2021高考数学二轮复习小题专题练1
专题1 地位等价法(原卷+解析)-高考数学二轮复习
第1讲 地位等价法知识与方法在求最值时,如果x y 、互换位置,题目不变,我们称之为x y 、地位等价,通常可以使用地位等价法.为什么这个地方加“通常”二字,严格来讲,此方法并非万能,非要说它的原理,应该来源于基本不等式中“一正二定三相等”的“三相等”,所以建议在部分选择题或者实在不会做时使用.地位等价法使用条件:当x y 、互换位置题目不变时或者当系数成比例时,合理换元(忽略乘积项).地位等价法使用方法与步骤如下： 1.令x y =；2.求出x y 、值；3.代入即可.典型例题【例1】若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是( )B. C.D.【例2】已知0,0,1a b a b >>+=,则11a b+的取值范围 ( ) A.()2,+∞ B.[)2,+∞ C.()4,+∞D.[)4,+∞【例3】已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是( )A.3B.4C.92D.112【例4】已知0x >,0y >,lg 2lg8lg 2x y+=,则113x y+的最小值是( )A.2B.C.4D.【例5】已知22log log 1a b +,则39a b +的最小值为( ) A.6B.9C.16D.18【例6】已知,,2a b a b ∈+=R .则221111a b +++的最大值为( )A.1B.65C.12D.2强化训练1.已知实数1m n +=,则33m n +的最小值为 .2.已知实数,m n ,若0,0m n >>,且1m n +=,则22(1)(1)n m m n+++的最小值是 .3.若a b 、为正实数,3a b +=,的最大值是 .4.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时,则3271x y ++的最小值为 .5.设,x y 为实数,若2245x y xy ++=,则2x y +的最大值是 . 6. 已知,m n ∈R ,且22m n +=,则2122m n m n +⋅+⋅的最小值为 .第1讲 地位等价法知识与方法在求最值时,如果x y 、互换位置,题目不变,我们称之为x y 、地位等价,通常可以使用地位等价法.为什么这个地方加“通常”二字,严格来讲,此方法并非万能,非要说它的原理,应该来源于基本不等式中“一正二定三相等”的“三相等”,所以建议在部分选择题或者实在不会做时使用.地位等价法使用条件:当x y 、互换位置题目不变时或者当系数成比例时,合理换元(忽略乘积项).地位等价法使用方法与步骤如下： 1.令x y =；2.求出x y 、值；3.代入即可.典型例题【例1】若实数,x y 满足221x y xy ++=,则x y +的最大值是( )B. D.【解析】【解法1】1∵实数,x y 满足221x y xy ++=,即2()1x y xy +=+.再由2()4x y xy +,可得22()()114x y x y xy ++=++,解得24()3x y +,4433x y +,故x y +=【解法2】令x y =,则231,x x x y ==+=最大. 【答案】A.【例2】已知0,0,1a b a b >>+=,则11a b+的取值范围 ( ) A.()2,+∞ B.[)2,+∞C.()4,+∞D.[)4,+∞【解析】 【解法1】0,0,1a b a b >>+=,则()11112224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++= ⎪⎝⎭, 当且仅当12a b ==时取得最小值4. 【解法2】令111,42a b a b==+=. 【答案】D .【例3】已知0,0,228x y x y xy >>++=,则2x y +的最小值是( )A.3B.4C.92D.112【解析】【解法1】考查基本不等式()2228282x y x y x y +⎛⎫+=-⋅- ⎪⎝⎭,整理得()2(2)42320x y x y +++-, 即()()24280x y x y +-++, 又20x y +>,所以24x y +..【解法2】将x 当作整体a ,将2y 当作整体b ,令2,22a b x y ====即可.【答案】B【例4】已知0x >,0y >,lg 2lg8lg 2x y+=,则113x y+的最小值是( )A.2B.C.4D.【解析】 【解法1】:()lg 2lg8lg 2,lg 28lg 2,x y x y +=∴⋅=322,31x y x y +∴=∴+=.()1111330,0,32224333y x y x y x y x y x y x y x ⎛⎫>>∴+=++=+++= ⎪⎝⎭,当且仅当132x y ==时取等号. 【解法2】2:31,x y x +=与3y 地位等价,令132x y ==即可. 【答案】C.【例5】已知22log log 1a b +,则39a b +的最小值为( ) A.6 B.9C.16D.18【解析】 【解法1】222log log log 1,0,0,2a b ab a b ab +=∴>>,又223933233a b a b a b +=+⋅=, 因为222222224a b a b ab +⋅=⨯=, 所以4392318a b +=.即39a b+的最小值为18.【解法2】()2:2,24ab a b ,令22a b ==即可. 【答案】D.【例6】已知,,2a b a b ∈+=R .则221111a b +++的最大值为( ) A.1 B.65C.12D.2【解析】此题不可用地位等价法,所以前面说了,此法不万能,特别是所求为二次式范围的时候,要谨慎使用.,,2a b a b ∈+=R .则()222222222222421112()2262111()1()2()52()(1)4ab a b a b ab aba b a b ab a b ab ab ab ab ab --+++-+-+====+++++++-+-+-+令()2121(1)0t ab a a a =-=--=--,则()2242142(1)44ab tab t ---=-++, 令()424t s s -=,即42st -=, 可得2242432(4)4844ts s t s s -==-++-+,由32322s s ss+⋅=, 当且仅当2s t ==-,可得4413228288s s=-+-,则221111a b +++的最大值为12.【答案】C.强化训练1.已知实数1m n +=,则33m n +的最小值为 . 【解析】【解法1】30,30,1,3323m n m n m n m n +>>+=∴+=当且仅当12m n ==取等号,故33m n +的最小值为【解法2】令12m n ==即可. 【答案】2.已知实数,m n ,若0,0m n >>,且1m n +=,则22(1)(1)n m m n+++的最小值是 . 【解析】【解法1】若0,0m n >>,且1m n +=,则222222(1)(1)(2)(2)4444n m m n n m n m m n n m m n m n m n+++++=+=+++++ ()3354m n m n mn +=++⋅=()()2254m n m n mn mn++-+⋅22254549m n mn mn mnmn mn+--=+⋅+⋅=,当且仅当12m n ==,取得最小值,且为9.【解法2】令12m n ==即可. 【答案】9.3.若a b 、为正实数,3a b +=,的最大值是 . 【解析】【解法1】==又a b 、为正实数,3a b +=524ab=+=当且仅当32a b ==时等号成立. 【解法2】令32a b ==即可.. 4.当点(),x y 在直线320x y +-=上移动时,则3271x y ++的最小值为 . 【解析】【解法1】3272327x y x +⋅=又32,3272327x y x x y +=∴+⋅==6=.当且仅当327x y =即31x y ==时取等号,则3271x y++的最小值为7.【解法2】令31x y ==即可.【答案】7.5.设,x y 为实数,若2245x y xy ++=,则2x y +的最大值是 . 【解析】【解法1】令2x y t +=,则2,y t x =-()224(2)25x t x x t x ∴+-+-=,化为226350,x tx t -+-= x 为实数,()22Δ92450t t ∴=--,解得28t ,解得222,t -2x y ∴+的最大值为【解法2】令2x y ==.【答案】6.已知,m n ∈R ,且22m n +=,则2122m n m n +⋅+⋅的最小值为 . 【解析】 【解法1】()()21222,22222m n m m n m f m m n m m +-=-∴=⋅+⋅=⋅+-⋅,令()()()22,22m m g m m h m m -=⋅=-⋅,当0m 时,()h m 为减函数,且()()()08,h m h g m ==2mm --⋅,从y x =与2xy =的图象易知,2m m ,所以()21,2mmm g m m --⋅=⋅()()()1,187f m g m h m -=+-+=,当2m 时,由()g m 与()h m 关于1x =对称,同上可得()7f m ,当02m <<时,()()()()()()020,208,mln2120,m g h g h g m '=====+>()()2ln21h m m ⎡⎤=--+⎣⎦'.220m -<,且()(),g m h m ''均为单调递增, 当01m <<时,()()()12ln 21,g m g <=+''()()()()()()122ln21,h m h f m g m h m <=-+'='+'''单调递减.当12m <时,同理,可得()()()()()110f m g m h m g h '=++''''=单调递增(当1m =时等号成立)所以当1m =时,()f m 取最小值, 即当11,2m n ==时,2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4. 【解法2】令21m n ==即可.【答案】4.。
2021高考数学二轮复习专题练多选题专练含解析
高考数学二轮复习专题练：多选题专练专练(一) 不等式多选题 1.下列说法正确的有( )A.若a >b ，则ac 2>bc 2B.若a c 2>bc 2，则a >bC.若a >b ，则2a >2bD.若a >b ，则a 2>b 2解析 对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2，故A 不正确.对于B ，若a c 2>b c 2，则c ≠0，则c 2>0，则a c 2·c 2>b c 2·c 2，化简得a >b ，故B 正确.对于C ，若a >b ，则根据指数函数y ＝2x 在R 上单调递增，得2a >2b ，故C 正确. 对于D ，取a ＝－1，b ＝－2，则a 2＝1<b 2＝4，故D 不正确. 故选BC. 答案 BC2.给出下面四个推断，其中正确的是( ) A.若a ，b ∈(0，＋∞)，则b a ＋ab≥2B.若x ，y ∈(0，＋∞)，则lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg yC.若a ∈R ，a ≠0，则4a ＋a ≥4D.若x ，y ∈R ，xy <0，则x y ＋yx≤－2解析 对于A ，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以b a ＋ab≥2b a ×a b ＝2，当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号，故A 正确.对于B ，当x ，y ∈(0，1)时，lg x ，lg y ∈(－∞，0)，lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y 显然不成立，故B 错误；对于C ，当a <0时，4a ＋a ≥4显然不成立，故C 错误；对于D ，xy <0，则－y x >0，－x y >0，则x y ＋y x＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－x y ＋⎝⎛⎭⎫－y x ≤－2⎝⎛⎭⎫－x y ×⎝⎛⎭⎫－y x ＝－2，当且仅当－x y ＝－y x，即x ＝－y 时取等号，故D 正确.故选AD. 答案 AD3.若a >0，b >0，a ＋b ＝2，则下列不等式中正确的有( ) A.ab ≤1 B.a ＋b ≤ 2 C.a 2＋b 2≥2D.1a ＋1b≥2 解析 由题意得a >0，b >0，a ＋b ＝2.对于A ，由基本不等式可得ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a＝b ＝1时，等号成立，故A 正确；对于B ，当a ＝b ＝1时，a ＋b ＝2>2，故B 错误；对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝4，即a 2＋b 2≥2，故C 正确；对于D ，1a ＋1b ≥2ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号同时成立，故D 正确. 答案 ACD4.若a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，则( ) A.a ＋b 有最小值2＋2 2 B.a ＋b 有最大值2＋2 2 C.ab 有最大值1＋ 2 D.ab 有最小值3＋2 2解析 由ab －(a ＋b )＝1，得ab ＝1＋(a ＋b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(当且仅当a ＝b 时取等号)，即(a ＋b )2－4(a ＋b )－4≥0，且a ＋b >2，解得a ＋b ≥2＋22，∴a ＋b 有最小值2＋2，故A 正确； 由ab －(a ＋b )＝1得，ab －1＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，即ab －2ab －1≥0，且ab >1，解得ab ≥3＋22，∴ab 有最小值3＋22，故D 正确.故选AD. 答案 AD专练(二) 平面向量多选题1.已知向量a ，b 是同一平面α内的两个向量，则下列结论正确的是( ) A.若存在实数λ，使得b ＝λa ，则a 与b 共线 B.若a 与b 共线，则存在实数λ，使得b ＝λaC.若a 与b 不共线，则对平面α内的任意向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μbD.若对平面α内的任意向量c ，均存在实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μb ，则a 与b 不共线 解析 根据平面向量共线的知识可知A 正确.对于B ，若a 与b 共线，可能a ＝0，当b 为非零向量时，不存在实数λ，使得b ＝λa ，所以B 错误.根据平面向量基本定理可知C 、D 正确.故选ACD. 答案 ACD2.设向量a ＝(k ，2)，b ＝(1，－1)，则下列叙述错误的是( ) A.若k <－2，则a 与b 的夹角为钝角 B.|a |的最小值为2C.与b 共线的单位向量只有一个为⎝⎛⎭⎫22，－22 D.若|a |＝2|b |，则k ＝22或－2 2解析 对于A ，若a 与b 的夹角为钝角，则a ·b <0且a 与b 不共线，则k －2<0且k ≠－2，解得k <2且k ≠－2，A 正确； 对于B ，|a |＝k 2＋4≥4＝2，当且仅当k ＝0时等号成立，B 正确；对于C ，|b |＝2，与b 共线的单位向量为±b |b |，即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎫22，－22或⎝⎛⎭⎫－22，22，C 错误；对于D ，∵|a |＝2|b |＝22，∴k 2＋4＝22，解得k ＝±2，D 错误.故选CD.答案 CD3.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC ，AB 上的两点，且AE →＝EB →，AD →＝2DC →，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是( ) A.AB →·CE →＝－1 B.OE →＋OC →＝0 C.|OA →＋OB →＋OC →|＝32D.ED →在BC →方向上的投影为76解析 因为AE →＝EB →，△ABC 是等边三角形，所以CE ⊥AB ，所以AB →·CE →＝0，A 错误.以E 为坐标原点，EA →，EC →的方向分别为x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E (0，0)，A (1，0)，B (－1，0)，C (0，3)，D ⎝⎛⎭⎫13，233，设O (0，y )，y ∈(0，3)，则BO →＝(1，y )，DO →＝⎝⎛⎭⎫－13，y －233，又BO →∥DO →，所以y －233＝－13y ，解得y ＝32，即O 是CE 的中点，OE →＋OC →＝0，所以B 正确. |OA →＋OB →＋OC →|＝|2OE →＋OC →|＝|OE →|＝32，所以C 正确.ED →＝⎝⎛⎭⎫13，233，BC →＝(1，3)，ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|＝13＋22＝76，所以D 正确.故选BCD. 答案 BCD4.P 为△ABC 所在平面内一点，下列结论正确的是( ) A.若P A →＋PB →＋PC →＝0，则P 为△ABC 的重心 B.若P A →·PB →＝PB →·PC →＝P A →·PC →，则P 为△ABC 的内心C.若AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心 D.若|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，则P 为△ABC 的外心解析 对于A ，若P A →＋PB →＋PC →＝0，则P A →＋PB →＝－PC →，以P A →，PB →为邻边作平行四边形P ADB ，M 为PD 的中点，则P A →＋PB →＝PD →，所以PD →＝－PC →，又PD →＝2PM →，所以|PC →|＝2|PM →|，所以P 为△ABC 的重心，故A 正确；对于B ，由P A →·PB →＝PB →·PC →，则P A →·PB →－PB →·PC →＝0，即PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，所以BP ⊥CA ，同理由P A →·PB →＝P A →·PC →，可得P A ⊥BC ，所以P 为△ABC的垂心，故B 错误；对于C ，在边AB ，AC 上分别取点E ，F ，使AE →＝AB →|AB →|，AF →＝AC →|AC →|，则|AE→|＝|AF →|＝1，以AE ，AF 为邻边作平行四边形AEGF ，则四边形AEGF 为菱形，连接AG ，则AG 为∠BAC 的角平分线，由AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，所以点P 在角平分线AG 上，所以点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心，故C 错误；对于D ，若|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，则点P 到△ABC 的顶点的距离相等，所以P 为△ABC 的外心，故D 正确.故选AD. 答案 AD专练(三) 三角函数、解三角形多选题1.已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称B.函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增 C.函数f (x )的最小正周期是π D.函数f (x )的值域为[－2，2]解析 对于A ，函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，因为f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π4≠f ⎝⎛⎭⎫3π4，所以函数f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故A 错误；对于B ，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，cos x >0，所以f (x )＝2cos x sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增，故B 正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫π3＝3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝f ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫π3≠f ⎝⎛⎭⎫4π3，所以函数f (x )的最小正周期不是π，故C 错误；对于D ，当cos x ≥0时，f (x )＝2cos x sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，其最大值为2，最小值为－2，当cos x <0时，f (x )＝－2cos x sin x ＋sin 2x ＝0，所以函数f (x )的值域为[－2，2]，故D 正确.故选BD. 答案 BD2.已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( ) A.cos(β－α)＝12B.cos(β－α)＝－12C.β－α＝π3D.β－α＝－π3解析 由已知，得sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β.两式分别平方相加，得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝1，∴－2cos(β－α)＝－1，∴cos(β－α)＝12， ∴A 正确，B 错误.∵α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α， ∴β－α＝π3，∴C 正确，D 错误.故选AC.答案 AC3.已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π2－cos ωx (0<ω<3)的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π3，0，若要得到一个偶函数的图象，则需将函数f (x )的图象( ) A.向左平移2π3个单位长度B.向右平移2π3个单位长度C.向左平移4π3个单位长度D.向右平移4π3个单位长度解析 f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6，又P ⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴π3ω－π6＝k π(k ∈Z )，ω＝3k ＋12，又0<ω<3，∴ω＝12，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位时， 得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3－π6的图象，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数，同理当f (x )向左平移4π3个单位时，得y ＝2cos x2为偶函数.答案 BC4.已知等边三角形ABC 的边长为3，点D 在BC 边上，且BD >CD ，AD ＝7.下列结论中正确的是( ) A.BDCD＝2 B.S △ABD S △ACD ＝2 C.cos ∠BAD cos ∠CAD＝2D.sin ∠BAD sin ∠CAD＝2解析 如图所示，∵点D 在BC 边上，且BD >CD ，∴BD >12BC ＝32，由余弦定理得AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos π3，整理得BD 2－3BD ＋2＝0，又BD >32，解得BD ＝2，∴CD ＝1，∴BDCD ＝2，故A 正确；∵S △ABD S △ACD ＝BDCD ＝2，故B 正确；由余弦定理得cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝277，同理可得cos ∠CAD ＝5714，则cos ∠BAD cos ∠CAD ＝277×1457＝45≠2，故C 错误；由正弦定理得BD sin ∠BAD ＝AD sin π3＝CDsin ∠CAD ，∴sin ∠BAD sin ∠CAD ＝BD CD ＝2，故D 正确.故选ABD.答案 ABD专练(四) 数列多选题1.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 6>S 7>S 5，则下列说法正确的是( ) A.d <0 B.S 11>0 C.S 12<0D.数列{S n }中的最大项为S 11解析 由S 6>S 7，得S 7－S 6＝a 7<0.由S 7>S 5，得S 7－S 5＝a 6＋a 7>0.由S 6>S 5，得S 6－S 5＝a 6>0.对于A ，因为a 6>0，a 7<0，所以d <0，故A 正确；对于B ，因为S 11＝11a 6>0，故B 正确；对于C ，因为S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)>0，故C 错误；对于D ，因为a 6>0，a 7<0，所以数列{S n }中的最大项为S 6，故D 错误.故选AB. 答案 AB2.在等比数列{a n }中，公比q 为整数，S n 是数列{a n }的前n 项和.若a 1·a 4＝32，a 2＋a 3＝12，则下列说法正确的是( ) A.q ＝2B.数列{S n ＋2}是等比数列C.S 8＝510D.数列{lg a n }是公差为2的等差数列解析 因为{a n }为等比数列，且a 1·a 4＝32，所以a 2·a 3＝32.又a 2＋a 3＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，a 3＝4，q ＝12.又公比q 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，a 3＝8，q ＝2，即a n＝2n，S n＝2×（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.对于A ，由上可得q ＝2，故A 正确；对于B ，因为S n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＋1＋2S n ＋2＝2n ＋22n ＋1＝2，则数列{S n ＋2}是等比数列，故B 正确；对于C ，S 8＝29－2＝510，故C 正确；对于D ，lg a n＋1－lg a n ＝lg 2，即数列{lg a n }是公差为lg 2的等差数列，故D 错误.故选ABC.答案 ABC3.已知数列{a n }满足a 1＝2，(2n －1)a n ＋1＝(2n ＋1)a n (n ∈N *)，则( ) A.a n ＝3n －1 B.a n ＝4n －2 C.S n ＝n 2D.S n ＝2n 2解析 由题意得a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1，所以a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝2·31·53·…·2n －12n －3＝4n －2，则数列{a n }为等差数列，即S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋4n －2）2＝2n 2，故选BD.答案 BD4.已知数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且S n ＝2(a n －a )(其中a 为常数)，则下列说法正确的是( )A.数列{a n }一定是等比数列B.数列{a n }可能是等差数列C.数列{S n }可能是等比数列D.数列{S n }可能是等差数列解析 由题意知，S n ＝2(a n －a )，S n －1＝2(a n －1－a )，n ∈N *，n ≥2，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1，n ≥2.若a ＝0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－0)，a 1＝0，则a n ＝0，此时是等差数列，不是等比数列，若a ≠0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－a )，a 1＝2a ，则a n ＝2a n －1，n ≥2，此时不是等差数列，所以数列{a n }不一定是等比数列，可能是等差数列，故A 错误，B 正确；又S n ＝2(a n －a )＝2(S n －S n －1－a )，n ≥2，n ∈N *，得S n ＝2S n －1＋2a ，若a ＝0，令n ＝1，则a 1＝2(a 1－0)，a 1＝0，则a n ＝0，S n ＝0，此时{S n }是一个所有项均为0的常数列，所以{S n }不可能为等比数列，所以C 错误，D 正确.故选BD. 答案 BD专练(五) 立体几何多选题1.已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( ) A.若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B.若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n C.若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α∥β解析 由m ∥n ，m ⊥α，可得n ⊥α，A 正确；若m ∥α，α∩β＝n ，则m 与n 的位置关系不确定，B 不正确；由m ⊥α，m ⊥β，得α∥β，C 正确；由m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，得α⊥β，D 不正确.故选AC. 答案 AC2.(2020·青岛模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则下列四个命题正确的是( )A.直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角等于π4B.点C 到平面ABC 1D 1的距离为22C.异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π4D.三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球的半径为32解析 对于A ，直线BC 与平面ABC 1D 1所成的角为∠CBC 1＝π4，A 正确.对于B ，连接B 1C .因为B 1C ⊥平面ABC 1D 1，所以点C 到平面ABC 1D 1的距离为B 1C 的一半，即为22，B 正确.对于C ，因为BC 1∥AD 1，所以异面直线D 1C 和B 1C 所成的角为∠AD 1C .连接AC ，则△AD 1C 为等边三角形，则异面直线D 1C 和BC 1所成的角为π3，C 错误.对于D ，因为A 1A ，A 1B 1，A 1D 1两两垂直，所以三棱柱AA 1D 1－BB 1C 1的外接球也是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的外接球，所以外接球的半径r ＝12＋12＋122＝32，D 正确.故选ABD.答案 ABD3.(2020·东营调研)如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18，则当该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是( )A.棱锥的高与底面边长的比为22B.侧棱与底面所成的角为π4C.棱锥的高与底面边长的比为 2D.侧棱与底面所成的角为π3解析 如图，O 为正四棱锥S －ABCD 的底面中心，连接SO ，则SO 是正四棱锥S －ABCD 的高.设点E 为BC 的中点，连接OE ，SE .设该正四棱锥的高为h ，底面边长为a ，则V S －ABCD ＝13a 2h ＝18，即h ＝54a 2，所以该正四棱锥的侧面积为4S △SBC ＝4×12BC ×SE ＝4×12a ×h 2＋a 24＝2a542a 4＋a 24＝a 4＋1082a 2.令f (a )＝a 4＋1082a 2(a >0)，则f ′(a )＝4a 3－2×1082a 3. 令f ′(a )＝0，得a ＝3 2.当a ∈(0，32)时，f ′(a )<0，f (a )单调递减，当a∈(32，＋∞)时，f′(a)>0，f(a)单调递增，所以当a＝32时，f(a)取得最小值，即该正四棱锥的侧面积最小，此时h＝3.所以棱锥的高与，A正确，C错误.底面边长的比为22，连接AO，则侧棱与底面所成的角为∠SAO，由a＝32，得AO＝3，而h＝3，所以∠SAO＝π4 B正确，D错误.故选AB.答案AB4.如图(1)，点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将此菱形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，如图(2)，则在翻折过程中，下列结论正确的有()A.MN∥BDB.MN∥平面ABDC.异面直线AC与MN所成的角为定值D.在二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径先变小后变大解析因为点M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，所以MN为△BCD的中位线，所以MN∥BD，A正确.又因为MN⊄平面ABD，BD⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，B正确.对于C，如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则AC⊥DO，AC⊥BO.因为BO∩DO＝O，BO，DO⊂平面BOD，所以AC⊥平面BOD，所以AC⊥BD.因为MN∥BD，所以AC⊥MN，即异面直线AC与MN所成的角为定值π，C正确.对于D，借助极限状态，当平面DAC与平面2ABC重合时，三棱锥D－ABC的外接球的球心是△ABC的外接圆的圆心，球的半径是△ABC 的外接圆的半径，当二面角D－AC－B逐渐变大时，球心离开平面ABC，但是球心在平面ABC 的投影仍然是△ABC的外接圆的圆心，所以二面角D－AC－B不为0时，外接球的半径一定大于△ABC的外接圆的半径，故二面角D－AC－B逐渐变小的过程中，三棱锥D－ABC的外接球的半径不可能先变小后变大，D错误.答案ABC专练(六)概率与统计多选题1.(2020·济南一模)原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势，下面是2008年至2019年国际原油价格高低的对比图.下列说法正确的是()A.2008年原油价格波动幅度最大B.2008年至2019年，原油价格平均值不断变小C.2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值D.2008年至2019年，原油价格波动幅度均不小于20美元/桶解析由折线统计图，知2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样价格波动超过100美元/桶，而其他年份都没有这么大，所以2008年原油价格波动幅度最大，A正确；2008年至2019年，原油价格平均值有起伏，B不正确；2008年原油价格最低小于40美元/桶，最高大于140美元/桶，这样2008年原油价格平均值在90美元/桶左右，而2013年原油价格最低大于100美元/桶，最高大于110美元/桶，接近120美元/桶，因此2013年原油价格平均值在110美元/桶左右，所以2013年原油价格平均值一定大于2008年原油价格平均值，C正确；2013年、2016年原油价格波动幅度均小于20美元/桶，D不正确.故选AC. 答案AC2.某国产杀毒软件的比赛规则为每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是56，35，34，13，且各轮考核能否通过互不影响，则( ) A.该软件通过考核的概率为18B.该软件在第三轮考核被淘汰的概率为18C.该软件至少能够通过两轮考核的概率为23D.该软件至多进入第三轮考核的概率为58解析 设事件A i (i ＝1，2，3，4)表示“该软件能通过第i 轮考核”，则P (A 1)＝56，P (A 2)＝35，P (A 3)＝34，P (A 4)＝13.该软件通过考核的概率为P (A 1A 2A 3A 4)＝P (A 1)·P (A 2)P (A 3)P (A 4)＝56×35×34×13＝18，A 正确；该软件在第三轮考核被淘汰的概率为P (A 1A 2A －3)＝P (A 1)P (A 2)P (A －3)＝56×35×14＝18，B 正确；该软件至少能够通过两轮考核的概率为1－P (A －1)－P (A 1A －2)＝1－16－56×25＝12，C 不正确；该软件至多进入第三轮考核的概率为P (A －1＋A 1A －2＋A 1A 2A －3)＝P (A －1)＋P (A 1A －2)＋P (A 1A 2A －3)＝16＋56×25＋56×35×14＝58，D 正确.故选ABD.答案 ABD3.已知随机变量X 的分布列如表所示，则当a 变化时，下列说法正确的是( )A.E (X )随着a 的增大而增大B.E (X )随着a 的增大而减小C.D (X )随着a 的增大而减小D.D (X )随着a 的增大而增大解析 由题意知，E (X )＝0×13＋1×⎝⎛⎭⎫12－a ＋2a ＋3×16＝1＋a ，显然E (X )随着a 的增大而增大.D (X )＝(1＋a －0)2×13＋(1＋a －1)2×⎝⎛⎭⎫12－a ＋(1＋a －2)2×a ＋(1＋a －3)2×16＝－a 2＋a ＋1＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋54，又12－a >0，a >0，所以0<a <12，所以D (X )随着a 的增大而增大，故选AD. 答案 AD4.某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且每位旅客之间互不影响.设在这一时刻9位旅客中恰有k 人骑行共享单车的概率为P (x ＝k )，则( )A.P (x ＝4)＝P (x ＝5)B.P (x ＝4)>P (x ＝5)C.P (x ＝5)>P (x ＝6)D.P (x ＝5)＝P (x ＝6)解析 由题意得，P (x ＝4)＝C 49⎝⎛⎭⎫124⎝⎛⎭⎫125，P (x ＝5)＝C 59⎝⎛⎭⎫125·⎝⎛⎭⎫124，P (x ＝6)＝C 69⎝⎛⎭⎫126⎝⎛⎭⎫123.因为C 49＝C 59，所以P (x ＝4)＝P (x ＝5)，故A 正确，B 错误.又C 59>C 69，所以P (x ＝5)>P (x ＝6)，故C 正确，D 错误.故选AC. 答案 AC专练(七) 解析几何多选题1.已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数a 的可能取值是( ) A.－1B.1C.3D.5解析 由题意得两圆内切或外切，∴|O 1O 2|＝2＋1或|O 1O 2|＝2－1，∴|a |＝3或|a |＝1，∴a ＝±3，或a ＝±1.故选ABC. 答案 ABC2.设椭圆C ：x 28＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆C 上任意一点，则下列结论正确的是( ) A.|PF 1|＋|PF 2|＝4 2 B.离心率e ＝62C.△PF 1F 2面积的最大值为4 2D.以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －22＝0相切解析 对于A ，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝42，所以A 正确.对于B ，依题意知a ＝22，b ＝2，c ＝2，所以e ＝c a ＝222＝22，所以B 不正确；或者由椭圆的离心率0<e <1知B不正确.对于C ，|F 1F 2|＝2c ＝4，当P 为椭圆短轴的端点时，△PF 1F 2的面积取得最大值，最大值为12×2c ·b ＝c ·b ＝4，所以C 错误.对于D ，以线段F 1F 2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为2，圆心到直线x ＋y －22＝0的距离为222＝2，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F 1F 2为直径的圆与直线x ＋y －22＝0相切，所以D 正确.故选AD. 答案 AD3.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点.若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( ) A.双曲线的离心率为 3B.双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC.∠P AF 2＝45°D.直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点解析 因为|PF 1|＝2|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .又因为2c >2a ，4a >2a ，所以∠PF 1F 2＝30°，所以cos ∠PF 1F 2＝16a 2＋4c 2－4a 22·4a ·2c ＝32，解得c ＝3a ，所以e ＝3，故A 正确；e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝3，所以b 2a 2＝2，即b a＝±2，所以渐近线方程为y ＝±2x ，故B 正确；因为2c ＝23a ，所以|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2，所以∠PF 2F 1＝90°，又因为|AF 2|＝c ＋a ＝(3＋1)a ，|PF 2|＝2a ，所以|AF 2|≠|PF 2|，所以∠P AF 2≠45°，故C 错误；联立直线方程与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x 2a 2－y 22a 2＝1，化简得7y 2－16y ＋8－2a 2＝0，Δ＝(－16)2－4×7×(8－2a 2)＝32＋56a 2>0，所以直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，故D 正确.故选ABD. 答案 ABD4.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则( ) A.以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－32相离B.以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C.当AF →＝2FB →时，|AB |＝92D.|AB |的最小值为4解析 对于A ，点M 到准线x ＝－1的距离为12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |，于是以线段AB 为直径的圆与直线x ＝－1相切，进而与直线x ＝－32相离，A 正确；对于B ，显然线段BM 中点的横坐标与12|BM |不一定相等，因此B 错误；对于C ，D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－4my －4＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝(my 1＋1)·(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1＝－4m 2＋4m 2＋1＝1，若设A (4a 2，4a )，则B ⎝⎛⎭⎫14a 2，－1a ，于是|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4a 2＋14a 2＋2≥4，|AB |的最小值为4；当AF →＝2FB →时，可得y 1＝－2y 2，4a ＝－2⎝⎛⎭⎫－1a ，所以a 2＝12，|AB |＝92.故选ACD. 答案 ACD专练(八) 函数与导数多选题1.若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( ) A.f (x )＝e x ＋e －x2B.g (x )＝e x －e －x2C.f (－2)<g (－1)D.g (－1)<f (－3)解析 因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②.联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x2，g （x ）＝ex－e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e4<0，所以g (－1)<f (－2)，g (－1)<f (－3)，故选AD.答案 AD2.若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中不具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝⎛⎭⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝⎛⎭⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 BCD3.已知函数f (x )对∀x ∈R ，满足f (x )＝－f (6－x )，f (x ＋1)＝f (－x ＋1).若f (a )＝ －f (2 020)，a ∈[5，9]，且f (x )在[5，9]上为单调函数，则下列结论正确的是( ) A.f (3)＝0 B.a ＝8C.f (x )是周期为4的周期函数D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 因为f (x )＝－f (6－x )，所以f (3)＝－f (6－3)＝－f (3)，所以f (3)＝0，A 正确.由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，用x 代替－x ＋1后可得f (x )＝f (2－x )，则f (x )＝－f (6－x )＝f (2－x ).再由x 代替2－x 后可得f (x )＝－f (x ＋4)，则f (x ＋4)＝－f (x )，所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，因此函数f (x )是周期为8的周期函数，C 不正确.f (a )＝－f (2 020)＝－f (252×8＋4)＝－f (4)＝－f (6－2)＝f (2)＝f (1＋1)＝f (－1＋1)＝f (0)＝f (8).又a ∈[5，9]，且f (x )在[5，9]上为单调函数，所以a ＝8，B 正确.由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)，得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，D 不正确.故选AB. 答案 AB4.若0<x 1<x 2<1，则下列判断错误的是( ) A.e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B.e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C.x 2e x 1>x 1e x 2D.x 2e x 1<x 1e x 2解析 构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x ，故f (x )＝e x －ln x 在(0，1)上有一个极值点，即f (x )＝e x －ln x 在(0，1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝e x x ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，故函数g (x )＝e xx 在(0，1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，x 2e x 1>x 1e x 2，故选ABD. 答案 ABD。
2021新高考数学二轮总复习专题突破练1 选择题、填空题的解法含解析
专题突破练1选择题、填空题的解法一、单项选择题1.(2020河南开封三模,理1)已知集合A={x|x2-4x+3>0},B={x|2x-3>0},则集合(∁R A)∩B=()A. B.C. D.2.(2020山东历城二中模拟四,2)已知复数z满足|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.y=x+1B.y=xC.y=x+2D.y=-x3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等差数列,则等于()A. B. C. D.4.(2020北京东城一模,7)在平面直角坐标系中,动点M在单位圆上按逆时针方向做匀速圆周运动,每12分钟转动一周.若点M的初始位置坐标为,则运动到3分钟时,动点M所处位置的坐标是()A. B.C. D.5.已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 020+(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是()A.a>c>d>bB.a>d>c>bC.c>d>a>bD.c>a>b>d6.(2020浙江,10)设集合S,T,S⊆N*,T⊆N*,S,T中至少有2个元素,且S,T满足:①对于任意的x,y∈S,若x≠y,则xy∈T;②对于任意的x,y∈T,若x<y,则∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素,则S∪T有7个元素B.若S有4个元素,则S∪T有6个元素C.若S有3个元素,则S∪T有5个元素D.若S有3个元素,则S∪T有4个元素7.(2020天津河东区检测,9)已知函数f(x)=sin4x+x∈,函数g(x)=f(x)+a有三个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3的取值范围是()A. B.C. D.二、多项选择题8.(2020山东济南三模,9)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-<θ<(其中i为虚数单位),下列说法正确的是()A.复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z可能为实数C.|z|=2cos θD.的实部为9.一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,给出的下面结论中正确的有()A.直线AE与直线BF异面B.直线AE与直线DF异面C.直线EF∥平面PADD.直线EF∥平面ABCD10.对于定义域为D的函数f(x),若存在区间[m,n]⊆D,同时满足下列条件:①f(x)在[m,n]上是单调的;②当定义域是[m,n]时,f(x)的值域也是[m,n],则称[m,n]为该函数的“和谐区间”,下列函数存在“和谐区间”的是()A.f(x)=2xB.f(x)=3-C.f(x)=x2-2xD.f(x)=ln x+211.(2020海南天一大联考三模,12)已知函数f(x)=x3+ax+b,其中a,b∈R,则下列选项中的条件使得f(x)仅有一个零点的有()A.a<b,f(x)为奇函数B.a=ln(b2+1)C.a=-3,b2-4≥0D.a<0,b2+>0三、填空题12.(2020山东烟台模拟,13)已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,则实数m的值是.13.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为f'(x),若对于∀x∈R,有f(x)>f'(x),且y=f(x)-1是奇函数,则不等式f(x)<e x的解集为.14.(2020山东聊城二模,14)已知f(x)=若f(a)=f(b),则的最小值为.15.(2020广东广州一模,16)已知△ABC的三个内角为A,B,C,且sin A,sin B,sin C成等差数列,则sin2B+2cos B的最小值为,最大值为.专题突破练1选择题、填空题的解法1.D解析因为A={x|x2-4x+3>0}={x|x>3或x<1},B={x|2x-3>0}=,则集合(∁R A)∩B={x|1≤x≤3}故选D.2.A解析(方法1:直接法)设z=x+y i,x∈R,y∈R,由|z+1-i|=|z|,得(x+1)2+(y-1)2=x2+y2,化简整理得y=x+1.(方法2:数形结合法)|z+1-i|=|z|的几何意义为点P(x,y)到点O(0,0)和A(-1,1)的距离相等,所以点P的轨迹为两点(-1,1)和(0,0)的垂直平分线,其对应方程为y-=x+,即y=x+1.3.B解析(方法一)由题意知,可取符合题意的特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=,cos C=0,故选B.(方法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=故选B.4.C解析由题意得,动点M每12分钟转动一周,则运动到3分钟时,动点M转过的角为2π=点M的初始位置坐标为,运动到3分钟时动点M所处位置的坐标是M'故选C.5.A解析由题意设g(x)=(x-a)(x-b),则f(x)=2020+g(x),所以g(x)=0的两个根是a,b.由题意知f(x)=0的两个根c,d,也就是g(x)=-2020的两个根,画出g(x)(开口向上)以及直线y=-2020的大致图象,则g(x)的图象与y=-2020的交点横坐标为c,d,g(x)图象与x轴交点横坐标为a,b.又a>b,c>d,则由图象得,a>c>d>b.故选A.6.A解析当集合S中有3个元素时,若S={1,2,4},则T={2,4,8},S∪T中有4个元素;若S={2,4,8},则T={8,16,32},S∪T中有5个元素,故排除C,D;当集合S中有4个元素时,若S={2,4,8,16},则T={8,16,32,64,128},S∪T={2,4,8,16,32,64,128},包含7个元素,排除选项B.下面来说明选项A的正确性:设集合S={a1,a2,a3,a4},且a1<a2<a3<a4,a1,a2,a3,a4∈N*,则a1a2<a1a4,且a1a2,a2a4∈T,则S,同理S,S,S,S,S,且若a1=1,则a2≥2,=a2,则<a3,故=a2,即a3=,=a2,则a4=a3a2=故S={1,a2,},此时{a2,}⊆T,可得S,这与S矛盾,故舍去.若a1≥2,则<a3,故=a2,=a1,即a3=,a2=又a4>>1,故=a1,所以a4=,故S={a1,},此时{}⊆T.若b∈T,不妨设b>,则S,故,i=1,2,3,4,故b=,i=1,2,3,4,即b∈{},其他情况同理可证.故{}=T,此时S∪T={a1,},即S∪T中有7个元素.故A正确.7.D解析根据题意画出函数f(x)的图象,如图所示,因为函数g(x)=f(x)+a有三个零点,即函数y=f(x)与函数y=-a有三个交点,当直线l 位于直线l1与直线l2之间时,符合题意,由图象可知,x1+x2=2x3<,所以x1+x2+x3<故选D.8.BCD解析z=1+cos2θ+isin2θ=2cosθ(cosθ+isinθ),∵-<θ<,∴cosθ>0,sinθ∈(-1,1),则复数z在复平面上对应的点不可能落在第二象限,故A错误;当θ=0时,z=2,则z可能为实数,故B正确;|z|=====2cosθ,故C正确;tanθ,所以的实部为,故D正确.故选BCD.9.ACD解析由题可知,该几何体为正四棱锥,如图所示.对于A,可假设AE与BF共面,由图可知,点F不在平面ABE中,与假设矛盾,故A正确;对于B,因E,F为BP,CP中点,故EF ∥BC,又四边形ABCD为正方形,所以AD∥BC,故EF∥AD,所以A,D,E,F四点共面,故B 错误;对于C,由B可知,EF∥AD,又AD⊂平面PAD,EF⊄平面PAD,故直线EF∥平面PAD,故C正确;对于D,因为EF∥BC,又BC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,故直线EF∥平面ABCD,D正确.故选ACD.10.BD解析对于A,可知函数单调递增,则若定义域为[m,n]时,值域为[2m,2n],故f(x)=2x 不存在“和谐区间”;对于B,f(x)=3-,可假设在x∈(0,+∞)存在“和谐区间”,函数为增函数,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则解得(符合)(舍去)故函数存在“和谐区间”;对于C,f(x)=x2-2x,对称轴为x=1,当x∈(-∞,1)时,函数f(x)单调递减,若定义域为[m,n]时,值域为[m,n],则满足解得m=n=0,故与题设矛盾;同理当x∈(1,+∞)时,应满足解得m=n=3,所以f(x)=x2-2x 不存在“和谐区间”;对于D,f(x)=ln x+2在(0,+∞)内单调递增,则应满足可将解析式看作h(x)=ln x,g(x)=x-2,由图可知,两函数图象有两个交点,则存在“和谐区间”.故选BD.11.BD解析由题知f'(x)=3x2+a.对于A,由f(x)是奇函数,知b=0,因为a<0,所以f(x)存在两个极值点,由f(0)=0,易知f(x)有三个零点,故A错误;对于B,因为b2+1≥1,所以a≥0,f'(x)≥0,所以f(x)单调递增,则f(x)仅有一个零点,B 正确;对于C,若取b=2,f'(x)=3x2-3,则f(x)的极大值为f(-1)=4,极小值为f(1)=0,此时f(x)有两个零点,C错误;对于D,f(x)的极大值为f=b-,极小值为f=b+因为a<0,所以b2+>b2+>0,所以b2>-,则b>-或b<,从而f<0或f>0,可知f(x)仅有一个零点,D正确.12.1解析∵a⊥b,∴a·b=2-2m=0,解得m=1.13.(0,+∞)解析由题意令g(x)=,则g'(x)=,∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,故函数g(x)=在R上单调递减.∵y=f(x)-1是奇函数,∴f(0)-1=0,即f(0)=1,g(0)=1,则不等式f(x)<e x等价为<1=g(0),即g(x)<g(0),解得x>0.14解析因f(x)=所以函数在区间(0,1],(1,+∞)内是单调函数.令0<a≤1,b>1,又f(a)=f(b),得1-ln a=-1+ln b,所以ln ab=2,即ab=e2.设y=,令y'==0,则b=e,即函数在(1,e]内单调递减,在(e,+∞)内单调递增,所以当b=e时,有最小值,最小值为15+1解析由sin A,sin B,sin C成等差数列可得,2sin B=sin A+sin C, 所以2b=a+c,即b=又cos B=,化简可得cos B=当且仅当a=c时取等号.又B∈(0,π),所以B令f(B)=sin2B+2cos B,则f'(B)=2cos2B-2sin B=2-4sin2B-2sin B=-4(sin B+1).当sin B>,即B时,f'(B)<0;当sin B<,即B时,f'(B)>0.则f(B)=sin2B+2cos B在内单调递增,在内单调递减,所以f(B)max=f=sin+2cos,由f(0)=sin0+2cos0=2,f=sin+2cos+1,所以f(B)min=f+1,所以sin2B+2cos B的最小值为+1,最大值为。
2021年高考数学二轮复习(文数)讲义+测试：专题01集合、复数、算法(含答案解析)
2021年高考数学二轮复习(文数)讲义：专题01集合、复数、算法集合[题组练透]1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}答案为：C；解析：∵A={x|x-1≥0}={x|x≥1}，B={0,1,2}，∴A∩B={1,2}.2.设全集U={x∈Z||x|≤2}，A={x|x＋1≤0}，B={-2,0,2}，则(∁U A)∪B=( )A.{1}B.{0,2}C.{-2,0,1,2}D.(-1,2]∪{-2}答案为：C；解析：因为U={x∈Z|-2≤x≤2}={-2，-1,0,1,2}，A={x|x≤-1}，所以∁U A={0,1,2}，又B={-2,0,2}，所以(∁U A)∪B={-2,0,1,2}.3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x2-3x＋2<0}，若A∩B=B，则实数a的取值范围是( )A.(-∞，1)B.(-∞，1]C.(2，＋∞)D.[2，＋∞)答案为：D；解析：集合B={x|x2-3x＋2<0}={x|1<x<2}，由A∩B=B，可得B⊆A，结合数轴得a≥2.4.已知集合A={(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4答案为：A；解析：法一：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(-1，-1)， (-1,0)，(-1,1)，(0，-1)，(0,0)，(0,1)，(1，-1)，(1,0)，(1,1)，共有9个.故选A.法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2=3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.5.已知集合P={4,5,6}，Q={1,2,3}，定义P⊕Q={x|x=p-q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为( )A.32B.31C.30D.以上都不对答案为：B；解析：由所定义的运算可知P⊕Q={1,2,3,4,5}，所以P⊕Q的所有真子集的个数为25-1=31.快审题1.看到集合中的元素，想到元素代表的意义；看到点集，想到其对应的几何意义.2.看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集.准解题1.记牢集合的运算性质及重要结论(1)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.(2)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.(3)A∩(∁U A)=∅，A∪(∁U A)=U.(4)A∩B=A⇔A⊆B，A∪B=A⇔B⊆A.2.活用集合运算中的常用方法(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解. (2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解.(3)Venn 图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn 图法求解.避误区 1.在化简集合时易忽视元素的特定范围(如集合中x ∈N ，x ∈Z 等)致误. 2.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.复 数[题组练透]1.计算：(1＋i)(2-i)=( )A.-3-iB.-3＋iC.3-iD.3＋i 答案为：D ；解析：(1＋i)(2-i)=2-i ＋2i-i 2=3＋i.2.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( )A.-1B.0C.1D.2 答案为：C ；解析：∵a －i 1＋i =a －i 1－i 1＋i 1－i =a －12-a ＋12i 为纯虚数，∴a －12=0且a ＋12≠0，解得a=1.3.已知复数z 满足(2-i)z=i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案为：B ；解析：z=i ＋i 22－i =－1＋i 2－i =－1＋i 2＋i 2－i 2＋i =－3＋i 5=-35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，15，该点位于第二象限. 4.设z=1－i1＋i＋2i ，则|z|=( )A.0B.12C.1D. 2答案为：C ；解析：∵z=1－i 1＋i ＋2i=1－i 21＋i 1－i ＋2i=－2i2＋2i=i ，∴|z|=1.故选C.5.复数z 满足z(1-2i)=3＋2i ，则z =( )A.-15-85iB.-15＋85iC.75＋85iD.75-85i 答案为：A ；解析：由z(1-2i)=3＋2i ，得z=3＋2i 1－2i =3＋2i 1＋2i 1－2i 1＋2i =-15＋85i ，∴z =-15-85i.[题后悟通]快审题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简.2.看到复数z在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复数的分类条件.3.看到共轭复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z|=|a＋bi|=a2＋b2.准解题掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可.(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式.复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”.算法[题组练透]1.“更相减损术”是我国古代数学名著《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x，y，k的值分别为4,6,1，则输出k的值为( )A.2B.3C.4D.5答案为：C；解析：执行程序框图，x=4，y=6，k=1，k=k＋1=2，x>y不成立，x=y不成立，y=y-x=2；k=k＋1=3，x>y成立，x=x-y=4-2=2；k=k＋1=4，x>y不成立，x=y成立，输出k=4.2.执行如图所示的程序框图，当输出的n的值等于5时，输入的正整数A的最大值为( )A.7B.22C.62D.63 答案为：D ；解析：第1次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝0＋1＝1，x ＝3×1－1＝2，n ＝1；第2次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝1＋2＝3，x ＝3×2－1＝5，n ＝2；第3次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝3＋5＝8，x ＝3×5－1＝14，n ＝3；第4次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝8＋14＝22，x ＝3×14－1＝41，n ＝4；第5次循环⎩⎪⎨⎪⎧S ＝22＋41＝63，x ＝3×41－1＝122，n ＝5.因为输出的n=5，所以22<A ≤63，所以输入的正整数A 的最大值为63.3.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )A.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 019项和B.求首项为1，公差为2的等差数列的前2 020项和C.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D.求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和 答案为：D ；解析：由程序框图得，输出的S=(2×1-1)＋(2×3-1)＋(2×5-1)＋…＋(2×2 019-1)，可看作数列{2n-1}的前2 019项中所有奇数项的和，即首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和.4.为计算S=1-12＋13-14＋…＋199-1100，设计了如图所示的程序框图，则在空白框中应填入( )A.i=i ＋1B.i=i ＋2C.i=i ＋3D.i=i ＋4 答案为：B ；解析：由题意可将S 变形为S=⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋...＋199-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋ (1100)则由S=N-T ，得N=1＋13＋…＋199，T=12＋14＋…＋1100.据此，结合N=N ＋1i ，T=T ＋1i ＋1易知在空白框中应填入i=i ＋2.故选B.快审题1.看到循环结构，想到循环体的构成；看到判断框，想到程序什么时候开始和终止.2.看到根据程序框图判断程序执行的功能，想到依次执行n 次循环体，根据结果判断.3.看到求输入的值，想到利用程序框图得出其算法功能，找出输出值与输入值之间的关系，逆推得输入值.准 解 题 掌握程序框图2类常考问题的解题技巧 (1)求解程序框图的运行结果问题先要找出控制循环的变量及其初值、终值，然后看循环体，若循环次数较少，可依次列出即可得到答案；若循环次数较多，可先循环几次，找出规律.要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误，尤其对于以累和为限定条件的问题，需要逐次求出每次迭代的结果，并逐次判断是否满足终止条件.(2)对于程序框图的填充问题最常见的是要求补充循环结构的判断条件，解决此类问题的方法：创造参数的判断条件为“i ＞n ？”或“i ＜n ？”，然后找出运算结果与条件的关系，反解出条件即可. [专题过关检测]一、选择题1.已知集合A={x|x=2k ＋1，k ∈Z}，B={x|-1<x ≤4}，则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案为：B ；解析：依题意，集合A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B={1,3}， 所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2.计算：1＋2i1－2i =( )A.-45-35iB.-45＋35iC.-35-45iD.-35＋45i 答案为：D ；解析：1＋2i 1－2i =1＋2i 21－2i 1＋2i =－3＋4i 5=-35＋45i.3.已知i 为虚数单位，若复数z=a1－2i＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，则a=( )A.-5B.-1C.-13D.-53答案为：D ；解析：z=a 1－2i ＋i=a 1＋2i 1－2i 1＋2i ＋i=a 5＋2a ＋55i ，∵复数z=a 1－2i ＋i(a ∈R)的实部与虚部互为相反数，∴-a 5=2a ＋55，解得a=-53.4.设全集U=R ，集合A={x|x ≥1}，B={x|(x ＋2)(x-1)<0}，则( ) A.A ∩B=∅ B.A ∪B=U C.∁U B ⊆A D.∁U A ⊆B 答案为：A ；解析：由(x ＋2)(x-1)<0，解得-2<x<1，所以B={x|-2<x<1}，则A ∩B=∅，A ∪B={x|x>-2}，∁U B={x|x ≥1或x ≤-2}，A ⊆∁UB ，∁U A={x|x<1}，B ⊆∁U A ，故选A. 5.已知复数z 满足z ＋|z|=3＋i ，则z=( )A.1-iB.1＋iC.43-iD.43＋i答案为：D ；解析：设z=a ＋bi ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z|=3＋i ，得a ＋bi ＋a 2＋b 2=3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z=43＋i.6.“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图(图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数)，若输入的a ，b 分别为675,125，则输出的a=( )A.0B.25C.50D.75 答案为：B ；解析：初始值：a=675，b=125，第一次循环：c=50，a=125，b=50； 第二次循环：c=25，a=50，b=25；第三次循环：c=0，a=25，b=0，此时不满足循环条件，退出循环. 输出a 的值为25.7.已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x ≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2} 答案为：B ；解析：∵x 2-x-2>0，∴(x-2)(x ＋1)>0，∴x>2或x<-1，即A={x|x>2或x<-1}.则∁R A={x|-1≤x ≤2}.故选B.8.设全集U=R ，集合A={x|log 2x ≤2}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}，则A ∩∁U B=( ) A.(0,2) B.[2,4] C.(-∞，-1) D.(-∞，4] 答案为：A ；解析：集合A={x|log 2x ≤2}={x|0<x ≤4}，B={x|(x-2)(x ＋1)≥0}={x|x ≤-1或x ≥2}， 则∁U B={x|-1<x<2}.所以A ∩∁U B={x|0<x<2}=(0,2).9.执行如图所示的程序框图，若输出的结果s=132，则判断框中可以填( )A.i ≥10?B.i ≥11?C.i ≤11?D.i ≥12? 答案为：B ；解析：执行程序框图，i=12，s=1；s=12×1=12，i=11；s=12×11=132，i=10. 此时输出的s=132，则判断框中可以填“i ≥11？”. 10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是( )A.5B.6C.7D.8 答案为：B ；解析：执行程序框图，第一步：n=12，i=1，满足条件n 是3的倍数，n=8，i=2，不满足条件n ＞123；第二步：n=8，不满足条件n 是3的倍数，n=31，i=3，不满足条件n ＞123； 第三步：n=31，不满足条件n 是3的倍数，n=123，i=4，不满足条件n ＞123； 第四步：n=123，满足条件n 是3的倍数，n=119，i=5，不满足条件n ＞123；第五步：n=119，不满足条件n 是3的倍数，n=475，i=6，满足条件n ＞123，退出循环，输出i 的值为6.11.若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )A.15B.16C.28D.25答案为：A ；解析：本题关键看清-1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由-1,1,3和13，2和12这“四大”元素所能组成的集合.所以满足条件的集合的个数为24-1=15.12.若复数z=1＋mi1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1，＋∞)D.(-∞，-1) 答案为：A ；解析：法一：因为z=1＋mi1＋i =1＋mi 1－i 1＋i 1－i =1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2>0，m －12<0，解得-1<m<1.法二：当m=0时，z=11＋i =1－i 1＋i 1－i =12-12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.13.执行如图所示的程序框图，如果输出的n=2，那么输入的a 的值可以为( )A.4B.5C.6D.7 答案为：D ；解析：执行程序框图，输入a ，P=0，Q=1，n=0，此时P ≤Q 成立，P=1，Q=3，n=1， 此时P ≤Q 成立，P=1＋a ，Q=7，n=2.因为输出的n 的值为2，所以应该退出循环，即P>Q ，所以1＋a>7，结合选项，可知a 的值可以为7，故选D.14.已知a 为实数，若复数z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，则a ＋i 2 0171－i=( )A.1B.0C.iD.1-i 答案为：C ；解析：因为z=(a 2-1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a=1，则有1＋i 2 0171－i =1＋i 1－i =1＋i 21＋i 1－i =i.15.沈括是我国北宋著名的科学家，宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成了堆垛.沈括在其代表作《梦溪笔谈》中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式.图1是长方垛：每一层都是长方形，底层长方形的长边放置了a 个酒缸，短边放置了b 个酒缸，共放置了n 层.某同学根据图1，绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图，如图2，那么在◇和▭两个空白框中，可以分别填入( )A.i<n ？和S=S ＋a ·bB.i ≤n ？和S=S ＋a ·bC.i ≤n ？和S=a ·bD.i<n ？和S=a ·b 答案为：B ；解析：观察题图1可知，最下面一层酒缸的个数为a ·b ，每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1，累加即可，故执行框中应填S=S ＋a ·b ；计算到第n 层时，循环n 次，此时i=n ，故判断框中应填i ≤n ？，故选B.16.已知集合A=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |x 2＋y 2＝π24，y ≥0，B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}，C=A ∩B ，则集合C 的非空子集的个数为( )A.4B.7C.15D.16 答案为：C ；解析：因为B={(x ，y)|y=tan(3π＋2x)}={(x ，y)|y=tan 2x}，函数y=tan 2x 的周期为π2，画出曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象(如图所示)，从图中可观察到，曲线x 2＋y 2=π24，y ≥0与函数y=tan 2x 的图象有4个交点.因为C=A ∩B ，所以集合C 中有4个元素，故集合C 的非空子集的个数为24-1=15，故选C. 二、填空题17.已知复数z=1＋3i2＋i ，则|z|=________.答案为：2;解析：法一：因为z=1＋3i 2＋i =1＋3i 2－i 2＋i 2－i =5＋5i5=1＋i ，所以|z|=|1＋i|= 2.法二：|z|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i =|1＋3i||2＋i|=105= 2.18.设全集U={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R}，集合M=⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P={(x ，y)|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P)=________.答案为：{(2,3)}；解析：集合M={(x ，y)|y=x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P={(x ，y)|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}.则∁U (M ∪P)={(2,3)}.19.已知复数z=x ＋4i(x ∈R)(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第二象限，且|z|=5，则z1＋i的共轭复数为________. 答案为：12-72i ；解析：由题意知x ＜0，且x 2＋42=52，解得x=-3，∴z 1＋i =－3＋4i 1＋i =－3＋4i 1－i 1＋i 1－i =12＋72i ，故其共轭复数为12-72i. 20.已知非空集合A ，B 满足下列四个条件： ①A ∪B={1,2,3,4,5,6,7}； ②A ∩B=∅；③A 中的元素个数不是A 中的元素； ④B 中的元素个数不是B 中的元素.(1)如果集合A 中只有1个元素，那么A=________； (2)有序集合对(A ，B)的个数是________. 答案为：(1){6} (2)32；解析：(1)若集合A 中只有1个元素，则集合B 中有6个元素，6∉B ，故A={6}.(2)当集合A 中有1个元素时，A={6}，B={1,2,3,4,5,7}，此时有序集合对(A ，B)有1个； 当集合A 中有2个元素时，5∉B,2∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个； 当集合A 中有3个元素时，4∉B,3∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有4个元素时，3∉B,4∉A ，此时有序集合对(A ，B)有10个； 当集合A 中有5个元素时，2∉B,5∉A ，此时有序集合对(A ，B)有5个；当集合A 中有6个元素时，A={1,2,3,4,5,7}，B={6}，此时有序集合对(A ，B)有1个. 综上可知，有序集合对(A ，B)的个数是1＋5＋10＋10＋5＋1=32.。
2021高考数学二轮专题训练2.52课时突破解析几何高考小题第1课时直线与圆课件
3.(2020·天津高考)已知直线x- 3 y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若 |AB|=6,则r的值为________.
【解析】因为圆心(0,0)到直线x-
y3 +8=0的距离d=
8 =4,
1 3
由|AB|=2 r2 d可2 得6=2 r2,解 4得2 r=5.
答案:5
素养考查
直观想象、逻辑推理
【解析】选C.设P(x,y),则
x y
scxions2+，，y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-
2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距
离最大为d=1 2 1. 2
1m2
1m2
当m=0时,dmax=3.
2.(2020·海淀一模)如图,半径为1的圆M与直线l相切于点A,圆M沿着直线l滚动. 当圆M滚动到圆M′时,圆M′与直线l相切于点B,点A运动到点A′,线段AB的长度 为 3 ,则点M′到直线BA′的距离为( )
【解析】根据题意,设点P1(a,b)与点P(1,0)关于直线AB对称,则P1在反射光线所
在直线上,又由A(4,0),B(0,4),则直线AB的方程为x+y=4,
则有
a
b
1
1,解得
a
1 2
b 2
4
,即 aPb 1(344,3),
反射光线所在直线的斜率k=
4
（3 02）,
1 2
则其方程为y-0= 1 (x+2),即x-2y+2=0;
149D7EF 0，
取y=0,得x2-2x-20=0,
所以|MN|=|x1-x2|=（ x 1 x 2 ） 2 4 x 1 x 2 2 2 4 （ 2 0 ） 2 2 1 .
隐圆问题：高考数学二轮复习微专题
隐圆问题：高考数学二轮复习微专题【典型例题】例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比||(0,1)||MQ MP λλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1(,0),33λ-=，若点(1,1)B ，则3||||MP MB +的最小值为()A B C D例2．ABC ∆中AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为()A ．2233B ．52316C ．354D ．33516例3．已知平面向量a ，b ，c，满足x R ∀∈，1||||4a xb a b -- ，||2a =，4a b ⋅=，()(26a c b c --=，则||a c -的最小值为()A ．1B ．3+C ．3D ．22-例4．已知A ，B 是圆22:1C x y +=上的动点，AB =P 是直线20x y +-=上的动点，则||PA PB +的最小值为．例5．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是．例6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得22||||12PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．例7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B （1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在两个点P ，使得22(4)PA PB a a +=>，求a 的取值范围．【同步练习】一．选择题1．已知平面向量(2,0)a = ，(0,1)b = ，且非零向量c满足(2)()a c b c -⊥- ，则||c 的最大值是()A ．1BC D ．22．已知A ，B 为圆22:4O x y +=上的两动点，||AB =，点P 是圆22:(3)(4)1C x y ++-=上的一点，则||PA PB + 的最大值是()A ．10B ．12C ．14D ．163．已知向量a ，b ，c 为平面向量，||||21a b a b === ，且c 使得2c a - 与c b -所成夹角为3π，则||c 的最大值为()A 1BC ．1D 1+4．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，C ，)a ，D 2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为()A ．(,2)-∞-B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞C ．(2,)-+∞D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，()k b k N +∈ 是平面内两两互不相等的向量，12||1a a -= ，且对任意的1i =，2及1j =，2，⋯，k ，||{1i j a b -∈，2}，则k 最大值为()A ．3B ．4C ．5D ．6二．多选题6．已知*1212,,,,,()k a a b b b k N ∈ 是平面内两两不相等的向量，满足12||1a a -=，且{}||1,2i j a b -∈（其中1i =，2，1j =，2， ，)k ，则实数k 的值可能为()A ．2B ．4C ．8D ．16三．填空题7．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是．8．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为．9．若ABC ∆满足条件4AB =，AC =，则ABC ∆面积的最大值为．10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两个定点A 、B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆22:1O x y +=和点1(2A -，0)，点(4,2)B ，M 为圆O 上的动点，则2||||MA MB +的最小值为．11．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆229x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A t -，0)(0)t >，(,0)B t ，点C 满足8AC BC = ，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是．14．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ∆，9AC =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积最大值为．15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．（1）若定点为(1,0)A -，(1,0)B ，写出12k =的一个阿波罗尼斯圆的标准方程22516()39x y ±+=（写对一个即可）；（2）ABC ∆中，||2AB =，||||(1)AC k BC k =>，则当ABC ∆面积的最大值为k =．16．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|||PA PB λ=（其中λ是正常数，且1)λ≠，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)M -、(2,1)N ，P 是圆22:3O x y +=上的动点，则|||PM PN +的最小值为．17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2．18．平面向量a，b ，c ，d满足||||21a b a b ==⋅= ，(2)()c a b R λλλ=+-∈ ，|4|d b += 则||c d +的最小值为．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()1C x m y -+=及点(1,0)A -，(1,2)B ，若圆C 上存在点P 使得2212PA PB +=，则实数m 的取值范围是．四．解答题20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,1)m a =，(2,cos )n b c C =- ，且//m n ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =b c +的取值范围．隐圆问题（解析版）【典型例题】例1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一．指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比||(0,1)||MQ MP λλλ=>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为221x y +=，其中，定点Q 为x 轴上一点，定点P 的坐标为1(,0),33λ-=，若点(1,1)B ，则3||||MP MB +的最小值为()ABCD【解析】解：设(,0)Q a ，(,)M x y，所以||MQ =，由1(,0)3P -，所以||PM =||||MQ MP λ=且3λ=3=，整理可得2223148a a x y x +-++=，又动点M 的轨迹是221x y +=，所以2304118aa +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a =-，所以(3,0)Q -，又||3||MQ MP =，所以3||||||||||MP MB MQ MB BQ +=+ ，因为(1,1)B ，所以3||||MP MB +的最小值||BQ =，当M 在位置1M 或2M 时等号成立．故选：D ．例2．ABC ∆中AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积最大值为()A ．3B ．16C ．4D ．16【解析】解：以BC 的中点为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,0)B a -，(,0)C a ，(0)a >，则A ，设(,)P x y ，由22233PB PC PA +==，可得222222()()3[(]3x a y x a y x y +++-+=+=，可得22232x y a +=-，22(1x y +=，即有点P 既在(0,0)的圆上，也在为圆心，1为半径的圆上，可得|11+由两边平方化简可得22316a ，则ABC ∆的面积为2S a ====由22316a ，可得22316a =，S 取得最大值，且为52316．故选：B ．例3．已知平面向量a ，b ，c，满足x R ∀∈，1||||4a xb a b -- ，||2a =，4a b ⋅=，()(26a c b c --=，则||a c -的最小值为()A ．1B ．263+C ．3D ．622-【解析】解：x R ∀∈ ，1||||4a xb a b -- ，||2a =，4a b ⋅=，2221484216x b x b ∴+-+- ，0b ≠ ，∴221()82016x b x --+ ，∴222182016b x x b -+- 对任意x 都恒成立，∴42164||8||04b b =+- ，221(||8)02b ∴-，∴21||82b = ，||4b ∴= ．不妨设(2,0)a =，(,)b m n = ，则24m =，2m ∴=．又||4b =，2416n ∴+=，n ∴=±当b = 时，设(,)c x y =，∴(2,)a c x y -=--，2(22b c x -=- ，2)y -，(2)(22)(2)6x x y y ∴--+-=，2233(()422x y ∴-+-=，∴c对应的点的轨迹是以3(2为圆心，以2为半径的圆，||a c ∴-=(,)x y 到(2,0)的距离，||a c ∴-的最小值为2211-=-=，当(2,b =- 时，同理可得||a c -的最小值为1．故选：A ．例4．已知A ，B 是圆22:1C x y +=上的动点，AB =P 是直线20x y +-=上的动点，则||PA PB +的最小值为．【解析】解：根据题意，圆22:1C x y +=的圆心为(0,0)，半径1r =，A ，B 是圆22:1C x y +=上的动点且AB =2ACB π∠=，即AC BC ⊥，设AB 的中点为M ，则2PA PB PM += ，||2OM =，则有||||||OM MP PO + ，分析可得2||||||||2MP OP OM OP -=-，当||OP 最小时，||MP 最小，即||PA PB +取得最小值，又由||OP 的最小值为O 到直线20x y +-=的距离，则||OP 的最小时为d =，则||2||22PA PB MP +=⨯=．例5．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+，则||BQ 的最小值是．【解析】解：如图建立平面直角坐标系，设(cos ,sin )P θθ，则(0,0)A ，3(2B -，，3(2C ，；21213212(cos ,sin )(,)(cos ,sin )3333223232AQ AP AC θθθθ=+=+-=+- ．22(cos 2,sin33BQ BA AQ θθ=+=++ 则||BQ ==== ．∴故答案为：3723-例6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）在圆C 上是否存在点P ，使得22||||12PA PB +=若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【解析】解：（1）圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为//l AB ，(1,0)A -，(1,2)B ，所以直线l 的斜率为2011(1)-=--，设直线l 的方程为0x y m -+=，则圆心C 到直线l 的距离为d因为MN AB ===，而222()2MN CM d =+，所以2(2)422m +=+，解得0m =或4m =-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=．（2）假设圆C 上存在点P ，设(,)P x y ，则22(2)4x y -+=，222222(1)(0)(1)(2)12PA PB x y x y +=++-+-+-=，即22230x y y +--=，即22(1)4x y +-=，因为|22|22-<<+，所以圆22(2)4x y -+=与圆22(1)4x y +-=相交，所以点P 的个数为2．例7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B（1）若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN AB =，求直线l 的方程；（2）若圆C 上存在两个点P ，使得22(4)PA PB a a +=>，求a 的取值范围．【解析】解：（1）根据题意，圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=，所以圆心(2,0)C ，半径为2．因为//l AB ，(1,0)A -，(1,2)B ，直线AB 的方程为10x y -+=，且||AB ==，设直线l 的方程为0x y m -+=，又由MN AB ==，圆心C 到直线l 的距离d =则有222(2MN r =+，即22=，解可得0m =或4-，故直线l 的方程为0x y -=或40x y --=；（2）根据题意，设(,)P x y ，若22PA PB a +=，则222222(1)(0)(1)(2)PA PB x y x y a +=++-+-+-=，变形可得：22232a x y y +-+=，即22(1)22ax y +-=-，则P 的轨迹是以(0,1)为半径的圆；若圆C 上存在两个点P ，使得22PA PB a +=，则圆C 与圆22(1)4x y +-=相交，两圆的圆心距d '==，则有22-<<+，解可得：2222a -<<+，故a 的取值范围为(22-22+【同步练习】一．选择题1．已知平面向量(2,0)a = ，(0,1)b = ，且非零向量c满足(2)()a c b c -⊥- ，则||c 的最大值是()A ．1B C D ．2【解析】解：根据题意，设(,)c x y =，即C 的坐标为(,)x y ，则2(22,2)a c x y -=--，(,1)b c x y -=-- ，若(2)()a c b c -⊥- ，则(2)()(22)(1)20a c b c x x y y -⋅-=-⨯+-⨯=，变形可得22111()()222x y y -+-=，则点C 在圆22111(()222x y -+-=上，其圆心为1(2，1)2，半径为2，则点C 到原点O2+=，故选：B ．2．已知A ，B 为圆22:4O x y +=上的两动点，||AB =，点P 是圆22:(3)(4)1C x y ++-=上的一点，则||PA PB + 的最大值是()A ．10B ．12C ．14D ．16【解析】解：设M 是AB 的中点，则2PA PB PM MA PM MB PM +=+++=，于是|||2|PA PB PM += ．由于||AB =，则由垂径定理：||1OM ==，于是M 在以O 为圆心，1为半径的圆上，又||||116max PO OC =+==，故||||1617max max PM PO =+=+=，因此||2714max PA PB +=⨯=．故选：C ．3．已知向量a ，b ，c 为平面向量，||||21a b a b === ，且c 使得2c a - 与c b -所成夹角为3π，则||c的最大值为()A1BC ．1D1+【解析】解：设OA a = ，OB b = ，OC c =，平面向量a，b ，c 满足||||21a b a b === ，cos a ∴<，12||||a b b a b >==⨯，a ∴<，3b π>= ，设(,)c x y = ，(1,0)a =，(cos 6b π= ，1sin (62π=，2c a - 与c b - 的夹角为3π，即为2a c -与b c - 的夹角为3π，可得180BCD BAD ∠+∠=︒，则四点A 、B 、C 、D 共圆，设圆心为E ，C 在圆E 上运动，可得E 的横坐标为32，由BD =22r ==，解得1r =，由(1,0)A ，可得3(2E，即有||OE ==，则||c的最大值为1+．故选：A．4．已知圆22:5O x y +=，A ，B 为圆O 上的两个动点，且||2AB =，M 为弦AB 的中点，C ，)a，D 2)a +．当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为()A ．(,2)-∞-B ．(-∞，2)(0-⋃，)+∞C ．(2,)-+∞D ．(-∞，0)(2⋃，)+∞【解析】解：连接OM，由题意可得||2OM ==，所以点M 在以原点O 为圆心，以2为半径的圆上，设CD 的中点为N，则N ，1)a +，由题意可得||2CD =，因为当A ，B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，所以以原点O 为圆心，以2为半径的圆与以N 为圆心，以1为半径的圆相离，即3>，解得：2a <-或0a >，故选：B ．5．已知1a ，2a ，1b ，2b ，⋯，()k b k N +∈ 是平面内两两互不相等的向量，12||1a a -= ，且对任意的1i =，2及1j =，2，⋯，k ，||{1i j a b -∈，2}，则k 最大值为()A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】解：设1(0,0)a = ，2(0,1)a =，(,)j b x y = ，对任意的1i =，2及1j =，2，⋯，k ，||{1i j a b -∈，2}，∴1=2=，1=2=，k ∴的最大值为四个圆的交点个数总和，如图所示，共有6个．故选：D ．二．多选题6．已知*1212,,,,,()k a a b b b k N ∈ 是平面内两两不相等的向量，满足12||1a a -=，且{}||1,2i j a b -∈（其中1i =，2，1j =，2， ，)k ，则实数k 的值可能为()A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】解：根据题意，如图，设11OA a = ，22OA a =，由于12||1a a -=，且{}||1,2i j a b -∈ ，分别以1A ，2A 为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个．故满足条件的k 的最大值为6．故选：AB ．三．填空题7．已知A ，B 是圆22:10O x y +=上的动点，AB =，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，则|3|PA PB +的取值范围是．【解析】解：如图示：设AB 的中点为N ，NB 的中点为M ，则3224PA PB PN PB PM +=+= ，所以|3|2||4||PA PB PN PB PM +=+= ，AB = OA =ON NM ∴==，2OM ∴=，故M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，P 是圆22(6)(8)1C x y -+-=上的动点，(12)7min PM ∴=-+=，10(12)13max PM =++=，故4||[28.52]PM ∈．故答案为：[28，52]．8．M 为等边ABC ∆内一动点，且120CMB ∠=︒，则AMMC的最小值为．【解析】解：如图所示，不妨设等边ABC ∆的边长为2，M 为ABC ∆内一动点，120BMC ∠=︒，∴点M 在弦BC 所对的弓形 BMC上，120BQC ∠=︒．由图可知：当点M 取与y 轴的交点时，30MBC ∠=︒，可得：(0,Q ，(0A(1,0)C ，(,)M x y ．点M所在圆的方程为：224(3x y ++=．设参数方程为：cos 333x y θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，∴222222224()||(3||(1)sin MA x y MC x y θθ+++===-+，t =，化为：sin()1θβ+=，解得34t ，∴AM MC ，，故答案为：32．9．若ABC ∆满足条件4AB =，AC =，则ABC ∆面积的最大值为．【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示，则(2,0)A-，(2,0)B，设(,)C x y，由AC=，=，化简可得22(6)32x y-+=；则点C的轨迹是以(6,0)为圆心，且去掉点(6+，0)和(6-0)；所以ABC∆的面积的最大值为11422AB r⨯⨯=⨯⨯=．故答案为：．10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A、B的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若已知圆22:1O x y+=和点1(2A-，0)，点(4,2)B，M为圆O上的动点，则2||||MA MB+的最小值为．【解析】解：设(,)M x y，令2||||MA MC=，则有||1||2MAMC=，由题意可知，圆221x y+=是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且12λ=，设点(,)C m n，则有||1||2MAMC=，整理可得22222421333m n m nx y x y++-+++=，比较两个方程可得，2224210,0,1333m n m n ++-===，故2m =-，0n =，点(2,0)C -，所以当点M 位于图中1M ，2M 的位置时，2||||||||MA MB MC MB +=+的值最小为||BC =故答案为：11．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围为．【解析】解：在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆224x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，如图所示当BC OA ⊥时，||BC 取得最小值或最大值．由2214y x y =⎧⎨+=⎩，可得(B 1)或，1)，由2214x x y =⎧⎨+=⎩，可得C 或(1,解得||min BC ==，||max BC =故答案为：-．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆229x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的长的取值范围是．【解析】解：设BC 的中点为(,)M x y ，因为22222||||||||||OB OM BM OM AM =+=+，所以22229(1)(1)x y x y =++-+-，化简得2211()()422x y -+-=，即点M 的轨迹是以11(,22N 为圆心，2为半径的圆，所以||2AN ==，所以||AM 的取值范围是22[2]22-+，从而||BC 的取值范围是[4+．故答案为：[4-+．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(A t -，0)(0)t >，(,0)B t ，点C 满足8AC BC =，且点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，则实数t 的值是．【解析】解：设0(C x ，0)y ，(,0)A t - ，(,0)B t ，8AC BC =，0(x t ∴+，00)(y x t - ，0)8y =，即222008x t y -+=，∴222008x y t +=+，则点C 为半径的圆上，又点C 到直线:34240l x y -+=的最小距离为95，95=，∴3=，解得：1t =±，0t > ，1t ∴=．故答案为：1．14．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0k k >且1)k ≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ∆，9AC =，sin 2sin C A =，则ABC ∆的面积最大值为．【解析】解：ABC ∆ ，9AC =，sin 2sin C A =，即2ca=，根据阿波罗尼斯圆的性质，点B 的轨迹为圆（去掉两个点），建立如图所示的直角坐标系：，设(,)B x y ，则2=，化为：22(5)16x y -+=，∴点B 的轨迹为以(5,0)M 为圆心，4为半径的圆，去掉两个点：(1,0)，(9,0)，MB AC ∴⊥时，ABC ∆的面积最大，故此时11941822ABC S AC MB ∆=⋅⋅=⨯⨯=，故答案为：18．15．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262190-年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．（1）若定点为(1,0)A -，(1,0)B ，写出12k =的一个阿波罗尼斯圆的标准方程22516()39x y ±+=（写对一个即可）；（2）ABC ∆中，||2AB =，||||(1)AC k BC k =>，则当ABC ∆面积的最大值为k =．【解析】解：（1）设(,)P x y ，由题意可知12PA PB =，即有224PB PA =，2222(1)4[(1)]x y x y ∴-+=++，整理得22331030x y x +++=，或12PB PA =，即有224PA PB =，2222(1)4[(1)]x y x y ∴++=-+，整理得22331030x y x +-+=，故其标准方程为22516()39x y ++=或22516(39x y -+=，即为点P 的轨迹方程；（2）如图，不妨设(1,0)A ，(1,0)B -，(,)C x y ，则||||AC k BC =，可化为22222(1)[(1)]x y k x y -+=++，整理可得222222(1)(1)2(1)10k x k y k x k -+-+++-=，即222222211()()111k k x y k k ++-+=---，圆心221(1k k +-，0)，22221()11k r k +=--由图可知当点C 到(AB x 轴）距离最大时，ABC ∆的面积最大，即当点C 到AB 的距离d 等于半径r 时，面积最大，ABC ∴∆面积的最大值是122r ⨯=，解得r =，故有22221(11k k +-=-，解得k =舍去），故答案为：22516()39x y ±+=（填一个即可）．16．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A 、B ，动点P 满足|||PA PB λ=（其中λ是正常数，且1)λ≠，则P 的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点(1,0)M -、(2,1)N ，P 是圆22:3O x y +=上的动点，则|||PM PN +的最小值为．【解析】解：如图，在x 轴上取点(3,0)S -，||||||||OM OP OP OS ==MOP POS ∠=∠，MOP POS ∴∆∆∽，∴|||PS PM =，∴||||||||||PM PN PS PN SN +=+（当且仅当P 为SN 与圆O 交点时取等号），∴|||)||min PM PN SN +===17．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上一点P 到两定点A ，B 的距离之满足||(0||PA t t PB =>且1)t ≠为常数，则P 点的轨迹为圆．已知圆22:1O x y +=和1(,0)2A -，若定点(B b ，10)()2b ≠-和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有||||MB MA λ=，则λ=2．【解析】解：设点(,)M x y ，由||||MB MA λ=，得222221()[()]2x b y x y λ-+=++，整理得2222222124011b b x y x λλλλ-++-+=--，所以222222011411b b λλλλ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩解得2λ=，2b =-如右图，当(0,1)M 或(0,1)M -时，3()4MAB max S ∆=．故答案为：2；34．18．平面向量a ，b ，c ，d 满足||||21a b a b ==⋅= ，(2)()c a b R λλλ=+-∈，|4|d b += 则||c d + 的最小值为．【解析】解：如图， ||||21a b a b ==⋅= ，112cos ,112||||a b a b a b ⋅∴<>===⨯⋅ ，又,[0,]a b π<>∈ ，∴,3a b π<>= ，设OA a = ，OB b = ，则1OA OB ==，又(2)()c a b R λλλ=+-∈ ，∴2()2()222c a b λλ-=⋅+⋅ ，设2OE a = ，2OF b = ，OC c = ，∴2((22OC OE OF λλ-=+ ， 2122λλ-+=，C ∴，E ，F 三点共线，即点C 在直线EF 上，又,3EOF a b π∠=<>= ，22OE OA ==，22OF OB ==，EOF ∴∆是边长为2的等边三角形，又|4|d b +=，|4()|b d ∴--= ，设4OP b = ，OD d =- ，则44OP OB ==，||OP OD ∴-=，DP ∴=，D ∴在以P 为圆心，r =P 上，|||()|||c d c d OC OD DC +=--=-= ，而点C 在直线EF 上，又D 在以P 为半径的圆P 上，DC ∴的最小值即为圆心P 到直线EF 的距离减去半径，过P 作PH EF ⊥，垂足点为H ，又3PFH π∠=，422PF OP OF =-=-=，∴圆心P 到直线EF 的距离sin 2PH FP PFH =⨯∠=⨯，DC ∴的最小值为PH r -=-，故||c d +19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()1C x m y -+=及点(1,0)A -，(1,2)B ，若圆C 上存在点P 使得2212PA PB +=，则实数m 的取值范围是．【解析】解：设0(P x ，0)y ，则2200()1x m y -+=，①又(1,0)A -，(1,2)B ，且2212PA PB +=，∴22220000(1)(1)(2)12x y x y +++-+-=，整理得：2200(1)4x y +-=，②若0(P x ，0)y 存在，则圆①②有公共点，则2121-+，解得m -∴实数m 的取值范围是[-，．故答案为：[-，．四．解答题20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,1)m a = ，(2,cos )n b c C =- ，且//m n ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =b c +的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）向量(2,1)m a = ，(2,cos )n b c C =- ，且//m n ；2cos (2)0a C b c ∴--=，即2cos 2a C b c =-；由正弦定理得，2sin cos 2sin sin A C B C =-，即2sin cos 2sin()sin A C A C C =+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin A C A C A C C ∴=+-，化简得2cos sin sin A C C =，即1cos 2A =；又(0,)A π∈，3A π∴=；（Ⅱ）ABC ∆中，3A π=，a =设ABC ∆外接圆的直径为2r ，由正弦定理得22sin sin 3a r A π===，2sin 2sin b c B C∴+=+2[sin(120)sin ]C C =︒-+4sin 60cos(60)C =︒︒-)C =︒-；606060C -︒<︒-<︒ ，11cos(60)2C ∴︒->，)C ∴︒->，即b c +的取值范围是，．。
安徽2021届高考数学二轮复习之能力专项训练1Word版含答案
专题检测卷(一)A 组 一、选择题1.下列命题中是假命题的是( )(A)∃x ∈R ，x 3＜0(B)“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件(C)∀x ∈R ，2x＞0(D)“a ·b >0”是“a ，b 的夹角为锐角”的充要条件 2.(2022·湖北高考)命题“∃x 0∈，R Q x 03∈Q ”的否定是( ) (A)300x x ∃∉∈，RQ Q(B)300x ,x ∃∈∉R Q Q (C)3x ,x ∀∉∈R Q Q (D)3x ,x ∀∈∉R Q Q3.命题“若a>b,则2a>2b”的否命题是( )(A)若a>b,则2a≤2b(B)若2a >2b,则a>b(C)若a ≤b,则2a ≤2b(D)若2a≤2b,则a ≤b4.(2022·宜昌模拟)已知条件p:不等式x 2+mx+1＞0的解集为R ；条件q:指数函数f(x)=(m+3)x 为增函数，则p 是q 的( ) (A)充要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分不必要条件(D)既不充分也不必要条件5.设A={1,2,3},B={x|x ⊆A}，则下列关系表述正确的是( ) (A)A ∈B (B)A ∉B (C)A ⊇B (D)A ⊆B6.(2022·黄石模拟)已知全集U=R ，集合A={x|-2≤x ＜0}，B={x|2x-1＜14},则R(A ∩B)=( )(A)(-∞,-2)∪［-1，+∞) (B)(-∞，-2］∪(-1，+∞)(C)(-∞，+∞)(D)(-2，+∞)7.给出命题：若直线l 与平面α内任意一条直线垂直，则直线l 与平面α垂直，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( ) (A)3 (B)2 (C)1 (D)08.若“0＜x ＜1”是“(x-a)［x-(a+2)］≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞，0］∪［1，+∞)(B)(-1，0)(C)［-1，0］(D)(-∞，-1)∪(0，+∞)9.(2022·山东高考)设命题p:函数y=sin 2x 的最小正周期为;2π命题q:函数y=cos x 的图象关于直线x=2π对称,则下列推断正确的是( )(A)p 为真 (B)﹁q 为假(C)p ∧q 为假 (D)p ∨q 为真10.定义差集A-B={x|x ∈A,且x ∉B}，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为( )二、填空题11.命题p :x R,∀∈函数f(x)=22cos x 3sin 2x 3,+≤则p:⌝____________. 12.(2022·咸宁模拟)设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4}，A ∩B=3，则实数a 的值是______.13.若命题“∃x ∈R,2x 2-3ax+9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是______.14.给出下列四个结论：①“若am 2＜bm 2,则a ＜b ”的逆命题是真命题；②设x ，y ∈R,则“x ≥2或y ≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分不必要条件；③函数y=log a (x+1)+1(a ＞0且a ≠1)的图象必过点(0，1)；④已知ξ听从正态分布N(0，σ2),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ＞2)=0.2. 其中正确结论的序号是________(填上全部正确结论的序号). B 组一、选择题1.(2022·新课标全国卷)已知集合A={1，2，3，4，5}，B={(x,y)|x ∈A,y ∈A,x-y∈A},则B 中所含元素的个数为( )(A)3 (B)6 (C)8 (D)102.(2022·黄冈模拟)命题“∀x ∈［1，2］，x 2-a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )(A)a ≥4 (B)a ≤4 (C)a ≥5 (D)a ≤53.(2022·孝感模拟)已知全集U=R ，集合A={1,2,3,4,5}，B=［2，+∞)，则图中阴影部分所表示的集合为( )(A){0，1，2} (B){0，1} (C){1，2} (D){1}4.(2022·湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )(A)任意一个有理数，它的平方是有理数(B)任意一个无理数，它的平方不是有理数(C)存在一个有理数，它的平方是有理数(D)存在一个无理数，它的平方不是有理数5.若全集U=R ，集合A={x||2x+3|＜5},B={x|y=log 3(x+2)}，则U (A ∩B)=( ) (A){x|x ≤-4或x ≥1}(B){x|x ＜-4或x ＞1}(C){x|x ＜-2或x ＞1}(D){x|x ≤-2或x ≥1}6.对于非空集合A ，B,定义运算：A B ⊕={x|x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B},已知M={x|a ＜x＜b},N={x|c ＜x ＜d}，其中a ，b ，c ，d 满足a+b=c+d,ab ＜cd ＜0,则M N ⊕=( )(A)(a ，d)∪(b ，c) (B)(c ，a ］∪［b ，d)(C)(a ，c ］∪［d ，b) (D)(c ，a)∪(d ，b)7.已知p:2x1,x 1<- q:(x-a)(x-3)>0,若p q ⌝⌝是的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )(A)(-∞,1) (B)［1,3］ (C)［1,+∞) (D)［3,+∞)8.(2022·湖北高考)已知集合A={x|x 2-3x+2=0，x ∈R}，B={x|0＜x ＜5,x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)49.已知集合A ＝{x|-a ＜x ＜a}，其中a ＞0.命题p:1∈A ，命题q:2∈A.若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则a 的取值范围是( ) (A)0＜a ＜1或a ＞2 (B)0＜a ＜1或a ≥2(C)1＜a ≤2 (D)1≤a ≤210.下列命题：①函数f(x)=x 2－2x+3,x ∈［-2,0］的最小值为2；②线性回归方程对应的直线y bx a =+至少经过其样本数据点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )中的一个点；③命题p:∃x ∈R ，使得x 2+x+1<0，则p :⌝∀x ∈R ,均有x 2+x+1≥0；④若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a+5,方差为b+25.其中，错误命题的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 二、填空题11.集合M={x|x x 1-＞0},集合N={y|y=12x } ，则M ∩N=______.12.下列选项叙述错误的是______.①命题“若x ≠1,则x 2-3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2-3x+2=0,则x=1” ②若命题p ：∀x ∈R,x 2+x+1≠0，则p ⌝∃：x ∈R ，x 2+x+1=0 ③若p ∨q 为真命题，则p,q 均为真命题 ④“x ＞2”是“x 2-3x+2＞0”的充分不必要条件13.某班有同学60人，其中体育爱好者有32人，电脑爱好者有40人，还有7人既不爱好体育也不爱好电脑，则班上既爱好体育又爱好电脑的同学有____人. 14.(2022·武汉模拟)由命题“存在x ∈R ，使e |x-1|-m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(-∞，a)，则实数a 的值是______.答案解析A 组1.【解析】选D.当a ，b 的夹角为0时，a ·b >0，故选D.2.【解析】选D.该特称命题的否定为“3x ,x ∀∈∉R Q Q”.3.【解析】选C.“a>b ”的否定是“a ≤b ”，“2a >2b ”的否定是“2a ≤2b ”，故否命题是“若a ≤b ，则2a ≤2b ”.4.【解析】选C.由于不等式x 2+mx+1＞0的解集为R ，故有m 2-4＜0,∴-2＜m ＜2.又由于指数函数f(x)=(m+3)x 为增函数，所以m+3＞1，m ＞-2，故p ⊆q,p ≠q ，故选答案C.5.【解析】选A.由题意知B={,∅{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，故A∈B.6.【解析】选A.B={x|x＜-1},∴A∩B={x|-2≤x＜-1},∴R(A∩B)=(-∞,-2)∪［-1,+∞).7.【解析】选A.依据线面垂直的定义可知，原命题正确，所以逆否命题也正确；命题的逆命题为：若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内任意一条直线垂直，正确，所以否命题也正确，所以在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是3,故选A.8.【解析】选C.(x-a)［x-(a+2)］≤0⇒a≤x≤a+2,由集合的包含关系知：a0a21≤⎧⎨+≥⎩，，⇒a∈［-1，0］.【方法技巧】依据充要性求参数取值范围的策略(1)简化条件与结论;(2)依据条件与结论的关系,得到集合间的包含关系;(3)依据集合间的包含关系列不等式(组)求解.9.【解析】选C.函数y=sin 2x的最小正周期为T=22π=π，所以命题p假，函数y=cos x的图象关于直线x=kπ(k∈Z)对称，所以命题q假，q⌝为真，p∨q为假.10.【解析】选A.如图所示，A-B表示图中阴影部分，故C-(A-B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A. 11.【解析】全称命题的否定是特称命题,故p:x R,⌝∃∈函数f(x)=22cos x3sin 2x 3.＞答案：∃x∈R,函数f(x)=22cos x3sin 2x+＞312.【解析】由题意知，a2+4＞3,故a+2=3,即a=1.阅历证，a=1符合题意.答案：113.【解析】由于“2x R,2x3ax90∃∈-+<”为假命题，则“2x R,2x3ax90∀∈-+≥”为真命题.因此Δ=9a2-4×2×9≤0,故22a2 2.-≤≤答案：22a22-≤≤14.【解析】①的逆命题为：“若a＜b,则am2＜bm2”，当m=0时，命题不成立.依据充分条件和必要条件的推断可知②正确.当x=0时,y=log a1+1=1,所以函数图象恒过定点(0，1),所以③正确；依据正态分布的对称性可知P(-2≤ξ≤0)=P(0≤ξ≤2),P(ξ＞2)=P(ξ＜-2),所以P(ξ＞2)=12P(20)10.822--≤ξ≤-==0.1,所以④错误，所以正确的结论有②③.答案：②③B组1.【解析】选D.利用集合的概念及其表示求解，留意元素的特性.∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4. ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)}. ∴B 中所含元素的个数为10.2.【解析】选C.若命题为真，则a ≥x 2,故a ≥4为充要条件，充分不必要条件为a ≥5.3.【解析】选D.阴影部分的元素x ∈A 且x ∉B ，即A ∩U B,选项D 符合要求.4.【解析】选B.由特称命题的否定是全称命题可知否定为任意一个无理数，它的平方不是有理数.5.【解析】选D.A={x||2x+3|＜5}={x|-4＜x ＜1},B={x|y=log 3(x+2)}={x|x+2＞0}={x|x ＞-2}, 所以A ∩B={x|-2＜x ＜1},所以U (A ∩B)={x|x ≥1或x ≤-2},故选D.6.【解析】选C.由题意得：a ＜c ＜0＜d ＜b,所以M ⊕N=(a ，c ］∪［d ，b).也可以利用举特例：如a=-5,b=4,c=-3,d=2.【易错提示】解答本题时易因搞不清a ，b ，c ，d 的关系而无法求解，错误的缘由是不理解条件a+b=c+d,ab ＜cd ＜0所致.7.【解析】选 C.2x 1x 1--<0⇒x 1x 1+-<0⇒(x-1)(x+1)<0⇒p:-1<x<1;当a ≥3时，q:x<3或x>a ；当a<3时，q:x<a 或x>3.p q ⌝⌝是的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q p ，可推出a 的取值范围是a ≥1. 8.【解析】选D.由题意可得，A={1,2}，B={1，2，3，4}.又∵A ⊆C ⊆B ，∴C={1,2}或{1,2,3}或{1，2，4}或{1，2，3，4}，故选D. 9.【解析】选C.由已知得p 真q 假，即1∈A 且2∉A ，故1＜a ≤2，故选C. 10.【解析】选D.函数在［－2,0］上的最小值为f(0)=3，所以①不正确.线性回归方程对应的直线y bx a =+肯定过(x,y )，不肯定过样本点，所以②不正确.③正确.x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a+5,方差为b ，所以④不正确，所以错误的命题个数为3，故选D.11.【解析】M={x|x<0或x>1}，N={y|y ≥0}， ∴M ∩N=(1,+∞). 答案：(1,+∞)12.【解析】若p ∨q 为真命题，则p,q 中至少有一个真即可，③错误; ①②④正确. 答案：③13.【解析】设既爱好体育又爱好电脑的同学有x 人，画出Venn 图，易得(32-x)+x+(40-x)+7=60. 解之得x=19.答案：1914.【解析】由于命题“存在x ∈R ，使e |x-1|-m ≤0”是假命题，所以其否定为真命题，即对于任意x ∈R ，e |x-1|-m ＞0成立，即m ＜e |x-1|恒成立，即m 小于函数y=e |x-1|的最小值即可.e|x-1|≥1，∴m＜1，结合已知条件可得a=1. 答案：1。
【高三数学】二轮复习：专题二 第1讲 三角函数的图象与性质
)
A.sin x + 3
B.sin 3 -2x
C.cos 2x + 6
D.cos
5
-2x
6
答案 BC
解析 由题中函数图象可知2 =
2π π
+
3 6
x=
2
5π
5π
π
2π
= 2,则 T=π,所以 ω= =
3π
2π
=2,当
π
2π
= 12时,y=-1,所以 2× 12+φ= 2 +2kπ(k∈Z),解得 φ=2kπ+ 3 (k∈Z),所
看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 2 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或
T
下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐
标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,
高考数学
专题二
第1讲 三角函数的图象与性质
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
这是针对函数中的单个变量x
2.三角函数图象变换
而言的
三角函数y=sin ωx的图象向左或向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到的图象
对应函数解析式是y=sin[ω(x+φ)]或y=sin[ω(x-φ)],而不是y=sin(ωx+φ)或
以函数的解析式为 y=sin 2 +
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之指数函数
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之指数函数1.下列函数中，是指数函数的是( ) A. 2y x =B. 21x y x +=C. 34x y =⨯D. 9x y =2.下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A.()131-和()261- B.20-和120 C.122和144D.324-和312-⎛⎫⎪⎝⎭3.把函数3xy =的图象向右平移t 个单位长度，得到函数35xy =的图象，则t 的值为( )A.13B.3log 5C.5log 3D.154.已知函数()3x g x t =+的图像不经过第二象限，则t 的取值范围为( ) A.1t ≤-B.1t <-C.3t ≤-D.3t ≥-5.已知函数()2x f x =的定义域为集合A ，值域为(4,32)，则集合A =( ) A.(2,5)B.[)2,5C.(]2,5D.[]2,56.已知集合{}2lg(4)A x y x ==-，{}3,0x B y y x ==>时，A B =( ) A ．{}2x x >- B ．{}12x x << C ．{}12x x ≤≤ D ．∅ 7.设212333222,,335a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( )A.a b c >>B.b a c >>C.b c a >>D.c b a >>8.若2π,,aa ab ac a α-===，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >>D ．a b c >>9.函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点_______. 10.已知4323x x y =-⋅+，当[]0,2x ∈时，其值域是________11.若指数函数()f x 的图像经过点(2,9)，则()f x =__________，(1)f -=___________.12.已知20.320.3,log 0.3,2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为___________.答案以及解析1.答案：A解析：A 项中函数的底数是自变量x ，指数是常数2，故不是指数函数； B 项中函数的底数是常数3，指数是21x +，而不是自变量x ，故不是指数函数； 对于C 项，这个函数中4x 的系数是3，不是1，故不是指数函数； D 项中的函数符合指数函数的定义，即9xy =是指数函数.故选D. 2.答案：C解析：选项A 中，()131-和()261-均不符合分数指数幂的定义，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，324-和312-⎛⎫⎪⎝⎭值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，1114224222,4222=== C. 3.答案：B解析：把函数3xy =的图象向右平移 t 个单位长度，得到函数333xx tt y -==的图象，由3335x x t =，得35t=，得3log 5t =，故选B. 4.答案：A解析：将函数3x y =的图像向上平移t 个单位长度即可得到函数()3x g x t =+的图像， 若函数()3x g x t =+的图像不经过第二象限，则当0x =时，()0g x ≤， 即030t +≤，解得1t ≤-.故本题选择A 选项. 5.答案：A解析：由4()32f x <<得25222x <<，即25x <<. 6.答案：B解析：由集合A 中的函数()2lg 4y x =-，得到240x ->，解得：22x -<<，∴集合{}22A x x =-<<∣由集合B 中的函数3,0x y x =>，得到1y >，∴集合{}1B y y =>∣，则{}12AB x x =<<∣故选：B7.答案：B解析：∵2()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴21332233⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <.∵23()f x x =在(0,)+∞上为增函数，∴22332235⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a c >，∴b a c >>.8.答案：B解析：由题意01a <<，故a a a <，故aa a a a >，即bc >，而22π4ππc a -=>=，故选B. 9.答案：(2,4)解析：根据题意，函数23x y a -=+中， 令20x -=，解可得2x =， 此时()22234f a -=+=， 即函数的图象恒过定点(2,4)， 故答案为：(2,4). 10.答案：3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦解析：由题意，令2x t =，因为[]0,2x ∈，所以[1,4]t ∈， 则函数()223333()24f t t t t =-+=-+，所以当32t =时，函数()f t 取得最小值，最小值为33()24f =， 当4t =时，函数()f t 取得最大值，最小值为(4)7f =， 所以函数4323x x y =-⋅+的值域为3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故答案为：3,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 11.答案：13;3x解析：设()(0,1)x f x a a a =>≠且.因为()f x 的图像经过点(2,9)，代入得29a =，解得3a =或3a =-(舍去)，所以()3x f x =，所以11(1)33f --==.12.答案：c a b >>解析：20.3200.31,log 0.30,21a b c <=<=<=>，故c a b >>.。
高考数学(理科)二轮复习【专题1】函数的应用(含答案)
第3讲函数的应用考情解读(1)函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现．(2)函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y ＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.热点一函数的零点例1(1)函数f(x)＝ln(x＋1)－2x的零点所在的区间是()A ．(12，1)B ．(1，e －1)C ．(e －1,2)D ．(2，e)(2)(2014·辽宁)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx ，x ∈[0，12]，2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x－1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34]思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A解析 (1)因为f (12)＝ln 32－4<0，f (1)＝ln 2－2<0，f (e －1)＝1－2e －1<0，f (2)＝ln 3－1>0，故零点在区间(e －1,2)内．(2)先画出y 轴右边的图象，如图所示．∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称，∴可画出y 轴左边的图象，再画直线y ＝12.设与曲线交于点A ，B ，C ，D ，先分别求出A ，B 两点的横坐标．令cos πx ＝12，∵x ∈[0，12]，∴πx ＝π3，∴x ＝13.令2x －1＝12，∴x ＝34，∴x A ＝13，x B ＝34.根据对称性可知直线y ＝12与曲线另外两个交点的横坐标为x C ＝－34，x D ＝－13.∵f (x －1)≤12，则在直线y ＝12上及其下方的图象满足，∴13≤x －1≤34或－34≤x －1≤－13， ∴43≤x ≤74或14≤x ≤23. 思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(1)已知函数f (x )＝(14)x －cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定 答案 (1)C (2)C解析 (1)f (x )在[0,2π]上的零点个数就是函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点个数，而函数y ＝(14)x 和y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.(2)∵f (x )＝2x －log 21x 在(0，＋∞)上是增函数，又a 是函数f (x )＝2x －log 21x 的零点，即f (a )＝0，∴当0<x 0<a 时，f (x 0)<0.热点二 函数的零点与参数的范围例2 对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) A ．(－2,1) B ．[0,1] C ．[－2,0) D ．[－2,1)思维启迪 先确定函数f (x )的解析式，再利用数形结合思想求k 的范围． 答案 D解析 解不等式：x 2－1－(4＋x )≥1，得：x ≤－2或x ≥3，所以，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3). 函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝－k 恰有三个不同交点．如图，所以－1<－k ≤2，故－2≤k <1.思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2， x ≤0ln x ， x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( ) A ．k ≤2 B ．－1<k <0 C ．－2≤k <－1 D ．k ≤－2 答案 D解析 由y ＝|f (x )|＋k ＝0，得|f (x )|＝－k ≥0，所以k ≤0，作出函数y ＝|f (x )|的图象，要使y ＝－k 与函数y ＝|f (x )|有三个交点， 则有－k ≥2，即k ≤－2，选D. 热点三 函数的实际应用问题例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？思维启迪 (1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49，∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． (1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)．所以L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80)，1 200－(x ＋10 000x )(x ≥80).(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元．当x ≥80时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000，此时，当x ＝10 000x 即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．因为950<1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.真题感悟1．(2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈(－1，0]，x ， x ∈(0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12B.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，12C.⎝⎛⎦⎤－94，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23D.⎝⎛⎦⎤－114，－2∪⎝⎛⎦⎤0，23 答案 A解析 作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2)．因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点．当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m (x ＋1)，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点．综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a 、b 、c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 答案 B解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15(t 2－152t ＋22516)＋4516－2＝－15(t －154)2＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )＋1]的零点有________个．答案 4解析 当f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1，故f [f (x )＋1]＝0时，f (x )＋1＝－1或1.当f (x )＋1＝－1，即f (x )＝－2时，解得x ＝－3或x ＝14；当f (x )＋1＝1，即f (x )＝0时，解得x ＝－1或x ＝1.故函数y ＝f [f (x )＋1]有四个不同的零点．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ∈[－1，0)1f (x －1)－1， x ∈[0，1)，若方程f (x )－kx ＋k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－12，0)C ．[－12，0]D ．(－∞，－12]答案 B解析 要使方程f (x )－kx ＋k ＝0有两个实数根，则函数y ＝f (x )和y ＝k (x －1)的图象有两个交点，而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ，x ∈[－1，0)1f (x －1)－1，x ∈[0，1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0)11－x－1，x ∈[0，1)，画出图象，由于y ＝k (x －1)过定点(1,0)，要使函数y ＝f (x )和y ＝k (x －1)的图象有两个交点，由下图可知k AB ＝－12≤k <0，选B.3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 答案 5 8解析 由题意知每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－(x ＋25x )，而x >0，故yx ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3) 答案 C解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1,2)内．2．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1，下列区间中，可能存在零点的是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3) 答案 B解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)，函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，且为递减函数，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数在(1,2)上没有零点；f (2)＝22－ln 1＝1>0，f (3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，因为8＝22≈2.828，所以8>e ，故ln e<ln 8， 即1<12ln 8，所以2<ln 8，即f (3)<0，f (4)＝24－ln 3＝12－ln 3<0.故f (x )在(2,3)存在零点．3． f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 B解析 ∵2sin πx －x ＋1＝0，∴2sin πx ＝x －1，图象如图所示，由图象看出y ＝2sin πx 与y ＝x －1有5个交点，∴f (x )＝2sin πx －x ＋1的零点个数为5.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，x 2－x ，x >0，若方程f (x )＝m 有三个不同的实根，则实数m 的取值范围为( )A ．[－12，1]B ．[－12，1]C ．(－14，0)D ．(－14，0]答案 C解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝(x －12)2－14≥－14，所以要使函数f (x )＝m 有三个不同的零点，则－14<m <0，即m 的取值范围为(－14，0)．5．(2013·江西)如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F 、G 两点，与三角形ABC 两边相交于E 、D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 如图所示，连接OF ，OG ，过点O 作OM ⊥FG ，过点A 作AH ⊥BC ，交DE 于点N .因为弧FG 的长度为x ，所以∠FOG ＝x ，则AN ＝OM ＝cos x 2，所以AN AH ＝AE AB ＝cos x2，则AE ＝233cos x 2，∴EB ＝233－233cos x2.∴y ＝EB ＋BC ＋CD ＝433－433cos x 2＋233＝－433cos x 2＋23(0<x <π)．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x ∈[0，1)，2－x 2，x ∈[－1，0)，且f (x ＋2)＝f (x )，g (x )＝2x ＋5x ＋2，则方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为( ) A ．－5 B ．－6 C ．－7 D ．－8 答案 C解析 由题意知g (x )＝2x ＋5x ＋2＝2(x ＋2)＋1x ＋2＝2＋1x ＋2，函数f (x )的周期为2，则函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的图象如图所示：由图形可知函数f (x )，g (x )在区间[－5,1]上的交点为A ，B ，C ，易知点B 的横坐标为－3，若设C 的横坐标为t (0<t <1)，则点A 的横坐标为－4－t ，所以方程f (x )＝g (x )在区间[－5,1]上的所有实根之和为－3＋(－4－t )＋t ＝－7. 二、填空题7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (0,1]解析 当x >0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时，函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ，因为0<2x ≤20＝1，所以0<a ≤1，所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.8．(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，31x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________． 答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．9．已知函数f(x)＝1x＋2－m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为________．答案m>1解析函数f(x)有三个零点等价于方程1x＋2＝m|x|有且仅有三个实根．∵1x＋2＝m|x|⇔1m＝|x|(x＋2)，作函数y＝|x|(x＋2)的图象，如图所示，由图象可知m应满足：0<1m<1，故m>1.10．我们把形如y＝b|x|－a(a>0，b>0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”，若当a＝1，b＝1时的“囧函数”与函数y＝lg|x|的交点个数为n，则n＝________.答案 4解析由题意知，当a＝1，b＝1时，y＝1|x|－1＝⎩⎨⎧1x－1(x≥0且x≠1)，－1x＋1(x<0且x≠－1).在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y＝lg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点．三、解答题11．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．解(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.∴函数f(x)的零点为3和－1.(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根．∴b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4(4a)<0⇒a2－a<0，所以0<a<1.因此实数a 的取值范围是(0,1)．12．随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人(140<2a <420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的34，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？解 设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则y ＝(2a －x )(b ＋0.01bx )－0.4bx ＝－b100[x 2－2(a －70)x ]＋2ab .依题意得2a －x ≥34·2a ，所以0<x ≤a2.又140<2a <420，即70<a <210. (1)当0<a －70≤a2，即70<a ≤140时，x ＝a －70，y 取到最大值；(2)当a －70>a 2，即140<a <210时，x ＝a2，y 取到最大值．故当70<a ≤140时，公司应裁员(a －70)人，经济效益取到最大，当140<a <210时，公司应裁员a2人，经济效益取到最大．13．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x ，满足f (－x )＝－f (x )，则称f (x )为“局部奇函数”． (1)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )，试判断f (x )是否为“局部奇函数”？并说明理由； (2)若f (x )＝2x ＋m 是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围． 解 f (x )为“局部奇函数”等价于关于x 的方程f (x )＋f (－x )＝0有解． (1)当f (x )＝ax 2＋2x －4a (a ∈R )时，方程f (x )＋f (－x )＝0即2a (x 2－4)＝0有解x ＝±2， 所以f (x )为“局部奇函数”．(2)当f (x )＝2x ＋m 时，f (x )＋f (－x )＝0可化为2x ＋2－x ＋2m ＝0，因为f (x )的定义域为[－1,1]，所以方程2x ＋2－x ＋2m ＝0在[－1,1]上有解．令t ＝2x ∈[12，2]，则－2m ＝t ＋1t .设g (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，2]．根据：“对勾函数”的单调性知 g (t )＝t ＋1t 在[12，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，所以函数g (t )＝t ＋1t ，t ∈[12，2]的值域为[2，52]，由2≤－2m ≤52，得－54≤m ≤－1，故实数m 的取值范围是[－54，－1]．。
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之幂函数
2021届高考数学二轮复习函数与导数专题练之幂函数1.已知幂函数()()21m f x m m x =--在(0,)+∞上单调递减，则实数m =( ) A.1-B.2C.1-或2D.122.已知幂函数()y f x =的图象过22,⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则下列求解正确的是（ ）A ．()12f x x =B ．()2f x x =C ．()32f x x =D ．()12f x x -=3.若幂函数()f x 的图像过点(16,8)，则2()()f x f x <的解集为( ) A. (,0)(1,)-∞⋃+∞B. (0,1)C. (,0)-∞D. (1,)+∞4.函数()1a f x x =+，若()f x 在区间[],(0)a b a b <<内的值域为[]3,6，则()f x 在[],b a --内的最大值与最小值之和为( ) A.-9B.-7C.-5D.9或-55.已知幂函数()y f x =的图像过点()3,3，则()4log 2f 的值为( ) A ． 2B ．14-C ．14D ．2-6.在同一坐标系内，函数(0)a y x a =≠和1y ax a=-的图像可能是图中的( ) A.B.C.D.7.幂函数()223()1m m f x m m x +-=--在()0,+∞时是减函数，则实数m 的值为( )A. 2或-1B. -1C. 2D. -2或18.设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭,,,，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ ） A.1，3 B.1-，1 C.1-，3 D.1-，1，39.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则()3f =_________.10.已知幂函数223()mm f x x -++= (Z m ∈)为偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，则函数()f x 的解析式为 ___________.11.已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点122⎛ ⎝⎭，则k α+=____________12.若幂函数2223(33)mm y m m x +-=++的图像不过原点，且关于原点对称，则m =___________.答案以及解析1.答案：A解析：由于函数()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，舍去；当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减.故选A. 2.答案：D解析：设幂函数的解析式为a y x =，∵幂函数()y f x =的图象过点222a =， 解得12a =-，∴12()f x x -=，故选D.3.答案：D解析：设幂函数()a f x x =， 图像过点()16,8，所以168a =，即4322a =，所以43a =，解得34a =.所以()3344f x x x =()0,+∞，且()f x 为增函数.由()()2f x f x <得20{ x x x ><，解得1x >.故选D4.答案：D解析：当21(Z)k k α=-∈时，函数()a g x x =是奇函数，()a g x x =在[],a b 上的值域是[]2,5，则()a g x x =在[],b a --上的值域是[]5,2--，所以()f x 在[],b a --上的值域是[]4,1--，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于-5；当2(Z)k k α=∈时，函数()f x 是偶函数，则()f x 在[],b a --上的值域是[]3,6，()f x 在[],b a --上的最大值与最小值之和等于9，故选D. 5.答案：C解析：设幂函数()y f x x α==，图像过点(3，33α=∴，12α=∴， ()12()0f x xx =≥∴，()1224441111log 2log 2log 2224f ===⨯=∴.故选C 6.答案：C解析：当0a <时，函数1y ax a =-是减函数，当0x =时，10y a =->，即函数1y ax a=-的图像与y 轴的交点在正半轴上，a y x =在(0,)+∞上是减函数，所以A ，D 均错误.对于B ，C ，若0a >，则1y ax a=-是增函数，故B 错误，C 正确. 7.答案：B解析：由于幂函数()223()1mm f x m m x+-=--在()0,+∞时是减函数，故有221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-，故选B ．8.答案：A解析：由于定义域为R ，排除1-和12，函数3y x y x ==,是奇函数且定义域为R. 9.答案：19解析：设幂函数()y x R αα=∈其函数图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭124α=∴解得2α=-2()y f x x -==∴ 1(3)9f =∴故答案为：1910.答案：4()f x x = 解析：因为幂函数223()m m f x x -++= (Z m ∈)为偶函 数，所以223m m -++为偶数.又()f x 在区间()0,+∞上单调递增，所以2230m m -++>，所以13m -<<. 又Z m ∈，223m m -++ 为偶数，所以1m =，所以4()f x x =.11.答案：32解析：由幂函数的定义得1k =，再将点122⎛ ⎝⎭212α⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而12α=，故32k α+=. 故答案为：32. 12.答案：-2解析：根据幂函数的定义得2331m m ++=，解得1m =-或2m =-，所以41y x =或31y x=.又因为函数图像关于原点对称，所以2m =-.。
2021新高考数学二轮复习专题练：小题满分限时练
限时练(一)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M ＝{x |x 2－2x ＜0}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，则M ∩N ＝( ) A.∅ B.{1}C.{0，1}D.{－1，0，1}解析 ∵M ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{－2，－1，0，1，2}，∴M ∩N ＝{1}. 答案 B2.设(2＋i)(3－x i)＝3＋(y ＋5)i(i 为虚数单位)，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.5B.13C.2 2D.2解析 易得6＋x ＋(3－2x )i ＝3＋(y ＋5)i(x ，y ∈R ). ∴⎩⎨⎧6＋x ＝3，3－2x ＝y ＋5，∴⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝4，故|x ＋y i|＝|－3＋4i|＝5. 答案 A3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 8＝0，S 11＝33，则公差d 的值为( ) A.1B.2C.3D.4解析 ∵a 2＋a 8＝2a 5＝0，∴a 5＝0， 又S 11＝（a 1＋a 11）×112＝11a 6＝33，∴a 6＝3，从而公差d ＝a 6－a 5＝3. 答案 C4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A.存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB.存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC.存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD.存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析 对于A ，a ∥α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以A 不是α∥β的一个充分条件.对于B ，a ⊂α，a ∥β，则平面α，β可能平行，也可能相交，所以B 不是α∥β的一个充分条件.对于C ，由a ∥b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α可得α∥β或α，β相交，所以C 不是α∥β的一个充分条件.对于D ，存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α，如图，在β内过b 上一点作c ∥a ，则c ∥α，所以β内有两条相交直线平行于α，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件.答案 D5.设双曲线的一条渐近线为方程y ＝2x ，且一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.54x 2－5y 2＝1 B.5y 2－54x 2＝1 C.5x 2－54y 2＝1D.54y 2－5x 2＝1解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a 2＋b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝55，b ＝255，所以双曲线方程为5x 2－54y 2＝1. 答案 C6.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“4名同学所报项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目，则P (A |B )的值为( ) A.14B.34C.29D.59解析 ∵P (B )＝3344，P (AB )＝A 3344， 由条件概率P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝A 3333＝29.答案 C7.在如图所示的△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，CD 上，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝60°，BD ＝2AD ，CE ＝2ED ，则向量BE →·AB→＝( )A.9B.4C.－3D.－6解析 根据题意，AB ＝3，BD ＝2AD ，则AD ＝1， 在△ADC 中，又由AC ＝2，∠BAC ＝60°， 则DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos ∠BAC ＝3， 即DC ＝3，所以AC 2＝AD 2＋DC 2， 则CD ⊥AB ，故BE →·AB →＝(BD →＋DE →)·AB →＝BD →·AB →＋DE →·AB →＝BD →·AB →＝3×2×cos 180°＝－6. 答案 D8.设定义在R 上的偶函数f (x )满足：f (x )＝f (4－x )，且当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，若a ＝f (2 022)，b ＝f (2 019)，c ＝f (2 020)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.c <a <bD.b <a <c解析 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (4－x )，则f (x )的周期为4，则a ＝f (2 022)＝f (2)，b ＝f (2 019)＝f (3)＝f (4－3)＝f (1)，c ＝f (2 020)＝f (0). 又当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －e x ＋1，知f ′(x )＝1－e x <0. ∴f (x )在区间[0，2]上单调递减， 因此f (2)<f (1)<f (0)，即a <b <c . 答案 B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·聊城模拟)已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A.C 的方程为x 23－y 2＝1 B.C 的离心率为 3C.曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D.直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点解析 ∵双曲线的渐近线为y ＝±33x ，∴设双曲线C 的方程为x 23－y 2＝λ(λ≠0).又双曲线C 过点(3，2)，∴323－(2)2＝λ，解得λ＝1，故A 正确.此时C 的离心率为3＋13＝233，故B 错误.双曲线C 的焦点为(－2，0)，(2，0)，曲线y ＝e x －2－1经过点(2，0)，故C 正确.把直线方程代入双曲线C 的方程并整理，得x 2－6x ＋9＝0，所以Δ＝0，故直线x －2y －1＝0与双曲线C 只有一个公共点，所以D 错误.故选AC. 答案 AC10.(2020·青岛质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ，x ∈R ，则( ) A.－2≤f (x )≤2B.f (x )在区间(0，π)上只有1个零点C.f (x )的最小正周期为πD.直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴解析 已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈R ，则－2≤f (x )≤2，A 正确；令2x －π6＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，则f (x )在区间(0，π)上有2个零点，B 错误；f (x )的最小正周期为π，C 正确；当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin(2×π3－π6)＝2，所以直线x ＝π3为函数f (x )图象的一条对称轴，D正确.故选ACD.答案ACD11.在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的竞赛成绩(单位：分)统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1 000C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5D.考生竞赛成绩的中位数约为75解析由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)的考生人数最多，所以A正确.不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000，所以B正确.考生竞赛成绩的平均数约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5，所以C正确.设考生竞赛成绩的中位数约为x0，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误.故选ABC.答案ABC12.下列结论正确的是()A.若a>b>0，c<d<0，则一定有b c> a dB.若x>y>0，且xy＝1，则x＋1y>y2x>log2(x＋y)C.设{a n}是等差数列，若a2>a1>0，则a2>a1a3D.若x∈[0，＋∞)，则ln(1＋x)≥x－1 8x2解析对于A，由c<d<0，可得－c>－d>0，则－1d>－1c>0，又a>b>0，所以－ad>－bc，则bc>ad，故A正确.对于B，取x＝2，y＝12，则x＋1y＝4，y2x＝18，log2(x＋y)＝log 252>1，故B 不正确.对于C ，由题意得a 1＋a 3＝2a 2且a 1≠a 3，所以a 2＝12(a 1＋a 3)>12×2a 1a 3＝a 1a 3，故C 正确.对于D ，设h (x )＝ln(1＋x )－x ＋18x 2，则h ′(x )＝11＋x －1＋x 4＝x （x －3）4（x ＋1），当0<x <3时，h ′(x )<0，则h (x )单调递减，h (x )<h (0)＝0，故D不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)与双曲线E ：x 2－y 2＝1的渐近线相切，则r ＝________.解析 ∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0.依题意，得r ＝21＋1＝1. 答案 114.已知等差数列{a n }，其前n 项和为S n .若a 2＋a 5＝24，S 3＝S 9，则a 6＝________，S n 的最大值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 由S 3＝S 9，得a 4＋a 5＋…＋a 9＝0，则a 6＋a 7＝0.又a 2＋a 5＝24，所以设等差数列{a n }的公差为d ，可得⎩⎨⎧a 1＋5d ＋a 1＋6d ＝0，a 1＋d ＋a 1＋4d ＝24，解得⎩⎨⎧a 1＝22，d ＝－4，所以a 6＝a 1＋5d ＝2，S n ＝－2n 2＋24n ＝－2(n －6)2＋72，故当n ＝6时，S n 取得最大值72. 答案 2 7215.若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则a ＝________. 解析 由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20，解得a ＝－14. 答案 －1416.(2020·河南百校大联考)魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”(如图所示)，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若“牟合方盖”的体积为163，则正方体的外接球的表面积为________.解析因为“牟合方盖”的体积为163，又正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4，所以正方体的内切球的体积V球＝π4×163＝43π.则内切球的半径r＝1，正方体的棱长为2.所以正方体的体对角线d＝23，因此正方体外接球的直径2R＝d＝23，则半径R＝ 3.所以正方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π(3)2＝12π.答案12π限时练(二)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i是虚数单位，复数z＝1－3i1＋i在复平面内对应的点位于()A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限解析z＝1－3i1＋i＝（1－3i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝－1－2i，∴复数z在复平面内对应的点(－1，－2)在第三象限.答案 B2.若集合A＝{x|x(x－2)＞0}，B＝{x|x－1≤0}，则A∩(∁R B)＝()A.{x|x＞1或x＜0}B.{x|1＜x＜2}C.{x|x＞2}D.{x|x＞1}解析易知A＝{x|x＞2或x＜0}，∁R B＝{x|x＞1}，∴A∩(∁R B)＝{x|x＞2}.答案 C3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表：根据上表可得到回归直线方程y ^＝0.75x ＋a ^，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为( ) A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元D.19.05万元解析 易知x －＝4，y －＝16.8.∵回归直线y ^＝0.75x ＋a ^过点(4，16.8)，∴a ^＝16.8－4×0.75＝13.8，则y ^＝0.75x ＋13.8.故7月份的销售额y ^＝0.75×7＋13.8＝19.05(万元). 答案 D4.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－x 43的展开式中的常数项为( ) A.－3 2B.3 2C.6D.－6解析 通项T r ＋1＝C r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 23－r(－x 4)r＝C r 3(2)3－r(－1)r x －6＋6r ， 当－6＋6r ＝0，即r ＝1时为常数项，T 2＝－6. 答案 D5.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 2＋b 3＋b 4＝9，则a 5＝( ) A.8B.16C.32D.64解析 由{a n }是等比数列，且b n ＝log 2a n ， ∴{b n }是等差数列，又b 2＋b 3＋b 4＝9，所以b 3＝3.由b 1＝log 2a 1＝1，知公差d ＝1，从而b n ＝n ， 因此a n ＝2n ，于是a 5＝25＝32. 答案 C6.(2020·青岛质检)某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.已知某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率是( ) A.112125B.80125C.113125D.124125解析 某单位举行诗词大会比赛，给每位参赛者设计了“保留题型”“升级题型”“创新题型”三类题型，每类题型均指定一道题让参赛者回答.某位参赛者答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相应独立，则该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率：P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫453＋C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫452⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝112125. 答案 A7.函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π，且x ≠0)的图象可能为( )解析 由f (－x )＝－f (x )及－π≤x ≤π，且x ≠0判定函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，B 选项；当x >0且x →0时，－1x →－∞，cos x →1，此时f (x )→－∞，排除C 选项，故选D. 答案 D8.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上的一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( ) A.13B.23C.1D.2解析 以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，∵BD→＝2DC →，∴BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，∴AD→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)， 所以AB →·AD→＝3×13＋0×233＝1. 答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·淄博模拟)甲、乙、丙三家企业的产品成本(万元)分别为10 000，12 000，15 000，其成本构成比例如图，则下列关于这三家企业的说法正确的是( )A.成本最大的企业是丙B.其他费用支出最高的企业是丙C.支付工资最少的企业是乙D.材料成本最高的企业是丙解析 由扇形统计图可知，甲企业的材料成本为10 000×60%＝6 000(万元)，支付工资10 000×35%＝3 500(万元)，其他费用支出为10 000×5%＝500(万元)； 乙企业的材料成本为12 000×53%＝6 360(万元)，支付工资为12 000×30%＝ 3 600(万元)，其他费用支出为12 000×17%＝2 040(万元)；丙企业的材料成本为15 000×60%＝9 000(万元)，支付工资为15 000×25%＝ 3 750(万元)，其他费用支出为15 000×15%＝2 250(万元).所以成本最大的企业是丙，其他费用支出最高的企业是丙，支付工资最少的企业是甲，材料成本最高的企业是丙.故选ABD.答案 ABD10.(2020·海南模拟)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，则下列说法正确的是( )A.φ＝π6B.函数f (x )的最小正周期为πC.函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0成中心对称D.函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12解析 由题意可知函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，所以sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以－π2＋φ＝π6，所以φ＝2π3∈(0，π)，A 错误；f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，令2x ＋2π3＝k π，k ∈Z ，则x ＝k π2－π3，k ∈Z ，C 错误；令2k π＋π2≤2x ＋2π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的一个单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知实数a >b >0，则下列不等关系正确的是( ) A.b a <b ＋4a ＋4B.lga ＋b 2>lg a ＋lg b2C.a ＋1b <b ＋1aD.a －b >a －b解析 对于A ，因为b a －b ＋4a ＋4＝b （a ＋4）－a （b ＋4）a （a ＋4）＝4（b －a ）a （a ＋4），又a >b >0，所以b a <b ＋4a ＋4，故A 正确；因为lg a ＋lgb 2＝lg ab ，又a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，由a >b >0，得a ＋b 2>ab ，所以lg a ＋b 2>lg ab ，即lg a ＋b 2>lg a ＋lg b2，故B 正确；因为a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a ＝(a －b )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )＋a －b ab ＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又a >b >0，所以a ＋1b －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1a >0，即a ＋1b >b ＋1a ，故C 错误；因为a >b >0，所以a－b >0，则(a －b )2＝a ＋b －2ab ，而(a －b )2＝a －b ，即(a －b )2－(a －b )2＝2b －2ab ＝2(b －ab )，又a >b >0，所以b －ab <0，所以(a －b )2<(a －b )2，即a －b <a －b ，故D 错误.故选AB. 答案 AB12.(2020·临沂模拟)已知点P 在双曲线C ：x 216－y 29＝1上，点F 1，F 2是双曲线C 的左、右焦点.若△PF 1F 2的面积为20，则下列说法正确的是( ) A.点P 到x 轴的距离为203 B.|PF 1|＋|PF 2|＝503 C.△PF 1F 2为钝角三角形 D.∠F 1PF 2＝π3解析 由双曲线C ：x 216－y 29＝1可得，a ＝4，b ＝3，c ＝5，不妨设P (x P ，y P )，由△PF 1F 2的面积为20，可得12|F 1F 2||y P |＝c |y P |＝5|y p |＝20，所以|y P |＝4，选项A 错误.将|y P |＝4代入双曲线C 的方程x 216－y 29＝1中，得x 2P16－429＝1，解得|x P |＝203.由双曲线的对称性，不妨设点P 在第一象限，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫203，4，可知|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫203－52＋（4－0）2＝133.由双曲线的定义可知|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝133＋8＝373，所以|PF 1|＋|PF 2|＝373＋133＝503，选项B 正确.在△PF 1F 2中，|PF 1|＝373>2c ＝10>|PF 2|＝133，且cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝－513<0，则∠PF 2F 1为钝角，所以△PF 1F 2为钝角三角形，选项C 正确.由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝319481≠12，所以∠F 1PF 2≠π3，选项D 错误.故选BC. 答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.某年级有1 000名学生，一次数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，P (95≤X ≤105)＝0.34，则该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为________.解析 ∵数学考试成绩服从正态分布X ～N (105，102)，∴考试成绩关于X ＝105对称.∵P (95≤X ≤105)＝0.34，∴P (X >115)＝12×(1－0.68)＝0.16，∴该年级学生此次数学成绩在115分以上的人数大约为0.16×1 000＝160. 答案 160 14.曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析 ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2，∴y ′＝x ＋2－x （x ＋2）2＝2（x ＋2）2，∴y ′|x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.答案 2x －y ＋1＝015.已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为________，此时S n ＝________.(本小题第一空3分，第二空2分)解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；……；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27 54616.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动，有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1－APC 的体积不变.其中，正确的是________(把所有正确判断的序号都填上). 解析 在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确.连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误.VD 1－APC ＝VC －AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1－APC 的体积不变，所以④正确. 答案 ①②④限时练(三)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河南联检)已知集合A ＝{x ∈N |x 2<8x }，B ＝{2，3，6}，C ＝{2，3，7}，则B ∪(∁A C )＝( ) A.{2，3，4，5} B.{2，3，4，5，6} C.{1，2，3，4，5，6}D.{1，3，4，5，6，7}解析 因为A ＝{x ∈N |0<x <8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，所以∁A C ＝{1，4，5，6}，所以B∪(∁A C)＝{1，2，3，4，5，6}.故选C.答案 C2.若z＝(3－i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，则z＝()A.163i B.6i C.203i D.20解析因为z＝3a＋2＋(6－a)i为纯虚数，所以3a＋2＝0，解得a＝－23，所以z＝203i.故选C.答案 C3.(2020·潍坊模拟)甲、乙、丙、丁四位同学各自对变量x，y的线性相关性进行试验，并分别用回归分析法求得相关系数r，如下表：哪位同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性？()A.甲B.乙C.丙D.丁解析由于丁同学求得的相关系数r的绝对值最接近于1，因此丁同学的试验结果能体现出两变量有更强的线性相关性.故选D.答案 D4.设a＝ln 12，b＝－5－12，c＝log132，则()A.c<b<aB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析由题意易知－a＝ln 2，－b＝5－12，－c＝log32.因为12＝log33<log32<ln 2<1，0<5－12<4－12＝12，所以－b<－c<－a，所以a<c<b.故选B.答案 B5.(2020·青岛质检)已知某市居民在2019年用手机支付的个人消费额ξ(元)服从正态分布N(2 000，1002)，则该市某居民在2019年用手机支付的消费额在(1 900，2 200]内的概率为()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3.A.0.975 9B.0.84C.0.818 6D.0.477 2解析 ∵ξ服从正态分布N (2 000，1002)，∴μ＝2 000，σ＝100，则P (1 900<ξ≤ 2 200)＝P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＋12[P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)]≈0.682 7＋12(0.954 5－0.682 7)＝0.818 6.故选C. 答案 C6.设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，斜率为k 的直线过F 交C 于点A ，B ，且AF →＝2FB →，则直线AB 的斜率为( ) A.2 2 B.2 3 C.±2 2D.±2 3解析 由题意知k ≠0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程消去x ，得y 2－2p k y －p 2＝0.不妨设A (x 1，y 1)(x 1＞0，y 1＞0)，B (x 2，y 2).因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.又y 1y 2＝－p 2.所以y 2＝－22p ，x 2＝p 4，所以k AB＝－22p －0p 4－p 2＝2 2.根据对称性，直线AB 的斜率为±2 2. 答案 C7.已知点A (1，0)，B (1，3)，点C 在第二象限，且∠AOC ＝150°，OC →＝－4OA →＋λOB →，则λ＝( ) A.12B.1C.2D.3解析 设|OC→|＝r ，则OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ，由已知，得OA →＝(1，0)，OB →＝(1，3)，又OC→＝－4OA →＋λOB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－32r ，12r ＝－4(1，0)＋λ(1，3)＝(－4＋λ，3λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－32r ＝－4＋λ，12r ＝3λ，解得λ＝1.答案 B8.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝3BD，将△ADE 沿DE折起，连接AB，AC，当四棱锥A－BCED体积最大时，二面角A－BC－D 的大小为()A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析因为AB＝AC，所以△ABC为等腰三角形，过A作BC的垂线AH，垂足为H，交DE于O，∴当△ADE⊥平面BCED时，四棱锥A－BCED体积最大.由DE⊥AO，DE⊥OH，AO∩OH＝O，可得DE⊥平面AOH，又BC∥DE，则BC⊥平面AOH，∴∠AHO为二面角A－BC－D的平面角，在Rt△AOH中，由AOOH＝ADDB＝3，∴tan∠AHO＝AOOH＝3，则二面角A－BC－D的大小为π3.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)“悦跑圈”是一款社交型的跑步应用，用户通过该平台可查看自己某时间段的运动情况.某人根据2019年1月至2019年11月每月跑步的里程(十公里)的数据绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是()A.月跑步里程数逐月增加B.月跑步里程数的最大值出现在9月C.月跑步里程的中位数为8月份对应的里程数D.1月至5月的月跑步里程数相于6月至11月波动性更小，变化比较平稳 解析 根据折线图可知，2月跑步里程数比1月小，7月跑步里程数比6月小，10月跑步里程数比9月小，A 错误.根据折线图可知，9月的跑步里程数最大，B 正确.一共11个月份，将月跑步里程数从小到大排列，根据折线图可知，跑步里程的中位数为8月份对应的里程数，C 正确.根据折线图可知D 正确.故选BCD. 答案 BCD10.下列各式中，值为12的是( ) A.sin 15°cos 15°B.cos 2π6－sin 2π6C.1＋cos π62D.tan 22.5°1－tan 222.5°解析 sin 15°cos 15°＝sin 30°2＝14，排除A ；cos 2π6－sin 2π6＝cos π3＝12，B 正确；1＋cos π62＝1＋322＝2＋32，排除C ；tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°，得tan 22.5°1－tan 222.5°＝12，D 正确.故选BD.答案 BD11.已知{a n }是等比数列，若a 6＝8a 3＝8a 22，则( )A.a n ＝2n －1B.a n ＝2nC.S n ＝2n －1D.S n ＝2n ＋1－2解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 6＝8a 3，得a 3·q 3＝8a 3，则q 3＝8，所以q ＝2.又8a 3＝8a 22，则a 2·q ＝a 22，又a 2≠0，所以a 2＝2，即a n ＝a 2q n －2＝2n －1，所以a 1＝1，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，故选AC.答案 AC12.数列{F n }：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{F n }的前n项和为S n，则下列结论正确的是()A.F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)B.S4＝F6－1C.S2 019＝F2 020－1D.S2 019＝F2 021－1解析根据题意有F n＝F n－1＋F n－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2 019＝F2 021－1.答案ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设a＝210＋1211＋1，b＝212＋1213＋1，则a，b的大小关系为________.解析法一由题意知，a－b＝210＋1211＋1－212＋1213＋1＝（210＋1）（213＋1）－（212＋1）（211＋1）（211＋1）（213＋1）＝3×210（211＋1）（213＋1）>0，故a>b.法二可考虑用函数的单调性解题.令f(x)＝2x＋12x＋1＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x＋1＋1，则f(x)在定义域内单调递减，所以a＝f(10)>b＝f(12).答案a>b14.(2020·深圳统测)很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123).已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为________.解析由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成的“递增型验证码”共有C410个，而首位数字是1的“递增型验证码”有C38个.因此某人收到的“递增型验证码”的首位数字是1的概率p＝C38C410＝415.答案4 1515.设双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的右焦点的坐标为________，离心率为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析如图，∵直线4x－3y＋20＝0过点F，∴F(－5，0)，半焦距c＝5，则右焦点为F2(5，0).连接PF2.设点A为PF的中点，连接OA，则OA∥PF2.∵|OP|＝|OF|，∴OA⊥PF，∴PF2⊥PF.由点到直线的距离公式可得|OA|＝205＝4，∴|PF2|＝2|OA|＝8.由勾股定理，得|FP|＝|FF2|2－|PF2|2＝6.由双曲线的定义，得|PF2|－|PF|＝2a＝2，∴a＝1，∴离心率e＝ca＝5.答案(5，0) 516.(2020·厦门质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点N是棱A1B1的中点，点T是棱CC1上靠近点C的三等分点，动点Q在侧面D1DAA1(包含边界)内运动，且QB∥平面D1NT，则动点Q所形成的轨迹的长度为________.解析因为QB∥平面D1NT，所以点Q在过点B且与平面D1NT平行的平面内，如图，取DC的中点E1，取A1G＝1，则平面BGE1∥平面D1NT.延长BE1，交AD 的延长线于点E，连接EG，交DD1于点I.显然，平面BGE∩平面D1DAA1＝GI，所以点Q的轨迹是线段GI.∵DE1綊12AB，∴DE1为△EAB的中位线，∴D为AE的中点.又DI∥AG，∴DI＝12AG＝1，∴GI＝（2－1）2＋32＝10.答案10限时练(四)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A＝{x|y＝log2(x－2)}，B＝{x|x2≥9}，则A∩(∁R B)＝()A.[2，3)B.(2，3)C.(3，＋∞)D.(2，＋∞)解析A＝{x|y＝log2(x－2)}＝(2，＋∞)，∵B＝{x|x2≥9}＝(－∞，－3]∪[3，＋∞)，∴∁R B＝(－3，3)，则A∩(∁R B)＝(2，3).答案 B2.设x，y∈R，i为虚数单位，且3＋4iz＝1＋2i，则z＝x＋y i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析z＝3＋4i1＋2i＝（3＋4i）（1－2i）5＝115－25i，则z－＝115＋25i，z－对应点⎝⎛⎭⎪⎫115，25在第一象限.答案 A3.(2020·福建漳州适应性测试)如图是某地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该地区从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n}，{a n}的前n项和为S n，则下列说法中正确的是()A.数列{a n}是递增数列B.数列{S n}是递增数列C.数列{a n}的最大项是a11D.数列{S n}的最大项是S11解析因为1月28日新增确诊人数小于1月27日新增确诊人数，即a7>a8，所以{a n }不是递增数列，所以A 错误；因为2月23日新增确诊病例数为0，所以S 33＝S 34，所以数列{S n }不是递增数列，所以B 错误；因为1月31日新增病例数最多，从1月21日算起，1月31日是第11天，所以数列{a n }的最大项是a 11，所以C 正确；由a n ≥0，知S n ＋1≥S n ，故数列{S n }的最大项是最后一项，所以D 错误.故选C. 答案 C4.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A.112B.12C.13D.16解析 大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n ＝C 24A 33＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝A 33＋C 23A 22＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率p ＝m n ＝1236＝13. 答案 C5.(2020·荆门模拟)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12＋12x 7的展开式中，有理项的项数为( ) A.1B.2C.3D.4解析 该二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 7x7－r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·x 7－3r 2，r ＝0，1，2，…，7.当r ＝1，3，5，7时，T r ＋1为有理项，共有4项.故选D. 答案 D6.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6解析 以A 为原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，∴AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，A 1C →＝(0，2，－2)， ∴cos 〈AD →，A 1C →〉＝AD →·A 1C →|AD →||A 1C →|＝12，∴〈AD →，A 1C →〉＝π3. 答案 B7.已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB→|＝2，OC →＝13OA →＋23OB →，若M是线段AB 的中点，则OC →·OM →的值为( )A. 3B.2 3C.2D.3解析 由OC→＝13OA →＋23OB →，又OM →＝12(OA →＋OB →)， 所以OC →·OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OB →·12(OA →＋OB →)＝16(OA →2＋2OB →2＋3OA →·OB →)， 又△OAB 为等边三角形，所以OA →·OB →＝2×2cos 60°＝2，OA →2＝4，OB →2＝4，所以OC →·OM →＝3. 答案 D8.(2020·天津适应性测试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，2x －4x ，x >0.若函数F (x )＝f (x )－|kx －1|有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫916，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－116，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，916解析 当k ＝12时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥2，1－12x ，x <2.作出函数y ＝f (x )与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x －1的图象，如图.此时两函数的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除B ，C.当k ＝－120时，|kx －1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧－120x －1，x ≤－20，1＋120x ，x >－20，作出函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象，如图.由图可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－120x －1的图象有且只有3个交点，此时F (x )有且只有3个零点，排除A.故选D. 答案 D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知0<c <1，1>a >b >0，则下列不等式成立的是( )A.c a <c bB.a a ＋c <b b ＋cC.ba c >ab cD.log a c >log b c解析 构造函数y ＝c x ，因为0<c <1，所以函数y ＝c x 是减函数，而a >b >0，根据指数函数的单调性得c a<c b，故A 正确；由题意得a ＋c a ＝1＋c a ，b ＋c b ＝1＋cb ，因为0<c <1，1>a >b >0，所以0<c a <c b ，即0<a ＋c b <b ＋c b ，取倒数得a a ＋c >b b ＋c ，故B 错误；由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c <a b ，整理得ba c <ab c ，故C 错误；由已知得log a c >0，log b c >0，又0<log c a <log c b ，所以1log c a >1log c b ，则log a c >log b c ，故D 正确.故选AD.答案 AD10.已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数f (x )的对称中心可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，1 解析 由图象知A ＝3＋12＝2，B ＝3－12＝1，又T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π12＝π，所以ω＝2.由2×π12＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )且|φ|<π2，得φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝－π6＋k π2(k ∈Z )，取k ＝0，有x ＝－π6；k ＝1，x ＝π3. 答案 CD11.对于函数f (x )＝ln xx ，下列说法正确的是( )A.f (x )在x ＝e 处取得极大值1eB.f (x )有两个不同的零点C.f (4)＜f (π)＜f (3)D.π4＜4π解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.∴f (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，因此f (x )在x ＝e 处取得极大值f (e)＝1e ，A 正确.令f (x )＝0，解得x ＝1，故函数f (x )有且仅有一个零点，B 错误.由f (x )在(e ，＋∞)上单调递减，得f (4)＜f (π)＜f (3)，则C 正确.因为f (4)＜f (π)，即ln 44＜ln ππ，所以ln 4π＜ln π4，则4π＜π4，D 错误.综上知，正确的为AC. 答案 AC12.(2020·烟台诊断)已知P 是双曲线C ：x 23－y 2m ＝1(m >0)上任意一点，A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点.设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，则下列说法正确的是( )A.双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1 B.双曲线C 的离心率为2C.函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D.直线2x －3y ＝0与双曲线C 有两个交点解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2).由A ，B 是双曲线C 上关于坐标原点对称的两点，得B (－x 1，－y 1)，则x 213－y 21m ＝1，x 223－y 22m ＝1.两式相减，得x 21－x 223＝y 21－y 22m ，所以y 21－y 22x 21－x 22＝m 3.又直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，所以k 1k 2＝y 1－y 2x 1－x 2×－y 1－y 2－x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝m3.所以|k 1|＋|k 2|≥2|k 1||k 2|＝2m3，当且仅当|k 1|＝|k 2|时取等号.又|k 1|＋|k 2|≥t 恒成立，且实数t 的最大值为233，所以2m 3＝233，解得m ＝1.因此双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1，则A 项正确.因为a ＝3，b ＝1，所以c ＝a 2＋b 2＝2，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23＝233，则B 项不正确.双曲线C 的左、右焦点分别为(－2，0)，(2，0)，而当x ＝2时，y ＝log a (2－1)＝log a 1＝0，所以函数y ＝log a (x －1)(a >0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点(2，0)，则C 项正确.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 23－y 2＝1消去y ，得x 2＝－9，此方程无实数解，所以直线2x －3y ＝0与双曲线C 没有交点，则D 项不正确.故选AC. 答案 AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确的答案填写在各小题的横线上.13.设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和.已知S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝5，则数列{a n }的通项公式为________.解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，则由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1S 4，即(2a 3－3d )2＝(a 3－2d )·(4a 3－2d ).又a 3＝5，所以(10－3d )2＝(5－2d )(20－2d )，解得d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. 答案 a n ＝2n －114.已知点E 在y 轴上，点F 是抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，直线EF 与抛物线交于M ，N 两点，若点M 为线段EF 的中点，且|NF |＝12，则p ＝________. 解析 由题意知，直线EF 的斜率存在且不为0，故设直线EF 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与抛物线方程y 2＝2px 联立，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋p 2k 24＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，点M 为线段EF 的中点，得x 1＝p 22＝p 4.由|NF |＝x 2＋p 2＝12，得x 2＝12－p2.由x 1x 2＝p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12－p 2＝p 24，得p ＝8或p ＝0(舍去).答案 815.(2020·长郡中学适应性考试)如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在面ABB 1A 1和面ABCD 内作弧MN 和NE ，并将两弧各五等分，分点依次为M ，P 1，P 2，P 3，P 4，N 以及N ，Q 1，Q 2，Q 3，Q 4，E .一只蚂蚁欲从点P 1出发，沿正方体的表面爬行至点Q 4，则其爬行的最短距离为________.(参考数据：cos 9°≈0.987 7，cos 18°≈0.951 1，cos 27°≈0.891 0)解析 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，E 分别为棱AA 1，AB ，AD 的中点，以A 为圆心，1为半径，分别在平面ABB 1A 1和平面ABCD 内作弧MN 和NE .将平面ABCD 绕AB 旋转至与平面ABB 1A 1共面的位置，如图(1)，则∠P 1AQ 4＝180°10×8＝144°，所以P 1Q 4＝2sin 72°.将平面ABCD 绕AD 旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，将ABB 1A 1绕AA 1旋转至与平面ADD 1A 1共面的位置，如图(2)，则∠P 1AQ 4＝90°5×2＋90°＝126°，所以P 1Q 4＝2sin 63°.因为sin 63°<sin 72°，且由诱导公式可得sin 63°＝cos 27°，所以最短距离为|P 1Q 4|＝2sin 63°≈2×0.891 0＝1.782 0.图(1)图(2)答案 1.782 016.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＜a ，x 2，x ≥a ，若函数f (x )在R 上是单调的，则实数a 的取值范围是________；若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，则实数a 的取值范围是________(本小题第一空2分，第二空3分).解析 令x ＋2＝x 2，得x ＝－1或x ＝2.作出函数y ＝f (x )的图象如图所示，若函数f (x )在R 上单调，只需a ≥2.若对任意的实数x 1＜a ，总存在实数x 2≥a ，使得f (x 1)＋f (x 2)＝0，可得x 1＋2＋x 22＝0，即－x 22＝x 1＋2，即有a ＋2≤0，解得a ≤－2.答案 [2，＋∞) (－∞，－2]限时练(五)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数z ＝i1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A.12B.－12C.12iD.－12i解析 z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝i 2＋12，∴z 的虚部为12.答案 A 2.已知集合A ＝{－1，0，1，2，3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x －2x ＋1≥0，则A ∩B 中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由x －2x ＋1≥0，得x ≥2或x ＜－1，则B ＝{x |x ≥2，或x ＜－1}，∴A ∩B ＝{2，3}，A ∩B 中有2个元素.答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x ≤0，2x ＋1，x ＞0，则f (－2)＋f (1)＝( )A.6＋32B.6－32C.72D.52解析 f (－2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝12，f (1)＝21＋1＝3.∴f (－2)＋f (1)＝3＋12＝72. 答案 C4.在某项检测中，测量结果服从正态分布N (2，1)，若P (X <1)＝P (X >1＋λ)，则λ＝( ) A.0B.2C.3D.5解析 依题意，正态曲线关于x ＝2对称，又P (X <1)＝P (X >1＋λ)，因此1＋λ＝3，∴λ＝2. 答案 B5.(2020·天津适应性测试)如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为36，E 为棱CC 1上的点，且CE ＝2EC 1，则三棱锥E －BCD 的体积是( )A.3B.4C.6D.12解析 ∵CE ＝2EC 1，∴V E －BCD ＝13×12×23×V ABCD －A 1B 1C 1D 1＝19×36＝4.故选B. 答案 B6.函数f (x )＝x 2－2ln|x |的图象大致是( )。
人教版新高考数学二轮复习习题训练--专题突破练1 常考小题点过关检测(word版含解析)
专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x 2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=B B.A ∩B={0} C.A ∪B=A D.A ⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x ≤1},Q={y|y=x 2+2x },则P ∪(∁R Q )=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·河北保定一模)设a ,b ∈R ,则“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+b i(a ∈R ,b ∈R )对应向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),设|OZ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ,以x 轴的非负半轴为始边,射线OZ 为终边的角为θ,则z=r (cos θ+isin θ).法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z n =[r (cos θ+isin θ)]n =r n (cos n θ+isin n θ),则(-1+√3i)10=( ) A.1 024-104√3i B.-1 024+1 024√3i C.512-512√3iD.-512+512√3i5.(2021·东北三校第一次联考)土楼有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊脚楼等类型.某大学建筑系学生对这七种主要类型的土楼依次进行调查研究.在制定调查顺序时,要求将圆形排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有( )种不同的排法. A.480B.240C.384D.1 4406.(2021·河北唐山一模)记(x +12x)4展开式的偶数项之和为P ,则P 的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD 中,O 为两条对角线的交点,E 为BC 边上的动点.若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),则2λ+1μ的最小值为( ) A.2B.5C.92D.1438.(2021·山东日照一中月考)已知f (x )=x 2+4x+1+a ,且对任意x ∈R ,f (f (x ))≥0恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A.[√5-12,+∞) B.[2,+∞) C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a =(2,-4),b =(-6,12),那么下列结论正确的是( ) A.|b |=3|a |B.a ∥bC.a 与b 的夹角为30°D.a ·b =-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则 ( )A.2a-b >1B.log 2a-log 2b>1C.2a +2b >8D.log 2a ·log 2b<111.(2021·山东临沂模拟)在下列四个条件中,能成为x>y 的充分不必要条件的是( ) A.xc 2>yc 2 B.1x<1y<0 C.|x|>|y| D.ln x>ln y12.(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m ,圆柱的表面积与球的表面积之比为n ,若f (x )=(mn x 3-1x )8,则( ) A.f (x )的展开式中的常数项是56 B.f (x )的展开式中的各项系数之和为0 C.f (x )的展开式中的二项式系数最大值是70 D.f (i)=-16,其中i 为虚数单位三、填空题13.(2021·福建厦门双十中学月考)设复数z 满足z=4i 1+i,则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第象限.14.(2021·上海嘉定二模)将(x √x)7的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 .15.(2021·浙江嘉兴二模)为满足某度假区游客绿色出行需求,某电力公司在该度假区停车楼建设了集中式智慧有序充电站,充电站共建设901个充电桩,其中包括861个新型交流有序充电桩、37个直流充电桩以及3个专门满足新能源大巴快速补电需求的大功率直流充电桩.现有A ,B ,C ,D ,E ,F 六辆新能源大巴,需要安排在某周一的上午或下午在甲、乙、丙3个新能源大巴大功率直流充电桩充电,每个充电桩在上午和下午均只安排一辆大巴充电.若要求A ,B 两大巴不能同时在上午充电,而C 大巴只能在下午充电,且F 大巴不能在甲充电桩充电,则不同的充电方案一共有 种.(用数字作答) 16.(2021·辽宁葫芦岛一模)在边长为2的正三角形ABC 中,D 是BC 边的中点,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE 交AD 于点F.若BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y= ;BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ = .专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析: 由题设得B={0,2},所以A ≠B ,A ∩B={0},A ∪B ≠A ,A 不是B 的子集.2.D 解析: 因为Q={y|y=x 2+2x }={y|y=(x+1)2-1}={y|y ≥-1},所以∁R Q={y|y<-1}, 又P={x|-3≤x ≤1},所以P ∪(∁R Q )={x|x ≤1}.3.B 解析: ∵|a+b i |=|1+i |,∴√a 2+b 2=√12+12,即a 2+b 2=2. ∵a 2+b 2=2a=b=1,而a=b=1⇒a 2+b 2=2,∴“a 2+b 2=2”是“a=b=1”的必要不充分条件,即“|a+b i |=|1+i |”是“a=b=1”的必要不充分条件.4.D 解析: 由题意,得(-1+√3i)10=210cos (10×2π3)+isin 10×2π3=1 024cos 20π3+isin 20π3=1 024(-12+√32i)=-512+512√3i .5.A 解析: 当圆形排在第一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.同理,当圆形排在最后一个时,有A 55A 22=240种不同的排法.综上,圆形要排在第一个或最后一个,方形、五角形相邻,则共有480种不同的排法.6.B 解析: 由已知得x ≠0,则x 2>0,所以P=C 41x 3·12x+C 43x·(12x )3=2x 2+12x 2≥2√1=2,当且仅当2x 2=12x 2即x=±√22时等号成立. 7.C 解析: 如图所示,以A 为原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系. 设正方形的边长为1,则A (0,0),B (1,0),C (1,1),D (0,1),于是可得O (12,12).设点E 的坐标为(1,m )(0≤m ≤1),则由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μDO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0,μ>0),可得(1,m )=λ(1,1)+μ(12,-12)(λ>0,μ>0),所以1=λ+12μ(λ>0,μ>0),则2λ+1μ=(2λ+1μ)(λ+12μ)=2+12+μλ+λμ≥52+2√μλ·λμ=92,当且仅当{ λμ=μλ,1=λ+12μ,λ>0,μ>0,即λ=μ=23时取等号,此时2λ+1μ的最小值为92.经检验,此时m=13∈[0,1]符合题意.8.B解析: 由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD解析: 因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD解析: 因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=83,b=32,则log2a-log2b=log2ab=log2169<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2√2a·2b=2√2a+b,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2√ab=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥2√2a+b≥2√24=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b≤(log2a+log2b)24=[log2(ab)]24=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD解析: 对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;对于B选项:由1x<1y<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出1x<1y<0(因为x,y的正负不确定),所以“1x<1y<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意; 对于D选项:若ln x>ln y,则x>y,而由x>y不能推出ln x>ln y,所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC解析: 设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=πr2·2r43πr3=32,n=2πr2+2πr·2r4πr2=32,所以mn=1,所以f(x)=(x3-1x)8.对于A,f(x)展开式通项为T r+1=C8r x24-3r·(-1x )r=(-1)r C8r x24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6C86=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确; 对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为C84=70,C正确;对于D,f (i)=(i 3-1i )8=(-i +i)8=0,D 错误. 13.四 解析: 因为z=4i1+i =4i (1-i )(1+i )(1-i )=4i (1-i )2=2i(1-i)=2i -2i 2=2+2i,所以z =2-2i,所以共轭复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.14.114解析: (x +1√x )7的展开式的通项为T r+1=C 7r x 7-r ·x -12r =C 7r x 7-32r ,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有A 44A 54=2 880种情况,全部的情况有A 88=40 320种,故所求概率P=A 44A 54A 88=2 88040 320=114.15.168 解析: 先排F 大巴,第一种方案,F 大巴在上午充电,有C 21种可能情况,此时再排C大巴,C 大巴在下午充电,有C 31种可能情况,再排A ,B 大巴,又分A ,B 大巴同在下午和一个上午、一个下午两种情况,有(A 22+C 21C 21C 21)种可能情况;第二种方案,F 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,此时再排C 大巴,C 大巴在下午充电,有C 21种可能情况,再排A ,B 大巴,只能一个上午、一个下午,有C 21C 31种可能情况.最后再排剩下的两辆大巴,有A 22种可能情况,故共有[C 21C 31(A 22+C 21C 21C 21)+C 21C 21C 21C 31]A 22=168种不同的充电方案. 16.35 -715解析: 如图,过点E 作EM ∥AD 交BC 于点M ,由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得EM=13AD ,BM=13BD ,MD=23BD ,又D 是BC 边的中点,得DC=35MC ,∴FD=35EM ,故FD=15AD ,即AF=45AD ,所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =45AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =45(BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=45(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −45BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故x+y=35.易知DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 由已知得BA=BC=2,<BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2×cos 60°=2.所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(15BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ -12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=115BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−15BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+130BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =115×4-15×4+130×2=-715.。
导数与函数的单调性、极值、最值问题(分层训练)2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练(原卷版)
解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题A 组 考点专练一、选择题1.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝2处的切线与直线ax －y －1＝0平行，则实数a ＝( )A.－1B.14C.12D.12.函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3.已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e，则f (x )的极大值点为( ) A.1e B.1 C.e D.2e4.已知函数f (x )＝13x 3＋mx 2＋nx ＋2，其导函数f ′(x )为偶函数，f (1)＝－23，则函数g (x )＝f ′(x )e x 在区间[0，2]上的最小值为( )A.－3eB.－2eC.eD.2e5.(多选题)已知定义在⎣⎡⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (0)＝0，f ′(x )cos x ＋f (x )sin x <0，则下列判断中正确的是( )A.f ⎝⎛⎭⎫π6<62f ⎝⎛⎭⎫π4B.f ⎝⎛⎭⎫ln π3>0C.f ⎝⎛⎭⎫π6>3f ⎝⎛⎭⎫π3 D.f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3二、填空题6.若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝________.7.已知定义在R 上的可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且f (0)＝12，则不等式f (x )－12e x <0的解集为________.8.若函数f (x )与g (x )满足：存在实数t ，使得f (t )＝g ′(t )，则称函数g (x )为f (x )的“友导”函数.已知函数g (x )＝12kx 2－x ＋3为函数f (x )＝x 2ln x ＋x 的“友导”函数，则k 的取值范围是________. 三、解答题9.已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明：(1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.10.已知函数f (x )＝ax －1－ln x (a ∈R ).(1)讨论函数f (x )在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的最大值.B组专题综合练11.(多选题)已知函数f(x)＝e x＋a ln x，其中正确的结论是()A.当a＝0时，函数f(x)有最大值B.对于任意的a<0，函数f(x)一定存在最小值C.对于任意的a>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增D.对于任意的a>0，都有函数f(x)>012.已知函数f(x)＝ln x－x e x＋ax，其中a∈R.(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若a＝1，求f(x)的最大值.。
专题1-1 集合及集合思想应用(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)
专题1-1 集合及集合思想应用目录讲高考 (1)题型全归纳 ................................................................................................................................................... 3 【题型一】集合中元素表示 ................................................................................................................... 3 【题型二】集合元素个数 ........................................................................................................................ 4 【题型三】知识点交汇处的集合元素个数........................................................................................ 5 【题型四】由元素个数求参 ................................................................................................................... 7 【题型五】子集关系求参 ........................................................................................................................ 8 【题型六】集合运算1：交集运算求参 .......................................................................................... 10 【题型七】集合运算2：并集运算求参 .......................................................................................... 12 【题型八】集合运算3：补集运算求参 .......................................................................................... 13 【题型九】应用韦恩图求解 ................................................................................................................ 15 【题型十】集合中的新定义 ................................................................................................................ 18 专题训练 .. (20)讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()UA B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-, 所以(){}U 2,0A B ⋃=-. 故选：D.2.（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ） A ．∅ B ．S C ．T D ．Z 【答案】C【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中Z n ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆， 因此，S T T =. 故选：C.3．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤.故选：B.4．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.5．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()UM N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =，则(){}5U M N =.故选：A.6．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么E F 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E ，F ，再利用交集的运算求解.【详解】∵5{cos sin ,02}44E πθθθθπθθπ⎧⎫=<≤≤=<<⎨⎬⎩⎭∣∣， {}tan sin ,2F k k k πθθθθπθππ⎧⎫=<=+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，∵2E F πθθπ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣.故选：A.7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34π B ．π C ．2π D ．3π 【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且2362332BO =⨯⨯=，故361226PO =-=.因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M N B ．M N C ．M N ⊆ D ．M N【答案】B 【分析】对于集合N ，令2()k m m =∈Z 和21()k m m Z =-∈，即得解. 【详解】{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈， 对于集合N ，当2()k m m =∈Z 时，22m x ππ=+，m Z ∈； 当21()k m m Z =-∈时，24m x ππ=+，m Z ∈．M N ∴，故选：B ．1.以下四个写法中：∵ {}00,1,2∈；∵{}1,2∅⊆；∵{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；∵A A ⋂∅=，正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C对于∵，{}00,1,2∈正确；对于∵，因为空集是任何集合的子集，所以{}1,2∅⊆正确；对于∵，根据集合的互异性可知{}{}0,1,2,3=2,3,0,1正确；对于∵， A ∅=∅，所以A A⋂∅=不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.2.下面五个式子中：∵{}a a ⊆；∵{}a ∅⊆；∵{a }∈{a ，b }；∵{}{}a a ⊆；∵a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ） A ．∵∵∵ B ．∵∵∵∵ C ．∵∵ D ．∵∵ 【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案. ①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确； {}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确； a 是{},,b c a 的元素，所以⑤正确. 故选：A.3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3 【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值. 0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∵0a =或3a =均可以.故选：C【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】B 【分析】解指数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数. 【详解】 由113381x -<≤得411333x --<≤，411x -<-≤，解得32x -<≤，所以{}2,1,0,1,2A =--.由203x x +<-解得23x -<<，所以{}1,0,1,2B =-.所以{}|,,z z xy x A y B =∈∈{}2,0,2,4,1,1,4=---，共有7个元素.故选：B. 例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______． 【答案】11； 682． 【详解】 试题分析：当时，，，即，，由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，1.若集合{}2N log3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【分析】分别求出集合,A B ，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．由题意得，{}{}081,2,3,4,5,6,7A x x =∈<<=N ，{}3B x x =≥，故{}3,4,5,6,7A B =，有5个元素. 故选：C2.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为A ．3B ．4C ．6D ．9 【答案】B【分析】根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数.因为x A ∈，y A ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.3.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D{}{}{}2**|70,|07,1,2,3,4,5,6A x x x x x x x =-<∈=<<∈=N N , {}*6|,1,2,3,6B y y A y ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭N ,则B 中的元素个数为4个.本题选择D 选项.【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个 【答案】C求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，其中关于直线y x =对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值．因为(2,3)S ∈,S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =对称，所以(2,3),(2,3),(2,3),(3,2),(32),S S S S S --∈-∈-∈∈--∈，(32),S ∈，-(32),S -∈，所以S 中的元素个数至少有8个， 故选：C.例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】将1111=()i j i j AB A A A B B B ++代入11i j A B A B ⋅,结合111j A B A A ⊥和111j A B B B ⊥({}2,3,4j ∈)化简即可得出集合中元素的个数.∵当11i j A B A B ≠时 正方体12341234A A A A B B B B -∴111j A B A A ⊥ 故:1110j A B A A ⋅= ({}2,3,4j ∈)∴111j A B B B ⊥ 故:1110j A B B B ⋅= ({}2,3,4j ∈)1111()i j i j A B A A A B B B =++∴11111111()i j i j A B A B A B A A A B B B ⋅=⋅++2111111111j j A B A A A B A B B B =⋅++⋅= {}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.∵11=i j A B A B 时.2111111111i j x A B A B A B A B A B =⋅=⋅==此时{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.综上所述, {}{}{|,1,2,3,4,1,2,3,4}x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.故选:A.1.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( ) A ．11 B ．9 C ．6 D ．4 【答案】A【分析】由题意可得出：x 从1-,0,1任选一个；或者x 从2-,2任选一个；结合题中条件,确定对应的选法，即可得出结果．解：根据条件得：x 从1-,0,1任选一个,y 从而1-,0,1任选一个,有9种选法； 2x =-或2时,0y = ,有两种选法；共11种选法； ∴C 中元素有11个． 故选A ．2.已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为 A ．77 B ．49C ．45D ．30【答案】C因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．3.若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0=t 时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．【题型四】由元素个数求参【讲题型】例题1.若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或4 【答案】A2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选 考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系. 例题2.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则 A ．8k > B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥【答案】C试题分析：因为{}21log A x N x k =∈<<中到少有3个元素，即集合A 中一定有2,3,4三个元4【练题型】1.已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ） A ．0 B ．0或2- C ．0或2 D ．2 【答案】C 【分析】根据题意转化为抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，只需2480a a =-=△即可求解.若A 中只有一个元素，则只有一个实数满足2220x ax a ++≤，即抛物线222y x ax a =++与x 轴只有一个交点，∵2480a a =-=△，∵0a =或2.故选：C 2.．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥ 【答案】A先理解题意，然后分∵当11x =±,10y =时,∵当10x =,11y =±时, ∵当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,∵当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----, 123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,∵当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---, 124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第∵种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个, ∵当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个, 综合∵∵∵可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个, 故选:A.3.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定【答案】B因为A 中只有一个元素，所以方程2210ax x ++=只有一个根，当a=0时，12x =-;当0a ≠时，440,1a a ∆=-==，所以a=0或1.【题型五】子集关系求参【讲题型】例题1.已知集合{}(){}1,0A B x x x a ==-<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞ D ．()2,+∞【答案】D【分析】先化简集合A ，,B 再根据A B ⊆得解. 【详解】112x =>≤≤，故[]1,2A =， 当0a <时，(,0)B a =，显然不满足A B ⊆； 当0a =时，B =∅，显然不满足A B ⊆；当0a >时，(0,)B a =，若2A B a ⊆⇒>.故选：D例题2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）. A ．(],2-∞B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B先化简集合A ，再由B A ⊆建立不等式组即可求解 【详解】{}{}223013A x x x x x =--<=-<<，由B A ⊆且B 为非空集合可知，应满足211312a a a a-≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>-，解得1,22a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选：B1.若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ） A ．{}|27a a ≤≤ B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅【答案】C考虑A =∅和A ≠∅两种情况，得到21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得答案.【详解】当A =∅时，即2135a a +>-，6a <时成立；当A ≠∅时，满足21353516215a a a a +≤-⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，解得67a ≤≤；综上所述：7a ≤.故选：C.2. {}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．23m ≤≤ C ．3m ≤ D ．23m <<【答案】C由B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，利用相应的不等式（组），即可求解. 【详解】由题意，集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，因为B A ⊆， （1）当B =∅时，可得121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆，符合题意；（2）当B ≠∅时，由B A ⊆，则满足12121215m m m m +≤-⎧⎪-≤+⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤. 故选：C.3.已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ）A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【答案】A解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-；∵当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意；∵当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =；综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：A .【题型六】集合运算1：交集运算求参【讲题型】例题1.已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若AB =∅，则实数=a （ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1 【答案】A【分析】将问题转化为“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行”，由此求解出a 的取值.【详解】因为A B =∅，所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=没有交点， 所以直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ++-=互相平行，所以()1230a a a ⨯+-⨯=，解得1a =-或3a =，当1a =-时，两直线为：10x y -+=，10x y -+-=，此时两直线重合，不满足， 当3a =时，两直线为：330x y +-=，3910x y +-=，此时两直线平行，满足， 所以a 的值为3， 故选：A.例题2.已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0-- 【答案】D【分析】先求出集合A ，由A B B =得到B A ⊆，再分类讨论a 的值即可.【详解】{}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为A B B =，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆； 当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-， 综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D .1.已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]1,4C ．[)1,+∞D ．[)4,+∞ 【答案】D由A B A =可得出A B ⊆，可知B ≠∅，解出集合B ，结合题意可得出关于实数m 的不等式，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】A B A =且{}12A x x =<<，则A B ⊆，B ∴≠∅. 若0m <，则20m x -<，可得B =∅，不合乎题意；若0m ≥，则{{B x y x x ==，2≥，解得4m ≥.因此，实数m 的取值范围是[)4,+∞.故选：D.2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4 【答案】B【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.3.已知集合(){}22240,(1)2101x A xB x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．{}()12,∞⋃+ C ．{}[)12,+∞D ．[)2,+∞【答案】C【分析】先解出集合A ，考虑集合B 是否为空集，集合B 为空集时合题意，集合B 不为空集时利用24a 或211a +-解出a 的取值范围.【详解】由题意(]40141x A x x ⎧⎫-==-⎨⎬+⎩⎭，，(){}()(){}2222(1)210210B x x a x a a x x a x a ⎡⎤=-+++<=--+<⎣⎦，当B =∅时，221a a =+，即1a =，符合题意；当B ≠∅，即1a ≠时，()22,1B a a =+，则有24a 或211a +-，即 2.a综上，实数a 的取值范围为{}[)12,+∞.故选：C.【题型七】集合运算2：并集运算求参【讲题型】例题1..已知{|A x y ==，{}2|220B x x ax a =-++≤，若A B A ⋃=，那么实数a的取值范围是（ ） A ．(12)-， B ．182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．181,7⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由题意,可先化简集合A,再由A B A ⋃=得B A ⊆,由此对B 的集合讨论求a,由于集合B 可能为空集,可分两类探讨,当B 是空集时,与B 不是空集时,分别解出a 的取值范围,选出正确选项【详解】解：由题意,{|{|14}A x y x x ===, 由A B A ⋃=得B A ⊆又2{|220}B x x ax a =-++≤当B 是空集时,符合题意,此时有24480a a =--＜解得12a -＜＜当B 不是空集时,有2448014122016820a a a a a a a ⎧∆=--⎪⎪⎨-++⎪⎪-++⎩解得1827a ≤≤综上知,实数a 的取值范围是181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦故选：D例题2.设常数a∵R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A∵B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣∞，2] C ．（2，+∞） D ．[2，+∞） 【答案】B【详解】试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.1.设集合{}2|(3)30A x x a x a =-++=，{}2|540B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{0}B ．{03}，C ．{013,4}，，D ．{13,4}，【答案】C【详解】试题分析：B={1,4},2(3)30x a x a -++=两根是x=3，x=a ，当a=0、1、3、4时，满足集合A B ⋃中所有元素之和为8，故选C.2.非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ）A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【分析】由题知{}1,2A B ==，进而构造函数()21f x x mx =-+，再根据零点存在性定理得()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，解不等式即可得答案. 【详解】解：由题知{}0{|}13,2A x N x =∈<=<，因为A B A B =，所以A B =，所以{}2{|10,}1,2B y N y my m R =∈-+<∈=，故令函数()21f x x mx =-+，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得： ()()()302010f f f ⎧≥⎪<⎨⎪<⎩，即103052020m m m -≥⎧⎪-<⎨⎪-<⎩，解得51023m <≤，所以，实数m 的取值范围为510,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．1 【答案】B【分析】根据集合N 和并集，分别讨论a 的值，再验证即可.【详解】因为{}1,2,3M N =，若110a a -=⇒=，经验证不满足题意； 若121a a -=⇒=-，经验证满足题意.所以1a =-.故选：B.【题型八】集合运算3：补集运算求参【讲题型】例题1.已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【详解】由题意，{|12}A B x x ⋃=-＜＜ ， ∵集合{|10}C x mx A B C ＞，=+⋃⊆ ，∵111102022m x m m m m -∴-≥∴≥-∴-≤＜，＜，，，＜； ∵m 0= 时，成立；∵1101101m x m m m m -∴-≤-∴≤∴≤＞，＞，，，＜， 综上所述，112m -≤≤，故答案为112m -≤≤． 例题2..已知集合1121A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()R A B =∅，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞ C ．()0,∞+ D ．()1,+∞ 【答案】B解分式不等式求得集合A ，对a 进行分类讨论，结合()R A B =∅，求得实数a 的取值范围. 【详解】由1121210,021212121x x x x x x +--≤-=≤++++()2210210x x x ⎧-+≤⇔⎨+≠⎩12x ⇔<-或0x ≥.所以{1|2A x x =<-或}0x ≥，所以1|02R A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭.由()()2210x a x a ---=，解得2x a =或21x a =+.2122a a a +≥=≥，当1a =时，221a a =+，此时B =∅，满足()R A B =∅；当1a ≠时，{}2|21B x a x a =<<+，由()R A B =∅得201a a ≥⎧⎨≠⎩，即0a ≥且1a ≠.综上所述，实数a 的取值范围是[)0,+∞. 【讲技巧】补集运算：1.符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．2.图形语言：【练题型】 1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}21,1,4A a =-，{}2,3UA a =+，则a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．2-D ．2【答案】D【分析】根据集合A 及其补集情况分情况讨论即可.【详解】由已知得{}21,2,4,1,3a a U -+=，所以21335a a ⎧-=⎨+=⎩或21533a a ⎧-=⎨+=⎩，解得2a =，故选：D.2.已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1U A =，则a 的所有可能值形成的集合为（ ）A ．{}1-B ．{}1C ．{}1,1-D ．∅【答案】A【解析】由U A U ⊆，可得21a =，即1a =±，当1a =时，不符合元素的互异性，1a =-时，符合题意.【详解】由U A U ⊆，即{}1{}22,4,a ⊆，则21a =，解得1a =±，若1a =，则34a +=，而{}4,3A a =+，不符合集合中元素的互异性，舍去； 若1a =-，则{}2,4,1U =，{}4,2A =，{}1UA =，符合题意.所以a 的所有可能值形成的集合为{}1-.故选：A.3.已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________ 湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题 【答案】2【分析】要求a 的值，需正确理解原集和补集的含义，由于参数a 为未知数，此题应该进行分类讨论【详解】由补集概念及集合中元素互异性知a 应满足 ()()()()22222233(1)323|1|23(2)|1|3232(3)232233(4)2123433a a a a a a a a A a a B a a a a a a ⎧+=+=+-⎪+=+-⎧⎪⎪⎨+=⎪⎨+-≠⎪⎪+-≠⎪⎪+-≠+-≠⎩⎩或 分两种情况进行讨论：在A 中，由（1）得a=0依次代入（2）、（3）、（4）检验，不合∵，故舍去． 在B 中，由（1）得a=－3,a=2，分别代入（2、（3）、（4）检验，a=－3不合∵，故舍去，a=2能满足∵∵∵，故a=2符合题意．答案为：2【题型九】应用韦恩图求解【讲题型】例题1.全集U =R ，集合04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞【答案】C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C .例题2.已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1 【答案】C【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤， ∵(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤， 故选：C【练题型】1.若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}|21x B x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）【讲技巧】并集运算韦恩图：符号语言 Venn 图表示A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }交集运算韦恩图符号语言Venn 图表示A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }补集运算韦恩图图形语言：A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞ 【答案】D 【分析】根据函数定义域和指数函数单调性得到集合,A B ，阴影部分表示的集合是U B A ，计算得到答案.【详解】(){}{}|lg 66A x y x x x ==-=<，{}{}210xB x x x ==>，阴影部分表示的集合是(]()(]U,0,6,0BA =-∞-∞=-∞.故选：D.2.已知全集U R =，集合{}2313100M x x x =--<和{}2,N x x k k Z ==∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个 【答案】C【分析】由题意首先求得集合M ，然后结合韦恩图求解阴影部分所示的集合的元素个数即可.【详解】求解二次不等式2313100x x --<可得2|53M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，集合{}|2,N x x k k Z ==∈表示所有的偶数组成的集合， 由韦恩图可知，题中的阴影部分表示集合M N ⋂，由于区间2,53⎛⎫- ⎪⎝⎭中含有的偶数为0,2,4，故{}0,2,4M N ⋂=，即阴影部分所示的集合的元素共有3个. 本题选择C 选项.3.已知集合{|{||1|2}M x y N x x ==+≤，且 M 、M 都是全集 I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≤B ．{|31}z z -≤≤C ．{|3z z -≤<D ．{|1x x <≤【答案】C【详解】试题分析：{{}|,|31{|I M x x N x x C M x x ==-≤≤⇒=I N C M ⇒⋂={|3x x -≤<,故选C ．【题型十】集合中的新定义【讲题型】例题1定义运算.()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨-<⎩若{}()(){}221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =_______.【答案】3【分析】由新定义1A B *=得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合，把问题转化为讨论方程2220x ax x ax 根的个数，即等价于研究两个方程20x ax 、220x ax ++=根的个数.【详解】2220x ax x ax等价于20x ax∵或220x ax ++=∵.由{}1,2A =，且*1A B =，得集合B 可以是单元素集合，也可以是三元素集合. 若集合B 是单元素集合，则方程∵有两相等实根，∵无实数根，可得0a =；若集合B 是三元素集合，则方程∵有两不相等实根，∵有两个相等且异于∵的实数根，即280a a ≠⎧⎨∆=-=⎩，解得a =±综上所述，0a =或a =±3C S. 例题2..对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x 两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得2<<1x -，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩∵. 由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩∵.要使()()1A B f x f x ⋅=-，由∵∵可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+. 故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞.【练题型】1.设A 、B 、C 是集合，称(,,)A B C 为有序三元组，如果集合A 、B 、C 满足||A B =||||1B C C A ==，且A B C =∅，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（其中||S 表示集合S 中的元素个数），如集合{1,2}A =，{2,3}B =，{3,1}C =就是最小相交有序三元组，则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________ 【答案】7680 【分析】令S ={1，2，3，4，5，6}，由题意知，必存在两两不同的x ，y ，z ∵S ，使得A∩B ={x }，B ∩C ={y}，C ∩A ={z }，而要确定x ，y ，z 共有6×5×4种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即可得到最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数．【详解】令S ={1，2，3，4，5，6}，如果（A ，B ，C ）是由S 的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x ，y ，z ∵S ，使得A ∩B ={x }，B ∩C ={y }，C ∩A ={z }，（如图），要确定x ，y ，z 共有6×5×4种方法；对S 中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于集合A ，B ，C 中的某一个或不属于任何一个，则有43种确定方法．所以最小相交的有序三元组（A ，B ，C ）的个数6×5×4×43=7680． 故答案为：7680 2.．集合{}6666,11135,2333,10,99111,1,198,1000,0,M π=---有10个元素，设M 的所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，每一个i M 中所有元素乘积为()1,2,,1023i m i =⋅⋅⋅，则1231023m m m m +++⋅⋅⋅+=_____.【答案】1-【分析】将这1023个子集分成以下几种情况：∵含0的子集；∵不含0，含1-且还含有其他元素的子集；∵不含0，不含1-但含有其他元素的子集；∵只含1-的子集一个.将每种情况下的i m 计算出来，并根据∵∵中的集合是一一对应的，求满足的i m ，可得答案. 【详解】M 所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，这1023个子集分成以下几种情况： ∵含0的子集512个，这些子集均满足0i m =；∵不含0，含1-且还含有其他元素的子集255个； ∵不含0，不含1-但含有其他元素的子集有255个； ∵只含1-的子集一个{}1-，满足1i m =-.其中∵∵中的集合是一一对应的，且满足i m 对应成相反数，因此，12310235120255011m m m m ++++=⨯+⨯-=-. 故答案为：1-.3.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中：∵{}0x x ∈≠Z ；∵{},0x x x ∈≠R ；∵1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；∵,1n x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______．上海市延安中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题 【答案】∵∵【解析】根据集合聚点的新定义，结合集合的表示及集合中元素的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，∵对于某个0a >，比如0.5a =，此时对任意的{}0x x x ∈∈≠Z ，都有00x x -=或者01x x -≥，也就是说不可能000.5x x <-<，从而0不是{}0x x ∈≠Z 的聚点；∵集合{}0x x ∈≠R ，对任意的a ，都存在2ax =（实际上任意比a 小得数都可以），使得02ax a <=<，∵0是集合{}0x x ∈≠R 的聚点；∵集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 中的元素是极限为0的数列，对于任意的0a >，存在1n a >，使10x a n<=<，∵0是集合1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N 的聚点；∵中，集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大12，∵在12a <的时候，不存在满足得0x a <<的x ，∵0不是集合,1nx x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 的聚点． 故答案为：∵∵．一、单选题1．已知集合{}N 23A x x =∈-<<，则集合A 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．6 B ．7 C ．14 D ．15 【答案】A【分析】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可. 【详解】因为{}{}N 230,1,2A x x =∈-<<=，所以集合A 的元素个数为3，因此集合A 的所有非空真子集的个数是3226-=， 故选：A2．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}【答案】C 【分析】先求UB ，再求并集即可.【详解】由题可知：{0,1}U B =， 而{0,1,2,3}A =，所以(){0,1,2,3}U A B =. 故选：C3．如图，设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．()M P SB ．()U M P S ⋂⋂C ．()M P SD ．()U M P S ⋂⋃【答案】B【分析】根据韦恩图，利用集合的运算即可求解.【详解】由图象可知：阴影部分对应的集合的元素x S ∉，∴U x S ∈，且x MP ∈， 因此()U x MP S ∈．故选：B ． 4．设集合P ，Q 都是实数集R 的子集，且()R P Q =∅，则P Q =（ ）A ．∅B ．RC ．QD ．P【答案】D【分析】由题设交集的结果知P Q ⊆，进而可得P Q .【详解】由()R P Q =∅知：P Q ⊆，所以P Q P =.故选：D5．设集合{}2,,0A a a =-，{}2,4B =，若{}4A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．2或-4C ．2D ．-4【答案】B【分析】根据给定条件可得4A ∈，由此列出方程求解，再验证即可得解．【详解】因{}4A B ⋂=，则4A ∈，即4a =-或24a =，当4a =-时，{}16,4,0A =，{}4A B ⋂=，符合题意，当24a =时，解得2a =或2a =-，若2a =，则{}2,4,0A =-，{}4A B ⋂=，符合题意，若2a =-，则{}2,4,0A =，{}2,4A B =，不符合题意，于是得2a =或4a =-，所以实数a 的值为2或4-．故选：B6．集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．113a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{}10a a a <-≥或D ．10013a a a ⎧⎫-≤<<<⎨⎬⎩⎭或 【答案】A【分析】根据B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况，建立条件关系即可求实数a 的取值范围.【详解】B A ⊆，∴①当B =∅时，即10ax +≤无解，此时0a =，满足题意； ②当B ≠∅时，即10ax +≤有解当0a >时，可得1x a ≤-，要使B A ⊆，则需要011a a>⎧⎪⎨-<-⎪⎩，解得01a <<当a<0时，可得1x a ≥-，要使B A ⊆，则需要013a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得103a -≤< 综上，实数a 的取值范围是113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭故选：A.7．用()C A 表非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}(){}21,20A B x x x ax ==++=∣，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．9【答案】C【分析】由新定义，确定()1C A =，再由新运算确定()C B ，并由集合B 的定义确定()2C B =，然后由判别式求得a 值，得集合S ，从而得结论．【详解】由已知()1C A =，又*1A B =，所以()0C B =或()2C B =，又2(2)0x x ax ++=中0x =显然是一个解，即0B ∈，因此()1C B ≥，所以()2C B =， 所以220x ax ++=有两个相等的实根且不为0，280a ∆=-=，a =±{S =-，所以()2C S =．故选：C ．8．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ）A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 【答案】B【分析】将集合A 化简，根据条件可得B A ⊆，然后分0m =，0m <，0m >讨论，化简集合B ，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为1212x x ->⇒->或12x -<-，解得3x >或1x <- 即{}31A x x x =><-或，因为A B A ⋃=，所以B A ⊆当0m =时，B =∅，满足要求.当0m >时，则110mx x m +<⇒<-，由B A ⊆， 可得111m m-≤-⇒≤，即01m <≤ 当0m <时，则110mx x m+<⇒>-，由B A ⊆， 可得1133m m -≥⇒≥-，即103m -≤< 综上所述，1,13m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选:B.二、填空题9．若集合{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，且{|1}A B x x ⋃=<，则实数a 的取值范围为_________.【答案】[)3,1-【分析】根据已知条件{}|1A B x x =<，运用集合并集运算定义，列出关于参数a 的不等式，即可求得参数的取值范围.【详解】已知{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，{}|1A B x x =<，∴31a -≤<，故参数a 的取值范围为[)3,1-.故答案为：[)3,1-10．已知A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{}222124a a a ，，且a 1＜a 2＜a 3＜a 4，其中ai ∈Z （i ＝1，2，3，4），若A ∩B ＝{a 2，a 3}，a 1+a 3＝0，且A ∪B 的所有元素之和为56，求a 3+a 4＝_____．【答案】8【分析】先通过()A B B ⊆，判断得20a ≥，分类讨论20a >与20a =的情况，得到11a =-，20a =，31a =，再求A B ⋃的元素，进而得到24456a a +=，解得47a =，故得答案．【详解】由130a a +=得13a a =-，所以2213a a =，又因为()A B B ⊆，即{}{}22223124a a a a a ⊆，，，，所以20a ≥， （1）若20a >，因为2Z a ∈，所以21a ≥，此时222a a ≤，22331a a a <=，244a a <，即2432a a a >>，故{}2423a a a ∉，，从而{}{}222312a a a a =，，， 所以221232==a a a a ⎧⎨⎩，则2443213a a a a ===，即30a =或1，与32a a >矛盾； （2）若20a =，则4320a a a >>=，244a a >，即2432a a a >>，所以{}2423a a a ∉，， 从而{}{}222312a a a a =，，，显然222223130a a a a a ====，，即30a =或1， 而30a =与32a a >矛盾，故31a =，131a a =-=-，又{}212344A B a a a a a =，，，，，故21234456a a a a a ++++=， 将11a =-，20a =，31a =代入，得到24456a a +=，解得47a =或48a =-（舍去），所以348a a +=．故答案为：8．11．已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.【分析】求得,B C 中所有元素之和后，根据C 中元素个数得到其元素所满足的关系式，依次判断C 中元素不同个数时可能的结果即可.【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=；若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C ab a b =<，则()55ab a b =-+，当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++；当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴=若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<，则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7.故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够通过对C 中元素个数的分类讨论，依次从小至大排列C 中元素可能的取值，根据满足的关系式分析即可得到满足题意的集合.12．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为Xi （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为___．【答案】132【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可．【详解】集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，由集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M 可知最小的三个数为1，2，3；21必是一个集合的最大元素，含有21集合中的元素，有21，20，19，…，16和1，2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取1，这时X 1最小值为22；15必是一个集合的最大元素，含有15集合中的元素，有15，14，13，…，10和2，3中一个组成，这样特征数最小，不妨取2，这时X 2最小值为17；9必是一个集合的最大元素，含有9集合中的元素，有9，8，7，…，4和3组成，这样特征数最小，这时X 3最小值为10；则X 1+X 2+X 3的最小值为22+17+12＝51．同理可知最大的三个数为21，20，19；含有21集合中的元素，有21，18，17，16，16，15，13；这样特征数最大，为34； 含有20的集合中元素为20，12，11，10，9，8，7，这样特征数最大，为27； 含有19的集合中元素为19，6，5，4，3，2，1，特征数最大，且为20；则X 1+X 2+X 3的最大值为34+27+20＝81；所以X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为51+81＝132．故答案为：132．。
2021届高考数学二轮复习小题提升练习
2021届高考数学二轮复习小题提升练习1.在ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知2b c ==，，且π4C =，则ABC 的面积为( )11C.4D.22.若曲线2()(1)e x f x ax -=-在点()()2,2f 处的切线过点()3,3，则函数()f x 的单调递增区间为( ) A.(0,)+∞B.(0),-∞C.(2,)+∞D.(2),-∞3.已知函数1()sin sin f x x x=+，则( ) A. ()f x 的最小值为2B. ()f x 的图象关于y 轴对称C. ()f x 的图象关于直线πx =对称D. ()f x 的图象关于直线π2x =对称 4.已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是正项等比数列，且1324355461,2,,2b b b b a a b a a ==+=+=+，则20199a b +=( )A.2 025B.2 529C.2 026D.2 2755.已知函数()f x 满足()(2)6f x f x +-=，当(0,1]x ∈时，2()3f x x =，当(1,0]x ∈-时，()1f x +=，若定义在(1,3)-上的函数()()g x f x tx t =--有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是( )A.B. C. (0,18- D. (0,18+6.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面ABCD ，13AA =，底面是边长为4的菱形，且1111160,,,DAB AC BD O AC B D O E ∠=⋂=⋂=︒是1O A 的中点，则点E 到平面1O BC 的距离为( ) A.2B.1C.32D.37.已知在Rt ABC 中，斜边BC 上有异于端点的,E F 两点，边(),AB AC AB AC <的长为函数()(221f x x x =-+1EF =，则AE AF ·的取值范围为( )A.13,04⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B.11,94⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11,94⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.11,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.已知椭圆2213x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，上顶点为B ，双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左顶点与椭圆2213x y +=的左顶点重合，点P 是双曲线上在第一象限内的点，且满足1(0)PB PA λλ=>，2PA =则双曲线E 的离心率为( )9.某学校要安排2名高二的同学，2名高一的同学和1名初三的同学去五个乡村小镇,,,,A B C D E 参加志愿活动，每名同学选择一个小镇，若高二的同学不去小镇A ，高一的同学不去小镇B ，初三的同学不去小镇D 和E ，则共有___________种不同的安排方法.(用数字作答)10.已知实数,x y 满足22210x xy y ---=，则222522x yx xy y +++的最大值为___________.11.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F .过点()2,0的直线l 与抛物线分别交于A B ,两点，则4AF BF +的最小值为 ____ .12.已知0a >，函数2()(1)sin 2,f x a x x x a x =+-++-∈R .记函数()f x 的值域为M ，函数()()f f x 的值域为N ，若M N ⊆，则a 的最大值是________.答案以及解析1.答案：A 解析：由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 1sin 2b C B c ==.又c b >，且3π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π6B =，所以7π12A =，所以117π1sin 22122122S bc A ==⨯⨯=⨯⨯=.故选A.2.答案：A解析：由题意，得0222(2)(21)e 21,()e (1)e 1(1)e 'x x x f a a f x a ax ax a ---=-=-=+-⋅=+-，3(21)(2)31,3132'a f a a --∴=-∴=--，得1a =，22()(1),'e ()e x x f x x f x x --∴=-=.0x >时，()0,'()f x f x >∴的单调递增区间是()0,+∞，故选A.3.答案：D解析：由题意得sin [10)(01]x ∈-⋃，，.对于A ，当sin (01]x ∈，时，1()sin 2sin f x x x =+≥，当且仅当sin 1x =时取等号；当sin [10)x ∈-，时，11()sin sin 2sin sin f x x x x x ⎛⎫=+=--+≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当sin 1x =-时取等号，所以A 错误；对于B ，11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B 错误；对于C ，11(π)sin(π)sin sin(π)sin f x x x x x ⎛⎫+=++=-+ ⎪+⎝⎭，11(π)sin(π)sin sin(π)sin f x x x x x-=-+=+-，则(π)(π)f x f x +≠-，()f x 的图象不关于直线πx =对称，所以C 错误；对于D ，ππ11sin cos π22cos sin 2f x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，ππ11sin cos π22cos sin2f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线π2x =对称，所以D 正确.故选D. 4.答案：D解析：设数列{}n b 的公比为(0)q q >，11b =，322b b =+，1q ∴>且2112b q b q =+，即22q q =+，解得1q =-(舍)或2q =，12n n b -∴=.数列{}n a 是等差数列，公差设为d ，34352b a a =+=，454622b a a =+=，344464622,22,4,6a a a a a ∴=+=∴==.∴由642a a d =+，得1d =，由615a a d =+，得11,n a a n =∴=.820199201922275a b ∴+=+=，故选D. 5.答案：C解析：由题意可知在(1,1]x ∈-上函数()f x 的解析式为2,(1,0]()13,(0,1]xx f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，又由()(2)6f x f x +-=可知，()f x 的图象关于点(1,3)对称，在(1,2)上函数()f x 的解析式为23(2)6y x =--+，在[2,3)上函数()f x 的解析式为2073xy x-=-，作出()f x 在(1,3)-上的大致图象如图所示.由2(1)3(2)6y t x y x =+⎧⎨=--+⎩，得23(11)60x t x t +-++=，由判别式0∆=得18t =±又12403tx x +=->，所以12t <，所以18t =-，此时y tx t =+的图象与23(2)6y x =--+的图象相切，结合图象可知，当018t <<-y tx t =+与定义在 (1,3)-上的函数 的图象有3个不同的交点，即定义在()()g x f x tx t =--上的函数有三个不同的零点，故选C. 6.答案：C解析：易得1OO ⊥平面ABCD ，所以11,OO OA OO OB ⊥⊥.又OA OB ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，所以2OA OB ==，则()()()()1,0,2,0,,0,0,3A B C O -，所以11(0,2,3),(3)O B O C =-=--. 设平面1O BC 的法向量为(,,)x y z =n ，则1100O B O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，所以23030y z z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取2z =，则3x y ==，则(=n 是平面1O BC 的一个法向量. 设点E 到平面1O BC 的距离为d .因为E 是1O A的中点，所以133,22E EO ⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭，则13||2EO d ⋅===nn ， 所以点E 到平面1O BC 的距离为32. 7.答案：C解析：因为边(),ABAC AB AC <的长为函数2()2(1f x x x =-++ 所以2,AB AC ==，所以4BC ==.以A 为坐标原点，,AB AC 的方向分别为x 轴正方向、y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C .不妨设E 在F 上方，304BF BC λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，则14BE BC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则3(22),22F E λλ⎛--+ ⎝⎭. 所以32(22)2AEAF λλ⎛⋅=-+⋅-= ⎝⎭32(22)2λλ⎛⎛⎫--++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭223434123λλλλλ=--+++=2211116431684λλλ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭11,94⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C.8.答案：D解析：由椭圆方程2213x y +=可知，左顶点1(A ，上顶点(0,1)B ，由双曲线的左顶点与椭圆2213x y +=的左顶点重合，得23a =.在12A A P中，2PA =121230A A PA A =∠=︒，由余弦定理得21128122cos30PA PA =+-⨯⨯︒，得18PA =.易知12BA =，所以134PB PA =.设点P 的坐标为()00,x y ，则()()00003,1,4x y x y --=-，得(00003,431,4x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得004,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩将点P 的坐标代入双曲线的标准方程，得21691b-=，解得22b =，从而2225c a b =+=，所以双曲线E 的离心率c e a ===，故选D. 9.答案：32解析：若初三学生去小镇A ，则从高二学生中选1人去小镇B ，另外三人分别去小镇,,C D E ，故方法数为1323C A 12=；若初三学生去小镇B ，则从高一学生中选1人去小镇A ，另外三人分别去小镇,,C D E ，故方法数为1323C A 12=；若初三学生去小镇C ，则从高二学生中选1人去小镇B ，从高一学生中选1人去小镇A ，另外两人分别去小镇,D E ，故方法数为112222C C A 8=.故总的方法数为1212832++=.10.解析：()()22210,21x xy y x y x y ---=∴+-=，()()()()()22222252222222x xy y x y x y x y x y x y ∴++=++-=+--+=++⎡⎤⎣⎦.若222522x yx xy y +++存在最大值，显然20x y +≤不满足题意，则20x y +>，()()22222125222222x y x y x xy y x y x y x y++∴==≤=+++++++，当且仅当222x y x y +=+时取等号，故222522x y x xy y +++.11.答案：13解析：设1122,,()()A x y B x y ，由抛物线的定义，知11AF x =+，21BF x =+. 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，则434315AF BF +=+⨯=. 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程可设为()2(0)y k x k =-≠.联立得方程组()224y xy k x ⎧⎪⎨=+=-⎪⎩，整理，得()22224440k x k k -+=+.由根与系数的关系可得124x x =.所以()124141AF BF x x +=+++1245x x =++513≥= (当且仅当1244x x ==时等号成立).所以4AF BF +的最小值为13. 12.答案：2解析：()2(1)1cos 'f x a x x =+-+，令()2(1)1cos h x a x x =+-+，则()()'21sin 0h x a x =+->恒成立，所以()'f x 单调递增.又因为()0'0f =， 所以当0x <时，()'0f x >;当0x >时，)'(0f x >. 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增.所以()f x 的最小值为()02f a =-，所以()f x 的值域为[2,)a -+∞.若20a -≤，则()()f f x 的值域为()[)0,f +∞，即[,)2a -+∞，此时M N ⊆成立. 若20a ->，则()()f f x 的值域为()[2,)f a -+∞. 因为()()202f a f a ->=-，所以[(2),)[2,)f a a -+∞⊆-+∞，即N M ⊆，不合题意. 因此02a <≤，所以a 的最大值是2.。
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即 ≥g(1)且 ≥g(2)，
所以 ≥－1－2a＋4且 ≥－4－4a＋4，解得a≥ .
5．解析：选A.法一：由x2＋y2≤3知，－ ≤x≤ ，－ ≤y≤ .又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为C C ＝9，故选A.
法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，
故f(x)min＝f(1)＝ .
对于二次函数g(x)＝－x2－2ax＋4，易知该函数开口向下，
所以g(x)在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，
即g(x)min＝min{g(1)，g(2)}．
要使对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，
小题专题练(一) 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式
1．已知集合M＝{x|x＞1}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则M∩N＝( )
A．[－4，2)B．(1，4]
C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)
2．已知函数f(x)＝ ，则f ＝( )
A．4B．－2
C．2D．1
3．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”成立的( )
8．解析：选C.根据函数表达式，当x>2时，函数值大于0，可排除A选项，当x<－1时，函数值小于0，故可排除B和D选项，进而得到C正确．
故答案为C.
9．解析：选C.
因为f(x)为偶函数，
所以当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，
所以f(－x)＝x2，即f(x)＝x2.
又f(x－1)＝f(x＋1)，
C．[2，3]D．[1，2]
8．函数f(x)＝(x＋1)ln(|x－1|)的大致图象是( )
9．若偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则关于x的方程f(x)＝ 在 上的根的个数是( )
A．1B．2
C．3D．4
10．已知f(x)＝lnx－ ＋ ，g(x)＝－x2－2ax＋4，若对任意的x1∈(0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则a的取值范围是( )
1．解析：选B.集合N＝{x|x2－2x－8≤0}＝{x|－2≤x≤4}，
集合M＝{x|x＞1}，
所以M∩N＝{x|1＜x≤4}．
故选B.
2．解析：选B.f ＝2＋4 ＝2＋2＝4，则f ＝f(4)＝log 4＝log ＝－2.
3．解析：选C.法一：当a＞b≥0时，a＞b⇔a2＞b2⇔a|a|＞b|b|，当a，b一正一负时，a＞b⇔a＞0＞b⇔a|a|＞0＞b|b|，当0≥a＞b时，0≥a＞b⇔a2＜b2⇔－a|a|＜－b|b|⇔a|a|＞b|b|，所以a＞b⇔a|a|＞b|b|，故选C.
所以f(x＋2)＝f(x)，
故f(x)是以2为周期的周期函数，据此在同一直角坐标系中作出函数y＝f(x)与y＝ 在 上的图象，如图所示，数形结合可得两图象有3个交点，
故方程f(x)＝ 在 上有三个根．故选C.
10．解析：选A.因为f′(x)＝ － － ＝ ＝－ ，
易知，当x∈(0，1)时，f′(x)<0，当x∈(1，2]时，f′(x)>0，
14．已知p：0<x<2，q：x<a，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
15．设函数f(x)＝|x2＋a|＋|x＋b|(a，b∈R)，当x∈[－2，2]时，记f(x)的最大值为M(a，b)，则M(a，b)的最小值为________．
16．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)在区间(0，1)内有两个零点，则3a＋b的取值范围是____________．
A．9B．8
C．5D．4
6．已知函数f(x)＝ －cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A．1B．2
C．3D．4
7．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围为( )
A．[－ ， ]B．[1， ]
17.
已知函数f′(x)和g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系中的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________．(用“<”连接)
小题专题练(一)
法二：构造函数f(x)＝x|x|，易知为奇函数且为增函数，所以当a＞b时，f(a)＝a|a|＞b|b|＝f(b)，所以选C.
4．解析：选C.因为不等式|x＋3|＋|x－2|≤a的解集非空等价于|x＋3|＋|x－2|的最小值小于或等于a，由于不等式|x＋3|＋|x－2|≥5在x∈R上恒成立，所以a≥5.选C.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知不等式|x＋3|＋|x－2|≤a的解集非空，则实数a的取值范围是( )
A．[1，5]B．[1，＋∞)
C．[5，＋∞)D．(－∞，1]∪[5，＋∞)
5．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
6．解析：选C.作出g(x)＝ 与h(x)＝cosx的图象，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0，2π]上的零点个数为3，故选C.
7．解析：选B.由f(x)在(－∞，1]上单调递减得t≥1，由对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，得f(x)max－f(x)min≤2，即f(0)－f(t)≤2，t2≤2，因此1≤t≤ ，选B.
A. B.
C. D.
11．若2a＝3b＝6，则4－a＝________； ＋ ＝________．
12．已知函数f(x)＝ 则f(f(－3))＝________，f(x)的最小值为________．
13．已知不等式组 表示的平面区域的面积为2，则 的最小值为________，最大值为________．