2020高考数学 第六章第四节 基本不等式课件 新人教A版 精品
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高考数学基本不等式求最值课件 新人教版
x
x
当且仅当 12 3x即x 2 时取等号,
x
即当x=2时函数的最小值为12.
三相等
第三页，共10页。
二、应用基本(jīběn)不等式求最值的问题
(1)利用基本(jīběn)不等式求函数最值的步骤:
练习1)若x>0,f(x)= 12 3x的最小值为____1_2__;此时x=___2____.
(3)取不到等号时用函数单调性求最值:
例三.求函数 y x2 5 的最小值.
依据:
利用函数
y
t
x2 4 1 (t>0)的单调性.
t
t (0,1] 单调递减 t [1, ) 单调递增
正解: x2 5 x2 4 1
y
三不等, 常用单调性 x2 4 1
x2 4
Hale Waihona Puke x2 4x2 4令t x2 4 则y t 1 (t 2)
例三.求函数 y
错解:
x2 5 x2 4
的最小值.
x2 5 x2 4 1
y
x2 4
x2 4
x2 4
当且仅当
x2 4 1 时取等号 x2 4
1 2
x2 4
第七页，共10页。
2.应用基本(jīběn)不等式求最值的问题
(1)利用(lìyòng)基本不等式求函数最值的步骤:
(2)先变形(biàn xíng)再利用基本不等式求函数最值:
y
2x 1
x
y
2 2
1
2
2 2
即此时(cǐysmhiín) 3 2 2
第十页，共10页。
1.基本不等式可证明(zhèngmíng)简单的不等 式 2.应用基本(jīběn)不等式求最值的问题
第六章 第四节基本不等式≤ (a,b∈R+ )课件 理课件
考点四 利用基本不等式证明其他不等式
≥9. 【例4】 若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：1＋1x·1＋1y
思路点拨：本题要求根据条件求最值，x＋y为常数， xy可有最大值，如何合理利用条件x＋y＝1是解答本题的关 键，可在要求的式子上乘以(x＋y)，也可通过三角换元转化 为三角问题.
之和为
f(x)
＝
20C(x)
＋
C1(x)
＝
20×
40 3x＋5
＋
6x
＝
800 3x＋5
＋
6x(0≤x≤10)．
(2)由(1)知 f(x)＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)， ∴f(x)＝38x0＋05＋2(3x＋5)－10≥
2 38x0＋05·23x＋5－10＝80－10＝70， 当且仅当38x0＋05＝2(3x＋5)时，等号成立， 即(3x＋5)2＝400,3x＋5＝±20， ∴x＝5 或 x＝－235(舍去)时，上式中的等号成立， 即 f(x)min＝70(万元)， 所以当隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小， 最小值为 70 万元．
＝b时取等号)．
2
2
2(当且仅当a
三、均值不等式(基本不等式)
两个正数的均值不等式：若 a，b∈R＋，则a＋2 b
≥ ab(当且仅当 a＝b 时取等号)．
变式： ab≤a＋2 b2(a，b∈R＋)．
三个正数的均值不等式：a＋3b＋c≥3 abc(属知识
拓展)．
n
个
正
数
的
均
值
不
等
式
：
a1＋a2＋…＋an n
≥n a1a2…an(属知识拓展)．
四、最值定理
1.1.1.不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
[通一类] x 1 2 2 1．x∈R，比较(x＋1)(x ＋ ＋1)与(x＋ )· ＋x＋1)的大小． (x 2 2 x x 2 2 解：因为(x＋1)(x ＋ ＋1)＝(x＋1)· ＋x＋1－ )＝(x＋ (x 2 2
x 1)(x ＋x＋1)－ (x＋1)， 2
2
1 2 1 2 (x＋ )(x ＋x＋1)＝(x＋1－ )(x ＋x＋1) 2 2 1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－ (x ＋x＋1)． 2
f1＝a＋b， ∴ f－1＝a－b.
1 a＝2[f1＋f－1]， ∴ b＝1[f1－f－1]. 2 ∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4. ∴6≤f(－2)≤10.
法二：设 f(x)＝ax2＋bx， 则 f(1)＝a＋b，f(－1)＝a－b. 令 m(a＋b)＋n(a－b)＝f(－2)＝4a－2b，
[精讲详析] 本题考查对不等式的性质的理解， 解答本题 需要利用不等式的性质或利用特殊值逐项判断． (1)错误．因为当取 a＝4，b＝2，c＝6 时，有 a＞b，c＞ b 成立，但 a＞c 不成立． a (2)错误．因为 a、b 符号不确定，所以无法确定b＞1 是 a 否成立，从而无法确定 lgb＞0 是否成立．
[例 3] 已知 60＜x＜84,28＜y＜33.求 (1)x－y 的取值范围； x (2)y 的取值范围． [精讲详析] 本题考查不等式性质的灵活应用． 解答问
题(1)需要先求出－y 的取值范围，然后利用不等式的同向 1 可加性解决； 解答问题(2)需要先求出y 的取值范围， 然后利 用不等式的有关性质求解．
2
1 1 2 ∴作差，得(x＋1)(x ＋ x＋1)－(x＋ )(x ＋x＋1) 2 2
1.1.1 不等式的基本性质 课件(人教A选修4-5)
返回
1 1 4．已知a，b，x，y都是正数，且a>b，x>y， x y 求证： > . x＋a y＋b 证明：因为a，b，x，y都是正数，
1 1 x y 且a>b.x>y，所以a>b， a b 所以x<y. a b 故x＋1<y＋1， x＋a y＋b x y 即 x < y .所以 > . x＋a y＋b
返回
2．不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些 基本性质： (1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即 a＞
b⇔b＜a . (2)如果a＞b，b＞c，那么 a＞c .即a＞b，b＞c⇒ a＞c .
(3)如果a＞b，那么a＋c> b＋c . (4)如果a＞b，c>0，那么ac > bc；如果a>b，c<0，那么 ac < bc.
n n
n
a>
n
b (n＝2k＋
返回
返回
[例 1]
1 1 4 已知 x，y 均为正数，设 m＝ ＋ ，n＝ ，试比 x y x＋y
较 m 和 n 的大小．
[思路点拨]
变形 转化为因式 与0比较 两式作差 ――→ ―――→ 乘积形式
判断正负，得出大小
返回
[解]
x＋y 1 1 4 4 m－n＝ x ＋ y － ＝ xy － ＝ x＋y x＋y
返回
(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相 加，但不可以 相减 ；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时，可以相乘，但不可以 相除 ． (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 ， 并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽 条件，a>b⇒a >b (n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒ 1，k∈N＋)．
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件28
[课堂笔记]
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
第六章 不等式 第四节 基本不等式及其应用课件 理
)
1
3
+ = 1, > 0, > 0, 则 3 + 4 = (3 +
5 5
13
3
12
13
3 12
+ +
≥ +2
· =5,当且仅当 x=2y=1 时取等号,所以
5
5
5
5
5 5Biblioteka 4.C 【解析】由题意可得
4)
1
3
+
5 5
=
3x+4y 的最小值是 5.
第七页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
数.
第三页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第六章
第四节
基本不等式及其应用
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-4-
2.利用基本不等式求最值
(1)积定和最小
当 a,b∈(0,+∞),ab=P(定值)时,则 a+b≥2 ,当且仅当 a=b= 时,a+b 取得最小值
2 ;
(2)和定积最大
当
2
a,b∈(0,+∞),a+b=S(定值)时,则 ab≤ ,当且仅当 a=b= 时,ab
4
2
2
取得最大值 .
4
第四页，编辑于星期五：二十二点 十九分。
第四节
第六章
基本不等式及其应用
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
-5-
3.几个常用的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R).
+ 2
(2)ab≤
B.
4
4
15
高中数学人教新课标A版：基本不等式 课件
方法(二) 利用常数代换法求最值
[例 2] 已知两个正数 x，y 满足 x＋2y＝8xy，则 4x＋2y 的最小值为( )
A．74
B．2
C．94
D．52
[解析] 将 x＋2y＝8xy 两边同时除以 xy，
得2x＋1y＝8，则 4x＋2y＝18(4x＋2y)2x＋1y
＝1810＋4xy＋4yx≥1810＋2
二、“基本技能”运用好
1．(好题分享——新人教 A 版必修第一册 P45 例 1 改编)
设 a>0，则 9a＋1a的最小值为
A．4
B．5
C．6 答案：C
D．7
()
2．矩形两边长分别为 a，b，且 a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是 ( )
A．4
9 B.2
32 C. 2
D．2
解析：依题意可得 a，b>0，则 6＝a＋2b≥2 a·2b＝2 2· ab，当且仅当
4xy×4yx＝94，
当且仅当4xy＝4yx，即 y＝x＝38时取等号．
故 4x＋2y 的最小值为94. [答案] C
[解题方略] 1．常数代换法的运用技巧 常数代换的实质是 x×1＝x，所以关键是找到常数，从而找到结果为 1 的式子，然后通过乘积的运算利用基本不等式解题． 2．用常数代换法求最值时应注意的两个方面 (1)注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身； (2)注意常数的获得方式，要根据已知代数式的结构特征灵活处理，如本 题，等式 x＋2y＝8xy 两边也可以同时除以 8xy，则可直接得到结果为常数 1 的式子：41x＋81y.
命题点一 利用基本不等式求最值最值 [例 1] 函数 y＝xx2－＋12(x＞1)的最小值为________．
2020版高考人教A版理科数学一轮复习文档：第六章 第四节 基本不等式 Word版含答案
第四节 基本不等式2019考纲考题考情1．重要不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )(当且仅当a ＝b 时等号成立)。
2．基本不等式≤ab a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0。
(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立。
(3)其中叫做正数a ，b 的算术平均数，叫做正数a ，b a ＋b 2ab 的几何平均数。
3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2。
(简记：“积定和最小”)P (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当且仅当x ＝y时，xy 有最大值。
(简记：“和定积最大”)S 244．常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2(a ＞0，b ＞0)。
ab (2)ab ≤2(a ，b ∈R )。
(a ＋b 2)(3)2≤(a ，b ∈R )。
(a ＋b 2)a 2＋b 22(4)＋≥2(a ，b 同号)。
ba a b以上不等式等号成立的条件均为a ＝b 。
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”。
忽略某个条件，就会出错。
2．对于公式a ＋b ≥2，ab ≤2，要弄清它们的作用、ab (a ＋b 2)使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系。
3．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式。
若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致。
一、走进教材1．(必修5P 99例1(2)改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 因为x >0，y >0，所以≥，即xy ≤2＝81，x ＋y 2xy (x ＋y 2)当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81。
答案 C2．(必修5P 100A 组T 2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______m 2。
1.1.2 基本不等式 课件(人教A选修4-5)
3 (2)设 0<x< ，求函数 y＝4x(3－2x)的最大值； 2 1 9 (3)已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值． x y
[思路点拨]
根据题设条件，合理变形，创造能用基
本不等式的条件，求最值．
2x 2 [解] (1)∵x>0，∴f(x)＝ 2 ＝ . 1 x ＋1 x＋x 1 1 1 ∵x＋x≥2，∴0< ≤ . 1 2 x＋x ∴0<f(x)≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．即f(x)值域 为(0,1] 3 (2)∵0<x< ，∴3－2x>0. 2 2x＋3－2x 2 9 ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤2[ ]＝ . 2 2 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝ 时，等号成立． 4 9 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为 . 2
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并 求出最小总费用．
解：(1)如题图所示，设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋1 由已知xa＝360，得a＝ x 3602 所以y＝225x＋ x －360(x＞0)． (2)∵x>0， 3602 ∴225x＋ x ≥2 225×3602＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440， 3602 当且仅当225 x＝ 时，等号成立． x 即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费 用是10 440元．
a2 b2 c2 ∴( b ＋b)＋( c ＋c)＋( a ＋a) ≥2(a＋b＋c)． a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. a2 b2 c2 当且仅当 b ＝b， c ＝c， a ＝a， 即a＝b＝c时取等号.
高中数学必修五课件：3.4-1《基本不等式》(人教A版必修5)
D
y
x
C
当且仅当 x=2y 时，等号成立 即x=12，y=6
因花此园解，面x这积x个最2y矩大2y2形，4，的最可长大得为面积1xy2是m162、72宽m为2 6m时，
18
变式：如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
-1
=1,
当且仅当 x+1= x1+1, 即 x=0 时, 取“=”号.
∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1.
26
2.
若
0<x<
1 2
,
求函数
y=x(1-2x)
的最大值.
分析:2 x+(1-2x) 不=1是为 常数.
配凑系数
解:
∵0<x<
1 2
,
∴1-2x>0.
∴y=x(1-2x)=
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍.
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
8
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b 即： a b≥2 ab 即： a b≥ ab (a 0,b 0) 2
适用范围： a>0,b>0
在数学中，我们把
a
b 2
叫做正数a，b的算术平均数，
ab 叫做正数a，b的几何平均数；
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
高考数学复习考点知识讲解课件4 基本不等式
— 返回 —
2．两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥____2_a_b____(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． (2)ab≤a＋2 b2(a，b∈R)，当且仅当 a＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 ___2___P____. (2)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值
解法二：由题设易知 a>0，b>0，∴ ab＝1a＋2b≥2 时“＝”成立，即 ab≥2 2，故选 C．
a2b，当且仅当 a＝4 2，b＝24 2
— 24 —
(新教材) 高三总复习•数学
3．已知 x≥52，则 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5的最小值为____1______．
— 返回 —
[解析] 因为 x≥52，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x2－2x4－x＋4 5＝x2－x2－2＋ 2 1＝12x－2＋x－1 2 ≥1，当且仅当 x－2＝x－1 2，即 x＝3 时等号成立．
角度 3：消元法求最值 【例 3】 (1)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为___6___．
4 (2)已知 5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则 x2＋y2 的最小值是___5____．
— 19 —
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
[解析] (1)解法一：由已知得 x＋3y＝9－xy， 因为 x>0，y>0，所以 x＋3y≥2 3xy， 所以 3xy≤x＋23y2，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y＝1 时取等号，即(x＋3y)2＋12(x＋3y) －108≥0. 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0，得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6. 解法二：由 x＋3y＋xy＝9，得 x＝91－＋3yy， 所以 x＋3y＝91－＋3yy＋3y＝9－3y＋1＋3yy1＋y ＝91＋＋3yy2＝31＋y2－1＋61y ＋y＋12
高二数学课件：第六章 第四节 基本不等式
g(x)有最小值，即f(x0 )+12 960=38 882(元).
≨当长为16米，宽为10 1 米时，总造价最低，为38 882元.
8 8 81
【反思·感悟】1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关
键，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围，它可直
【解析】分情况讨论，由题意得x≠-3,
(1)当x>-3时，由例题可知
x 2 2 2 3. x 3
(2)当x<-3时，x+3<0，故-(x+3)>0,
x 2 2 x 3 3 x 3 x 3
［ x 3
2 ］ 3 2 2 3， x 3
a ＝b ，等号当且仅当_____
时成立.(简记：和定积最大)
(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a，b为正
a ＝b 实数，且ab＝P，P为定值，则a＋b≥____，等号当且仅当 _____ 2 P
时成立.(简记：积定和最小)
【即时应用】 (1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为________. (2)已知x,y>0,且x+2y=1,则
a b 4
2
0, 故(3)正确.
(4)若a,b异号，如a=-1,b=1,则
答案：(1)√ (2)√
b a a b
=-2<2,故(4)错.
(4)×
(3)√
2.利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a，b为正
M2 实数，且a＋b＝M，M为定值，则ab≤ 4
,故xy的最小值为18.
热点考向 2 基本不等式的实际应用 【方法点睛】 基本不等式实际应用题的特点 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中 提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义 域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围 用对应函数的单调性求解．
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C．2 2
D．4
解析：3x＋27y＝3x＋33y≥2 3x＋3y＝2 9＝6.
当且仅当 3x＝33y 即 x＝3y＝1 时等号成立．
答案： A
()
3．下列函数中，y 的最小值为 4 的是
A．y＝x＋4x
B．y＝2xx22＋＋32(x∈R)
()
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝sinx＋si4nx(0＜x＜π)
解析：对于 A，当 x＜0 时，最小值不存在且 y＜0；
B 中 y＝2xx22＋＋32＝2
x21＋2＋
x2＋2≥4，当且仅当 x2＋2＝1 时
等号成立，这样的实数 x 不存在，故 y＝2xx22＋＋32(x∈R)取不到最
小值 4；
同理对于 D，等号成立的条件为 sin2x＝4，这也是不可能的；
只有 C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当 ex＝2，即 x＝ln2 时等号成立， 函数有最小值 4.
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)
(3)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R)．
(4)(a＋2 b)2 ≤
a2＋b2 2.
3．算术平均数与几何平均数
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b ，几何平均数
为 ab，基本不等式可叙述为：
2
(1)设 0＜x＜2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
解：(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0， ∴y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4， 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时取等号． ∴当 x＝43时，函数 y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
∴y＝x(3－2x)＝12·2x·(3－2x)≤12(2x＋23－2x)2＝98.当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时等号成立． 答案：98
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
当a12＝b12 a2b＝ab
，即 a＝b＝4 2时取等号．
考点二 利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (2)已知 x＜54，求函数 y＝4x－2＋4x1－5的最大值； (3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，求 x＋y 的最小值．
(3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy， ∴2y＋8x＝1. ∴x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx
＝10＋2(4xy＋xy)≥10＋2×2× 4xy·xy＝18， 当且仅当4xy＝xy，即 x＝2y 时取等号． 又 2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6. ∴当 x＝12，y＝6 时，x＋y 取最小值 18.
[自主解答] (1)∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝xy＋9yx＋10≥6＋10＝16. 当且仅当xy＝9yx时，上式等号成立， 又1x＋9y＝1， ∴x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x＜54，∴5－4x＞0. y＝4x－2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤ －2 5－4x·5－14x＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x， 即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1.
保持例题条件不变， 求证：1＋1x1＋1y≥9
＝(2＋xy)(2＋xy)＝5＋2(xy＋xy)≥5＋4＝9.
设 a，b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
证明：∵由于 a，b 均为正实数，所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b，当
且仅当a12＝b12，
即 a＝b 时等号成立，又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2，当且仅 当a2b＝ab 时等号成立，所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，当且仅
(2)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴ x＋12＋ y＋12 ≤x＋122＋1＋y＋122＋1＝x＋y＋2 1＋2＝1＋21＋2＝2 (当且仅当 x＋12＝1，y＋12＝1， 即 x＝y＝12时取等号)．
证明：∵x＞0，y＞0，
且 x＋y＝1 ∴(1＋1x)(1＋1y) ＝(1＋x＋x y)(1＋x＋y y)
1．已知 a＞b＞0，则下列不等式成立的是
()
A．a＞b＞a＋2 b＞ ab
B．a＞a＋2 b＞ ab＞b
C．a＞a＋2 b＞b＞ ab
D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
解析：∵a＞b＞0，∴a＞a＋2 b＞ ab＞b.
答案：B
2．已知 x＋3y＝2，则 3x＋27y 的最小值为
A．6
B．33 9
(2)显然 a≠4， 当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，求证： (1)1x＋1y≥4. (2) x＋12＋ y＋12≤2.
[自主解答] (1)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴1x＋1y＝(x＋y)(1x＋1y) ＝2＋xy＋xy ≥2＋2· xy·xy＝4. 当且仅当xy＝xy，即 x＝y＝12时，等号成立， ∴原不等式成立．
答案： C
4．如果log2x＋log2y＝1，则x＋2y的最小值是________．
解析：∵log2x＋log2y＝1， ∴x＞0，y＞0 且 xy＝2. ∴x＋2y≥2 2xy＝4 当且仅当 x＝2y 即 x＝2y＝2 时等号成立．
答案：4
5．若 0＜x＜32，则函数 y＝x(3－2x)的最大值是________． 解析：∵0＜x＜32，∴3－2x＞0.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最
小 值是 2 p (简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最
大
值是
Байду номын сангаасp2 4
(简记：和定积最大)．