2015年高考理科数学全国卷2有答案

数学试卷 第1页（共21页）

数学试卷 第2页（共21页）

数学试卷 第3页（共21页）

绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)

数学（理科）

使用地区：海南、宁夏、黑龙江、吉林、辽宁、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、广西、西藏

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共24题,共150分,共6页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:

1．答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,

字体工整、笔迹清楚.

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.

4．作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.

5．保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|(1)(2)0}B x x x =-+<，则A B = （ ）

A ．{1,0}A =-

B ．{0,1}

C ．{1,0,1}-

D ．{0,1,2} 2．若a 为实数，且(2i)(2i)4i a a +-=-，则a =

（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是

（ ）

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

4．已知等比数列{}n a 满足13a =，135a a a ++=21，则357a a a ++=

（ ）

A ．21

B ．42

C ．63

D ．84

5．设函数21

1log (2),1,()2, 1,

x x x f x x -+-⎧=⎨⎩＜≥则2(2)(log 12)f f -+=

（ ）

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为

（ ）

A ．1

8

B ．17

C ．16

D ．15

7．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =

（ ）

A

．B ．8

C

．D ．10

8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.

执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14，18，则输出的a =

（ ）

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14

9．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB =90°， C 为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC 体积的 最大值为36，则球O 的表面积为

（ ）

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

10．如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点.点P 沿着边BC ，CD 与

DA 运动，记BOP x ∠=.将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则

()y f x =的图象大致为

（ ）

A

B

C

D

11．已知A ，B 为双曲线E 的左、右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角

为120°，则E 的离心率为

（ ）

A

B ．2 C

D

12．设函数'()f x 是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，

则使得()0f x >成立的x 的取值范围

（ ）

A ．(,1)(0,1)-∞-

B ．(1,0)(1,)-+∞

C ．(,1)

(1,0)-∞--

D ．(0,1)

(1,)+∞

--------在

--------------------此--------------------

卷--------------------

上--------------------

答--------------------

题--------------------

无--------------------

效----------------

姓名________________ 准考证号_____________

数学试卷 第4页（共21页）

数学试卷 第5页（共21页）

数学试卷 第6页（共21页）

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．设向量a ，b 不平行，向量λa +b 与a +2b 平行，则实数λ=________.

14．若x ，y 满足约束条件10,

20,220,x y x y x y -+⎧⎪

-⎨⎪+-⎩

≥≤≤则z x y =+的最大值为________.

15．4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =________. 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

ABC △中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD △面积是ADC △面积的2倍.

（Ⅰ）求

sin sin B

C

∠∠；

（Ⅱ）若1AD =，2

DC =

，求BD 和AC 的长. 18．（本小题满分12分）

某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意

户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率.

19．（本小题满分12分）

如图，长方体1111ABCD A B C D -中，=16AB ，=10BC ，18AA =，

点E ，F 分别在11A B ，11D C 上，114A E D F ==.过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （Ⅱ）求直线AF 与平面α所成角的正弦值.

20．（本小题满分12分）

已知椭圆222 9(0)C x y m m +=>：

,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(

,)3

m

m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，请说明理由.

21．（本小题满分12分）

设函数2()mx f x e x mx =+-.

（Ⅰ）证明：()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e --≤，求m

的取值范围.

请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ABC △的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点. （Ⅰ）证明：EF BC ∥；

（Ⅱ）若AG 等于⊙O 的半径，且23AE MN ==EBCF 的面积.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线1cos ,

:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩

（t 为参数，0t ≠），其中0πα≤＜.在以

O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:23C ρθ=. （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；

（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 最大值.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设a ，b ，c ，d 均为正数，且a b c d +=+，证明： （Ⅰ）若ab cd >a b c d > a b c d >||||a b c d -<-的充要条件.