大一微积分上册的定义、公式、定理

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高等数学课件：chap3_2 微积分学基本定理与基本公式

f (x)
sin x
c os x
0 x
2
x
,
2 求
0 f (x) dx
2
解 :
f (x)dx
2 sin xdx cos xdx
0
0
2
cos x 2
sin
x
11 0
0
2
例 8 求由y ( x 1)3 , x 0, x 3及x轴所围成的图形的面积A.
解 : A 01( x 1)3 dx 13( x 1)3 dx
1 ( x 1)4 1 1 ( x 1)4 3
4
04
1
1 1 (16 0 ) 17
44
4
三.不定积分的概念与基本公式
定义2 f (x)在区间 I上的全体原函数记为
f (x)dx
称之为f (x)在I上的不定积分
其中 - - - -积分号;
f (x) - - - -被积函数;
f (x)dx - - - -被积表达式 ; x - - - -积分变量.
第2节微积分学基本定理与基本公式
一.变上限的定积分
x
(x) a f (t) dt
x [a, b]
定理１设 f ( x) Ca,b，则( x) 在 [a, b] 上可导，且
( x) [ax f (t) dt ] f ( x) x a,b
证明：(
x)
(
xLeabharlann x)(x)
x
a
x
f (t)dt
解 :
d dx
(
x3
(x
x2
t)sin(t 2 )dt)
d dx
x
x3sin t 2dt

微积分大一上知识点框架

微积分大一上知识点框架微积分作为数学中的重要分支，是大学数学必修的一门课程。

它主要研究函数的导数和积分，是数学中的基础知识之一。

下面是大一上学期微积分课程的主要知识点框架。

一、函数与极限1. 实数集与有界性实数集的性质以及有界集合的定义和性质。

2. 函数的概念与性质函数的定义、定义域、值域和图像，常见的函数类型（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。

3. 极限的概念与性质函数极限的定义，一侧极限与两侧极限的关系，常用的基本极限（如常数函数的极限、指数函数的极限等）。

4. 函数的连续性连续函数的定义与性质，间断点的类型（可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等）。

二、导数与微分1. 导数的定义与意义函数在某一点处的导数定义，导数的几何意义（切线斜率）、物理意义（速度、加速度）。

2. 基本导数公式常用函数的导数求法和求导法则（和差法则、乘法法则、链式法则等）。

3. 高阶导数与导数应用高阶导数的定义和求法，函数的凹凸性与拐点，导数在函数图像研究中的应用。

4. 微分与近似计算微分的定义，微分的几何意义（切线的近似性质）、物理意义（位移的近似计算）。

三、积分与不定积分1. 积分的概念与性质积分的定义，定积分和不定积分的区别，积分的性质（线性性质、积分中值定理等）。

2. 基本积分公式与积分技巧常用函数的积分求法和积分法则（反函数法、分部积分法、换元法等）。

3. 定积分与面积计算定积分的几何意义（曲线下的面积）、物理意义（位移的累积计算）、定积分的应用（求曲线长度、曲线旋转体的体积等）。

4. 不定积分与定积分的关系牛顿-莱布尼茨公式的引入，不定积分与定积分的关系。

以上是微积分大一上学期的知识点框架，这些基础知识对于后续的数学学习以及相关领域的应用具有重要意义。

在学习的过程中，要注重理论的掌握与实际问题的联系，灵活运用微积分的工具解决实际问题。

希望同学们能够通过努力学习，掌握微积分的基本概念、技巧和应用，为将来的学习打下坚实的基础。

微积分定理和公式

一、函数【定义 1.1】设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作.),(D x x f y ∈=x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1．单调性（1）【定义1.2】设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义1.3】设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义 1.4】设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义 1.5】设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数；)()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数.常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4．周期性【定义 1.6】设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα xy ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分. 此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义1.7】设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作 .),(1R y y f x ∈=-并称其为)(x f y =反函数. 习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x fy ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义 1.8】已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数{}f D x x x x f y ∈∈=)(|)],([ϕϕ为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：f D x x f x F ∈=,0))(,(其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数. 如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即 ]1,0[,)1()(2∈-==x x x f ye n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim （e = 2.718,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义1.10】设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作.)(lim A x f n =∞→当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作.)(lim )(lim )(lim ).)(lim ()(lim A x f A x f A x f A x f A x f n n n n n ===⇔===+∞→+∞→∞→-∞→+∞→3．0x x →时的极限【定义 1.11】设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作.)(lim 0A x f x x =→4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0.)(lim )(lim )(lim 000A x f A x f A x f x x x x x x ===⇔=-+→→→（三）函数极限的性质1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B .2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的.3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

大一微积分知识点总结

大一微积分知识点总结
函数与极限：
函数的定义与性质（奇偶性、周期性、单调性等）函数的四则运算与复合运算极限的概念与性质极限的运算法则无穷小与无穷大的概念极限存在准则（如夹逼准则）导数：
导数的定义（增量比、差商、导数）导数的几何意义（切线斜率）导数的计算法则（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数等）高阶导数隐函数与参数方程的导数函数的单调性与导数的关系微分：
微分的定义与性质微分的计算法则微分在近似计算中的应用中值定理与导数的应用：
*罗尔定理（Rolle's Theorem）
拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）泰勒公式（Taylor's Formula）函数图形的描绘（利用导数判断凹凸性、拐点等）最值问题（一阶、二阶导数判断最值）不定积分：
不定积分的定义与性质不定积分的计算法则（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的不定积分等）积分表的使用换元积分法分部积分法定积分：
定积分的定义与性质微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）定积分的计算（直接计算、换元积分法、分部积分法）定积分的应用（面积、体积、弧长、旋转体体积等）无穷级数：
数列的概念与性质无穷级数的概念与性质正项级数的审敛法（比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等）交错级数的审敛法（莱布尼茨审敛法）幂级数的概念与性质函数展开成幂级数（泰勒级数、麦克劳林级数）
以上是对大一微积分主要知识点的总结，每个知识点都有许多细节和深入的内容需要学习和掌握。

在学习过程中，要注重理解概念和原理，多做练习，加强实践应用。

微积分基本定理

d
x2
costdt
d
Pu Pu du
d
u
cos tdt
d x2
dx 0
dx
dx du 0
dx
cosu 2x 2x cos x2.
一般地，如果g x可导，则
gx
a
f
t
dt
f
g x
g x .
在计算有关导数时，可把上述结果作为公式使用 .
微积分基本定理
1.2 微积分基本定理(牛顿—莱布尼茨公式)
定理2
设f x在闭区间[a ，b]上连续 . 如果F x是f x在[a ，b]上的一个原函
数，则
b
a
f
x dx
F
b
F
a.
4-2
微积分基本定理
证
已知函数F x是连续函数f x的一个原函数，又根据定理1可知，积分上限的
函数
(x)
x
a
f
t
dt
4-3
也是f x的一个原函数 . 于是这两个原函数之差F x x在区间[a ，b]上必定是某一个
微积分基本定理
例4
解因为 1 x3是x2的一个原函数，得
3
1 x2dx 0
1 3
x3
1 0
1 .
3
例5
解
பைடு நூலகம்1 dx
11 x2
(arctan
x)
1 1
π 4
( π) π . 42
微积分基本定理
例6
解
因为
所以
x
1
1 x， 1
x
1，1
x
x
1， 3
3
x 1 dx

(完整word版)微积分(知识点概要).(良心出品必属精品)

微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。

2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。

例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。

一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。

P6）称幂函数x k（k为常数），指数函数a x ，对数函数loga x （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。

凡由基本初等函数经有限次．．．加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。

（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。

（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。

f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。

（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。

1．2极限概念与运算法则P11）当一个变量f(x)在x →a 的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b ，则称变量f(x)在x →a 的过程中极限存在。

称常数b 为它的极限，记为ax →lim f(x)=b 否则就称极限不存在。

大一微积分需要记的知识点

大一微积分需要记的知识点微积分是现代数学的重要分支，涉及到函数、极限、导数、积分等概念与方法。

对于大一学习微积分的学生来说，掌握一些基本的知识点是非常必要的。

下面将介绍大一微积分需要记住的知识点。

1.函数的基本概念函数是一种特殊的关系，可以将一个集合的元素与另一个集合的元素进行对应。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的定义域、值域、图像等是我们需了解的重要概念。

2.极限的定义与性质极限是微积分的基本概念，描述函数在某一点附近的特性。

若函数f(x)当自变量趋向于某个值a时，函数值趋向于某个常数L，则称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作limf(x)=L。

掌握极限的定义、性质以及求解方法是大一微积分的重要内容之一。

3.导数的概念与计算导数是刻画函数变化率的概念，表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为函数f(x)在点x处的极限，记作f'(x)或df(x)/dx。

通过求导可以求得函数的切线、函数极值等重要信息。

4.常见函数的导数运算在大一微积分中，我们需要熟悉常见函数的导数运算规则。

例如，常值函数的导数为0，幂函数、指数函数、对数函数的导数等等。

掌握这些导数运算规则可以帮助我们更快地求解导数问题。

5.高阶导数与导数应用除了一阶导数，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数，以此类推。

高阶导数可以帮助我们进一步研究函数的性质。

导数在物理、经济等领域有着广泛的应用，如速度、加速度等概念可以通过导数来描述。

6.不定积分与定积分的概念不定积分是导数的逆运算，也称为原函数。

定积分是对函数某一区间上的面积进行求解的数学工具。

掌握不定积分和定积分的概念以及基本计算方法是大一微积分的重点内容。

7.基本微积分定理基本微积分定理将不定积分与定积分联系起来，是微积分的重要定理之一。

它指出，若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数在区间上的定积分可以通过求解该原函数在区间端点处的函数值之差得到。

大一高数上册知识点微积分

大一高数上册知识点微积分微积分是数学的一个重要分支，也是高数课程的核心内容之一。

它是研究函数变化的数学方法，包括了导数与微分、积分以及微分方程等内容。

本文将介绍大一高数上册学习微积分的知识点。

1. 函数与极限函数是微积分的基础，它是自变量和因变量之间的关系。

在研究函数时，我们经常使用极限的概念来描述其变化规律。

极限可以理解为自变量无限接近某个特定值时，函数取值的趋势。

极限的符号表示为lim，例如：lim(x→a) f(x) = L，这表示当自变量x无限接近a时，函数f(x)的极限是L。

2. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具，它表示函数在某一点的瞬时变化率。

导数的定义为函数f(x)在x点处的极限，表示为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。

导数可以衡量函数的陡峭程度、切线斜率以及凸凹性等性质。

微分则是导数的一个应用，它用于计算函数在给定点的微小变化量。

微分的理论基础是微分中值定理和泰勒公式。

3. 积分与不定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

积分的符号表示为∫，例如：∫[a, b] f(x)dx，表示函数f(x)在区间[a, b]上的积分。

积分的计算需要求解不定积分，也就是求解导函数为给定函数的原函数。

常见的不定积分公式有：幂函数积分、三角函数积分以及指数函数积分等。

4. 定积分与面积计算定积分是积分的一种特殊形式，它表示函数在给定区间上的面积。

定积分的计算需要明确上下限，并使用Riemann和黎曼-斯蒂尔杰斯积分等方法。

定积分还具有重要的物理、几何和经济学等应用，例如计算物体的质量、计算曲线下的面积以及计算市场需求量等。

5. 微分方程微分方程是研究函数关系的方程，其中包含了函数及其导数的关系。

微分方程包括常微分方程和偏微分方程两类，常微分方程是自变量为一元函数的方程，而偏微分方程是自变量为多元函数的方程。

微分方程在物理学、电子工程以及金融学等领域有广泛的应用。

微积分基本公式和基本定理

题目
利用泰勒公式展开函数$f(x) = sin x$在$x = frac{pi}{2}$处的幂级数。
答案
根据泰勒公式，得到$sin x = sum_{n=0}^{infty} (1)^n cdot frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$。代入$x = frac{pi}{2}$，得到$sin frac{pi}{2} = sum_{n=0}^{infty} (-1)^n cdot frac{(frac{pi}{2})^{2n+1}}{(2n+1)!} = 1$。
求函数$f(x) = ln(x + sqrt{1 + x^2})$的导数。
利用链式法则和基本导数公式，得到$f'(x) = frac{1}{sqrt{1 + x^2}} cdot frac{x}{sqrt{1 + x^2}} = frac{x}{1 + x^2}$。
积分习题及答案
题目
计算$int_0^1 (x^2 + 1) dx$。
泰勒公式是一个重要的微积分定理，它可以用来近似计算复杂的函数。通过泰勒公式，可以将一个复杂的函数展开成多项式的和，从而简化计算。
泰勒公式在近似计算中广泛应用于数值分析、物理、工程等领域。例如，在计算物理现象的近似解时，可以使用泰勒公式来逼近真实解。此外，泰勒公式还可以用于求解函数的极限、证明不等式等数学问题。
牛顿-莱布尼兹定理
总结词
牛顿-莱布尼兹定理是计算定积分的核心定理，它提供了计算定积分的简便方法。
详细描述
牛顿-莱布尼兹定理表述为：对于任意在[a, b]区间上连续的函数f(x)，F(x)是f(x)的一个原函数。这个定理大大简化了定积分的计算过程，是微积分学中的重要内容。

微积分定理和公式

微积分定理和公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT一、函数【定义】设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,若对非空集合D 中的每一点x ,都按照某一对应规则f ,有惟一确定的实数y 与之相对应,则称y 是x 的函数,记作x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为函数的定义域,y 的取值范围即集合{}D x x f y y ∈=),(|称为函数的值域.xoy 平面上点的集合{}D x x f y y x ∈=),(|),(称为函数)(x f y =的图形.定义域D (或记f D )与对应法则f 是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性 1．单调性（1）【定义】设函数)(x f 在实数集D 上有定义,对于D 内任意两点21,x x ,当 1x ＜2x 时,若总有)(1x f ≤)(2x f 成立,则称D x f 在)(内单调递增（或单增）；若总有 )(1x f ＜)(2x f 成立,则称)(x f 在D 内严格单增,严格单增也是单增.当)(x f 在D 内单调递增时,又称D x f 是)(内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统称为单调函数.2．有界性【定义】设函数内有定义在集合D x f )(,若存在实数M ＞0,使得对任意D x ∈,都有|)(|x f ≤M ,则称)(x f 在D 内有界,或称)(x f 为D 内的有界函数.【定义】设函数内有定义在集合D x f )(,若对任意的实数M ＞0,总可以找到一D x ∈,使得|)(|x f ＞M ,则称)(x f 在D 内无界,或称)(x f 为D 内的无界函数.【定义】设函数)(x f 在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意D x ∈,都有))()()(()(x f x f x f x f =--=-或,则称)(x f 为D 内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当)(x f 为连续的函数时,)(x f =0,即)(x f 的图形过原点.偶函数的图形关于y 轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设)()(21x f x f ±为奇函数,)(),(21y g x g 为偶函数,则)()(21x f x f ±为奇函数；)()(21x g x g ±为偶函数； )()(11x g x f ±非奇偶函数；)()(11x g x f ⋅为奇函数；)()(),()(2121x g x g x f x f ⋅⋅均为偶函数. 常数C 是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助. 4．周期性【定义】设函数内有定义在集合D d x f )(,如果存在非零常数T,使得对任意D x ∈,恒有)()(x f T x f =+成立,则称)(x f 为周期函数.满足上式的最小正数T,称为)(x f 的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.][x x y -=是以1为周期的周期函数.][x y =与][x x y -=的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数 1．基本初等函数（1）常数函数 C y =,定义域为(-∞,+∞),图形为平行于x 轴的直线.在y 轴上的截距为c .（2）幂函数 αx y =,其定义域随着α的不同而变化.但不论α取何值,总在（1,+∞）内有定义,且图形过点（1,1）.当α＞0时,函数图形过原点（图1-2）（a ） (b )图1-2（3）指数函数 )1,0(≠=ααα x y ,其定义域为（-∞,+∞）.当0＜α＜1时,函数严格单调递减.当α＞1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以e 为底的指数函数,即x e y =（图1-3）（4）对数函数 )1,0(log ≠=ααα x y ,其定义域为（1,+∞）,它与x y α=互为反函数.微积分中常用到以e 为底的对数,记作nx y 1=,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4)另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设f b a x b a x f ),,(,),()(∈对任意区间内二阶可导在″)(x ＜0.则 (1)f ′)(x 在),(b a 内严格单调减少；（2）)(x f 在),1(b 上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,4x y -=为凸弧.y ′=34x -在（－∞,∞＋）上严格单调递减,但y ″=-122x ≤0,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成f ″)(x ≤0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2．反函数【定义】设函数)(x f y =的定义域为D ,值域为R ,如果对于每一个R y ∈,都有惟一确定的D x ∈与之对应,且满足)(x f y =x 是一个定义在R 以y 为自变量的函数,记作并称其为)(x f y =反函数.习惯上用x 作自变量,y 作因变量,因此)(x f y =反函数常记为R x x f y ∈=-),(1. 函数)(x f y =与反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.x y a y a x log ==与互为反函.∈=x x y ,2[0,+∞]的反函数为x y =,而∈=x x y ,2（－∞,0）的反函数为x y -=（图1-2（b ））.3．复合函数【定义】已知函数f f R y D u u f y ∈∈=,),(.又D x x u ∈=),(ϕϕ,u ≤R ϕ,若f f R D 非空,则称函数为函数)()(x u u f y ϕ==与的复合函数.其中y 称为因变量,x 称为自变量,u 称为中间变量.4．初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量y 明显地表示成)(x f y =的形式,则称其为显然函数.1),13(1,222-=-==x y x n y x y 等.设自变量x 与因变量y 之间的对应法则用一个方程式0),(=y x F 表示,如果存在函数)(x f y =（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：其中f D 为非空实数集.则称函数)(x f y =由方程0),(=y x F 所确定的一个隐函数.如方程1=+y x 可以确定一个定义在[0,1]上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用x 的显函数形式来表示,如0=++y x e xy 因为y 我法用初等函数表达,故它不是初等函数.另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如0122=++y x .（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量x 的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如都是定义在（－∞,＋∞）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础. （一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如n n a a a a ⋅ 21,称为通项. 1．极限定义【定义】设数列{}n a ,当项数n 无限增大时,若通项n a 无限接近某个常数A ,则称数列{}n a 收敛于A ,或称A 为数列{}n a 的极限,记作否则称数列{}n a 发散或n n a ∞→lim 不存在.2．数列极限性质（1）四则极限性质设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim ,则（2）a x a x k n n n n =⇔=+∞→∞→lim lim （k 为任意正整数）.（3）若a x n n =∞→lim ,则数列{}n x 是有界数列.（4）夹逼定理设存在正整数0N ,使得0N n ≥时,数列{}{}{}n n n z y x ,,满足不等式n n n y x z ≤≤. 若a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ,则a x n n =∞→lim . 利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （5）单调有界数列必有极限设数列{}n x 有界,且存在正整数0N ,使得对任意0N n ≥都有n n x x ≤+1（或n n x x ≥+1）,则数列{}n x 的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim （=,是一个无理数）. （二）函数的极限1．∞→x 时的极限【定义】设函数)(x f 在)0(||>≥a a x 上有定义,当∞→x 时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当∞→x 时以A 为极限,记作当+∞→x 或-∞→x 时的极限当x 沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记+∞→x （-∞→x ）时,)(x f 无限接近常数A ,则称)(x f 当+∞→x （-∞→x ）时以A 为极限,记作 3．0x x →时的极限【定义】设函数)(x f 在0x 附近（可以不包括0x 点）有定义,当x 无限接近)(00x x x ≠时,函数)(x f 无限接近常数A ,则称当0x x →时,)(x f 以A 为极限,记作 4．左、右极限若当x 从0x 的左侧（0x x <）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的左极限,记作.)(lim 0A x f x x =-→ 或 A x f =-)0(0若当x 从0x 的左侧（0x x >）趋于0x 时,)(x f 无限接近一个常数A ,则称A 为0x x →时)(x f 的右极限,记作.)(lim 0A x f x x =+→ 或 A x f =+)0(0（三）函数极限的性质 1．惟一性若,B x f A x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 00则A=B . 2．局部有界性若A x f x x =→)(lim 0.则在0x 的某邻域内（点0x 可以除外）,)(x f 是有界的. 3．局部保号性若A x f x x =→)(lim 0.且A ＞0（或A ＜0＝,则存在0x 的某邻域（点0x 可以除外）,在该邻域内有)(x f ＞0（或)(x f ＜0＝。

大一高等数学微积分知识点

大一高等数学微积分知识点微积分作为大一高等数学的重要组成部分，是数学学习中的基础与核心内容。

掌握微积分的知识点对于学生来说至关重要。

本文将从微积分的基本概念、导数、积分以及应用等方面介绍一些大一高等数学微积分的知识点。

一、基本概念1. 函数与极限：函数是自变量与因变量之间的关系。

极限是函数在某一点上的特殊取值方式，表示随着自变量的趋近，函数值的趋近情况。

2. 连续与间断：在一个区间内，如果函数在任意点上都连续，则函数在该区间内连续。

如果存在某一点使得函数在该点不连续，则函数在该点间断。

二、导数1. 导数的定义：导数是描述函数变化率的概念，表示函数在某一点上的瞬时变化率。

导数的定义为函数在该点上的极限。

2. 基本求导法则：常见函数的求导规则包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

通过基本求导法则，可以求得函数在某一点的导数。

三、积分1. 定积分：定积分是求函数在一个区间上的总量的方法。

它表示函数在该区间内的面积或曲线长度。

2. 不定积分：不定积分是求函数的原函数的过程，结果表示函数的“积分”。

四、应用1. 最值与最优化问题：利用微积分的知识可以求解函数的最值问题，比如最大值、最小值问题。

在应用中，还可以通过最优化问题来做出最佳决策。

2. 曲线的切线与法线：导数的概念可以帮助我们计算曲线在某一点的切线斜率，进而求得切线方程。

同时，利用切线的垂直性质，可以求得曲线在该点的法线方程。

以上仅为大一高等数学微积分的一些基本知识点的介绍，针对每个知识点还有更加深入的理论和应用。

学生应该通过课堂学习、习题练习与实际运用，逐步掌握微积分知识，建立起扎实的数学基础。

掌握微积分知识不仅对于学习数学学科有很大帮助，也对于其他学科的学习和科学研究具有重要作用。

希望学生通过努力学习，能够将微积分知识应用到实际问题中，提升自己的数学素养。

大一上微积分知识点

大一上微积分知识点微积分是数学的一个重要分支，研究的是函数的变化与其相关的一系列概念和工具。

作为大一上学期的必修课程，微积分为我们打下了数学基础和思维方式的基石。

本文将介绍大一上学期微积分课程的主要知识点。

一、导数与极限导数是微积分的核心概念之一。

在学习微积分的初期，我们首先需要了解极限的概念。

极限是描述函数趋近某一点时的行为，它是导数的基础。

通过学习导数的定义和计算方法，我们可以求得函数在某一点的斜率，从而了解函数的变化规律。

二、函数的连续性与可导性在微积分中，连续性与可导性是函数的重要性质。

连续性是指函数在某一点处函数值与极限值相等的特性，而可导性则是指函数在某一点处存在导数的特性。

通过研究函数的连续性与可导性，我们可以判断函数的性质，并推导出一系列的定义和定理。

三、函数的求导法则在微积分中，求导法则是求导数的基本工具。

求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。

通过灵活运用这些法则，我们可以快速地求得函数的导数，在分析函数的各种性质和行为时提供了重要的数学工具。

四、高阶导数与隐函数求导高阶导数是导数的延伸，表示导数的导数。

通过对函数进行多次求导，我们可以得到函数的高阶导数，进一步了解函数的曲线特征和形态。

而隐函数求导是在给定的方程中，通过对变量进行求导，找到和原方程隐含关系的导数。

五、微分与微分中值定理微分是导数的一个重要应用，表示函数在某一点处的变化率。

微分中值定理是微积分中的一大重要定理，它关注的是函数在某一区间内是否存在某点的导数等于该区间的平均斜率。

微分和微分中值定理的研究使我们能够更深入地分析函数的特性和变化。

六、不定积分与定积分不定积分和定积分是微积分的另外两个核心概念。

不定积分是求导的逆运算，通过对函数进行不定积分，我们可以得到函数的原函数或者反函数。

而定积分是求函数在一个区间上的累积变化量，它与面积、曲线长度等概念相关。

七、微积分的应用微积分作为一门应用性极强的数学学科，广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个领域。

大一微积分基础考试必背知识点

大一微积分基础考试必背知识点微积分是数学的一门重要分支，也是大学数学教学中的一门必修课程。

在大一微积分基础考试中，掌握一些必备的知识点能够帮助学生更好地应对考试，提高成绩。

本文将介绍大一微积分基础考试中的一些必背知识点，以供参考。

一、函数与极限1. 函数的定义与分类：函数的定义，常见函数的分类（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等）。

2. 函数的极限：极限的定义，极限的运算法则，常用极限公式（如sin x/x的极限等），函数的左右极限与无穷远处的极限。

3. 无穷小与无穷大：无穷小的定义与性质，无穷大的定义与性质，无穷小的比较、运算法则。

二、导数与微分1. 导数的概念与计算方法：导数的定义，导数的几何意义，导数的计算方法（基本初等函数的导数、常数乘法法则、和差法则、乘积法则、商法则等）。

2. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的概念与计算，高阶微分的概念与计算。

3. 微分与线性近似：微分的几何意义，微分的应用（线性近似、误差估计等）。

三、微分中值定理1. 罗尔定理：罗尔定理的条件和结论，罗尔定理的几何解释。

2. 拉格朗日中值定理：拉格朗日中值定理的条件和结论，拉格朗日中值定理的几何解释。

3. 柯西中值定理：柯西中值定理的条件和结论，柯西中值定理的几何解释。

四、不定积分与定积分1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义，常用不定积分公式（如基本初等函数的不定积分、分部积分法、换元积分法等），定积分与不定积分的关系。

2. 定积分的定义与性质：定积分的定义，定积分的几何意义，定积分的性质（线性性、可加性、保号性等）。

3. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式的表述与应用。

以上是大一微积分基础考试中的一些必背知识点，希望对你的备考有所帮助。

在复习中，要结合教材和课堂笔记进行系统学习，多做一些相关的例题和习题，加强对概念的理解和运用能力。

同时，也要注重对公式和性质的记忆，以便在考试中能够熟练运用。

加油，祝你考试顺利！。

大一第一学期微积分重点

大一第一学期微积分重点
一、微积分的基本概念
1. 函数：定义域和值域、单调性、奇偶性、有界性、可导性、可积性、极限等概念；
2. 微分：定义微分、导数、偏导数、高阶导数；
3. 微积分：曲线积分、曲面积分、曲面积分的应用；
4. 函数的变换：变量的变换、积分的变换；
5. 函数的级数：收敛性、分析性质、均值定理；
6. 椭圆积分：椭圆积分的计算、椭圆积分的应用；
7. 向量微积分：向量函数的极限、梯度、旋度、散度；
8. 级数计算：收敛性、分析性质、均值定理；
9. 常微分方程：常微分方程的基本概念、解法、线性方程组的解法。

大一微积分前五章知识点总结

大一微积分前五章知识点总结微积分是数学的重要分支，它的应用广泛且深远。

作为大一学生，学习微积分是我们深入理解数学和科学的基础。

在大一的微积分课程中，前五章的知识点是我们建立起微积分基础的关键。

本文将对大一微积分前五章的知识点进行总结，帮助大家更好地掌握这些重要的概念和技巧。

第一章：导数导数是微积分的核心概念之一。

它描述了函数的变化率，并且在计算曲线的斜率和速率等问题中起到了重要作用。

在学习导数时，我们需要掌握以下几个重要的知识点：1. 利用极限的定义计算导数：通过求极限的方式，我们可以得到函数的导数。

对于一个函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。

2. 导数的几何意义：导数可以解释为函数曲线在某一点上的切线的斜率。

这个概念有助于我们理解函数的变化趋势以及求解最值等问题。

3. 常见函数的导数：对于常见的函数（如多项式函数、三角函数、指数函数等），我们需要熟悉它们的导数公式，并能够熟练地应用这些公式进行求导。

4. 高阶导数：导数的概念可以推广到高阶导数，表示函数的变化率的变化率。

高阶导数在函数的凹凸性和曲率等问题中有重要的应用。

第二章：微分学微分学是导数的应用。

它帮助我们研究函数的性质和应用，包括函数的极值、最值、增减性以及函数模型的建立等。

下面是关于微分学的几个重要知识点：1. 微分的定义和性质：微分是导数的应用之一，它表示函数在某一点附近的近似变化。

微分的定义和求解方法对于后续的应用问题具有重要意义。

2. 函数的极值与最值：利用导数的概念，我们可以找到函数的极值点（包括最大值和最小值）。

这里需要注意的是，极值点必然是函数导数为零或不存在的点。

3. 函数的增减性：通过对函数的导数进行区间判断，我们可以得到函数的增减性。

这个概念可以帮助我们研究函数的单调性和区间划分等问题。

4. 函数模型的建立：利用微分学的知识，我们可以建立函数模型，描述实际问题中的变化规律。

这对于工程、经济等领域的问题求解具有重要意义。

微积分基本公式与基本定理2011

上的一个原函数，设F ( x )是f ( x )在区间 I上的一个原函数， C为任意常数，则 F ( x ) + C就是f在I上的为任意常数，所有原函数。
的所有的原函数。例6 设f ( x ) = sin 2 x , 求f ( x )的所有的原函数。
在区间[a,b]上分段连续的函数一定没有原函数，上分段连续的函数一定没有原函数，在区间上分段连续的函数一定没有原函数可积，怎么求积分？但 f 可积，怎么求积分？
不定积分的性质：不定积分的性质：性质2.1(与导数（微分）运算的可逆性性质2.1(与导数（微分）运算的可逆性) 2.1(与导数 d [ ∫ f ( x )dx ] = f ( x ), 或 d [ ∫ f ( x )dx ] = f ( x )dx; dx
∫
f ′( x )dx = f ( x ) + C , 或
2 2 4 2 4 2
d 2 ( 3) 求 ( ∫ 2 ( x + t ) sin( t )dt ) dx x x3 d 2 (∫ 2 ( x + t ) sin(t )dt) 解: dx x x3 x3 d 2 2 = x ∫ 2 sin t dt + ∫ 2 t sin t dt x dx x
∫ chxdx = shx + C .
这些基本积分公式,是不定积分的基础应熟记。是不定积分的基础,应熟记注: 这些基本积分公式是不定积分的基础应熟记。
例9
求
∫
dx x
3
x
解
∫
x +C = x dx = 4 3 x x − 3+1 3 − = −3 x + C = − 3 + C x

微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式

微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式微积分基本定理是微积分的重要定理之一，它是连接微分与积分的桥梁，揭示了微分与积分之间的密切关系。

而牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的一个重要公式，用来计算定积分。

本文将介绍微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式的基本定义、证明及应用。

∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个式子的意义是，一个函数在闭区间上的积分等于它在区间两个端点的原函数值之差。

∫f(x)dx = F(x) + C其中F(x)是f(x)的一个原函数，C是一个常数。

我们可以通过对微积分基本定理的证明来理解它。

对于第一部分，我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。

假设f是一个连续函数，我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，然后取每个小区间的一个任意点ξi，我们有：∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时，如果极限存在，那么积分的计算结果就是这个极限的值。

而这个极限实际上就是函数F在右端点b处的函数值，即F(b)-F(a)。

对于第二部分的证明，我们可以利用导数与反函数的关系，即：如果 y = F(x) 是函数 f(x) 的一个原函数，那么 f(x) = F'(x)，即导数等于原函数的导数。

因此我们有∫f(x)dx = ∫F'(x)dx = F(x) + C。

接下来我们介绍牛顿-莱布尼茨公式，它是微积分中的一个重要公式，用来计算定积分。

牛顿-莱布尼茨公式可以表达为：∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)其中F(x)是f(x)的一个原函数。

这个公式可以用来计算定积分，即求解一个函数在闭区间上的积分值。

牛顿-莱布尼茨公式的证明可以通过微积分基本定理的第一部分来进行。

我们可以通过定义积分为极限的思想来证明。

假设f是一个连续函数，并且F是其一个原函数。

我们可以将闭区间[a,b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n，然后取每个小区间的一个任意点ξi，我们有：∑[i=1,n]f(ξi)Δx ≈ ∫[a,b]f(x)dx当n趋于无穷大时，如果极限存在，那么积分的计算结果就是这个极限的值。

高等数学一-微积分总结

导数微分学微分微积分不定积分积分学定积分无穷级数第一章函数及其特性1.1 集合一、定义：由具有共同特性的个体（元素）组成。

二、表达方式：集合A，B，C……（大写字母）元素a，b，c……（小写字母）A=｛a，b，c｝元素的排列无重复，无顺序。

a属于A记作a∈A，1不属于A记作1∉A或1∈A三、分类有限集无限集空集Ф四、集合的运算1、子集：存在A、B两个集合，如果A中所有元素都在B中，则A叫做B的子集，A⊆B或B⊇A（空集是任何集合的子集）。

2、交集：存在A、B两个集合，由既在A中又在B中的元素组成的集合。

A B，A B⊆A，A B⊆B，Ф B=Ф（空集与任何集合的交集是Ф）。

3、并集：存在A、B两个集合，由所有在A、B中的元素组成的集合。

A B，A B⊇A，A B⊇B，Ф B=B。

4、补集：存在A、B两个集合，且A⊆B，由在B当中但不在A中的元素组成的集合，叫A的补集，B叫全集。

记作A B或A C B， A B A=Ф，A B A=B五、数、数轴、区间、邻域1、数实数虚数: 规定i2= -1，i叫虚数单位，i=-32=3i32、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

3、区间(1)闭区间a ≤x ≤b,x ∈[a, b] (2)开区间a< x< b, x ∈(a, b) (3)半开区间 a ≤x< b, x ∈[a, b)a< x ≤b, x ∈(a, b](4)无限区间 x ≤a, x ∈(-∞, a]x ≥b, x ∈[ b, +∞) x ∈R, x ∈(-∞, +∞)4、邻域：以x = x 0为圆心，以δ> 0（δ为非常小的正数）为半径作圆，与数轴相交于A 、B两点，x 0 -δ< x 0 < x 0 +δ叫x 0的δ邻域。

例1 已知A=｛x ∈ -2≤x< 3｝，B=｛x ∈ -1< x ≤5｝，求A B ， A B 解：所以x ≤5｝例2 已知A 、B 为两非空集合，则A B=A 是A=B 的[ (2) ] (1)充分条件 (2)充分必要条件 (3)必要条件 (4)无关条件注：如果A 成立，那么B 成立，即“A ⇒B ”，那么条件A 是B 成立的充分条件；如要使B 成立，必须有条件A ，但只有A 不一定能使B 成立，则称A 是B 成立的必要条件；如果“A ⇒B ”，又有“B ⇒A ”，则称条件A 是B 成立的充分必要条件。