计划用方砖铺地，需要用边长最大为________厘米的方砖块(整块)，才能正好把房间地面铺满。

8. 教师节那天，某校工会买了320个苹果、240个桔子、200个鸭梨，用来慰问退休的教职工，问用这些果品，最多可以分成________份同样的礼物(同样的礼物指的是每份礼物中苹果、桔子、鸭梨的个数彼此相等)。

在每份礼物中，苹果有________个，桔子有________个，鸭梨有________个。

9. 三个质数的和是62，这三个质数的积是________。

10.一包糖，平均分给2人，3人，4人，或5人，正好都余一块，这包糖至少有________块。

【B组——能力提升】
1.有三根绳子，第一根长12米，第二根长18米，第三根长24米，现在要把它们剪成同样长的小段，每段最长________米。

2.有一批树苗，9棵一捆多7棵，10棵一捆多8棵，12棵一捆多10棵，这批树苗在150－200之间。

共有________棵树苗。

3. 同学们训练广播操，每行8人、10人、15人，都能正好排成整行，并且没有多余的学生，至少有________人参加了广播操训练。

4.已知两个自然数的积为240，最小公倍数为60，这两个数为_____________。

5. 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，这两个数的和是__________。

6.一个长方形的周长是40厘米，它的长和宽的厘米数是由一个质数与一个合数组成，它的面积最大是___________，最小是___________。

7. 幼儿园一个班节约图书，如借35本，平均发给每个小朋友后还差1本；如借56本，平均分发给每个小朋友；如借69本，平均分发给每个小朋友后则差3本，问这个班的小朋友最多有________人。

8. 一个数分别被2、4、5除都余1，这个数在100-130之间，这个数是_________。