计算机数学-图与网络分析
图论与网络
图论与网络引言在数学的广阔领域中，图论是一颗璀璨的明珠。
它不仅是数学的一个分支，也是计算机科学、物理学、化学等多个学科的基础工具。
图论通过图形来表示对象之间的二元关系，这些对象可以是人、地点或者任何可以被抽象为点的实体，而它们之间的关系则由连接两点的线（边）表示。
网络，作为图论中的一个重要概念，指的是由节点和连接节点的边构成的系统，它在现代社会中的应用日益广泛，从社交网络到互联网，从交通网络到神经网络，无不体现了图论的巨大价值。
图论的基本概念图论中的“图”是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的。
顶点代表图中的个体，而边则代表了个体之间的联系。
根据边是否有方向，图可以分为无向图和有向图；根据边是否有权值，图又可以分为无权图和加权图。
此外，图中顶点的度是指与该顶点相关联的边的数量，而在有向图中，入度和出度分别指进入和离开顶点的边的数量。
网络的分类网络可以根据其结构特性被分为多种类型。
最常见的分类包括：规则网络、随机网络、小世界网络和无标度网络。
规则网络中的节点按照固定规则连接，如环形或网格形；随机网络则是通过随机过程连接节点形成的；小世界网络结合了规则网络的高集聚系数和随机网络的短平均路径长度；而无标度网络的特点在于节点的度分布遵循幂律分布，这意味着网络中存在少数几个高度连接的枢纽节点。
图论的应用图论在现实世界中的应用极为广泛。
例如，在社交网络分析中，人们利用图论来研究人际关系的模式和动态；在网络科学中，图论帮助研究者理解互联网的结构和发展；在运筹学中，最短路径问题、最大流问题等都可以用图论的方法来解决。
此外，图论还在生物信息学、电力网设计、任务调度等多个领域发挥着重要作用。
结语图论与网络作为一门古老而又年轻的学科，正以其独特的魅力吸引着越来越多的关注。
随着科技的发展和社会的进步，图论的理论和应用必将进一步拓展，为我们解决更多实际问题提供强大的工具和方法。
通过学习和掌握图论的知识，我们能够更好地理解和改造这个由无数节点和连接构成的复杂世界。
数学中的图论和网络科学
数学中的图论和网络科学在数学领域中，研究图形和网络的学科被称为图论和网络科学。
图形是由节点和边组成的结构，被广泛应用于计算机科学、通信网络和运筹学等领域。
网络科学是一种跨学科研究领域，它将图论、统计学、社会学和物理学等学科融合到一起，研究现实世界中的复杂网络现象，如社交网络、生命科学中的分子交互作用等。
图论是研究图形的一门学科，它研究节点和边之间的关系，以及如何利用图形的结构和算法解决实际问题。
在计算机科学中，图形被广泛应用于算法设计和分析。
其中最著名的算法之一是迪科斯彻算法，用于解决最短路径问题。
它是由荷兰计算机科学家艾兹格·迪科斯彻于1956年发明的，并于1959年发表在他的博士论文中。
这个算法在电子商务、航空和运输等领域中有广泛应用。
在通信网络领域，图形也被广泛应用。
通信网络可以被视为由节点和边组成的图形，节点代表网络中的主机或路由器，边则代表这些设备之间的连接。
网络工程师可以使用图形来设计和优化网络，以确保其可靠性和高效性。
例如，路由算法可以利用图形的结构来确定最佳路由路径。
网络科学是一个跨学科的研究领域，它将图论、统计学、社会学和物理学等领域的知识和方法融合到一起，以研究现实世界中的复杂网络现象。
社交网络是一个重要的研究领域，它研究人类社交网络的结构和演化。
研究人员可以使用图形来表示人与人之间的联系，并分析这些联系的特性。
例如，他们可以分析社交网络中的群组结构，以及个体之间的交互方式。
生命科学中的分子交互作用也是一个重要的研究领域。
分子之间的相互作用可以被视为一个复杂的网络。
研究人员可以使用图形来描述这些网络，并研究它们的结构和功能。
这些研究成果可以应用于药物设计和生物工程等领域。
总之，图论和网络科学是现代数学中的两个重要领域，它们不仅可以解决计算机科学和通信网络中的实际问题，还可以研究现实世界中的复杂网络现象。
这些技术的发展将有助于推动人类社会的发展和进步。
运筹学第六章图与网络分析1.
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1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
运筹学课件 第八章 图与网络分析
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例：哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一
个城市，Pregei河把该城分成两部分，河中 有两个小岛，十八世纪时，河两边及小岛之 间共有七座桥，当时人们提出这样的问题： 有没有办法从某处（如A）出发，经过各桥 一次且仅一次最后回到原地呢？
A C
B
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D
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最后，数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的答案，并因此奠定了图论的基 础，Euler把A、B、C、D四块陆地分别收缩 成四个顶点，把桥表示成连接对应顶点之间 的边，问题转化为从任意一点出发，能不能 经过各边一次且仅一次，最后返回该点。这 就是著名的Euler问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二十世纪 中叶，这时，图论问题大量出现，如 Hamilton问题，地图染色的四色问题以 及可平面性问题等，这时，也出现用图 解 决 实 际 问 题 ， 如 Cayley 把 树 应 用 于 化 学领域，Kirchhoff用树去研究电网络等.
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第三阶段是二十世纪中叶以后，由生产管 理、军事、交通、运输、计算机网络等方 面提出实际问题，以及大型计算机使大规 模问题的求解成为可能，特别是以Ford和 Fulkerson建立的网络流理论，与线性规划、 动态规划等优化理论和方法相互渗透，促 进了图论对实际问题的应用。
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二、连通图
定义8:如果图中的某些点、边可以排列成点和边的交错序列 (v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn-1 , en ， vn ） ，ei=(vi-1,vi)，则称 此为一条链。 由两两相邻的点及其相关联边构成的点边序列。 初等链：链中无重复的点和边； 定义9：无向图中，如一条链中起点和终点重合，则称此链为 圈。 初等圈：圈中无重复的点和边； 有向图中，当链（圈）上的边方向相同时，为道路（回路）。
运筹学第10章图与网络分析清华大学出版社
由于2m为偶数, 而 d (v )是若干个偶数之和, 也是偶数.
vV2
所以 d (v )必为偶数,即 | V1 | 是偶数.
有向图中,以vi为始点的边数称为点vi的出次, 用d (vi )表示, 以vi为终点的边数称为点vi的入次, 用d (vi )表示, vi点的出次与入次之和就是该点的次.
六、第10章 图与网络分析
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
(Graph Theory and Network Analysis)
A
C
D
问题：一个游者怎样才 能一次连续走过这七座 桥且每座桥只走一次， 回到原出发点。
A
B
哥尼斯堡“七桥”难 题 欧拉用A,B,C,D四点表示河的 两岸和小岛，用两点间的联 线表示桥。七桥问题变为： 从A,B,C,D任一点出发，能否 通过每条边一次且仅一次， 再回到该点?
无路可通.那么加上一边( u, v )也不会形成圈, 与已知矛盾. 再证每舍去一边便不连通.若T中有一边( u, v ), 舍去( u, v )后
图T ( u, v )仍然连通, 那么T T ( u, v )由于无圈是一棵树
但T 加一边( u, v )后就是T 仍无圈, 与( 4)中树每加一新边必
从T中去掉(v , u)边及u点不会影响T的连通性, 得图T , T 为树 只有k 1个顶点, 所以有k 2条边, 再把(v , u)，u加上去,可知
当T 有k个顶点时有k 1条边.
( 2) (3)
只需证明T 是连通图.
l
反证法.设T 不连通, 可以分为l个连通分图( l 2), 设第i个
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第六章图与网络分析
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若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
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起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
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2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
计算机科学中的图论和网络科学
计算机科学中的图论和网络科学图论是计算机科学中的一个重要分支，它研究顶点之间通过边相互联系的图形结构。
其应用在通讯、电子商务、社会网络等领域，被广泛使用。
随着时代的变迁，由于互联网的兴起和网络科学的兴盛，图论又与网络科学融合在了一起。
本文将深入探讨计算机科学中的图论和网络科学的基本概念和研究方向。
一、图论图论是一种研究顶点和边构成的图结构的数学分支。
在计算机科学领域，图论常常被用来分析不同的计算机网络，比如社交网络、信息网络、生物网络等等。
图结构可以用来表示很多现实场景，比如邮路图，城市道路、人际关系等等。
a. 图的基本概念在图论中，对于一个图结构，我们通常会有以下概念：·顶点（Vertex）：一个图结构中的单独节点；·边（Edge）：两个顶点之间的连线；·权重（Weight）：边上的值，用于表示两个顶点之间的距离或代价等。
b. 图的类型在图论中，有许多不同的图类型，以用于解决不同的问题。
这里我们简单介绍几种常见的类型：·简单图（Simple Graph）：没有自环和重边的图；·完全图（Complete Graph）：所有的顶点两两之间都有边相连的图；·有向图（Directed Graph）：边有方向的图；·加权图（Weighted Graph）：边上有权值的图。
二、网络科学网络科学是一门新兴的学科，它研究各种网络之间的复杂性和特征。
网络科学广泛应用于社会、生物、信息、市场等不同领域，以帮助人们理解和预测这些领域中的现象和行为。
网络科学使用数学和电脑模拟等方法来研究各种网络，比如社交网络、互联网、生物网络等。
在网络科学的各个领域中，我们可以发现许多基于图论的算法和模型。
a. 网络的结构网络结构是网络科学的一个基本概念。
根据这个概念，网络可以分为以下类型：·随机图（Random Graph）：网络中的节点和连接是完全随机的；·小世界网络（Small World Network）：在这种网络结构中，任意两个节点之间的距离很短，通常是对数级别的；·无标度网络（Scale-Free Network）：在这种网络结构中，一些节点会拥有更多的连接，而大多数节点只有很少的连接。
运筹学8图与网络分析
反推得最V1至V8的最短路为V1→V2 →V5 →V7 →V8,路长15。
8.2 最短路问题
一、Dijkstra算法：求无负权网络最短路问题。
计算步骤：
（1）给Vs以P标号，P（Vs）=0，其余各点给T标号， T（Vi）=+∞；
且仅得一个圈。
4）图中边数为：p-1（p为顶点数）
8.1 图与网络基本知识
例8-4：一个班级的学生共计选修A、B、C、D、 E、F六门课程，其中一部分人同时选修D、C、A， 一部分人同时选修B、C、F，一部分人同时选修 B、E，还有一部分人同时选修A、B，期终考试 要求每天考一门课，六天内考完，为了减轻学生 负担，要求每人都不会连续参加考试，试设计一 个考试日程表。
（2）若Vi点为刚得到P标号的点，考虑点Vj: (Vi,Vj) 属于E，且Vj为T标号。则修改T(Vj)
T(Vj)=min[T(Vj),P(Vi)+lij]；
（3）比较所有T标号的点，把最小者改为P标号，即： P（Vi）=min[T(Vi)] 当存在两个以上最小者时，可同时改为P标号。
8.2 最短路问题
8.1 图与网络基本知识
三、有向图的有关概念:
有向图：
由点和弧组成。表示为：D=（V，A）
V--点集合 A--弧集合
始点和终点： 对弧a=(u，v)， u为a的始点，v为a的
终点。
链（道路）：
点弧交错序列。
圈（回路）：
如一条链中起点和终点重合。
初等链（道路）： 链中无重复的点和弧。
（3） 考察V5V6和V5V7两边： T(V6)=min[T(V6),P(V5)+l56]=min[+∞,8+5] =13 T(V7)=min[T(V7),P(V5)+l57]=min[+∞,8+6] =14
数学与计算机科学的联系
数学与计算机科学的联系数学与计算机科学是两个密不可分的学科，它们之间存在着紧密的联系和相互依存的关系。
在计算机科学的发展过程中，数学扮演着至关重要的角色。
本文将就数学与计算机科学之间的关系展开探讨，并分析其重要性和影响。
一、数学在计算机科学中的作用1. 算法设计与分析：算法是计算机科学的核心和基础，而数学则为算法的设计和分析提供了强大的理论支持。
数学中的离散数学、数论、图论等领域，为算法设计提供了严密的证明和分析方法，保证了算法的正确性和高效性。
2. 数据结构：数据结构是计算机中用于组织和存储数据的方式，而数学中的集合论、图论等概念与计算机中的数据结构密切相关。
数学的抽象思维和逻辑推理能力，帮助计算机科学家设计出高效的数据结构，提高计算机程序的性能。
3. 网络与图像处理：计算机网络和图像处理是计算机科学中重要的应用领域，而图论和数理逻辑等数学工具在这些领域中发挥了重要作用。
比如，图论可用于网络拓扑结构的建模和优化算法的设计；概率论和统计学可用于图像处理中的噪声去除和图像分析等方面。
4. 密码学与安全性：密码学是信息安全的重要基础，而数论和代数学是密码学研究的重要数学工具。
利用数学中的数论和代数学方法，可以设计出安全可靠的密码系统，保护信息不被非法获取和篡改。
二、计算机科学对数学的影响1. 计算机模拟与数值计算：计算机科学为数学提供了强大的计算工具。
通过计算机的模拟和数值计算，可以解决许多传统数学问题，如微分方程的数值解法、高维数据的可视化等。
计算机科学的发展推动了数学研究的进一步深入和拓展。
2. 数学建模与优化：计算机科学的应用为数学在实际问题中的建模和优化提供了新的思路和方法。
通过将实际问题转化为数学模型，并利用计算机进行模拟和优化算法的求解，可以得到更快、更准确的结果，提高工程和科学领域的效率和可行性。
3. 大数据与数据挖掘：随着计算机和互联网的迅猛发展，大量的数据被生成和积累。
而数学的统计学和机器学习等理论与计算机科学中的数据挖掘技术相结合，可以从这些海量数据中挖掘出有用的信息和模式，为决策和预测提供依据。
图论与网络分析
图论是数学的一个分支，研究图的性质和特点，而网络分析是应用图论于实际问题中，通过分析网络结构和关系来揭示其潜在的规律和模式。
图论和网络分析在现代科学、技术和社会的各个领域都有广泛的应用，如社交网络、交通网络、生物网络等。
本文将以图论与网络分析为题，探讨其重要性和应用范围。
首先，图论和网络分析对于社交网络的研究具有重要意义。
社交网络是人们日常生活中相互联系和交流的重要方式，通过图论和网络分析可以分析社交网络中的人际关系和信息传播。
例如，研究一个社交网络中的节点（人）的连接和交流模式，可以找出核心节点、社区结构以及信息传播路径，从而帮助我们理解人们之间的联系及其对社会的影响。
其次，图论和网络分析在交通网络中的应用也非常重要。
交通网络是现代社会运行的重要基础，图论和网络分析可以帮助我们优化交通规划和管理。
例如，研究交通网络中的节点（道路和交通枢纽）之间的连接和交通流量可以帮助我们找出瓶颈节点和拥堵原因，从而设计更有效的交通流管理策略，提高交通运输的效率和便利性。
此外，图论和网络分析在生物网络研究中也占据重要地位。
生物网络是研究生物学和医学的重要工具，可以帮助我们理解生物体的复杂系统和相互作用。
例如，研究蛋白质相互作用网络，可以发现重要节点和模式，从而帮助我们预测蛋白质的功能和相互作用方式，为疾病诊断和药物设计提供重要依据。
最后，图论和网络分析在计算机科学中的应用也不可忽视。
计算机网络是现代信息科技的基础，而图论和网络分析可以帮助我们研究和设计高效的网络结构和优化算法。
例如，研究互联网中的路由器和通信节点之间的连接方式和流量分配可以帮助我们提高网络的性能和吞吐量，保证网络的可靠性和安全性。
综上所述，图论与网络分析在社交网络、交通网络、生物网络和计算机网络等领域的应用都是十分重要的。
通过图论和网络分析的方法，我们可以从整体和局部的角度来研究和理解不同领域中的网络结构和关系，揭示其内在的规律和模式。
图论与网络分析的发展将为我们提供更多解决实际问题的方法和思路，推动科学、技术和社会的进步。
关联矩阵法的名词解释
关联矩阵法的名词解释关联矩阵法是一种在计算机科学和网络理论中常用的方法，用于分析和解释复杂系统中的关联关系。
它有助于我们理解和研究网络结构、信息传播以及社交媒体等领域的问题。
本文将详细解释关联矩阵法的相关概念和应用。
1. 关联矩阵关联矩阵是关联矩阵法的核心概念之一。
它是一个方阵，用于表示网络中节点之间的关联关系。
假设网络中有n个节点，那么关联矩阵的维度为n×n。
矩阵中的元素a_ij表示节点i和节点j之间的关联程度。
通常，如果节点i和节点j之间存在连接，那么a_ij的值为1；反之，如果不存在连接，则a_ij的值为0。
通过分析关联矩阵的特征，我们可以获得关于网络结构和行为的有用信息。
2. 图论和网络分析关联矩阵法的应用范围广泛，其中包括图论和网络分析。
图论是一门研究图和网络的数学理论，而网络分析则是通过数学和计算方法探索网络结构、属性和行为的研究领域。
关联矩阵法在这两个领域中被广泛使用，以帮助我们理解和预测网络中的各种现象，如信息传播、社区发现、节点中心性等。
3. 关联矩阵的特征值和特征向量关联矩阵的特征值和特征向量是关联矩阵法中另一个重要概念。
特征值是关联矩阵的一个固有属性，它表示矩阵的线性变换中的缩放因子。
特征向量是与特定特征值相关联的向量，表示在变换中不会改变方向的向量。
通过计算关联矩阵的特征值和特征向量，我们可以得出有关网络结构和行为的重要信息。
例如，特征向量可以用于识别网络中的关键节点，特征值可以用于确定网络的稳定性。
4. 关联矩阵的应用领域关联矩阵法在各种应用领域都有广泛的应用。
在社交媒体和在线社区方面，关联矩阵可以用于社群检测、个人影响力分析和舆论监测等任务。
在传播网络分析中，关联矩阵可以用于预测信息传播的路径和速度。
在生态学和生物学领域，关联矩阵可以用于研究物种间的生态关系和食物链。
此外，在金融市场分析、电力系统控制和交通网络优化等方面，关联矩阵也发挥着重要的作用。
5. 关联矩阵法的优势和不足关联矩阵法具有许多优势，使其成为理解和分析复杂系统的有力工具。
图与网络分析试题及答案
图与网络分析试题及答案一、填空题1．图的最基本要素是点、点与点之间构成的边2．在图论中，通常用点表示，用边或有向边表示研究对象，以及研究对象之间具有特定关系。
3．在图论中，通常用点表示研究对象，用边或有向边表示研究对象之间具有某种特定的关系。
4．在图论中，图是反映研究对象_之间_特定关系的一种工具。
5．任一树中的边数必定是它的点数减1。
6．最小树问题就是在网络图中，找出若干条边，连接所有结点，而且连接的总长度最小。
7．最小树的算法关键是把最近的未接_结点连接到那些已接结点上去。
8．求最短路问题的计算方法是从0≤f ij≤c ij开始逐步推算的，在推算过程中需要不断标记平衡和最短路线。
二、单选题1、关于图论中图的概念，以下叙述(B)正确。
A图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C图中任意两点之间必有边。
D图的边数必定等于点数减1。
2．关于树的概念，以下叙述(B)正确。
A树中的点数等于边数减1 B连通无圈的图必定是树C含n个点的树是唯一的D任一树中，去掉一条边仍为树。
3．一个连通图中的最小树(B)，其权(A)。
A是唯一确定的 B可能不唯一 C可能不存在 D一定有多个。
4．关于最大流量问题，以下叙述(D)正确。
A一个容量网络的最大流是唯一确定的B达到最大流的方案是唯一的C当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D当最大流方案不唯一时，得到的最大流量亦可能不相同。
5．图论中的图，以下叙述(C)不正确。
A．图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B．图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C．图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D．图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
6．关于最小树，以下叙述(B)正确。
A．最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B．最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C．一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D．一个网络的最小树一般是不唯一的。
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图与网络分析-(共34张PPT)
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
数学与应用数学中的图论与网络优化研究
数学与应用数学中的图论与网络优化研究图论与网络优化是数学与应用数学领域中的重要研究方向。
它们在现代社会中广泛应用于计算机科学、通信网络、运输规划、社交网络等诸多领域。
本文将从图论和网络优化的基础概念、重要原理和应用实例三个方面来探讨数学与应用数学中的图论与网络优化研究。
首先，我们来了解一下图论的基础概念。
图论是研究图的性质和图中各种关联关系的数学分支。
图由若干个节点和它们之间的边组成。
节点表示图中的对象，而边表示节点之间的关联关系。
图分为有向图和无向图两种类型。
有向图的边有方向，而无向图的边没有方向。
图还可以分为连通图和非连通图。
连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径的图，非连通图则相反。
图中最短路径和最小生成树是图论中的重要问题，对于网络优化具有重要意义。
接下来，我们将讨论图论在网络优化中的重要原理。
网络优化是一种将图论应用于实际问题的方法。
它通过对图的节点和边进行优化，以最大化或最小化某种指标。
常见的网络优化问题有最小生成树、最短路径、最大流和最小割等。
最小生成树问题是寻找连通图的一颗子图，它包含图中所有节点，并使得图中边的权值之和最小。
最短路径问题是在两个节点之间找到一条路径，使得经过的边的权值之和最小。
最大流和最小割问题是在有向图中找到一条从源节点到汇节点的路径，使得路径上的边的总流量达到最大或最小。
最后，我们将探讨图论与网络优化在实际应用中的研究。
图论和网络优化的研究成果在现代社会中广泛应用。
在计算机科学中，图论被广泛应用于图数据库、图搜索算法和社交网络分析等领域。
例如，Facebook的好友关系可以被建模为一个图，通过图论的方法可以计算出社交网络中的最短路径和最短推荐链。
在通信网络中，图论和网络优化被应用于路径规划、流量调度和网络拓扑设计等方面。
在运输规划中，图论被用于解决最优路径问题和优化交通流量分配等。
此外，图论和网络优化还在电力系统、物流管理和金融市场等领域有着重要应用。
综上所述，图论与网络优化是数学与应用数学中的重要研究方向。
运筹学图与网络分析
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
图论和网络分析算法及Matlab实现(Graph-and-Network-Analysis)PPT课
如图，现要在六个城镇间架设通讯网络（均沿道路架
设），每段道路上的架设费用如图。求能保证各城镇均
能通话且总架设费用最少的架设方案。
C
5 10
8
9
5
A 8
7
3
B
6
9
E 3
F
2
4
D
二. 最短路问题
1. 问题：求网络D中一定点v1到其它点的最短路。
例3 求如图网络中v1至v7的最短路，图中数字 为两点间距离。
.
7
问题的两个共同特点
（1）目的都是从若干可能的安排或方案中寻求 某种意义下的最优安排或方案，数学问题称 为最优化或优化问题。
（2）它们都可用图形形式直观描述，数学上把这 种与图相关的结构称为网络。图和网络相关 的最优化问题就是网络最优化。 网络优化问题是以网络流为研究的对象，常 常被称为网络流或网络流规划等。
图在计算机中的表示：
关 联 矩 阵 ： n*m或 者 是 m*n
1 1 1 0 1 0 0
1
1
0
0
0
1
0
0 0 1 1 0 1 0
0
0
01
1
0
1
邻 接 矩 阵 ： n*n
0 1 1 1
1
01
0
1 1 0 1
1
01
1
邻接矩阵为对称阵，
简单图对角线元素为0
3 . 链与圈
链 : 由 G 中 的 某 些 点 与 边 相 间 构 成 的 序 列 v 1 e 1 v2 e2 ek 1 vk，
v2 v3
v5 v4
树的性质：（1）树的任2点间有且仅有1链； （2）在树中任去掉1边，则不连通； （3）在树中不相邻2点间添1边，恰成1圈； （4）若树T有n个顶点，则T有n-1条边。