2020高考数学 第六章第四节 基本不等式课件 新人教A版 精品

C．2 2
D．4
解析：3x＋27y＝3x＋33y≥2 3x＋3y＝2 9＝6.
当且仅当 3x＝33y 即 x＝3y＝1 时等号成立．
答案： A
()
3．下列函数中，y 的最小值为 4 的是
A．y＝x＋4x
B．y＝2xx22＋＋32(x∈R)
()
C．y＝ex＋4e－x
D．y＝sinx＋si4nx(0＜x＜π)
解析：对于 A，当 x＜0 时，最小值不存在且 y＜0；
B 中 y＝2xx22＋＋32＝2
x21＋2＋
x2＋2≥4，当且仅当 x2＋2＝1 时
等号成立，这样的实数 x 不存在，故 y＝2xx22＋＋32(x∈R)取不到最
小值 4；
同理对于 D，等号成立的条件为 sin2x＝4，这也是不可能的；
只有 C，y＝ex＋4e－x≥4，当且仅当 ex＝2，即 x＝ln2 时等号成立， 函数有最小值 4.
(1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)．
(2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)
(3)ab≤(a＋2 b)2，(a，b∈R)．
(4)(a＋2 b)2 ≤
a2＋b2 2.
3．算术平均数与几何平均数
设 a＞0，b＞0，则 a，b 的算术平均数为 a＋b ，几何平均数
为 ab，基本不等式可叙述为：
2
(1)设 0＜x＜2，求函数 y＝ 3x8－3x的最大值； (2)求a－3 4＋a 的取值范围； (3)已知 x＞0，y＞0，且 x＋y＝1，求8x＋2y的最小值．
解：(1)∵0＜x＜2，∴0＜3x＜6,8－3x＞2＞0， ∴y＝ 3x8－3x≤3x＋28－3x＝82＝4， 当且仅当 3x＝8－3x，即 x＝43时取等号． ∴当 x＝43时，函数 y＝ 3x8－3x的最大值是 4.
∴y＝x(3－2x)＝12·2x·(3－2x)≤12(2x＋23－2x)2＝98.当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时等号成立． 答案：98
1．基本不等式 ab≤a＋2 b
(1)基本不等式成立的条件： a＞0，b＞0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号．
2．几个重要的不等式
当a12＝b12 a2b＝ab
，即 a＝b＝4 2时取等号．
考点二 利用基本不等式求最值
(1)已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值； (2)已知 x＜54，求函数 y＝4x－2＋4x1－5的最大值； (3)若 x，y∈(0，＋∞)且 2x＋8y－xy＝0，求 x＋y 的最小值．
(3)由 2x＋8y－xy＝0，得 2x＋8y＝xy， ∴2y＋8x＝1. ∴x＋y＝(x＋y)(8x＋2y)＝10＋8xy＋2yx
＝10＋2(4xy＋xy)≥10＋2×2× 4xy·xy＝18， 当且仅当4xy＝xy，即 x＝2y 时取等号． 又 2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6. ∴当 x＝12，y＝6 时，x＋y 取最小值 18.
[自主解答] (1)∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝(x＋y)(1x＋9y)＝xy＋9yx＋10≥6＋10＝16. 当且仅当xy＝9yx时，上式等号成立， 又1x＋9y＝1， ∴x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
(2)∵x＜54，∴5－4x＞0. y＝4x－2＋4x1－5＝－(5－4x＋5－14x)＋3≤ －2 5－4x·5－14x＋3＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x， 即 x＝1 时，上式等号成立，故当 x＝1 时，ymax＝1.
保持例题条件不变， 求证：1＋1x1＋1y≥9
＝(2＋xy)(2＋xy)＝5＋2(xy＋xy)≥5＋4＝9.
设 a，b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
证明：∵由于 a，b 均为正实数，所以a12＋b12≥2 a12·b12＝a2b，当
且仅当a12＝b12，
即 a＝b 时等号成立，又因为a2b＋ab≥2 a2b·ab＝2 2，当且仅 当a2b＝ab 时等号成立，所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，当且仅
(2)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴ x＋12＋ y＋12 ≤x＋122＋1＋y＋122＋1＝x＋y＋2 1＋2＝1＋21＋2＝2 (当且仅当 x＋12＝1，y＋12＝1， 即 x＝y＝12时取等号)．
证明：∵x＞0，y＞0，
且 x＋y＝1 ∴(1＋1x)(1＋1y) ＝(1＋x＋x y)(1＋x＋y y)
1．已知 a＞b＞0，则下列不等式成立的是
()
A．a＞b＞a＋2 b＞ ab
B．a＞a＋2 b＞ ab＞b
C．a＞a＋2 b＞b＞ ab
D．a＞ ab＞a＋2 b＞b
解析：∵a＞b＞0，∴a＞a＋2 b＞ ab＞b.
答案：B
2．已知 x＋3y＝2，则 3x＋27y 的最小值为
A．6
B．33 9
(2)显然 a≠4， 当 a＞4 时，a－4＞0， ∴a－3 4＋a＝a－3 4＋(a－4)＋4≥2 a－3 4×a－4＋4＝2 3＋4， 当且仅当a－3 4＝a－4，即 a＝4＋ 3时取等号； 当 a＜4 时，a－4＜0，
考点一 利用基本不等式证明不等式
已知 x＞0，y＞0 且 x＋y＝1，求证： (1)1x＋1y≥4. (2) x＋12＋ y＋12≤2.
[自主解答] (1)∵x＞0，y＞0 且 x＋y＝1， ∴1x＋1y＝(x＋y)(1x＋1y) ＝2＋xy＋xy ≥2＋2· xy·xy＝4. 当且仅当xy＝xy，即 x＝y＝12时，等号成立， ∴原不等式成立．
答案： C
4．如果log2x＋log2y＝1，则x＋2y的最小值是________．
解析：∵log2x＋log2y＝1， ∴x＞0，y＞0 且 xy＝2. ∴x＋2y≥2 2xy＝4 当且仅当 x＝2y 即 x＝2y＝2 时等号成立．
答案：4
5．若 0＜x＜32，则函数 y＝x(3－2x)的最大值是________． 解析：∵0＜x＜32，∴3－2x＞0.
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y有最
小 值是 2 p (简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当 x＝y 时，xy有最
大
值是
Байду номын сангаасp2 4
(简记：和定积最大)．