平面简谐波波动方程

0
波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出， 此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程。
利用关系式 2 T和 2，得uT
y(x,t)
A cos
2 Tt
x
0
y(x,t)
A cos
2
t
x
0
y(x,t) Acos( t k x 0) 其中 k 2
平面简谐波的波动表式
A
cos
t1
x u
0
当t=
t1+Δt时，y
A
cos
t1
t
x u
0
在t1和t1+Δt时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则
y(t1 )
A
cos
t1
x(1) u
0
y(t1 t )
A
cos
t1
t
x( 2 ) u
0
平面简谐波的波动表式
令x(2)=x(1)+uΔt，得
y(t1 t )
t
2
m
可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，2或落
后 ，T 即4 210-5s。
(4)该两点间的距离 x 10cm 0.，10相m应的 相4 位差
为
2
(5)t =0.0021s时的波形为
y
0.1 10 3
cos
25 103
0.0021
5
x 103
m
0.1103 sin 5x m
它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移 所构成的波形曲线(波形图)。
y
u
A
x
平面简谐波的波动表式
沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：
2
1
2
x2
x1
2
x
x、t 都变化。
实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形
y
u
x
x=u t
波的传播
平面简谐波的波动表式
当t=t1时，y
=0.110-3cos25103t m
(2)波动表式
y Acost x u
式中x
0.1103 cos
以m计，t 以s 计。
25
103
t
5
x 103
m
(3)离原点10cm处质点的振动表式
y
0.1 0 3
cos
25 103
t
5
1 104
m
波动方程的推导
y
0.1103 cos 25 103
波动方程的推导
例题 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播， 棒的杨氏模量为Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3。
如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3) 离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点 处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形。
1.平面简谐波的波动表式
平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的 正方向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点。O点处质点的振动表式为
y0 (t) Acos( t 0 )
y
u
P O
x
x
平面简谐波的波动表式
y
u
P
O
x
x
考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点。
A
cos
t1
t
x(1)
ut u
0
A
cos
t1
x(1) u
0
y(t1 )
在Δt 时间内,整个波形向波的传播方向移动了 Δx=x(2)-x(1)=uΔt，波速u 是整个波形向前传播的速 度。
波速u 有时也称相速度。
平面简谐波的波动表式
沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式
y
u
o
P
x
x
O 点简谐运动方程：
式中x以m计。
§5-3 波的能量 能流
弹性波传播到介质中的某处，该处将具有动能和势 能。在波的传播过程中，能量从波源向外传播。
1. 波的能量
考虑棒中的体积V，其质量为m(m=V )。当
波动传播到该体积元时，将具有动能Wk和弹性势能
Wp。 平面简谐波
y(x,t)
A cos t
x u
可以证明
Wk
w
W V
A2 2 sin2 t
x u
通常取能量密度在一个周期内的平均值 w
w A2 2 2
2. 波动能量的推导
ab
O
x
x x x
y y y
O
x
a' b'
位于x 处的体积元ab 的动能为
Wk
1 (m)v2 2
1 (V )v2
2
波动能量的推导
体积元ab 的振速
v
y t
A
sin t
x u
Wk
1 2
(V
)
A2
2
sin
2
t
x u
体积元ab 的胁变 y x
据杨氏模量定义和胡克定律,该积元所受弹性力为
f YS y ky x
体积元弹性势能
Wp
1 k(y)2 2
1 2
YS X
(y)2
1 YS 2
xy 2x源自波动能量的推导波动表式的意义：
x 一定。令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数。
即
y
A cos
t
2
x1
上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率
作简谐运动。
y
A
t
O
t 一定。令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式
2 x
即 y Acos t1
以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，
若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点
的位移就是O 点处质点在t – t 时刻的位移，从相位来说，
P 点将落后于O点，其相位差为 t。
P点处质点在时刻t 的位移为：
yP (t) Acos t t' 0
平面简谐波的波动表式
因 t' x u
yP (t)
A cos
t
x u
y0 Acos t 0
P 点的运动方程为：
y
A cos(
t
0)
A cos (t
x) u
0
2.波动过程中质点的振动速度和加速度
对y Acost x u 0 求t 的偏导数,得到
速度
y t
A
sin
t
x u
0
,
加速度
2 y t 2
A 2
cos
t
x u
0 ,
任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上 式，则这一物理量就按波的形式传播。
解 棒中的波速
u
Y
1.9 1011 N m2 7.6 103 kg m3
5.0 103
m/s
波长
u v
5.0 103 m s1 12.5 103 s1
0.40m
波动方程的推导
周期 T 1 v 8 105 s
(1)原点处质点的振动表式
y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m
Wp
1 2
A2
2
(V
)
sin
2
t
x u
波的能量
体积元的总机械能W
W
Wk
Wp
A2 2 (V )sin2 t
x u
对单个谐振子 Wk Wp
在波的传播过程中，任一体积元都在不断地接受和
放出能量，其值是时间的函数。与振动情形相比，波
动传播能量，振动系统并不传播能量。
波的能量密度 w：介质中单位体积的波动能量。