知识讲解 物理学中的极值问题与极端法

物理学中的极值问题与极端法

编稿：李传安 审稿：张金虎

【高考展望】

物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 【知识升华】

物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 【方法点拨】

求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。

多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。 【典型例题】

类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值

二次函数2

y ax bx c =++有如下知识：

（1）若0a >、2b

x a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=；

（2）若0a <、2b

x a

=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。

例1、A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2的加速度匀加速开出，3s 后B 车同

向以3m/s 2的加速度开出。问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？

【思路点拨】速度相等是追及问题的临界点，速度相等两车相距最远。这里利用二次函数极值公式求最大距离，分别写出两车的位移公式，相减即为所求（A 车在前，A 车的位移减B 车的位移）。 【答案】27米

【解析】设A 启动t 秒两车相距最远，

A 车的位移：212A x at =，

B 车的位移：21

(3)2

B x a t =- 两车间距离为222

11(3)0.5913.522

A B A B x x x a t a t t t ∆=-=--=-+-

由数学知识可知，当9

92(0.5)

t s s =-

=⨯-时，

两车间有最大距离：2211

(3)2722

A B A B x x x a t a t m ∆=-=

--= 【总结升华】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学

方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。 举一反三

【变式1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s 2的加速度开始行驶。恰在这时，一辆自行车以6m/s 的速度同向匀速驶来，从后边超过汽车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 【答案】2秒；6米

【解析】设汽车开始运动时开始计时，t 时刻汽车和自行车的位移分别为：

22113

22

x at t == 26x v t t ==

汽车追上自行车之前，t 时刻两车的距离为： 2

21362

x x x t t ∆=-=-

由二次函数求极值的公式知：

当 6

23

2()

2

t s -==-时，x ∆有最大值2max 6634()2x m -∆=

=⨯- 【变式2】如图所示的电路中，电源的电动势E=12V ，内阻r=0.5Ω，外阻R 1=2Ω，R 2=3Ω，

滑动变阻器R 3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P 滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值？最大值是多少？

【答案】R 3的中点2.5Ω处；10V ．

【解析】设aP 间电阻为x ，外电路总电阻为R ， 电阻1R x +与电阻23()R R x +-并联，则

10

)

8)(2())((321321x x R R R x R R x R R -+=++-++=

，

6.16.01.010

16

622++-=++-=

x x x x R 电压表示数最大，就是外电路电阻最大，即求max R 当a

b

x 2-

=0.632(0.1)=-=-时，

外电路电阻最大值为

2

max

4(0.1) 1.60.6 2.54(0.1)

R ⨯-⨯-==Ω-．

电路中的最小电流为min max 12

42.50.5

E I A A R r

=

=

=++

伏特计的最大示数为max min 1240.510U E I r V =-=-⨯=

即变阻器的滑动头P 滑到R 3的中点2.5Ω处，伏特计有最大值，最大值为10V ． 类型二、利用极限思维方法求极值

有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎不足，使得结果难以确定，但若我们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比较隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。

例2、如图所示，细线的一端系一质量为m 的小球，另一端固定在倾角为θ的光滑斜面体顶端，细线与斜面平行。在斜面体以加速度a 水平向右做匀加速直线运动的过程中，小球始终静止在斜面上，小球受到细线的拉力T 和斜面的支持力为F N 分别为（重力加速度为g )）（ ）

A ．T ＝m （g sin θ＋a cos θ） F N ＝m （g cos θ－a sin θ）

B ．T ＝m （g cos θ＋a sin θ） F N ＝m （g sin θ－a cos θ）

C ．T ＝m （a cos θ－g sin θ） F N ＝m （g cos θ＋a sin θ）

D ．T ＝m （a sin θ－g cos θ） F N ＝m （g sin θ＋a cos θ）

【思路点拨】用极限思维方法求解时，如果选项为三角函数表达式，一般先设0θ=时（即水平），sin 0θ=，cos 1θ=，进行分析，排除错误选项，再设90θ=（竖直）时，进行分析，即可得出正确选项。 【答案】A